lista-03

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Lista 3 - Parte 1
28 de Setembro de 2018
1) Seja T um tensor cartesiano de posto 2 em três dimensões . Mostre que
f(λ) = det(T + λ11),
onde λ é um parâmetro escalar, é um polinômio invariante do terceiro grau sob
rotações. Determine os invariantes f(0), f ′(0) e f ′′(0). Na equação acima, 11 é
o tensor identidade: 11ij = δij .
2) Construa um tensor do tipo (2,2) mais geral posśıvel, cujas componentes
sejam invariantes, isto é,
T ′
ij
kl(x
′) = T ijkl (x),
onde x = (x1, x2, x3) e x ′ = (x ′
1
, x ′
2
, x ′
3
) são as coordenadas nos respectivos
sistemas.
3) Determine Rmijk em termos dos śımbolos de de Christoffel através da identi-
dade abaixo
∇j(∇kAi)−∇k(∇jAi) = RmijkAm,
onde Ai são componentes de um vetor tipo (0,1) arbitrário. Conclua dáı que
Rmijk é um tensor do tipo (1,3). Este tensor é conhecido como o tensor de
curvatura de Riemann.
4) Seja T 20 o espaço dos tensores tipo (2,0). Definimos o produto escalar entre
dois tensores de T 20 como sendo
(A,B) = AijBklgkiglj = (B,A),
onde gij são as componentes do tensor métrico. A norma de um tensor T ∈ T 20
é dada por
||T || =
√
(T, T ), (T, T ) ≥ 0, ∀ T ∈ T 20
Mostre que |(A,B)| ≤ ||A||||B||, ∀ A,B ∈ T 20 .
5) Considere {ê∗i (t)} uma base cartesiana girante tal que
dê∗i (t)
dt
= ω(t)× ê∗i (t).
Escrevendo um vetor nesta base mostre que,
dA
dt
=
d∗A
dt
+ ω ×A,
1
onde
d∗A
dt
=
dA∗i
dt
ê∗i .
Determine dT/dt para um tensor de ordem 2, onde T = T ∗ij ê
∗
i ⊗ ê∗j .
6) Num movimento de um corpo deformável a velocidade de um ponto do corpo
é dada por v(r, t). Mostre que
d
dt
∫
R(t)
dV =
∫
R(t)
∇ · v(r, t)dV,
onde R(t) é região que define a forma do corpo num instante de tempo t.
7) Sendo n̂i, i = 1, 2, 3 as componentes do vetor normal à superf́ıce de uma
esfera unitária, calcule as integrais usando a teoria de tensores(cartesianos) e
um pouco de integração.
Iij =
∫
s
n̂in̂jda,
e
Iijkl =
∫
s
n̂in̂j n̂kn̂lda.
Mostre ainda que
Ii1i2···ik =
∫
s
n̂i1 n̂i2 · · · n̂ikda = 0,
para k = 2n+ 1, n ∈ Z.
8) Sejam as componentes covariantes de um vetor em coordenadas polares:
A1 = −a cos θ, A2 = arsenθ.
Determine a derivada covariante DiAj , i, j = 1, 2.
9) Para uma superf́ıcie parametrizada por (u1, u2), ei = ∂ir. A derivada da
base f i é dada por
∂if
j = −Γjikf
k + β ji N̂,
Onde N̂ é o vetor normal unitário à superf́ıcie no ponto r(u1, u2).
(a) Mostre que β ji é um tensor (1, 1).
(b) Determine det[β ji ] para uma esfera de raio R.
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