Análise de circuitos

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Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante! 
 
Na unidade didáctica I, familiarizámo-nos com os principais parâmetros eléctricos, 
nomeadamente tensão, corrente, potência. Falámos dos circuitos eléctricos e 
seus componentes básicos e demos mais ênfase aos receptores. Nesta unidade 
didáctica, vamos analisar circuitos eléctricos complexos de corrente contínua à 
base das leis de Ohm e de Kirchhoff, circuitos esses que, para além de fontes de 
tensão (reais ou ideais), terão também fontes de corrente ideais. Para análise dos 
circuitos, teremos que utilizar métodos de transformação de redes, teoremas de 
redes e modelos matemáticos. Vamos propor cinco (5) métodos úteis para análise 
de circuitos complexos, em que, para cada um deles, vamos apresentar o 
algoritmo de análise, a dedução do modelo matemático, dois (2) exemplos por 
nós resolvido e outros dois (2) para você resolver. Dos cinco (5) métodos, apenas 
três (3) serão discutidos e experimentados laboratorialmente e os restantes para 
seu estudo individual. 
 
Assim, ao terminar o estudo desta unidade didáctica, você deverá ser capaz de: 
 
 
 
 
Elemento de Competência da Unidade Didáctica 
 
Elementos de Competência da Unidade DidácticaElementos de Competência da Unidade DidácticaElementos de Competência da Unidade DidácticaElementos de Competência da Unidade Didáctica 
 
Analisar circuitos eléctricos lineares de corrente contínua, sob o ponto de vista 
teórico e prático 
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No final desta unidade didáctica, você deve ser capaz de: 
 
1. Definir e diferenciar os conceitos de malha, ramo e nó; 
 
2. Aplicar a lei de Ohm para análise de um ramo de um circuito eléctrico; 
 
3. Aplicar a lei de Kirchhoff na análise de ramos e de malhas dos 
circuitos eléctricos; 
 
4. Analisar circuitos usando o método das leis de Kirchhoff; 
 
5. Analisar circuitos usando o método das malhas independentes; 
 
6. Analisar circuitos usando o método de sobreposição; 
 
7. Analisar circuitos usando o método de análise nodal; 
 
8. Analisar circuitos usando o método de Thevenin. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ObjectivosObjectivosObjectivosObjectivos 
 
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1.1.1.1. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUACIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUACIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUACIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
1.1. Circuitos de malhas simples e múltiplas; 
1.2. Tensão num ramo de um circuito eléctrico; 
1.3. Lei de Ohm para um ramo; 
1.4. Leis de Kirchhoff; 
1.5. Troca de energia nos circuitos eléctricos; 
1.6. Particularidades dos circuitos. 
1.6.1. Circuito série 
1.6.2. Circuito paralelo 
1.7. Regra de Cramer 
 
2.2.2.2. ANÁLISEANÁLISEANÁLISEANÁLISE DE CIRCUITOS COMPLEXOS DE CORRENTE CONTÍNUA DE CIRCUITOS COMPLEXOS DE CORRENTE CONTÍNUA DE CIRCUITOS COMPLEXOS DE CORRENTE CONTÍNUA DE CIRCUITOS COMPLEXOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
2.1. Método das leis de Kirchhoff 
2.2. Método de malhas independentes 
2.3. Método de sobreposição 
2.4. Método de análise nodal 
2.5. Método de Thevenin 
 
3.3.3.3. RESUMORESUMORESUMORESUMO 
 
4.4.4.4. EXERCÍCIOS DE AUTO EXERCÍCIOS DE AUTO EXERCÍCIOS DE AUTO EXERCÍCIOS DE AUTO –––– AVALIAÇÃO AVALIAÇÃO AVALIAÇÃO AVALIAÇÃO 
 
5.5.5.5. BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA 
 
6.6.6.6. GLOSSÁRIOGLOSSÁRIOGLOSSÁRIOGLOSSÁRIO 
 
 
7.7.7.7. CHAVE DE CORRECÇÃO DOS EXERCÍCIOSCHAVE DE CORRECÇÃO DOS EXERCÍCIOSCHAVE DE CORRECÇÃO DOS EXERCÍCIOSCHAVE DE CORRECÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
 
 
Esquema de apresentação dos conteúdos 
 
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1.1.1.1. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUACIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUACIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUACIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
Para melhor estudarmos os circuito eléctricos de corrente contínua, vamos 
começar por fazer uma análise simples, que consistirá em definir e conceptualizar 
malhas, ramos e nós. Vamo-nos concentrar no estudo das tensões eléctricas num 
ramo qualquer de um circuito para melhor entendermos as leis fundamentais dos 
circuito eléctricos, nomeadamente a lei de Ohm para um ramo e as leis de 
Kirchhoff. Já sabemos que um dos componentes dos circuitos eléctricos é a fonte 
de alimentação que fornece energia eléctrica aos restantes componentes do 
circuito. Em particular os receptores, estes absorvem ou consomem quase toda a 
energia fornecida pelas fontes. Desta forma teremos que falar da troca de energia 
entre os componentes dos circuitos eléctricos. 
No estudo dos circuitos de corrente contínua, a matemática e álgebra linear são 
duas ciências largamente utilizadas pois permitem escrever modelos matemáticos 
e calcular determinados parâmetros dos circuitos eléctricos. Para isso, vamos 
usar o sistema de equações lineares (esperamos que você se lembre dos 
métodos de substituição, de adição ordenada e misto), vamos usar matrizes de 
dimensões até 5x5 e vamos calcular determinantes das matrizes. Para o caso dos 
matizes e determinantes, vamos dar mais destaque a regra de Cramer. 
 
1.1.1.1.1.1.1.1. Circuitos de malhasCircuitos de malhasCircuitos de malhasCircuitos de malhas simples e múltiplas simples e múltiplas simples e múltiplas simples e múltiplas 
Na unidade didáctica 1 definimos os circuitos 
como sendo um conjunto dos componentes 
eléctricos interligados. Estes dividem-se em 
redes eléctricas constituídas por uma única via 
fechada denominada 
malha e por várias 
vias fechadas para a 
circulação da 
Observação reflectivaObservação reflectivaObservação reflectivaObservação reflectiva 
 
O que são malhas?O que são malhas?O que são malhas?O que são malhas? 
Contexto da experiência e da Contexto da experiência e da Contexto da experiência e da Contexto da experiência e da 
realidaderealidaderealidaderealidade 
 
Quando se fala de malha Quando se fala de malha Quando se fala de malha Quando se fala de malha 
pensamos logo em alguma pensamos logo em alguma pensamos logo em alguma pensamos logo em alguma 
grelha, uma rede qualquer, um grelha, uma rede qualquer, um grelha, uma rede qualquer, um grelha, uma rede qualquer, um 
polígono regular “hexágono”, polígono regular “hexágono”, polígono regular “hexágono”, polígono regular “hexágono”, 
uma grade ou um xadrez.uma grade ou um xadrez.uma grade ou um xadrez.uma grade ou um xadrez. 
Desenvolvimento dos conteúdosDesenvolvimento dos conteúdosDesenvolvimento dos conteúdosDesenvolvimento dos conteúdos 
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corrente eléctrica. 
Caro(a) estudante, observe a figura 2.0 a), que 
mostra um circuito de malha simples, constituída 
por uma força electromotriz E e uma resistor R , 
na qual todos os componentes conduzem a 
mesma corrente e a figura 2.0 b) mostra um 
circuito de malhas múltiplas, constituída por uma 
força electromotriz E e por 
várias resistores R . 
A figura 2.0 b) tem três malhas 
ou percursos fechados cujos 
contornos nós indicamos pelos 
números na sequência abaixo: 
1ª malha: 1, 2, 5, 6 e 1; 
2ª malha: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 1; 
3ª malha: 2, 3, 4, 5 e 2; 
 
Até aqui estamos juntos? Se não, volte a figura 2.0 b) e para cada uma das 
malhas do circuito, deve comparar com a sequência que apresentamos. Se 
estamos juntos, então continuamos. 
Cada uma destas malhas é constituída por dois ou mais 
ramos. Por exemplo, o circuito da figura 2.0 b) tem três 
ramos que estão ligados 
aos pontos 2 e 5, que nós 
indicamos pelos números: 
 
1º ramo: 5, 6, 1 e 2; 
2º ramo: 2, 3, 4 e 5; 
3º ramo: 2 e 5; 
ConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualização 
 
Malhas são percursos ou Malhas são percursos ou Malhas são percursos ou Malhas são percursos ou 
contornos fechados, que contornos fechados, que contornos fechados,que contornos fechados, que 
compõem uma recompõem uma recompõem uma recompõem uma rede eléctricade eléctricade eléctricade eléctrica. 
ConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualização 
 
Ramos (r) são trechos de Ramos (r) são trechos de Ramos (r) são trechos de Ramos (r) são trechos de 
um circuito, compreendido um circuito, compreendido um circuito, compreendido um circuito, compreendido 
entre dois nós entre dois nós entre dois nós entre dois nós 
consecutivos.consecutivos.consecutivos.consecutivos. 
 
Observação reflectivaObservação reflectivaObservação reflectivaObservação reflectiva 
 
O que são ramos?O que são ramos?O que são ramos?O que são ramos? 
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Em muitos circuitos pode acontecer que você 
encontre ramos que se cruzem, como os da 
figura 2.1 b) e não estejam ligados 
electricamente, como estão os da figura 2.1 a). Os ramos ligados electricamente 
são representados por um ponto mais negro na zona de cruzamento dos ramos. 
Dois ou mais ramos que se ligam electricamente 
num mesmo ponto formam um nó. Voltemos para 
o circuito da figura 2.0 b). Ele tem dois nós, 
indicados pelos números: 
1º nó: 2; 
2 nó: 5; 
 
Já sabemos o que é uma malha, um ramo e um 
nó. Vamos determinar alguns parâmetros eléctricos, como tensão num ramo. 
 
 
1.2.1.2.1.2.1.2. Tensão num ramo dTensão num ramo dTensão num ramo dTensão num ramo doooo circuito eléctrico circuito eléctrico circuito eléctrico circuito eléctrico 
 
Caro(a) estudante, para podermos determinar a tensão num ramo de um circuito 
eléctrico, vamos analisar a figura2.2 a) que mostra um ramo de um circuito 
eléctrico qualquer, constituído por um resistor R , que é percorrido por uma 
corrente contínua I , do terminal “a” ao terminal “b”. 
 
