aula-03

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Série de Fourier
Uma função periódica (continuação)
Podemos ainda simpli�car a notação desta equação, fazendo
h (θ) =
1
π
lim
N→∞
ˆ 2π
0
dϕh (ϕ) GN (ϕ, θ) , (1)
onde de�nimos
GN (ϕ, θ) ≡
1
2
+
N∑
n=1
[sen (nθ) sen (nϕ) + cos (nθ) cos (nϕ)] .
É importante que eu alerte você para o fato de que G (ϕ, θ) é meramente uma
notação, pois essa soma in�nita não é bem de�nida, pois não converge, exceto
quando a integral sobre ϕ for realizada. Logo, essa �função� só tem sentido
dentro do integrando acima. Mas, facilita nosso cálculo agora, pois temos que
escrever menos. Como
sen (nθ) sen (nϕ) + cos (nθ) cos (nϕ) = cos [n (θ − ϕ)]
e já sabemos que
cos (γ) =
exp (iγ) + exp (−iγ)
2
,
segue que
sen (nθ) sen (nϕ) + cos (nθ) cos (nϕ) =
exp [in (θ − ϕ)] + exp [−in (θ − ϕ)]
2
.
Então,
GN (ϕ, θ) =
1
2
+
N∑
n=1
[
exp [in (θ − ϕ)] + exp [−in (θ − ϕ)]
2
]
=
1
2
+
1
2
N∑
n=1
exp [in (θ − ϕ)] + 1
2
N∑
n=1
exp [−in (θ − ϕ)]
=
1
2
+
1
2
N∑
n=1
exp [in (θ − ϕ)] + 1
2
−N∑
n=−1
exp [in (θ − ϕ)]
=
1
2
−1∑
n=−N
exp [in (θ − ϕ)] + 1
2
+
1
2
N∑
n=1
exp [in (θ − ϕ)] .
Mas,
exp [in (θ − ϕ)] = 1,
1
quando n = 0. Logo,
GN (ϕ, θ) =
1
2
N∑
n=−N
exp [in (θ − ϕ)] .
Substituindo este resultado notacional de volta na Eq. (1), vem
h (θ) =
1
π
lim
N→∞
ˆ 2π
0
dϕh (ϕ)
1
2
N∑
n=−N
exp [in (θ − ϕ)] ,
isto é,
h (θ) = lim
N→∞
N∑
n=−N
[
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ)h (ϕ)
]
exp (inθ) ,
que é exatamente o signi�cado da seguinte notação:
h (θ) =
+∞∑
n=−∞
[
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ)h (ϕ)
]
exp (inθ) ,
Portanto,
h (θ) =
+∞∑
n=−∞
cn exp (inθ) , (2)
onde
cn ≡
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ)h (ϕ) . (3)
O que queremos é ter uma aproximação para f (θ) e, portanto, queremos saber
se é possível termos, para todo θ,
h (θ) = f (θ)
se escolhermos os coe�cientes e a expanção das Eqs. (2) e (3) trocando h (θ)
por f (θ) . Aí essas equações, agora escritas
f (θ) =
+∞∑
n=−∞
cn exp (inθ) , (4)
onde
cn ≡
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f (ϕ) . (5)
dão a representação complexa da chamada série de Fourier. Resta saber agora
isso sempre vale, ou seja, serve para qualquer função periódica f (θ)? E se f (θ)
não for periódica? Teria como aproximá-la por uma série de Fourier assim
mesmo?
2
Convergência da série de Fourier
Aqui vamos fazer algo similar ao que o problema 10.18 do livro do Boyce et al.
faz. Suponhamos que f (θ) e sua primeira derivada sejam contínuas, pelo menos
em pedaços, sobre os reais. Então, usando a Eq. (5) obtemos
ncn =
1
2π
ˆ 2π
0
dϕn exp (−inϕ) f (ϕ)
=
i
2π
ˆ 2π
0
dϕ
[
d
dϕ
exp (−inϕ)
]
f (ϕ)
=
i
2π
ˆ 2π
0
dϕ
d
dϕ
[exp (−inϕ) f (ϕ)]− i
2π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) d
dϕ
f (ϕ)
=
i
2π
exp (−inϕ) f (ϕ)|2π0 −
i
2π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f ′ (ϕ)
=
i
2π
[exp (−in2π) f (2π)− exp (−in× 0) f (0)]
− i
2π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f ′ (ϕ)
= − i
2π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f ′ (ϕ) .
Mas, então,
|ncn| =
∣∣∣∣(− i2π
)[ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f ′ (ϕ)
]∣∣∣∣
=
∣∣∣∣− i2π
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f ′ (ϕ)
∣∣∣∣
=
1
2π
∣∣∣∣ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f ′ (ϕ)
∣∣∣∣
6
1
2π
ˆ 2π
0
|dϕ exp (−inϕ) f ′ (ϕ)|
=
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ |exp (−inϕ)| |f ′ (ϕ)|
=
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ |f ′ (ϕ)| .
