Exponenciais e Logaritimos

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CÁLCULO 
(APLICADO À SAÚDE)
Claudia Abreu Paes
Exponenciais e logaritmos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir exponencial e logaritmo e suas propriedades.
 � Reconhecer as funções exponencial e logarítmica, bem como seus 
domínios.
 � Analisar situações aplicadas envolvendo crescimento e decrescimento 
exponencial.
Introdução
Relações entre variáveis distintas podem descrever diversas situações. 
A função que representa essa relação pode ser descrita de diferentes 
maneiras. Essa vinculação entre as variáveis pode ser expressa por meio 
de um polinômio de diferentes graus, de uma expressão trigonométrica 
ou, ainda, de uma função exponencial ou logarítmica. 
Neste capítulo, você vai estudar sobre exponenciais e logaritmos, bem 
como as funções expressas por essas operações. Serão apresentadas as 
características dos gráficos de ambas as funções e a forma como pode-
mos aplicar o conceito de crescimento e decrescimento exponencial.
Propriedades dos exponenciais e logaritmos
Funções exponenciais e logarítmicas são aplicadas em diversas áreas do cálculo. 
Antes de analisar as funções, devemos falar sobre as operações exponenciais 
e de logaritmos. Veremos também que essas operações são inversas uma a 
outra e, por isso, são comumente estudadas juntas.
A exponencial é aplicada quando se quer representar números grandes. 
Por exemplo, 625 pode ser escrito como 54, ou seja, 5 × 5 × 5 × 5 = 625. Dessa 
forma, estamos aplicando o conceito de potência. A potência é uma forma de 
escrever produtos de fatores que se repetem, como o caso do 54. 
Definição: seja a um número real, e n um número real inteiro positivo, deno-
mina-se potência o número de base a e expoente n que corresponde ao produto 
de n fatores iguais a a, da forma:
Observação: nos casos em que n = 1 ou n = 0, não se aplica essa definição, 
pois: a1 = a e a0 = 1. O Quadro 1 mostra as propriedades de potenciação, 
comumente aplicadas em soluções de cálculos.
Propriedade Equação
Potência de expoente negativo
Potência de expoente racional 
Multiplicação de potência 
de mesma base
am · an = am+n
Divisão de potência de mesma base
Potência de potência (am)n = am · n
Potência de produto (ab)m = am · bm
Potência de quociente
Quadro 1. Propriedades de potenciação
O logaritmo, por sua vez, é definido da seguinte maneira: dados dois nú-
meros reais positivos a e b, com a ≠ 1, o logaritmo de b na base a é o número 
real x, tal que ax = b, ou seja:
logab = x → a
x = b
Exponenciais e logaritmos2
Vamos calcular os logaritmos a seguir:
a) log6 36
log6 36 = x
6x = 36 = 62
Logo, 
x = 2
log6 36 = 2
b) 
Logo, 
Observação 1 — Condições de existência dos logaritmos
Para que o cálculo do logaritmo seja possível, há algumas condições a 
serem respeitadas. Repare nas seguintes situações:
a) log6(–36) = x → 6
x = –36
Não há solução. Não existe x real que satisfaça essa equação. Logo, o 
conceito de logaritmo não se aplica.
b) log1 10 = x → 1
x = 10
Nesse caso, também não há solução. Devido a isso, para que exista solução, 
deve-se considerar que:
b > 0, a > 0 e a ≠ 1
3Exponenciais e logaritmos
Observação 2 — Base 10 
Quando a base é omitida na equação de logaritmo, entende-se que a base 
é 10. O Quadro 2 apresenta as propriedades de operação logaritmo.
Propriedade Equação
Logaritmo de um produto loga(b · c) = loga b + loga c 
Logaritmo de um quociente 
Logaritmo de uma potência loga b
n = n · loga b 
Mudança de base
Quadro 2. Propriedades de logaritmos
Funções exponencial e logarítmica: 
domínios e gráficos 
Uma função é caracterizada pela relação de dependência entre duas ou mais 
variáveis. Uma variável (y) sempre será definida a partir de outra variável (x) 
(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). A relação entre x e y pode ser descrita 
de diferentes formas: como uma função polinomial de 1° grau (função afim), 
2° grau (função quadrática) ou de grau maior; como uma função trigonomé-
trica; ou como uma função exponencial e logarítmica. Nesta seção, vamos 
determinar as funções exponencial e logarítmica.