Portanto, o potencial em “a” que designamos por aϕ é mais 
alto que o potencial em “b” que designamos por bϕ , e a 
diferença destes dois potenciais ba ϕϕ − igual ao produto da 
corrente I pelo resistor R , isto é: 
 
IRba =− ϕϕ 
ConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualização 
 
Nó (N) é um ponto de Nó (N) é um ponto de Nó (N) é um ponto de Nó (N) é um ponto de 
interligação numa rede ou interligação numa rede ou interligação numa rede ou interligação numa rede ou 
malha onde três ou mais malha onde três ou mais malha onde três ou mais malha onde três ou mais 
ramos se encontram ramos se encontram ramos se encontram ramos se encontram 
ligadosligadosligadosligados 
A corrente num ramo qualquer circula de um terminal de potencial mais alto 
para um outro de potencial mais baixo. 
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IRba +=ϕϕ (eq 2.0 a) 
 
Por definição, tensão ou diferença de potencial 
entre dois pontos é: 
 
baabU ϕϕ −= (eq 2.0 b) 
 
mas se voltarmos a equação (2.0 a) e passarmos 
bϕ ao membro esquerdo teremos: 
 
IRba =−ϕϕ 
A parte esquerda da equação que acabamos de escrever é igual à parte direita da 
equação (2.0 b), então: 
 
IRUab = (eq 2.0 c) 
 
Por outras palavras: a tensão U nos terminais de um resistor R é igual ao 
produto da corrente I que o atravessa pelo valor óhmico desse mesmo resistor. 
 
Estamos juntos? Se não, volte ao início do ponto 1.2 e torne a ler para melhor 
perceber. Se sim, perfeito pois este é um grande ponto de partida. 
 
Na teoria da electricidade, a diferença de potencial (ddp) entre os terminais de um 
resistor abU é muitas vezes chamada tensão aplicada ao resistor e em outros 
casos é equiparada a uma queda de tensão no mesmo resistor. Nós vamos 
utilizar esta última expressão no decurso do módulo. 
 
NotaNotaNotaNota: O sentido positivo da queda de tensão num ramo de um circuito 
eléctrico (sempre mostrado por uma seta) coincide com o sentido positivo 
da corrente que atravessa o elemento de resistências. 
 
ConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualização 
 
Tensão num ramo de uma Tensão num ramo de uma Tensão num ramo de uma Tensão num ramo de uma 
malha é a diferença de malha é a diferença de malha é a diferença de malha é a diferença de 
potencial que existe entre potencial que existe entre potencial que existe entre potencial que existe entre 
dois pontos distintos desse dois pontos distintos desse dois pontos distintos desse dois pontos distintos desse 
ramo.ramo.ramo.ramo. 
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Vamos agora considerar a tensão através de um ramo de um circuito contendo 
simultaneamente um resistor R e uma força electromotriz E , transportando uma 
corrente I , como mostram as figuras 2.2 b) e 2.2 c). 
Para tornar as coisas 
mais simples, 
comecemos por calcular 
a diferença de potencial 
(ddp) entre os terminais 
“a” e “c” do circuito da 
figura 2.2 b). Como definimos na equação (2.0 b), a tensão acU será: 
 
caacU ϕϕ −= 
 
Vamos agora exprimir o potencial de “a” aϕ em função do potencial de “c” cϕ . 
Caminhemos juntos do ponto “c” para “b”, na figura 2.2 b). Neste percurso 
encontramos a força electromotriz E . Olhando para a figura 2.2 b) podemos ver 
que o potencial em “b” é mais baixo (veja que “b” está ligado ao terminal negativo 
da força electromotriz E e “c” ao terminal positivo, isto é, o sentido de E vai de 
“b” para “c”), deste modo sofre um acréscimo igual a E , se passarmos de “b” para 
“c”, isto é: 
bcE ϕϕ −= 
 
logo, definindo o potencial em “b” temos: 
 
Ecb −=ϕϕ (eq 2.1 a) 
 
Olhemos para a figura 2.2 c). Ao caminharmos de “c” para “b”, vamos no sentido 
da força electromotriz, sendo o potencial em “b” mais alto que em “c” (não 
esqueça que o sentido de E está orientado de “c” para “b”), continuando a 
diferença a ser E : 
 
Ecb +=ϕϕ (eq 2.1 b) 
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A corrente eléctrica num ramo de um circuito vai sempre de um terminal com 
potencial mais alto para outro de potencial mais baixo, então nos dois casos da 
figura 2.2, (b e c ), o terminal “a” está a um potencial mais alto que o terminal “b”, 
sendo essa diferença dada pela queda de tensão no resistor R , da equação 
(2.0a) 
 
IRba +=ϕϕ 
 
Já determinamos o potencial em “b”, na equação (2.1 a), portanto, para o circuito 
da figura 2.2 b, substituindo a equação (2.1 a) na equação (2.0 a) tem-se: 
 
IREca +−=ϕϕ (eq 2.2 a) 
 
e passando cϕ para o membro esquerdo podemos determinar a queda de tensão 
entre “a” e “c”: 
 
EIRU caac −=−= ϕϕ (eq 2.2 b) 
 
e para a figura 2.2 c), teremos: 
 
IREca ++=ϕϕ (eq 2.2 c) 
 
e a queda de tensão será dada por: 
 
EIRU caac +=−= ϕϕ (eq 2.2 d) 
 
Como podemos ver accaU ϕϕ −= e caacU ϕϕ −= , portanto, tendo como referência 
a corrente e conta que ela vai do potencial mais alto para o mais baixo, então 
podemos concluir que acca UU −= . Por outras palavras, a inversão da ordem das 
letras, implica uma inversão de polaridade da tensão, logo a tensão tanto pode 
ser positiva como negativa. 
 
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O sentido positivo da tensão nos esquemas é indicado por uma seta que deve 
apontar do terminal designado pela primeira letra do alfabeto (terminal com 
potencial mais alto) para o terminal designado pela segunda (terminal com 
potencial mais baixo). Logo o sentido positivo para acU é representado por uma 
seta apontando do ponto “a” para “b”, veja figura 2.2 b ou c. 
 
Agora que já sabemos calcular tensão num ramo ou diferença de potencial entre 
dois pontos de um ramo qualquer, vamos falar das leis fundamentais dos circuitos 
eléctricos, nomeadamente a lei de ohm para um ramo e as leis de Kirchhoff para 
um nó e uma malha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante! 
Depois da consideração que foi feita à volta da tensão num ramo de um circuito, 
verifique se percebeu a matéria, respondendo as questões que seguem. 
 
Seja dado o seguinte ramo de um circuitoeléctrico: 
 
 
 
a) Determine a expressão do potencial aϕ e da tensão entre os pontos “a” e 
“b” abU 
 
 
 
 
 
 
Experimentação activa (1)Experimentação activa (1)Experimentação activa (1)Experimentação activa (1) 
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1.3.1.3.1.3.1.3. Lei de Ohm para um ramoLei de Ohm para um ramoLei de Ohm para um ramoLei de Ohm para um ramo 
 
Cada um dos furos representa uma 
resistência eléctrica. Já vimos na unidade 
didáctica 1 que ela depende da estrutura 
física do material de que é construído. A 
quantidade de água que passa por cada furo equipara-se à corrente eléctrica que 
atravessa um resistor. 
Já vimos que os circuitos podem ter vários ramos, contendo ou não fontes de 
alimentação (fonte de tensão ou de corrente). 
O que vamos fazer agora é analisar um ramo sem e com força electromotriz para 
determinarmos matematicamente a lei de Ohm. 
 
A lei de Ohm para um ramo sem força electromotriz, como o da figura 2.2 a) 
relaciona a corrente com a tensão nos 
terminais: 
IRUab = 
 
Expressando a corrente em função da tensão 
e da resistência, tem-se: 
 
RR
U
I baab
ϕϕ −
== (eq 2.3 a) 
 
A lei de Ohm para ramo com força electromotriz , como o da figura 2.2 b) e c), dá 
a corrente que flui no ramo, de acordo com a diferença de potencial nos terminais 
( )ba ϕϕ − e com a força electromotriz que ele contém. Assim, resolvendo a 
ConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualização 
 
A resistência eléctrica de um A resistência eléctrica de um A resistência eléctrica de um A resistência eléctrica de um 
resisresisresisresistor é directamente tor é directamente tor é directamente tor é directamente 
proporcional à tensão aplicada proporcional à tensão aplicada proporcional à tensão aplicada proporcional à tensão aplicada 
ao seus terminais e ao seus terminais e ao seus terminais e ao seus terminais e 
inversamente proporcional à inversamente proporcional à inversamente proporcional à inversamente proporcional à 
corrente que o percorrecorrente que o percorrecorrente que o percorrecorrente que o percorre 
Contexto da experiência e da Contexto da experiência e da Contexto da experiência e da Contexto da experiência e da 
realidaderealidaderealidaderealidade 
 
Se tivermos um tambor de 25 Se tivermos um tambor de 25 Se tivermos um tambor de 25 Se tivermos um tambor de 25 
litros, cheio delitros, cheio delitros, cheio delitros, cheio de água e fizermos água e fizermos água e fizermos água e fizermos 
dois furos de diâmetros dois furos de diâmetros dois furos de diâmetros dois furos de diâmetros 
diferentes, veremos que o furo diferentes, veremos que o furo diferentes, veremos que o furo diferentes, veremos que o furo 
de maior diâmetro derrama mais de maior diâmetro derrama mais de maior diâmetro derrama mais de maior diâmetro derrama mais 
água que o de menor diâmetro.água que o de menor diâmetro.água que o de menor diâmetro.água que o de menor diâmetro. 
 
Observação reflectivaObservação reflectivaObservação reflectivaObservação reflectiva 
 
O quê representa cada furo? O quê representa cada furo? O quê representa cada furo? O quê representa cada furo? 
Que relação Que relação Que relação Que relação existe com a corrente existe com a corrente existe com a corrente existe com a corrente 
eléctrica? eléctrica? eléctrica? eléctrica? 
 
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equação (2.2 b) de modo a expressar a corrente em função da tensão e da 
resistência, teremos: 
 
R
EU
R
E
I acca
+
=
+−
=
ϕϕ (eq 2.3 b) 
 
De modo semelhante, para a equação (2.2 d) temos para a figura 2.2 c): 
 
R
EU
R
E
I acca
−
=
−−
=
ϕϕ (eq 2.3 c) 
 
No caso geral, por fusão das equações (2.3 b) e (2.3 d): 
 
( )
R
EU
R
E
I acca
±
=
±−
=
ϕϕ (eq 2.4) 
 
A equação (2.4) é a expressão matemática da lei de Ohm para um ramo que 
contenha força electromotriz. O sinal “+” antes de E aplica-se no caso da figura 
2.2 b) porque o sentido da corrente I coincide com E e o sinal “-” no caso da 
figura 2.2 c). No caso especial, quando 0=E , a equação (2.4) reduz-se a 
equação (2.3). 
Vamos resolver um exemplo com aplicação da lei de Ohm 
 
 Exemplo 1:Exemplo 1:Exemplo 1:Exemplo 1: 
Há um voltímetro ligado aos terminais “a” e “c” do circuito da figura 2.4. A 
resistência interna do voltímetro é tão grande (teoricamente e 
infinitamente grande) que não produz qualquer efeito sobre o 
circuito. Quando uma corrente de 10A fluí de “a” par “c”, no 
voltímetro lê-se Uac=-18V. Quando a mesma corrente de 10A 
fluí de “c” para “a”, no voltímetro lê-se Uac=-20V. Determinar 
a resistência R e a força electromotriz E . 
 
Para resolver o problema vamos rescrever o circuito nas duas situações ou casos 
colocados. O primeiro caso é aquele que se dá quando a corrente de 10 amperes 
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fluí de “a” para “c”, e no voltímetro lê-se Uac=-18V e o segundo caso é aquele que 
se dá quando a mesma corrente fluí de “c” para “a”, no voltímetro lê-se Uac=-20V: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculemos a diferença de potencial 
entre os terminais “b” e “c”: 
 
EE cbcb −=⇒−=− ϕϕϕϕ ; (1) 
 
Vamos calcular a diferença de potencial 
entre “a” e “b”: 
 
baba IRIR ϕϕϕϕ +=⇒=− ; (2) 
Calculemos a diferença de potencial entre 
os terminais “b” e “c”: 
 
EE cbcb −=⇒−=− ϕϕϕϕ ; (1) 
 
Vamos calcular a diferença de potencial 
entre “a” e “b”: 
 
baba IRIR ϕϕϕϕ +−=⇒−=− ; (2) 
Substituindo o potencial de “b” da equação 
(2) pelo calculado na equação (1), temos: 
 
EIREIR caca −=−⇒−+= ϕϕϕϕ ; (3) 
 
Por definição sabe-se que: 
 
acca U=− ϕϕ 
 
Logo: 
 
EIRU ac −=′ (4) 
Substituindo o potencial de “b” da equação 
(2) pelo calculado na equação (1), temos: 
 
EIREIR caca −−=−⇒−+−= ϕϕϕϕ ; (3) 
 
Por definição sabe-se que: 
 
acca U=−ϕϕ 
 
Logo: 
 
EIRU ac −−=′′ (4) 
 
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Vamos agora substituir os valores das leituras do voltímetro e da corrente nas 
equações (4) do exemplo, obtemos: 
 
 1º caso 2º caso 
1810
1018´
−=−
−=−=−=
ER
EREIRUac 
2010
1020´´
−=−−
−−=−−=−=
ER
EREIRUac 
 
Analisando as duas equações resultantes, é fácil constatar que em ambos os 
casos existem duas incógnitas, nomeadamente R e E . Isto leva-nos a um 
sistema de duas equações de duas incógnitas: 
 
 
 
Resolvendo o sistema de equações pelo método de adição ordenada, teremos: 
 
 
 
Substituindo o valor de E em uma das duas equações do sistema, tomos: 
Ω=
Ω=
=
−=−
−=−
1.0
10
1
110
181910
1810
R
R
R
R
ER
 
 
 Os resultados são: E =19V e R=0,1Ω. 
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Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante! 
Depois da consideração que foi feita à volta da lei de Ohm para um ramo de um 
circuito, verifique se percebeu a matéria, respondendo a questão que se segue. 
 
Seja dado o seguinte ramo de um circuito eléctrico da figura 2.5: 
 
 
a) Determine a corrente eléctrica I . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Experimentação activa (2)Experimentação activa (2)Experimentação activa (2)Experimentação activa (2) 
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1.4.1.4.1.4.1.4. Leis de Leis de Leis de Leis de KirchhoffKirchhoffKirchhoffKirchhoff 
 As leis de Kirchhoff permitem analisar e determinar os valores e sentidos das 
correntes e das tensões para qualquer dispositivo 
dos circuitos eléctricos de qualquer grau de 
complexidade. Elas são o alicerce de toda a 
analise das redes eléctricas. 
Kirchhoff formulou duas leis, que passamos a 
enunciar: 
A primeira leiA primeira leiA primeira leiA primeira lei (também conhecida por “lei das 
correntes” ou “lei dos nós” ) de Kirchhoff pode ser enunciada de duas maneiras, 
nomeadamente: 
 
1 – A soma algébrica das correntes que fluempara a derivação ou nó de 
um circuito é igual a zero. 
 
0
1
=∑
=
n
i
iI (eq 2.5 a) 
 
2 – A corrente total que entra em qualquer derivação (ou nó) de um circuito 
é igual à corrente total que sai ou deixa essa derivação (ou nó). 
 
∑ ∑
= =
=
n
i
k
j
ji II
1 1
 (eq 2.5 b) 
 
Olhemos para a figura 2.6 a) 
 
Contexto da realidade e da Contexto da realidade e da Contexto da realidade e da Contexto da realidade e da 
experiênciaexperiênciaexperiênciaexperiência 
 
Todo e qualquer circuito Todo e qualquer circuito Todo e qualquer circuito Todo e qualquer circuito 
eléctrico obedecem às eléctrico obedecem às eléctrico obedecem às eléctrico obedecem às 
duas leis de duas leis de duas leis de duas leis de KirchhoffKirchhoffKirchhoffKirchhoff.... 
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Se partirmos do acordo de que as correntes que entram num nó são positivas e 
todas as que saem ou deixam são negativas, resulta do primeiro enunciado da lei 
de Kirchhoff (equação 2.6 a) que: 
 
04321 =−−− IIII 
 
e do segundo enunciado da 1ª lei de Kirchhoff (equação 2.6 b): 
 
4321 IIII ++= 
 
Naturalmente a lei das correntes de Kirchhoff implica que não pode haver 
acumulação de cargas eléctricas em qualquer derivação (nó) de um circuito. 
 
A segunda leiA segunda leiA segunda leiA segunda lei (“lei das tensões” ou “lei das malhas”) pode do mesmo modo ser 
enunciada de duas maneiras: 
 
1 – O total das quedas de tensão à volta de um circuito fechado (malha) é 
igual à soma das forças electromotrizes no mesmo sentido à volta 
desse circuito fechado (malha): 
 
 ∑ ∑= EIR (eq 2.6 a) 
 
As quedas de tensão e as forças electromotrizes entram na respectiva soma com 
sinal positivo (+) se os sentidos coincidem com o atribuído à circulação em volta 
do circuito e com o sinal negativo (–) se não coincidem. 
 
2 – A soma algébrica das tensões à volta de qualquer circuito fechado é 
igual a zero: 
 
∑ = 0hU (eq 2.6 b) 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 19 
Voltemos ao circuito da figura 2.6 b). Para a malha (a e c d a), recorrendo a 
equação (2.6 b) temos: 
 
0=+++ dacdecae UUUU 
 
Exemplo:Exemplo:Exemplo:Exemplo: 
Vamos escrever as equações à base das 2ª lei de Kirchhoff para o circuito da figura 2.7 a) 
 
 
Primeiro, temos que escolher e indicar 
arbitrariamente o sentido de circulação na malha. 
O sentido de circulação está na figura 
representada pela letra maiúscula “A” (você pode 
usar outras letras). Isto significa que todas as 
grandezas ( I , U e E ) cujos sentidos coincidem 
com o da circulação na malha “A”, terão sinal 
positivo e as que não coincidem, terão sinal 
negativo. 
 
Agora vamos escrever o primeiro enunciado da 2ª lei de Kirchhoff para a malha a, 
b, c, a da figura 2.7 a): 
 
21332211 EERIRIRI +−=−+ 
 
 
LembreLembreLembreLembre----se que num membse que num membse que num membse que num membro colocamos o somatório das quedas de tensão e ro colocamos o somatório das quedas de tensão e ro colocamos o somatório das quedas de tensão e ro colocamos o somatório das quedas de tensão e 
no outro o somatório da forças electromotrizes.no outro o somatório da forças electromotrizes.no outro o somatório da forças electromotrizes.no outro o somatório da forças electromotrizes. 
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Eng. Vithor Nypwipwy 20 
Os produtos 11RI e 22RI e a força electromotriz 2E têm sinais positivos porque os 
sentidos das correntes 1I e 2I e da força electromotriz 2E coincidem com o de 
circulação na malha “A”, enquanto que o produto 33RI e a 1E tem sinais negativos 
porque o sentido da corrente 3I e da 1E não coincidem com o de circulação na 
malha “A”. 
Para melhor compreensão, vamos fazer a análise do circuito juntos. Comecemos 
por colocar o circuito e o modelo matemático do primeiro enunciado da 2ª lei de 
Kirchhoff lado a lado, 
pois assim é fácil fazer 
a análise: O modelo 
relaciona quedas de 
tensão (produtos IR ) e 
forças electromotrizes 
( E ). Para que 
possamos ter as 
quedas de tensão, 
temos que indicar arbitrariamente o sentido das correntes que fluem em cada um 
dos ramos, segundo a 1ª lei de Kirchhoff, pois são essas que provocam as 
quedas de tensão nos resistores. Não devemo nos esquecer de marcar ou 
assinalar os nós, 
porque isso facilita o 
nosso posicionamento 
no circuito. 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 21 
Então, marquemos primeiro os sentidos das correntes que fluem em cada ramo. 
Talvez para uma questão de 
facilidades no tratamento dos 
dados seja melhor que os 
sentidos das correntes e das 
forças electromotrizes do 
mesmo ramo coincidam. 
Temos que continuar junto do 
modelo matemático: Uma vez 
indicados os sentidos das 
correntes nos ramos, temos que dar nome a malha, por exemplo “A” e indicar 
também o sentido de circulação no interior da mesma ( ): 
A malha “A” tem três nós (a, b, c) que ligam três ramos (ab, bc, e ca). Vamos 
começar a escrever a parte esquerda do modelo matemático, partindo do nó “a”, 
ramo “ab”, ramo “bc”, ramo “ca” e depois da volta completa terminamos no nó “a”, 
o que significa que temos o circuito fechado: 
 
No ramo “ab” circula a corrente 
2I , que provoca uma queda de 
tensão no resistor 2R . Uma vez 
que a corrente 2I tem um 
sentido que coincide com o 
sentido de circulação na malha, 
então a queda de tensão no 
elemento 2R será positiva: 
 
22RI 
 
Terminamos o ramo “ab” e 
entramos de seguida para o 
ramo “bc”, onde fluí a corrente 
3I que provoca uma queda de 
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Eng. Vithor Nypwipwy 22 
tensão no resistor 3R . O sentido da corrente 3I é oposto ao sentido de circulação 
na malha “A”, logo a queda de tensão no elemento 3R terá sinal negativo: 
 
3322 RIRI − 
 
Terminamos o ramo “bc” e 
entramos automaticamente para o 
ramo “ca”, onde circula a corrente 
1I que provoca uma queda de 
tensão no elemento 1R . O sentido 
da corrente 1I coincide com o de 
circulação na malha “A”, logo a 
queda de tensão no elemento 1R 
terá sinal positivo: 
 
113322 RIRIRI +− 
 
Terminado o ramo “ca”, voltamos logo ao nó de origem “a”, o que significa que 
terminamos com a parte esquerda do modelo matemático. Agora vamos escrever 
a parte direita, partindo do mesmo nó “a” em direcção ao ramo “ab”, onde 
encontramos a força electromotriz 2E cujo sentido coincide com o de circulação 
na malha. Assim a 2E terá sinal positivo: 
 
2113322 ERIRIRI =+− 
 
Saímos do ramo “ab” e entramos para o ramo “bc”. É fácil constatar que neste 
ramo não existe força electromotriz. Abandonamos o ramo “bc” e entramos de 
seguida para o ramo “ca”, que tem uma força electromotriz 1E cujo sentido não 
coincide com o sentido de circulação na malha, então ela terá sinal negativo: 
 
12113322 EERIRIRI −=+− 
 
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Terminamos no nó “a”. E assim está escrito o modelo matemático para o primeiro 
enunciado da 2ª lei de Kirchhoff para o circuito da figura 2.7 a). 
 
Vamos agora fazer a mesma análise para escrever o modelo matemático para o 
segundo enunciado da 2ª lei de Kirchhoff para o mesmo circuito da figura 2.7 a). 
Temos que representar as 
tensões nos terminais das forças 
electromotrizes, as correntes nos 
ramos e o sentido de circulação 
na malha “A” e sem 
esquecermos o modelo 
matemático do segundo 
enunciado da 2ª lei de Kirchhoff: 
Entrando pelo nó “a” para o ramo “ab” temos: 
 
222 URI − 
 
A tensão 2U tem sinal negativo porque o seu sentido é oposto ao de circulação na 
malha “A”. Continuando pelo ramo “bc” teremos: 
 
33222 RIURI −− 
 
Não nos devemos esquecer que a corrente 3I é oposto ao sentido de circulação 
na malha, logo a queda de tensão no elemento 3R terá sinal negativo. 
Por fim encontramos o ramo “ca”, 
 
011133222 =++−− URIRIURI 
 
Rescrevendo teremos: 
 
011332221 =+−+− RIRIRIUUINSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 24 
Desta maneira escrevemos a equação que traduz o modelo matemático para o 
segundo enunciado da 2ª lei de Kirchhoff. 
 
O 2º exemplo será escrever o modelo matemático da 2ª lei de Kirchhoff para o 
circuito da figura2.7 b). O circuito tem três malhas, nomeadamente malha “aecba”, 
malha “abcda” e malha “aecda”. 
Vamos escolher aleatoriamente duas malhas: “abcda” cujos componentes são 
2211 ,,, EeRER e “aecba” cujos componentes são 2243 ,,, EeRRR . Para 
escrevermos o modelo matemático da segunda lei de Kirchhoff . A terceira malha 
“aecda” cujos componentes são 4311 ,,, ReRER será feita por você. 
 
Indicamos arbitrariamente o sentido das correntes que fluem em cada uma dos 
ramos das malhas escolhidas, de modo que seja satisfeita a 1ª lei de Kirchhoff e 
escolhemos também arbitrariamente os sentidos de circulação nas mesmas 
malhas. Nós propomos que a escolha do sentido da circulação nas malhas seja o 
horário, mas você pode escolher o anti-horário. 
 
Então ficamos com duas malhas , indicadas pelos contornos “abcda” e “aecba”, 
com as circulações de malha indicados pelas letras “A” e “B” respectivamente. 
 
 
 
 
Cada circulação deveCada circulação deveCada circulação deveCada circulação deve----se representar por uma letra maiúscula ou por numeração se representar por uma letra maiúscula ou por numeração se representar por uma letra maiúscula ou por numeração se representar por uma letra maiúscula ou por numeração 
romana, sendo nesta última exigida muitíssima atenção (se você nomeia uma romana, sendo nesta última exigida muitíssima atenção (se você nomeia uma romana, sendo nesta última exigida muitíssima atenção (se você nomeia uma romana, sendo nesta última exigida muitíssima atenção (se você nomeia uma 
circulação circulação circulação circulação IIII e uma corrente e uma corrente e uma corrente e uma corrente IIIIxxxx é muito fácil conf é muito fácil conf é muito fácil conf é muito fácil confundir estas representações no undir estas representações no undir estas representações no undir estas representações no 
tratamento dos dados).tratamento dos dados).tratamento dos dados).tratamento dos dados). 
 
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Os resultados que esperamos são: 
 
Malha “abcda” 
212211 EERIRI +=− 
Malha “aecba” 
( ) 243322
2433322
ERRIRI
ERIRIRI
−=++
−=++
 
 
Vamos escrever o modelo matemático para o primeiro enunciado da 2ª lei de 
Kirchhoff. Para que isso se torne fácil, vamos colocar o circuito com a indicação 
da malha que vamos analisar e do outro lado a fármula geral ou modelo 
matemático do primeiro enunciado da 2ª lei de Kirchhoff. 
 
Vamos escrever o membro esquerdo do modelo matemático. Partindo do ramo 
“cda”, encontramos a 
corrente 1I que provoca 
uma queda de tensão 
11RI no elemento 1R 
cujo sentido da corrente 
coincide com o sentido 
de circulação na malha 
“A”, logo a queda de tensão terá sinal positivo: 
 
11RI 
 
Entrando para o ramo “abc” encontramos a corrente 2I que provoca uma queda 
de tensão 22RI no elemento 2R . O sentido da corrente 2I é oposto ao sentido da 
circulação na malha, logo a queda de tensão terá sinal negativo: 
 
2211 RIRI − 
 
Vamos agora escrever o membro direito do modelo matemático. 
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No ramo “cda”, encontramos a força electromotriz 1E cujo sentido coincide com o 
da circulação na malha, logo a 1E terá sinal positivo: 
 
12211 ERIRI =− 
 
Entrando para o ramo “abc” e encontramos a força electromotriz 2E cujo sentido 
coincide com o da circulação na malha “A”, logo a 2E terá sinal positivo. Assim o 
modelo matemático para a malha “abcda “será: 
 
212211 EERIRI +=− 
 
Entremos para a malha “aecba”: 
Vamos escrever o membro esquerdo do modelo matemático. Partindo do ramo 
“cba”, encontramos a 
corrente 2I que 
provoca uma queda 
de tensão 22RI no 
elemento 2R cujo 
sentido da corrente 
coincidem com o 
sentido de circulação 
na malha, logo a queda de tensão terá sinal positivo: 
 
22RI 
 
Entrando para o ramo “aec” encontramos a corrente 3I que provoca uma quedas 
de tensão 33RI e 43RI no elemento 3R e 4R respectivamente, cujo sentido da 
corrente coincidem com o da circulação na malha “B”, logo as quedas de tensão 
terão sinais positivos: 
( )43322 RRIRI ++ 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 27 
Vamos agora escrever o membro direito do modelo matemático. No ramo “abc” 
encontramos a força electromotriz 2E cujo sentido não coincide com o da 
circulação na malha “B”, logo a 2E terá sinal negativo. Assim o modelo 
matemático para a malha “aecba” será: 
 
( ) 243322 ERRIRI −=++ 
 
É desta maneira que se escrevem modelos matemáticos a partir das leis de 
Kirchhoff. 
 
Já dissemos anteriormente que as fontes de alimentação proporcionam energia 
eléctrica aos circuitos. Será que a energia eléctrica fornecida por essas fontes de 
alimentação é igual à energia que é absorvida pelos receptores eléctricos? 
Vamos ver como se fazem as trocas de energia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 28 
 
 
 
 
Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante! 
Depois da consideração que foi feita à volta das leis de Kirchhoff para os nós e 
para as malhas de um circuito, verifique se percebeu a matéria, respondendo a 
questão que se segue. 
 
Seja dado o seguinte circuito eléctrico da figura 2.8: 
 
 
 
a) Escreva a 1ª lei de Kirchhoff para os nós “a”, “b”, “c” e “d” do circuito; 
b) Escreva a 2ª lei de Kirchhoff para as malhas “A”, “B” e “C” do circuito; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Experimentação activa (3)Experimentação activa (3)Experimentação activa (3)Experimentação activa (3) 
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Eng. Vithor Nypwipwy 29 
1.5.1.5.1.5.1.5. Troca de energia nos circTroca de energia nos circTroca de energia nos circTroca de energia nos circuitos eléctricos uitos eléctricos uitos eléctricos uitos eléctricos 
 
O facto da corrente percorrer elementos resistivos isso provoca a dissipação de 
energia.Com base na lei de conservação de 
energia, esta energia dissipada tem que entrar no 
circuito através de determinados elementos 
geradores. 
 Num circuito eléctrico qualquer, quando a 
corrente I tem o mesmo sentido que E, a fonte 
fornece energia ao circuito, e a quantidade de 
energia fornecida ( ou potência IE * em watts), 
entra na equação que rege as trocas de energia 
com sinal positivo “+”. Quando o sentido da I é 
contrário ao da E, a fonte absorve energia do 
circuito (por exemplo, quando uma bateria esta à 
carga), ficando esta (ou produto IE * ) com sinal 
negativo “-“ na equação da troca de energia. 
Quando num circuito operam unicamente 
geradores de tensão, a potência fornecida fP a 
esse circuito será: 
 
IEPf *= 
 
e a potência dissipada dP pelos componentes resistivos do circuito será: 
 
RIP
entãoRIUmas
IUP
d
d
*
*
*
2=
=
=
 
 
 Os circuitos complexos apresentam mais de uma fonte de tensão e vários 
resistores. Sendo assim, a equação que rege a troca de energia será em função 
do somatório de toda potência dissipada e de toda potência fornecida: 
ConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualização 
 
A quantidade de energia A quantidade de energia A quantidade de energia A quantidade de energia 
fornecida a um circuito fornecida a um circuito fornecida a um circuito fornecida a um circuito 
deve ser igual à deve ser igual à deve ser igual à deve ser igual à 
quantidade de energia quantidade de energia quantidade de energia quantidade de energia 
por este dissipada.por este dissipada.por este dissipada.por este dissipada. 
Contexto da experiência e Contexto da experiência e Contexto da experiência e Contexto da experiência e 
da realidadeda realidadeda realidadeda realidade 
 
A forma como um elemento Aforma como um elemento A forma como um elemento A forma como um elemento 
do circuito opera, depende do circuito opera, depende do circuito opera, depende do circuito opera, depende 
essencialmessencialmessencialmessencialmente do sentido ente do sentido ente do sentido ente do sentido 
da corrente da corrente da corrente da corrente IIII relativamente relativamente relativamente relativamente 
à força electromotriz à força electromotriz à força electromotriz à força electromotriz EEEE.... 
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Eng. Vithor Nypwipwy 30 
 
∑∑
==
=
m
j
f
n
k
d jk
PP
11
 
 
Fazendo substituição: 
 
∑ ∑
= =
=
n
k
m
j
jjkk IERI
1 1
2 (eq 2.7 a) 
 
Se o circuito tiver também geradores de corrente e houver correntes a entrarem 
ou a saírem dos nós, a equação que traduz as trocas de energia tem que conter 
termos que representam a energia devida aos geradores de corrente. Supondo 
que a corrente iJ de um gerador de corrente entra no nó “a” seguindo até ou nó 
“b”. A potência fornecida pelo gerador de corrente é iab JU i e a equação das 
trocas de energia será: 
 
∑ ∑∑
= ==
+=
n
k
l
i
iab
m
j
jjkk JUIERI i
1 11
2 (eq 2.7 b)) 
 
Estes dois modelos matemáticos (eq 2.7 a) e (eq 2.7 b) permitem fazer o balanço 
de energia entre as fontes e os receptores. 
 