Logo, como
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ |f ′ (ϕ)| < ∞,
segue que ncn é limitado quando n → ∞. Isto é, como 12π
´ 2π
0
dϕ |f ′ (ϕ)| é um
número que não depende de n e é �nito porque f ′ (ϕ) é contínua, segue que
3
quando n cresce ilimitadamente, então ncn não diverge:
lim
n→∞
|cn| 6 lim
n→∞
1
2π
´ 2π
0
dϕ |f ′ (ϕ)|
n
= 0.
Vamos supor também que f (θ) é contínua sobre reais e f ′ (θ) e a segunda
derivada f ′′ (θ) também são contínuas, pelo menos em pedaços, sobre os reais.
Agora, ainda usando a Eq. (5), temos que
n2cn =
1
2π
ˆ 2π
0
dϕn2 exp (−inϕ) f (ϕ)
=
in
2π
ˆ 2π
0
dϕ
[
d
dϕ
exp (−inϕ)
]
f (ϕ)
=
in
2π
ˆ 2π
0
dϕ
d
dϕ
[exp (−inϕ) f (ϕ)]− i
2π
ˆ 2π
0
dϕn exp (−inϕ) f ′ (ϕ)
=
in
2π
exp (−inϕ) f (ϕ)|2π0 −
i
2π
ˆ 2π
0
dϕn exp (−inϕ) f ′ (ϕ)
= − i
2π
ˆ 2π
0
dϕn exp (−inϕ) f ′ (ϕ) .
Mas, iterando o que acabamos de fazer, obtemos
n2cn =
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ
[
d
dϕ
exp (−inϕ)
]
f ′ (ϕ)
=
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ
d
dϕ
[exp (−inϕ) f ′ (ϕ)]− 1
2π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f ′′ (ϕ)
=
1
2π
exp (−inϕ) f ′ (ϕ)|2π0 −
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f ′′ (ϕ) .
Quando uma função é periódica,
f (θ + 2π) = f (θ) ,
podemos tomar a derivada e voilà:
f ′ (θ + 2π) = f ′ (θ) ,
isto é, sua derivada é periódica também! Assim,
n2cn = −
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f ′′ (ϕ)
e, portanto,
∣∣n2cn∣∣ = ∣∣∣∣− 12π
ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f ′′ (ϕ)
∣∣∣∣
4
=
1
2π
∣∣∣∣ˆ 2π
0
dϕ exp (−inϕ) f ′′ (ϕ)
∣∣∣∣
6
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ |exp (−inϕ) f ′′ (ϕ)|
=
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ |exp (−inϕ)| |f ′′ (ϕ)|
=
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ |f ′′ (ϕ)| .
Logo, como
1
2π
ˆ 2π
0
dϕ |f ′′ (ϕ)| < ∞,
segue que n2cn é limitado quando n→∞, isto é,
lim
n→∞
|cn| 6 lim
n→∞
1
2π
´ 2π
0
dϕ |f ′′ (ϕ)|
n2
= 0.
O que acontece agora com a série
S ≡
+∞∑
n=−∞
|cn|?
Acabamos de ver que ∣∣n2cn∣∣ 6 Ξ,
com
Ξ ≡ 1
2π
ˆ 2π
0
dϕ |f ′′ (ϕ)| .
Portanto,
|cn| 6
Ξ
n2
e, assim,
+∞∑
n=1
|cn| 6
+∞∑
n=1
Ξ
n2
= Ξ
+∞∑
n=1
1
n2
.
5
Há a chamada função zeta de Riemann,
ζ (s) ≡
+∞∑
n=1
1
ns
e temos um resultado, que poderemos ver no �m deste curso, que dá
ζ (2) =
π2
6
.
Então,
+∞∑
n=1
|cn| 6 Ξ
π2
6
.
Mas, também,
1∑
n=−∞
|cn| 6
−1∑
n=−∞
Ξ
n2
= Ξ
+∞∑
n=1
1
n2
= Ξ
π2
6
.
Portanto,
S =
+∞∑
n=−∞
|cn|
=
−1∑
n=−∞
|cn|+ |c0|+
+∞∑
n=1
|cn|
6 Ξ
π2
6
+ |c0|+ Ξ
π2
6
e, assim,
+∞∑
n=−∞
|cn| 6 Ξ
π2
3
+ |c0| <∞,
ou seja, esta série converge.
Olhando agora a Eq. (4), vemos que∣∣∣∣∣
+∞∑
n=−∞
cn exp (inθ)
∣∣∣∣∣ 6
+∞∑
n=−∞
|cn| |exp (inθ)|
=
+∞∑
n=−∞
|cn|Ξ
π2
3
+ |c0| <∞,
mostrando que a série de Fourier, neste caso, converge absolutamente para todo
θ.
6