Exponenciais e logaritmos4
Função exponencial
A função exponencial é a relação entre duas variáveis, onde a variável inde-
pendente está no expoente (SAFIER, 2011). O domínio da função exponencial 
são todos os números reais , e o conjunto imagem consiste em 
todos os reais positivos . A lei da função é dada por:
y = f(x) = ax
Onde a é um número real, sendo a > 0 e a ≠ 1.
O gráfico da função exponencial é bem característico. Como a base da 
função exponencial é a > 0 e a ≠ 1, as funções estarão determinadas para 
0 < a < 1 e a > 1. Observe a Figura 1.
Figura 1. Gráficos de uma função exponencial com (a) a > 0 e (b) 0 < a < 1. 
Fonte: Adaptada de matma/Shutterstock.com.
a) b)
Observe que o gráfico da função exponencial sempre interceptará o eixo 
vertical no ponto (0,1), pois sempre que x = 0 na função f(x) = ax, y(x) será 
igual a 1. O gráfico da função exponencial será uma curva situada totalmente 
acima do eixo horizontal.
A seguir, teremos a construção de gráfico da função no exemplo, a partir 
de uma função dada, aplicando valores quaisquer para x. 
5Exponenciais e logaritmos
Vamos calcular o gráfico da função y(x) = 2x. A construção de um gráfico é similar a 
das outras funções, utilizando o plano cartesiano.
Admitindo valores quaisquer para x e aplicando na função, temos:
x y(x) = 2x (x,y)
0 20 = 1 (0,1)
1 21 = 2 (1,2)
2 22 = 4 (2,4)
3 23 = 8 (3,8)
4 24 = 16 (4,16)
5 25 = 32 (5,32)
y(x) = 2x
32
16
8
4
2
2 3 4 5
1
10 0
Exponenciais e logaritmos6
Função logarítmica
Uma função logarítmica se dá quando há uma variável no logaritmo. Essa 
função é definida como:
y = f(x) = loga x
Onde a > 0 e a ≠ 1. Para a função logarítmica, vale a aplicação dos conceitos 
de logaritmo (ADAMI; DORNELES FILHO; LORANDI, 2015). O domínio 
da função logarítmica compreende todos os números reais positivos , e o 
conjunto imagem equivale aos reais .
A Figura 2 traz os gráficos de uma função logarítmica. Assim como na 
função exponencial, na função logarítmica estará definida para a base 0 < a 
< 1 e a > 1.
Figura 2. Gráfico de uma função logarítmica com base: (a) a > 0 e (b) 0 < a < 1.
Fonte: Adaptada de matma/Shutterstock.com.
a) b)
Observe que o gráfico da função logarítmica sempre passará no ponto (1,0), 
pois somente um número com expoente zero é igual a 1. Outra observação é 
que o gráfico dessa função sempre estará ao lado direito do eixo vertical. Veja 
o exemplo a seguir com o cálculo do gráfico da função logarítmica.
7Exponenciais e logaritmos
Vamos calcular o gráfico da função f(x) = log3 x. Admitindo qualquer valor para x, 
temos o seguinte.
Para :
Assim, calculando para , teremos:
x f(x)
–2
–1
1 0
3 1
9 2
2
1
0
0 2 4 6 8 10
–1
–2
y(x) = log3 x
Exponenciais e logaritmos8
Situações aplicadas envolvendo crescimento e 
decrescimento exponencial
Crescimento e decrescimento exponencial é uma análise muito utilizada em 
diversas situações. Podemos aplicar ao estudo do crescimento de qualquer 
população, à matemática financeira calculando os juros compostos sobre uma 
operação, pode-se obter níveis de radioatividade em um ambiente, resfriamento 
corporal, entre outras diversas aplicações.
A função exponencial é defendida como crescente ou decrescente, de 
acordo com os valores para a base a.
Na Figura 1a, podemos pegar qualquer ponto arbitrário, sendo x1 e x2, onde 
x2 > x1. Veremos, ainda, que y2 > y1, ou seja, quando o x aumenta, o y também 
aumenta. Isso se dá porque a base a é maior que 1 (a > 1), portanto, essa função 
é crescente. Analogamente, na Figura 1b, se selecionarmos pontos em que 
x2 > x1, veremos que y2 < y1, ou seja, quando o x aumenta, e os valores de y 
diminuem. Isso ocorre porque a base a está entre 0 e 1 (0 < a < 1), portanto, 
essa função é decrescente. Vamos ver algumas aplicações a seguir.