Nos circuitos onde devemos fazer o balanço de potência será frequente 
encontrarmos um ramo com mais de um resistor (circuito série) ou conjunto de 
ramos ligados a dois nós (circuito paralelo). 
 
 
1.6.1.6.1.6.1.6. Particularidades dParticularidades dParticularidades dParticularidades dosososos circuito circuito circuito circuitossss 
 
Dependendo do tipo de ligação, os circuitos podem ter os receptores ligados em 
série, paralelo, estrela, triângulo e mais. Nesta unidade didáctica, vamos apenas 
particularizar as ligações série e paralelo. Em relação as ligações estrela e 
triângulo, falaremos na unidade didáctica 3. 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 31 
1.6.1.1.6.1.1.6.1.1.6.1. Circuito série Circuito série Circuito série Circuito série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. A corrente total é a mesma ao longo de todos os resistores ligados em 
série, de acordo com a 1ª lei de Kirchhoff. 
 
2. A tensão aplicada a um agrupamento de resistores em série é a soma das 
tensões de cada resistor associada, de acordo com a 2ª lei de Kirchhoff: 
 
43214321 IRIRIRIRUUUUU +++=+++= 
 
3. A resistência equivalente de um agrupamento de resistores em série é a 
soma das resistências associadas: 
 
( )
∑
=
=
+++=
=+++
=+++=
n
i
ieq
eq
eq
eq
RR
RRRRR
IRRRRRI
IRUIRIRIRIRU
1
4321
4321
4321 ;
 
 
 
ConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualização 
 
Dois ou mais resistores estão Dois ou mais resistores estão Dois ou mais resistores estão Dois ou mais resistores estão 
ligadas em série quando estão em ligadas em série quando estão em ligadas em série quando estão em ligadas em série quando estão em 
sequência e não existe derivação sequência e não existe derivação sequência e não existe derivação sequência e não existe derivação 
em pontos intermédios.em pontos intermédios.em pontos intermédios.em pontos intermédios. 
 
O circuito série caracteriza-se pela 
ligação por apenas um ponto entre 
cada resistor (esse ponto não é nó). 
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4. No circuito série, as tensões são directamente proporcionais às 
resistências: 
2
1
2
1
2
2
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1
R
R
U
U
ou
R
U
R
U
I
R
U
R
U
R
U
R
U
==
====
 
 
Divisor de tensão: 
 
21
11
1
1
1 **
RR
R
U
R
R
UU
R
U
R
U
eqeq +
==⇒= 
 
 
 
 
1.6.2.1.6.2.1.6.2.1.6.2. C C C Circuito paraleloircuito paraleloircuito paraleloircuito paralelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualização 
 
Dois ou mais resistores estão Dois ou mais resistores estão Dois ou mais resistores estão Dois ou mais resistores estão 
agrupadas em paralelo quando os agrupadas em paralelo quando os agrupadas em paralelo quando os agrupadas em paralelo quando os 
seus inícios estão ligados entre si seus inícios estão ligados entre si seus inícios estão ligados entre si seus inícios estão ligados entre si 
e os seus fins também entre si, e os seus fins também entre si, e os seus fins também entre si, e os seus fins também entre si, 
isto é, estão ligadas de tal forma isto é, estão ligadas de tal forma isto é, estão ligadas de tal forma isto é, estão ligadas de tal forma 
que a mesma tensão está aplicada que a mesma tensão está aplicada que a mesma tensão está aplicada que a mesma tensão está aplicada 
aos terminais de cada resistoraos terminais de cada resistoraos terminais de cada resistoraos terminais de cada resistor. 
O circuito paralelo caracteriza-se 
pela ligação por dois pontos entre 
cada resistor (esses pontos são 
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Eng. Vithor Nypwipwy 33 
1. A tensão entre os terminais de cada resistência é a mesma, de acordo com 
a 2ª lei de Kirchhoff. 
 
UUUU ==== ...321 
 
 
2. A corrente total é a soma das correntes associadas, de acordo com a 1ª lei 
de Kirchhoff: 
 
4321
4321 R
U
R
U
R
U
R
U
IIIII +++=+++= 
 
 
3. A condutância equivalente a um agrupamento paralelo é a soma das 
condutâncias associadas: 
 
;
1
11111
;
0
4321
4321
4321
4321
4321
eq
eq
n
i
ieq
eq
eq
eq
eq
g
RgG
GGGGG
RRRRR
R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
I
R
U
R
U
R
U
R
U
IIIII
=⇒=
+++=⇒+++=
=+++
=+++=+++=
∑
=
 
 
 
4. As correntes nos ramos ligados em paralelo são inversamente 
proporcionais às resistências respectivas: 
 
1
2
2
1
2211
44332211
R
R
I
I
ouRIRI
IRRIRIRIRIU eq
==
=+++=
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 34 
Divisor de corrente 
eqIRRIRIU === 2211 
 
 
 
 
21
1
2
21
2
1 *;* RR
R
II
RR
R
II
+
=
+
= 
 
 
 
 
1.7.1.7.1.7.1.7. Regra de CramerRegra de CramerRegra de CramerRegra de Cramer 
Um método fácil de entender para resolver sistema de equações é a Regra de 
Cramer. É fácil porque envolve apenas determinantes e portanto é bastante 
prático para sistemas com um número pequeno (2, 3 ou 4) de equações. 
Nós, só iremos aplicar a Regra de Cramer a sistemas de equações “quadrados”, 
isto é, sistemas cujo número de equações é igual ao número de incógnitas. As 
matrizes que vamos utilizar como exemplo terão as dimensões 3x3. 
 
 
Você pode exercitar com outras matrizes de 2x2 ou 4x4. 
Consideremos um sistema de equações na forma matricial: 
 
ERI= 
 
 
 Figura 2.12 
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Eng. Vithor Nypwipwy 35 
Fazendo da matriz dos coeficientes (resistores) “R”, uma matriz quadrada de 
dimensões 3x3, “I” uma matriz de incógnitas (correntes) de dimensão 1x3 e “E” 
uma matriz de termos independentes (forças electromotrizes) de dimensão1x3, 
teremos: 
 










=




















=










=










=










=
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
.
;;
e
e
e
I
I
I
rrr
rrr
rrr
ERI
e
e
e
E
I
I
I
I
rrr
rrr
rrr
R
 
 
Fazendo o produto RI teremos o sistema de equações igual ao que obteremos 
nos diferentes métodos de análise de circuitos: 
 





=++
=++
=++
3333232131
2323222121
1313212111
eIrIrIr
eIrIrIr
eIrIrIr
 
 
seja j∆ a matriz que se obtém pela substituição da coluna j da matriz de 
coeficientes R pela matriz de termos independentes E . A solução da incógnita jI 
será dada por: 
R
I jj det
det∆
= 
 
onde j varia de 1 até à dimensão da coluna. 
 
Exemplo:Exemplo:Exemplo:Exemplo: 
Seja dado o seguinte sistema: 





=+−
=+−
=−+
144
232
5232
321
321
321
III
III
III
 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 36 
 





==









=




















−
−
−





=+−
=+−
=−+
ERI
I
I
I
III
III
III
1
2
5
.
414
321
232
144
232
5232
3
2
1
321
321
321
 
 
De que resulta que: 










=










−
−
−
=∆=
1
2
5
414
321
232
ER 
 
Como a matriz R é de 3x3, então teremos três matrizes j∆ : 
1∆ que se obtém pela substituição da coluna 1 da matriz R pela matriz E; 
2∆ que se obtém pela substituição da coluna 2 da matriz R pela matriz E; 
3∆ que se obtém pela substituição da coluna 3 da matriz R pela matriz E: 
 










−
−=∆









 −
=∆










−
−
−
=∆
114
221
532
414
321
252
411
322
235
321 
 










−
−
−










−
−
=
∆
∆
=










−
−
−









 −
=
∆
∆
=










−
−
−










−
−
−
=
∆
∆
=
414
321
232
114
221
532
414
321
232
414
321
252
414
321
232
411
322
235
3
3
2
2
1
1 III 
 
Determinante de uma matriz 3 × 3: 
Seja dado a matriz 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A A diagonal principal desta matriz tem os 
elementos 332211 aaa : 
 
( )
( ) 




++
−++
=
122133112332132231
322113312312332211
******
******
det
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
A 
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Eng. Vithor Nypwipwy 37 
 
 
 
 
 
Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante! 
Depois da consideração que foi feita à volta da regra de Cramer, verifique se 
percebeu a matéria. 
 
Seja dado os seguintes sistemas de equações: 
 





=++
=+−−
=−+
12
02
12
)
321
321
321
III
III
III
a 





=−+
=++−
=−+
144
232
5232
)
321
321
321
III
III
III
b 
 
Resolva usando a regra de Cramer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Experimentação activa (4)Experimentação activa (4)Experimentação activa (4)Experimentação activa (4) 
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Eng. Vithor Nypwipwy 38 
2.2.2.2. ANÁLISE DE CIRCUITOS COMPLEXOSANÁLISE DE CIRCUITOS COMPLEXOSANÁLISE DE CIRCUITOS COMPLEXOSANÁLISE DE CIRCUITOS COMPLEXOS 
Analisar um circuito significa encontrar ou determinar e em alguns casos, se 
necessário, medir todos os parâmetros eléctricos que permitem perceber e 
entender o funcionamento normal dos circuitos. Nesta unidade didáctica, nós 
vamo-nos concentrar a determinar ou calcular as correntes dos ramos ou das 
malhas, as tensões ou quedas de tensão nos distintos componentes, os 
potenciais dos nós, as potências dissipadas pelos componentes e fornecidas 
pelas fontes. Para que esta actividade se torne fácil, vamos usar maioritariamente 
as leis de Kirchhoff e de Ohm. 
Para a análise, nós vamos propor cinco (5) métodos, mas você pode investigar 
outros: 
• Método das leis de Kirchhoff; 
• Método de malhas independentes; 
• Método de sobreposição; 
• Método de análise nodal; 
• Método de Thevenin; 
 
 
2.1.2.1.2.1.2.1. Método das leis de Método das leis de Método das leis de Método das leis de KirchhoffKirchhoffKirchhoffKirchhoff 
Este método é baseado nas leis de Kirchhoff. As duas leis de Kirchhoff são 
escritas uma de cada vez e as equações resultantes são agrupadas de modo a 
obter-se um sistema de equações, que vai permitir calcular directamente as 
correntes desconhecidas. A aplicação deste método obedece um algoritmo. 
 
Algoritmo:Algoritmo:Algoritmo:Algoritmo: 
1º. Determinar o número total de nós (N), o número total de ramos (r) e o 
número de ramos com fonte de corrente (rc) no circuito; 
 
2º. Marcar arbitrariamente os sentidos das correntes nos ramos; 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 39 
3º. Determinar o número de modelos matemáticos ou equações, a serem 
escritas pela 1ª lei da Kirchhoff. O número de modelos matemáticos ou 
equações é dado pelo número de nós (N) menos um (1): 
 
 1−N (eq 2.9 a) 
 
4º. Escrever os modelos matemáticos da 1ª lei de Kirchhoff, cujo número foi 
determinada pela equação 2.9 a); 
 
5º. Determinar o número de modelos matemáticos ou equações, a serem 
escritas pela 2ª lei da Kirchhoff. O número de modelos matemáticos ou 
equações é dado pela diferença entre o número total de ramos (r) e o 
número de ramos com fonte de corrente ( )cr e o número de nós (N) 
menos um (1): 
 
 ( ) ( )1−−− Nrr c (eq 2.9 b) 
 
6º. Marcar arbitrariamente os sentidos de circulação nas malhas. Deve 
escolher o mesmo sentido de circulação para todas as malhas; 
 
7º. Escrever os modelos matemáticos da 2ª lei de Kirchhoff, cujo número foi 
determinada equação 2.9 b). 
 
 
 
 
 
8º. Escrever o sistema de equações a partir das equações escritas nos 
pontos 4º e 7º; 
 
9º. Resolver o sistema de equações, obtido no ponto 8º e determine as 
correntes; 
Cada malha escolhida não deve conter nenhuma fonte de correnteCada malha escolhida não deve conter nenhuma fonte de correnteCada malha escolhida não deve conter nenhuma fonte de correnteCada malha escolhida não deve conter nenhuma fonte de corrente 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 40 
10º. Com as correntes calculadas no ponto 9º, determinar as tensões nos 
terminais dos resistores (produto xxRI ). 
 
11º. Se a corrente, num determinado ramo for negativa, significa que na 
realidade o sentido da corrente é oposto; 
 
12º. Fazer a prova das soluções usando a equação das potências fornecidas e 
consumidas (Balanço de potência). 
 
 
Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2: 
Vamos analisar o circuito da figura 2.7 b) 
 
 
Começamos por indicar: 
• Número total de nós: N=2; 
• Número total de ramos: r=3; 
• Número de ramos com fonte de corrente; rc=0; 
 
Vamos marcar arbitrariamente os sentidos das correntes nos ramos: 
 
Número de equações da 1ª lei de Kirchhoff 
= N-1=2-1=1 
 
Uma vez que o número de equações que 
devem ser constituídas à base da 1ª lei de 
Kirchhoff é igual a 1, vamos então escrever 
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Eng. Vithor Nypwipwy 41 
apenas uma única equação. Existem dois nós (a e c) mas devemos escolher 
apenas 1. Nós escolhemos o nó “a”, mas você pode escolher outro: 
 
0321 =−+ III 
Número de equações a serem constituídas pela 2ª lei de Kirchhoff: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 212031 =−−−=−−− Nrr c 
 
Devemos escrever 2 equações. Existem três malhas mas devemos escolher 
apenas duas, onde vamos marcar arbitrariamente os sentidos de circulação com 
as letras “A” e “B”: 
 
Malha abcda 
212211 EERIRI +=− 
 
Malha aecba 
( ) 243322 ERRIRI −=++ 
 
Sistema de equações obtido pelas equações da 1ª e 2ª leis de Kirchhoff: 
 
0321 =−+ III 
212211 EERIRI +=− 
( ) 243322 ERRIRI −=++ 
 
Vamos substituir os valores dos resistores e das forças electromotrizes: 
 
( )



−=+++
+=+−
=−+
641340
6480046
0
321
321
321
III
III
III
 ⇒ 





−=++
=+−
=−+
64440
144046
0
321
321
321
III
III
III
 
 
Vamos tirar o símbolo das correntes de modo a obtermos o produto das matrizes: 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 42 
EIR
I
I
I
=⇔










−
=




















−
−
*
64
144
0
*
440
046
111
3
2
1
 
 
Do que resulta que: 
 










−
=










=










−
−
=
64
144
0
440
046
111
3
2
1
E
I
I
I
IR 
 
A matriz R será igual a matriz Δ, isto é: 










−
−
=∆=
440
046
111
R 
 
É melhor marcarmos aqui a diagonal principal: 
Esta diagonal começa no canto superior 
esquerdo e desce até o canto inferior direito, 
unindo os números “1”, “-4” e “4” (ela abrange 
três números porque a matriz principal é do tipo 3x3) 
 
Vamos agora calcular o determinante damatriz Δ: Para facilitar, vamos 
acrescentar duas colunas na matriz Δ, 
de modo de tenha a dimensão 3x5. As 
duas colunas que vamos acrescentar 
são 1ª e 2ª coluna da matriz Δ, isto é: 
 
Voltemos a colocar a diagonal principal 
(não se esqueça que a matriz principal é 
do tipo 3x3). Vamos chamar a esta 
diagonal principal de 1ª diagonal 
descendente: 
 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 43 
Vamos colocar a 2ª diagonal, que seja 
paralela a diagonal principal e que 
abrange de novo três números que se 
encontram na linha seguinte da diagonal 
principal. Esta será a 2ª diagonal 
descendente: 
 
Vamos colocar a 3ª diagonal 
descendente nas mesmas condições da 
2ª diagonal descendente, como no 
diagrama ao lado: 
Temos que multiplicar os três valores 
abrangidos por cada uma das diagonais descendentes de modo a obtermos três 
produtos diferentes, depois vamos somar os três produtos e obtemos um 
resultado das diagonais descendentes: 
 
4024016
244*6*)1(::ª3
00*0*1::ª2
164*)4(*1::ª1
−=−+−
−=−
=
−=−
esdescendentprodutosdesoma
diagonal
diagonal
diagonal
 
 
 
Guardamos este resultado e voltamos a 
matriz 3x5: 
 
 
Vamos colocar a 1ª diagonal 
ascendente (não se esqueça que a 
matriz principal é de 3x3): 
 
 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 44 
 
Agora 2ª diagonal ascendente: 
 
 
 
 
3ª diagonal ascendente: 
 
 
 
Vamos aos produtos e somas: 
 
242400
241*6*4::ª3
01*0*4::ª2
0)1(*)4(*0::ª1
=++
=
=
=−−
sascendenteprodutosdesoma
diagonal
diagonal
diagonal
 
 
O determinante da matriz R=Δ será dado pela diferença entre a “soma dos 
produtos descendentes” e a “soma dos produtos ascendentes: 
 
642440detdet −=−−=∆=R 
 
Vamos calcular o determinante para a corrente 1I . Isso requer substituir na matriz 
principal “R”, toda a coluna 1 (que corresponde a corrente 1I ) pela coluna de “E”: 
 
 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 45 
4464
04144
110
11
−
−
−
=∆=R 
 
Vamos proceder de mesma maneira para calcular o ∆det : 
 
 
 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
896det
1*144*40*0*41*4*644*144*164*0*14*4*0
1 −=∆
=++−−−−−+−+−=
ascendenteedescendent
 
Vamos calcular o determinante para a corrente 2I . Isso requer substituir na matriz 
principal, toda a coluna da corrente 2I pela coluna de E: 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
960
0*6*41*0*641*144*064*6*10*0*04*144*1
6404640
144601446
01101
det
4640
01446
101
2
222
=∆
=+−+−−−−++=
=
−−
−
=∆
−
−
=∆=
ascendenteedescendent
R
 
 
Por fim, vamos calcular o determinante para a corrente 3I . Isso requer substituir 
na matriz principal, toda a coluna da corrente 3I pela coluna de E : 
 
=
−
−−=∆
−
−=∆=
406440
4614446
11011
det
6440
14446
011
333R 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 46 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
64
1*6*641*144*40*4*04*6*00*144*164*4*1
3 =∆
=−++−−++−−=
ascendenteedescendent
 
Como já calculamos os diferentes determinantes, vamos agora calcular as 
respectivas correntes, aplicando o método de Cramer: 
 
AI 14
64
896
det
det 1
1 =−
−=
∆
∆= AI 15
64
960
det
det 2
2 −=−
=
∆
∆= AI 1
64
64
det
det 3
3 −=−
=
∆
∆
= 
 
É de notar que as correntes 2I e 3I têm sinais negativos. Isso significa que os 
sentidos que escolhemos para essas duas 
correntes não são verdadeiros. Voltamos 
ao circuito e colocamos os sentidos 
verdadeiros dessas correntes: 
Colocados os sentidos verdadeiros das 
correntes, isso significa que os seus 
valores tomam sinais positivos: 
AI 152 = e AI 13 = . 
 
Assim os resultados serão: 
 AIAIAI 1;15;14 321 === 
 
Vamos agora fazer o balanço de potência para termos a certeza de que as 
correntes estão certas. 
 
 
( ) 22114323222121
1 1
2
IEIERRIRIRI
IERI
n
k
m
j
jjkk
+=+++
=∑ ∑
= =
 
 
( ) 15*6414*8013*14*156*14 222 +=+++ 
 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 47 
 
WW 20802080
960112049001176
=
+=++
 
 
Isto significa que a potência fornecida é exactamente igual à potência consumida, 
logo os valores das correntes e das tensões estão certos. 
 
 
Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3: 
Vamos analisar o circuito: 
 
 
• Número total de nós: N=3; 
• Número total de ramos: r=5; 
• Número de ramos com fonte de corrente; rc=2; 
 
Vamos marcar arbitrariamente os sentidos das correntes nos ramos: 
 
Número de equações da 1ª lei de 
Kirchhoff = N-1=3-1=2 
 
Vamos escrever duas equações. 
Escolhemos os nós “a” e “c”: 
 
0:
0:
543
4321
=−−
=+−+
JJIcnó
JIIIanó
 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 48 
 
Substituindo os valores das fontes de corrente 4J e 5J na equação do nó “c”, 
podemos determinar a corrente 3I : 
 
AJJI 5,315,2543 =+=+= 
 
Número de equações a serem constituídas pela 2ª lei de Kirchhoff: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 113251 =−−−=−−− Nrr c 
 
Devemos escrever apenas uma equação. Para isso vamos escolher uma malha 
que não contenha fonte de corrente, onde, arbitrariamente, marcaremos o sentido 
de circulação e damos o nome de “A”: 
 
 
211 ERI −= 
 
É fácil ver que a corrente 1I pode ser 
determinada por: 
 
A
R
E
I 25,1
40
50
1
2
1 −=
−=
−
= 
 
Já determinamos as correntes 1I , 3I e conhecemos o valor da fonte de corrente 
4J . Substituindo seus valores na equação do nó “a”, tem-se: 
 
AI
I
25,2
05,25,325,1
2
2
=
=+−+−
 
 
Vamos fazer o balanço de potência. Não se esqueça que se trata de um circuito 
que também contém fonte de corrente: 
 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 49 
∑ ∑∑
= ==
+=
n
k
l
i
iab
m
j
jjkk JUIERI i
1 11
2 
 
Temos que determinar as tensões )( adU e )( bcU nos terminais das fontes de 
corrente: 
 
 
Para a malha “acd”: e para a malha “acb”: 
 
VU
U
URJRI
ad
ad
ad
200
10*5,250*5,3
04433
=
+=
=−+
 
VU
ERIU
EURI
bc
bc
bc
125
5050*5,3233
233
=
−=−=
=−
 
 
 
Já estão calculadas as duas tensões, voltemos ao balanço de potência: 
 
5,7375,737
1*1255,2*20025,2*5050*5,310*5,240*25,1
******
222
54224
2
43
2
31
2
1
=
++=++
++=++ JUJUIERJRIRI bcad
 
 
 
 
 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 50 
 
 
 
 
Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante! 
Depois da consideração que foi feita à volta do método das leis de Kirchhoff, 
verifique se percebeu a matéria, respondendo as questões que se seguem. 
 
1. Analisar o circuito abaixo, usando o método das leis de Kirchhoff: 
a) Determinar as correntes nos ramos; 
b) Fazer a prova usando o balanço de potência. 
 
 
 
 
2. Analisar o circuito abaixo, usando o método das leis de Kirchhoff: 
a) Determinar as correntes nos ramos; 
b) Fazer a prova usando o balanço de potência. 
 
 
 
 
 
Experimentação activa (5)Experimentação activa (5)Experimentação activa (5)Experimentação activa (5) 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 51 
2.2.2.2.2.2.2.2. Método de malhas independentesMétodo de malhas independentesMétodo de malhas independentesMétodo de malhas independentes 
Neste método, assinala-se por um símbolo a corrente que circula em cada uma 
das malhas da rede ou do circuito, consideradas independentes uma das outras. 
As equações são escritas em função destes símbolos de corrente de malha, e é a 
partir deles que, depois de resolvidos os sistemas de equações se encontram as 
correntes em todos os ramos. Este método diferencia-se do anterior devido ao 
facto deste poder eliminar as equações escritas pela 1ª lei de Kirchhoff, ficando 
apenas as escritas pela 2ª lei. Vejamos o algoritmo de cálculo: 
 
AlgoritmoAlgoritmoAlgoritmoAlgoritmo 
1º. Determinar o número de malhas independentes (número de equações): 
 
( ) ( )1−−−= Nrrn coeq 
Onde: 
N – é o número total de nós 
r – é o número total de ramos 
rc – é o número de ramos com fonte de corrente 
 
2º. Designar o sentido de circulação das correntes de malha em cada malha. 
É precisotomar em conta a influência das fontes de corrente. Para tal é 
preciso marcar também as correntes das malhas conhecidas, tantas 
quantas forem as fontes de corrente existentes no circuito. Para isso, 
devemos sempre tentar obter um ramo contendo uma fonte de corrente 
como ramo independente, para que a corrente de malha coincida com a 
corrente da fonte de corrente; 
 
3º. Escrever as equações para a 2ª lei de Kirchhoff, para as malhas 
escolhidas, segundo o ponto 2.1 deste algoritmo; 
 
4º. Resolver o sistema de equações, isto é, determinar as correntes de 
malha. Se a corrente de malha for negativa significa que na realidade o 
sentido desta corrente é ao contrário; 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 52 
5º. Determinar as correntes reais nos ramos. Nos ramos independentes a 
corrente real é igual a corrente de malha. Nos ramos dependentes (ramos 
por onde circulam correntes de malhas vizinhas), a corrente real é igual à 
soma algébrica das correntes de malha nesse mesmo ramo; 
 
6º. Fazer a prova das soluções usando a equação das potências fornecidas e 
consumidas (Balanço de potência); 
 
 
Exemplo 4Exemplo 4Exemplo 4Exemplo 4: 
Vamos analisar o circuito da figura 2.5 b) 
 
 
• Número total de nós: N=2; 
• Número total de ramos: r=3; 
• Número de ramos com fonte de corrente; rc=0; 
 
Número de equações a serem constituídas pela 2ª lei de Kirchhoff: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 212031 =−−−=−−− Nrr c 
 
Devemos escrever 2 equações. Para isso escolhemos duas malhas, onde vamos 
marcar os sentidos das correntes de malha “I” e “II”: 
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Eng. Vithor Nypwipwy 53 
 
 
Malha “abcd”: 
A corrente de malha “I” passa pelos resistores 1R e 2R provocando queda de 
tensão ( )21 RRI + . A corrente de malha “II” provoca uma queda de tensão no 
resistor 2R que deve ser compensada: 
 
( ) 221 IIRRRI −+ 
 
Os sentidos das forças electromotrizes 1E e 2E coincidem com o sentido da 
corrente de malha “I”, o que faz com que tenham sinais positivos: 
 
( ) 21221 EEIIRRRI +=−+ 
 
Malha “aecb”: 
A corrente de malha “II” passa pelos resistores 2R , 3R e 4R , provocando uma 
queda de tensão positiva nesses elementos: ( )432 RRRII ++ . A corrente de malha 
“I” provoca uma queda de tensão no resistor 2R que deve ser compensada: 
 
( )4322 RRRIIIR +++− 
 
A força electromotriz 2E tem sentido contrário a corrente de malha “II”, logo o seu 
sinal é negativo: 
 
( ) 24322 ERRRIIIR −=+++− 
 
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Temos duas malhas, duas equações e duas incógnitas. Vamos formar o sistema 
de equações e substituir os valores das constantes: 
 
( )
( )
( )
( ) 

−=+−
=−
⇒



−=+++−
+=++
⇒



−=+++−
+=−+
6484
144410
641344
6480446
24322
21221
III
III
III
III
ERRRIIIR
EEIIRRRI
 
 
Vamos usar o método de adição ordenada para eliminar “II” e calcular primeiro “I” 
 
AII
III
III
III
III
14
16
224
22416
6484
288820
)6484(
)144410(*2
==⇒=⇒



−=+−
=−
⇒



−=+−
=−
 
 
Vamos substituir o valor da corrente de malha “I” na 1ª equação de modo a 
calcularmos a corrente de malha “II”: 
 



−=
=
−=−=⇒−=−=⇒=−
AII
AI
AIIIIII
1
14
1
4
4
41441404144414*10
 
 
Voltando ao circuito, é fácil ver que: 
 
AIIII
AIII
AII
15114
1
14
2
3
1
=+=−=
=−=
==
 
 
 
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Exemplo 5Exemplo 5Exemplo 5Exemplo 5: 
Vamos analisar o circuito da figura 2.13 
 
 
• Número total de nós: N=3; 
• Número total de ramos: r=5; 
• Número de ramos com fonte de corrente; rc=2; 
 
Número de equações a serem constituídas pela 2ª lei de Kirchhoff: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 113251 =−−−=−−− Nrr c 
 
Devemos escrever uma equação. Para isso escolhemos uma malha, onde vamos 
marcar o sentido da corrente de malha “I”: 
 
 
 
A
R
E
IEIR 25,1
40
50
1
2
21 ===⇒= 
 
Vamos agora calcular as correntes dos 
ramos: 
Comecemos por determinar a corrente 1I , que é oposta à corrente de malha “I”: 
 
AII 25,11 −=−= 
 
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No nó “b” entra a corrente 5J e saem 21 IeI . Vamos escrever a 1ª lei de 
Kirchhoff para este nó para que possamos calcular a corrente 2I : 
 
AIJIJII 25,225,11152521 =+=−=⇒=+ 
 
Pelo nó “a” entram as correntes 421, JeII e sai apenas a corrente 3I . Vamos 
escrever novamente a 1ª lei de Kirchhoff para este nó para determinar a corrente 
3I : 
 
AJIII 5,35,225,225,14213 =++−=++= 
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Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante! 
Depois da consideração que foi feita à volta do método das malhas 
independentes, verifique se percebeu a matéria, respondendo as questões que se 
seguem. 
 
1. Analisar o circuito abaixo, usando o método das malhas independentes: 
a) Determinar as correntes nos ramos; 
b) Fazer a prova usando o balanço de potência. 
 
 
 
2. Analisar o circuito abaixo, usando o método das malhas independentes: 
a) Determinar as correntes nos ramos; 
b) Fazer a prova usando o balanço de potência. 
 
 
 
 
 
Experimentação activa (6)Experimentação activa (6)Experimentação activa (6)Experimentação activa (6) 
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2.3.2.3.2.3.2.3. Método de sobreposiçãoMétodo de sobreposiçãoMétodo de sobreposiçãoMétodo de sobreposição 
Este método baseia-se no teorema de sobreposição. Em qualquer ramo de um 
circuito é feita soma a algébrica das correntes devidas 
a cada uma das fontes. Elas são analisada em 
separado, uma de cada vez e removendo-se todas as 
outras. O teorema de sobreposição é válido para 
todos os circuitos lineares, isto é, para os circuitos em 
que a característica volt-ampérica I(V) é uma linha 
recta. A aplicação deste teorema de sobreposição 
requer que a quando da execução de cálculos se 
tome uma fonte de tensão de cada vez e que todas 
as outras fontes sejam retiradas do circuito. A partir 
dai, as correntes individuais poderão ser somadas 
algebricamente para dar o valor correcto da corrente devido a todas as fontes no 
circuito original. Ao retirar uma fonte de tensão deixamos ficar a resistência 
interna. Como o seu valor é muitíssimo pequeno, quase zero, então a resistência 
é curto circuitada. A fonte de corrente tem uma resistência interna muitíssimo 
grande, quase infinita, então a resistência é um circuito aberto. 
 
Caro(a) aluno, este teorema nãonãonãonão pode ser usado para determinar potências 
desenvolvidas em resistências como soma das potências devidas às correntes 
individuais RIRIRI 222 )()( ′′+′≠ , pois a potência é uma função quadrática da 
corrente 
 
ConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualização 
A corrente em qualquer A corrente em qualquer A corrente em qualquer A corrente em qualquer 
ramo de uma rede é a ramo de uma rede é a ramo de uma rede é a ramo de uma rede é a 
soma algébrica das soma algébrica das soma algébrica das soma algébrica das 
correntes devidas a correntes devidas a correntes devidas a correntes devidas a 
cada uma das fontes cada uma das fontes cada uma das fontes cada uma das fontes 
de tensão ou de de tensão ou de de tensão ou de de tensão ou de 
corrente, consideradas corrente, consideradas corrente, consideradas corrente, consideradas 
separadamentseparadamentseparadamentseparadamente, uma a e, uma a e, uma a e, uma a 
uma.uma.uma.uma. 
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Exemplo 6Exemplo 6Exemplo 6Exemplo 6: 
Vamos analisar o circuito da figura 2.7 b) 
 
 
Vamos marcar os sentidos das correntes: 
 
Vamos retirar a fonte de tensão 1E e deixamos ficar a resistência interna. Uma 
vez que esta tem valor quase nulo, então fica no lugar desta um shunt (curto-
circuito): 
 
 
 
Olhando para o circuito dá para ver que os resistores 3R e 4R estão ligados em 
série, dai que aplicando o 3º ponto da particularidade do circuito série tem-se: 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 60 
;431434,3 Ω=+=+= RRReq 
 
Assim o circuito fica reduzido a: 
 
 
Os resistores 1R e 4,3R estão ligados em paralelo e aplicando o 3º ponto da 
particularidade do circuito paralelo, tem-se: 
 
;4,2
46
4*6*
4,31
4,31
4,3,1 Ω=+
=
+
=
RR
RR
Req 
 
O circuito ficou reduzido ainda mais: 
 
 
 
Aplicando a 2ª lei de Kirchhoff sobre a malha, tem-se: 
 
( )
A
RR
E
I
ERRI eq
10
44,2
64
4,32
2
2
24,3,122
=
+
=
+
=′
=+′
 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 61 
Uma vez calculada a corrente 2I ′ , temos que calcular as restantes correntes. Para 
tal temos que antes calcular a tensão entre os pontos “c” e “a”, (veja 1º caso do 
exemplo 1): 
 
A
R
U
I
A
R
U
I
VRIEU
ca
eq
ca
acca
4
6
24
6
4
24
244*1064
1
1
4,3
3
222
===′
===′
=−=′−=−= ϕϕ
 
 
Terminamos os cálculos das corrente à base fonte de tensão 2E . Vamos devolver 
a fonte 1E e desta vez tirar a fonte 2E : 
 
 
 
Olhando novamente para o circuito dá para ver que os resistores 3R e 4R 
continuam ligados em série, dai que aplicando o 3º ponto da particularidade do 
circuito série tem-se: 
 
;431434,3 Ω=+=+= RRReq 
 
Assim o circuito fica reduzido a: 
 
INSTITUTO SUPERIOR DOM BOSCO 
Eng. Vithor Nypwipwy 62 
 
 
Os resistores 2R e 4,3R estão ligados em paralelo e aplicando o 3º ponto da 
particularidade do circuito paralelo, tem-se: 
 
;2
44
4*4*
4,32
4,32
4,3,2 Ω=+
=
+
=
RR
RR
Req 
 
O circuito ficou reduzido ainda mais: 
 
 
 
Aplicando a 2ª lei de Kirchhoff sobre a malha, tem-se: 
 
( )
A
RR
E
I
ERRI eq
10
62
80
4,3,21
1
1
14,3,211
=
+
=
+
=′′
=+′′
 
 
Uma vez calculada a corrente 1I ′′ , temos que calcular as restantes correntes. Para 
tal temos que antes calcular a tensão entre os pontos “a” e “c”: 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 63 
A
R
U
I
A
R
U
I
VRIEU
ac
ac
caac
5
4
20
5
4
20
206*1080
4,3
3
2
2
111
===′′
===′′
=−=′′−=−= ϕϕ
 
 
 
 
As correntes do circuito original serão determinadas em função das correntes 
correspondentes nos circuitos com fontes removidas. Vamos sobrepor os três 
circuitos: 
 
;14104111 AIII =+=′′+′= (as 3 correntes têm o mesmos sentidos); 
 
AIII 15510222 =+=′′+′= (estas também têm o mesmos sentidos); 
 
AIII 156333 =−=′′−′= (a 3I ′′ tem sentido oposto que as outras) 
 
 
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Exemplo 7Exemplo 7Exemplo 7Exemplo 7: 
Vamos analisar o circuito da figura 2.13 
 
 
Este circuito tem três fontes, uma de tensão e duas de corrente. Vamos retirar 
uma a uma até a completa análise do circuito. É fácil fazer a análise pelo método 
de sobreposição. Vamos primeiro marcar os sentidos das correntes: 
 
 
 
Vamos retirar as fontes 2E e 5J simultaneamente e deixando ficar as respectivas 
resistências internas. A 2E tem uma resistência muito pequena, quase nula, dai 
que ela é substituída por um shunt enquanto que a 5J tem uma resistência 
muitíssima grande, quase infinita, dai que ela será substituída por um circuito 
aberto: 
 
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Você consegue ver que as correntes 21 IeI ′′ são nulas pois os ramos por onde 
fluem estas correntes, estão ligados aos nós “a” e “b” que se encontram no 
mesmo potencial. Toda a corrente fornecida pela fonte 4j fluí sobre o ramo “ac”, 
dai que 43 JI =′ , isto é: 
AJI
II
1
0
43
21
==′
=′=′
 
 
Vamos retirar as fontes 2E e 4J simultaneamente e deixando ficar as respectivas 
resistências internas. A 2E tem uma resistência muito pequena, quase nula, dai 
que ela é substituída por um shunt enquanto que a 4J tem uma resistência 
muitíssima grande, quase infinita, dai que ela será substituída por um circuito 
aberto: 
 
 
 
Sobre o resistor 1R não circula nenhuma corrente devido ao curto-circuito entre os 
nós “a” e “b”. Toda corrente fornecida pela fonte 5J circula nos ramos “ba” e “ac”, 
dai que as corrente 532 JII =′′=′′ , isto é: 
 
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AJII
I
5,2
0
532
1
==′′=′′
=′′
 
 
Por fim, vamos retirar as duas fontes de corrente e deixamos ficar a fonte de 
tensão 2E . 
 
 
 
É fácil ver que no ramo “ac” não há circulação de corrente. As correntes 21 IeI ′′′′′′ 
são iguais. Aplicando a 2ª lei de Kirchhoff tem-se: 
 
0
25,1
40
50
3
1
21
=′′′
===′′′=′′′
I
A
R
E
II
 
 
Sobrepondo os 4 circuitos tem-se: 
 
AIIII
AIIII
AIIII
5,3015,2
25,225,110
25,125,100
3333
2222
1111
=++=′′′+′′+′=
=++=′′′+′′+′=
−=−+=′′′−′′+′=
 
 
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Eng. Vithor Nypwipwy 67 
 
 
 
 
Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante!Caro(a) estudante! 
Depois da consideração que foi feita à volta do método de sobreposição, verifique 
se percebeu a matéria, respondendo as questões que se seguem. 
 
1. Analisar o circuito abaixo, usando o método de sobreposição: 
a) Determinar as correntes nos ramos; 
b) Fazer a prova usando o balanço de potência. 
 
 
 
 
2. Analisar o circuito abaixo, usando o método de sobreposição: 
a) Determinar as correntes nos ramos; 
b) Fazer a prova usando o balanço de potência. 
 
 
 
 
 
Experimentação activa (7)Experimentação activa (7)Experimentação activa (7)Experimentação activa (7) 
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2.4.2.4.2.4.2.4. Método de anMétodo de anMétodo de anMétodo de anáááálise nodallise nodallise nodallise nodal 
A corrente em qualquer ramo de uma rede pode ser calculada pela lei de Ohm 
como se se tratasse de um ramo isolado contendo uma força electromotriz. Basta 
para isso conhecer a diferença de potencial entre os seus extremos ou entre os 
nós que limitam o ramo. O método de cálculo no qual, para aplicação deste 
raciocínio, figuram como grandezas desconhecidas as tensões a que estão 
submetidos os diferentes ramos é chamado de Método de Análise de Nós ou 
Método de Análise Nodal. Vamos ver o algoritmo de analise: 
 
Algoritmo Algoritmo Algoritmo Algoritmo 
1º. Potencial de um único nó de ser igual a zero, isto é, escolhemos um nó 
qualquer e ligamos à terra para ter potencial nulo; 
 
2º. Determinar as equações necessária e escrevê-las a partir da 1ª lei de 
Kirchhoff: 
1−= NN oeq 
 
Quando alguns dos ramos contem fontes de 
tensão ideai, o número de equações 
necessárias determina-se pela fórmula: 
 
fti
o
eq NNN −−= 1 
onde: 
 ftiN - número de fontes de tensão ideal 
 
3º. Constituir as equações segundo o método de análise nodal: 
3º.1. Escrever equações da lei de Ohm para cada um dos ramos contendo 
correntes desconhecidas; 
3º.2. Expressar as correntes desconhecidas em cada uma das equações 
escritas no ponto 3º.1; 
3º.3. Converter todas as resistências em condutâncias; 
ConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualizaçãoConceptualização 
 
Uma fonte de tensão Uma fonte de tensão Uma fonte de tensão Uma fonte de tensão ideal (fti) ideal (fti) ideal (fti) ideal (fti) 
é aquela em que a resistência é aquela em que a resistência é aquela em que a resistência é aquela em que a resistência 
interna é nula; isto é, interna é nula; isto é, interna é nula; isto é, interna é nula; isto é, 
0
.
=
=
inR
constE
 
cujo gráfico da sua cujo gráfico da sua cujo gráfico da sua cujo gráfico da sua 
característica é paralela ao eixo característica é paralela ao eixo característica é paralela ao eixo característica é paralela ao eixo 
das abcissasdas abcissasdas abcissasdas abcissas 
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Eng. Vithor Nypwipwy 69 
3º.4. Substituir as correntes deduzidas no ponto 3º.2 nas equações obtidas 
no ponto 2º; 
3º.5. Agrupar os potenciais desconhecidos num membro e os valores 
conhecidos no outro; 
 
4º. Resolver o sistema de equações obtido em relação aos potenciais 
desconhecidos; 
 
5º. Sabendo os potenciais, determinar as correntes; 
 
6º. Fazer a prova usando o balanço de potência ou equilíbrio de potências 
 
 
Exemplo 8Exemplo 8Exemplo