ESTATISTICA DESCRITIVA 6 TABELA VARIAVEIS QUANTITATIVAS DISCRETAS

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1 Maria Margarida Lazaro 
 
Descrição de dados 
 
Tabelas de distribuição de frequências 
Obtenção, cálculo e interpretação do significado das frequências absoluta, relativa, relativa 
percentual, absoluta acumulada, relativa acumulada, relativa acumulada percentual. 
Tabelas de distribuição de frequências de variáveis quantitativas discretas. 
 
O que tens que ser capaz? 
Saber como se obtém a frequência absoluta. 
Calcular frequência relativa, relativa percentual, absoluta acumulada, relativa acumulada, 
relativa acumulada percentual. 
Interpretar o significado das frequências. 
Elaborar uma tabela de distribuição de frequências de variáveis quantitativas discretas. 
Efectuar cálculo percentual. 
 
O processo de recolha, organização dos dados, obtenção da frequência absoluta e calculo da 
frequência relativa e frequência relativa percentual é idêntica ao usado na variável qualitativa. 
 
Exemplo 1: 
População: 100 casais dum bairro da cidade de Maputo 
Variável: Número de filhos 
 
Organização de dados 
0 filhos  
1 filho  
2 filhos  
3 filhos  
4 filhos  
5 filhos  
6 ou + filhos  
 
 
Tabela de distribuição de frequências 
N
o 
X- Número de filhos fa fr fr % 
1 0 10 0,10 10 
2 1 15 0,15 15 
3 2 8 0,08 8 
4 3 14 0,14 14 
5 4 13 0,13 13 
6 5 16 0,16 16 
7 6 ou + 24 0,24 24 
 Total 100n 1,00 100 
 
k = 7 representa o número de diferentes valores da variável. 
 
O somatório de todas as frequências absolutas é igual ao universo. 
2 Maria Margarida Lazaro 
 
nfa
k
i
i 
1
 se for uma amostra e Nfa
k
i
i 
1
 se se considerar uma população. 
10024161314815107654321
7
11


fafafafafafafafafa
i
i
k
i
i
 
O somatório de todas as frequências relativas é igual a 1. 1
1


k
i
ifr 
00,124,016,013,014,008,015,010,07654321
7
11


frfrfrfrfrfrfrfrfr
i
i
k
i
i
 
 
16 na coluna da frequência absoluta representa o número de casais com 5 filhos. 
16 na coluna da frequência relativa percentual representa a percentagem de casais com 5 
filhos. 
 
Exemplo 2: 
Dados obtidos num inquérito sobre a classificação final atribuída aos 40 alunos duma 
escola, na disciplina de Matemática. 
População: 40 alunos duma escola 
Variável: Classificação final na disciplina de Matemática em 2019 
 
Organização de dados 
 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 
10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 
11 11 12 12 12 12 12 13 13 13 
14 14 15 15 15 16 16 16 17 17 
 
Tabela de distribuição de frequências 
N
o x fa fr fr % 
1 8 3 0,075 7,50 
2 9 5 0,125 12,5 
3 10 9 0,225 22,5 
4 11 5 0,125 12,5 
5 12 5 0,125 12,5 
6 13 3 0,075 7,50 
7 14 2 0,050 05,0 
8
 
15 3 0,075 7,50 
9 16 3 0,075 7,50 
10 17 2 0,050 5,00 
  40n 1,000 100 
 
k = 10 representa o número de diferentes valores da variável. 
 
Para além da frequência absoluta, relativa, relativa percentual, existe a frequência absoluta 
acumulada, relativa acumulada, relativa acumulada percentual que vamos estudar a seguir. 
 
 
3 Maria Margarida Lazaro 
 
Frequência absoluta acumulada )(Fa ou )(F ou frequência absoluta acumulada 
“abaixo” 

aF ou 
F 
Frequência absoluta acumulada de um dado valor é a soma das frequências absolutas desse 
valor e dos valores que o antecedem. 
ii fafafafaFa +... + + + 321 representa a frequência absoluta acumulada do i-ésimo valor. 
 
 11 faFa  A frequência absoluta acumulada do primeiro valor é igual a frequência absoluta 
do primeiro valor. 
 + 212 fafaFa  A frequência absoluta acumulada do segundo valor é igual a frequência 
absoluta do primeiro valor adicionada a frequência absoluta do segundo valor. 
 + + 3213 fafafaFa  A frequência absoluta acumulada do terceiro valor é igual a 
frequência absoluta do primeiro valor adicionada a frequência absoluta do segundo valor, 
adicionada a frequência absoluta do terceiro valor. 
kk fafafafaFa +... + + + 321 
A frequência absoluta acumulada do k-ésimo valor é igual a 
frequência absoluta do primeiro valor adicionada a frequência absoluta do segundo valor, 
adicionada a frequência absoluta do terceiro valor até a frequência absoluta do k-ésimo valor . 
 
Na tabela acima 
3 11  faFa 
853 + 212  fafaFa 
17953 + + 3213  fafafaFa 
… 
402332355953
 + + + + + + + + 1098765432110

 fafafafafafafafafafaFa
 
 
Frequência relativa acumulada )(Fr ou frequência relativa acumulada “abaixo” rF 
Frequência relativa acumulada de um dado valor é a soma das frequências relativas desse 
valor e dos valores que o antecedem. 
ii frfrfrfrFr +... + + + 321 - representa a frequência relativa acumulada do i-ésimo valor. 
 
 11 frFr  A frequência relativa acumulada do primeiro valor é igual a frequência relativa do 
primeiro valor. 
 + 212 frfrFr  A frequência relativa acumulada do segundo valor é igual a frequência 
relativa do primeiro valor adicionada a frequência relativa do segundo valor. 
 + + 3213 frfrfrFr  A frequência relativa acumulada do terceiro valor é igual a frequência 
relativa do primeiro valor adicionada a frequência relativa do segundo valor, adicionada a 
frequência relativa do terceiro valor. 
kk frfrfrfrFr +... + + + 321 
A frequência relativa acumulada do k-ésimo valor é igual a 
frequência relativa do primeiro valor adicionada a frequência relativa do segundo valor, 
adicionada a frequência relativa do terceiro valor até a frequência relativa do k-ésimo valor . 
 
Na tabela acima 
0,075 11  frFr 
0,2000,1250,075 + 212  frfrFr 
0,4250,225512,00,075 + + 3213  frfrfrFr 
… 
000,1050,00,0750,075050,00,075512,0512,00,225512,00,075
 + + + + + + + + 1098765432110

 frfrfrfrfrfrfrfrfrfrFr
 
4 Maria Margarida Lazaro 
 
Tabela de distribuição de frequências 
N
o x fa fr fr % Fa Fr Fr % 
1 8 3 0,075 7,50 3 0,075 7,50 
2 9 5 0,125 12,5 8 0,200 20,0 
3 10 9 0,225 22,5 17 0,425 42,5 
4 11 5 0,125 12,5 22 0,550 55,0 
5 12 5 0,125 12,5 27 0,675 67,5 
6 13 3 0,075 7,50 30 0,750 75,0 
7 14 2 0,050 05,0 32 0,800 80,0 
8
 
15 3 0,075 7,50 35 0,875 87,5 
9 16 3 0,075 7,50 38 0,950 95,0 
10 17 2 0,050 5,00 40 1,000 100,0 
 Total 40n 1,000 100 
 
Fórmula alternativa da frequência relativa acumulada 
A frequência relativa acumulada de um dado valor pode ser calculada pelo quociente entre a 
frequência absoluta acumulada desse valor e o total, 
n
Fa
Fr ii  . 
Devido aos erros derivados do arredondamento esta fórmula é a mais conveniente. 
075,0
40
31
1 
n
Fa
Fr 200,0
40
82
2 
n
Fa
Fr 425,0
40
173
3 
n
Fa
Fr …. 
000,1
40
4010
10 
n
Fa
Fr 
 
Existem as frequências acumuladas acima. Estas frequências são apresentadas em tabelas de 
distribuição de frequências completas. 
 
Frequência absoluta acumulada “acima” 

aF ou 
F 
Frequência absoluta acumulada “acima” de um dado valor é a soma das frequências absolutas 
desse valor e dos valores que o seguem (até ao último). 
kiii fafafaFa  
 ...1 - representa a frequência absoluta acumulada “acima” do i-ésimo 
valor 
 
kfafafafaFa 
 ...3211 - representa a frequência absoluta acumulada “acima” do 
primeiro valor. 
kfafafaFa 
 ...322 - representa a frequência absoluta acumulada “acima” do segundo 
valor. 
 
kfafaFa 
 ...33 - representa a frequência absoluta acumulada “acima” do segundo valor. 
… 
kk faFa 

 
 
Na tabela acima 
402332355953
 + + + + + + + + 109876543211

 fafafafafafafafafafaFa
 
5 Maria Margarida Lazaro 
 
37233235595 + + + + + + + 10987654322 
 fafafafafafafafafaFa
 
3223323559 + + + + + + 1098765433 
 fafafafafafafafaFa… 
523 + 1099 
 fafaFa 
2 1010 
 faFa 
 
Uma forma prática de calcular a frequência absoluta acumulada “acima” é manter a ultima 
frequência absoluta e somar as frequências absolutas da última para a primeira. 
 
Frequência relativa acumulada “acima” rF 
Frequência relativa acumulada “acima” de um dado valor é a soma das frequências relativas 
desse valor e dos valores que o seguem (até ao último). 
kiii frfrfrFr  
 ...1 - representa a frequência relativa acumulada “acima” do i-ésimo 
valor. 
 
kfrfrfrfrFr 
 ...3211 - representa a frequência absoluta acumulada “acima” do 
primeiro valor. 
kfrfrfrFr 
 ...322 - representa a frequência absoluta acumulada “acima” do segundo 
valor. 
kfrfrFr 
 ...33 - representa a frequência absoluta acumulada “acima” do segundo valor. 
… 
kk frFr 

 
 
Na tabela acima 
000,1050,00,0750,075050,00,075512,0512,00,225512,00,075
 + + + + + + + + 109876543211

 frfrfrfrfrfrfrfrfrfrFr
 
 
925,0050,00,0750,075050,00,075512,0512,00,225512,0
 + + + + + + + 10987654322

 frfrfrfrfrfrfrfrfrFr
 
800,0050,00,0750,075050,00,075512,0512,00,225512,0
 + + + + + + 1098765433

 frfrfrfrfrfrfrfrFr
 
… 
125,0050,00,075 + 1099 
 frfrFr 
050,0 1010 
 frFr 
Uma forma prática de calcular a frequência relativa acumulada “acima” é manter a ultima 
frequência relativa e somar as frequências relativas da última para a primeira. 
 
 
 
 
 
 
6 Maria Margarida Lazaro 
 
Tabela de distribuição de frequências completa 
x fa fr %fr Fa Fr Fr % 
aF 

rF %

rF 
8 3 0,075 07,5 3 0,075 07,5 40 1,000 100,0 
9 5 0,125 12,5 8 0,200 20,0 37 0,925 92,5 
10 9 0,225 22,5 17 0,425 42,5 32 0,800 80,0 
11 5 0,125 12,5 22 0,550 55,0 23 0,575 57,5 
12 5 0,125 12,5 27 0,675 67,5 18 0,450 45,0 
13 3 0,075 07,5 30 0,750 75,0 13 0,325 32,5 
14 2 0,050 05,0 32 0,800 80,0 10 0,250 25,0 
15 3 0,075 07,5 35 0,875 87,5 8 0,200 20,0 
16 3 0,075 07,5 38 0,950 95,0 5 0,125 12,5 
17 2 0,050 05,0 40 1,000 100,0 2 0,050 05,0 
Total 40n 1,000 01,0 
 
Nota: Para o cálculo das frequências acumuladas “abaixo” se soma de cima para baixo. 
Nota: Para o cálculo das frequências acumuladas “acima” se soma de baixo para cima. 
 
Fórmula alternativa da frequência relativa acumulada “acima” 
A frequência relativa acumulada “acima” de um dado valor pode ser calculada pelo quociente 
entre a frequência absoluta acumulada “acima” desse valor e o total, 
n
Fa
Fr ii

  . 
Devido aos erros derivados do arredondamento esta fórmula é a mais conveniente. 
 
000,1
40
401
1 


n
Fa
Fr
 
925,0
40
372
2 


n
Fa
Fr
 
800,0
40
323
3 


n
Fa
Fr
 
 
050,0
40
210
10 


n
Fr
Fr
 
 
Toda a frequência relativa pode ser transformada em percentagem bastando para o efeito 
multiplica-la por 100 %. 
Neste caso a frequência relativa percentual representa-se por %fr ou %Fr ou %rF 
consoante o caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 Maria Margarida Lazaro 
 
 
 
Interpretação de alguns valores da tabela de distribuição de frequências completa 
 
x fa fr %fr Fa Fr Fr % 
aF 

rF %

rF 
8 3 0,075 07,5 3 0,075 07,5 40 1,000 100,0 
9 5 0,125 12,5 8 0,200 20,0 37 0,925 92,5 
10 9 0,225 22,5 17 0,425 42,5 32 0,800 80,0 
11 5 0,125 12,5 22 0,550 55,0 23 0,575 57,5 
12 5 0,125 12,5 27 0,675 67,5 18 0,450 45,0 
13 3 0,075 07,5 30 0,750 75,0 13 0,325 32,5 
14 2 0,050 05,0 32 0,800 80,0 10 0,250 25,0 
15 3 0,075 07,5 35 0,875 87,5 8 0,200 20,0 
16 3 0,075 07,5 38 0,950 95,0 5 0,125 12,5 
17 2 0,050 05,0 40 1,000 100,0 2 0,050 05,0 
Total 40n 1,000 01,0 
 
O 3 é o número de alunos com classificação final de 16. 
O 07,5 representa a percentagem de alunos com classificação final de 16. 
O 38 é o número de alunos com classificação final menor ou igual a 16 ou no máximo 16. 
O 95,0 é a percentagem de alunos com classificação final menor ou igual a 16 ou no máximo 
16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 Maria Margarida Lazaro 
 
Ficha de exercícios 
 
Para cada um dos exercícios seguintes, reflicta sempre sobre os conceitos básicos 
(população, indivíduo, amostra, variáveis e sua classificação) 
 
1. Um estudo sobre o número de trabalhadores de algumas empresas da cidade de Maputo 
resultou nos seguintes dados: 
2 8 4 3 5 2 3 4 5 2 
2 2 5 1 3 3 2 4 14 6 
2 5 7 2 2 2 1 3 2 7 
14 5 5 4 6 1 1 2 3 2 
Elabore uma tabela de distribuição de frequências. 
 
2. O número de horas completas de trabalho num dia de semana dos funcionários de uma 
empresa foi o seguinte: 
 7 10 7 8 8 9 8 5 8 7 
 8 7 7 9 8 9 8 10 9 8 
2.1 Calcule a percentagem: 
a) Dos funcionários que trabalharam mais do que 8 horas 
b) Dos funcionários que trabalharam no máximo 7 horas 
2.1 Elabore uma tabela de distribuição de frequências 
 
3. Fez-se um estudo sobre o número de docentes afectos a alguns dos departamentos de uma 
universidade. Os resultados encontram-se abaixo: 
Nº de docentes 5 10 5 8 10 
Departamento Inglês Estatística Gestão Matemática Informática 
Elabore uma tabela de distribuição de frequências 
 
4. Uma pesquisa sobre o número de produtos vendidos por uma empresa ao longo dos 8 anos 
revelou que: 
Número de produtos vendidos 2000 3900 5000 2000 6000 5000 2000 2500 
Ano 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 
a) Quantos anos foram considerados? 
b) Calcule o total de produtos vendidos nos 8 anos. 
c) Calcule a percentagem dos anos em que se vendaram 2000 produtos. 
d) Calcule a percentagem dos anos em que se vendaram no mínimo 3900 produtos. 
e) Elabore uma tabela de distribuição de frequências 
 
5. Na tabela seguinte, apresenta-se o resultado de uma pesquisa sobre a pontuação dos 6 
trabalhadores melhores classificados no processo de avaliação. 
 Nome do trabalhador S P H J B T 
 Pontuação 15 6 12 10 6 12 
Elabore uma tabela de distribuição de frequências. 
 
6.O número de computadores produzidos pela empresa ML em algumas províncias de 
Moçambique foi estudado e resultou no seguinte: 
Províncias N C T Z S I G M 
N
o
 de computadores produzidos 25 20 30 25 30 15 30 25 
Elabore uma tabela de distribuição de frequências.