Crescimento exponencial
Um exemplo clássico de crescimento exponencial é sobre a análisedo número 
de indivíduos de uma população. Um grupo de biólogos estudou o processo 
de reprodução em uma cultura de bactérias, a partir de dados coletados em 
determinado período de tempo. Foi observado que o número de indivíduos 
N, em função do tempo t em horas, é dado por:
N(t) = 50 · 20,3t
Pelo valor da base a, sendo a > 1, pode-se concluir que é uma função expo-
nencial crescente. Podemos determinar valores de tempo t para confirmar. Veja:
Para t = 0, temos:
N(0) = 50 · 20,3(0) = 50 · 1 = 50 indivíduos
9Exponenciais e logaritmos
Para t = 1, temos:
N(1) = 50 · 20,3(1) = 50 · 20,3 = 61 indivíduos*
Para t = 2, temos:
N(2) = 50 · 20,3(2) = 50 · 20,6 = 75 indivíduos*
Para t = 3, temos:
N(3) = 50 · 20,3(3) = 50 · 20,9 = 93 indivíduos*
Para t = 10, temos:
N(10) = 50 · 20,3(10) = 50 · 23 = 400 indivíduos*
*Observação — Nos cálculos do número de indivíduos para t igual a 1, 2, 3 
e 10, os resultados foram arredondados para se obter um número inteiro, pois 
não é possível existir 0,5 indivíduo. Por exemplo, em t = 1, temos N(t) = 61,55 
indivíduos, e consideramos N(t) = 61 indivíduos.
Analise que, à medida que o tempo aumenta, o número de indivíduos 
também aumenta, o que caracteriza uma função crescente. Logo, essa função 
representa um crescimento exponencial. Observe, na Figura 3, o gráfico dessa 
função. Repare que o eixo vertical representa o número de indivíduos, e o 
eixo horizontal representa o tempo t em horas.
Decrescimento exponencial
Um estudo interessante sobre decrescimento é o cálculo de meia-vida de um 
elemento radioisótopo. Alguns desses elementos são utilizados na área da 
saúde para diferentes tipos de doenças. O radioisótopo iodo-131, por exemplo, 
é comumente utilizado para tratamentos de câncer de tireoide. Esses elementos 
sofrem desintegração, e seu tempo de vida é em função disso. O tempo de 
meia-vida do iodo-131 é de 8 horas. Isso significa que, decorridas 8 horas, sua 
atividade será reduzida à metade em relação ao seu valor inicial.
Exponenciais e logaritmos10
Figura 3. Crescimento exponencial do número de indivíduos de 
bactérias.
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
0 10 20 30 40
N(t) = 50 . 20,3t
Uma dose de iodo-131 é administrada ao paciente. A função que relaciona 
porcentagem de iodo-131 após ser administrado em t dias é representada pela 
seguinte equação:
Pelo valor da base a, sendo 0 < a < 1, podemos concluir que é uma fun-
ção exponencial decrescente. Podemos determinar valores de tempo t para 
confirmar. Veja:
11Exponenciais e logaritmos
Para t = 0, temos:
Para t = 8, temos:
Para t = 16, temos:
Para t = 24, temos:
Para t = 32, temos:
Repare que, quando o tempo aumenta, a porcentagem do radioisótopo 
diminui. Isso é característico de uma função decrescente. Logo, essa fun-
ção representa um decrescimento exponencial. A Figura 4 traz o gráfico 
dessa função, onde o eixo vertical corresponde à quantidade de iodo-131 
em porcentagem presente no paciente, e o eixo horizontal corresponde ao 
tempo em dias.
Exponenciais e logaritmos12
Figura 4. Decrescimento exponencial do número de indivíduos 
de bactérias.
120
100
80
60
20
0
0 20 40 60
40
p(t) = 100 .
1
2( )
t
8
ADAMI, A. M.; DORNELES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Book-
man, 2015.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v.1.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
Leitura recomendada
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1.
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Conteúdo: