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IFBA/Introdução aos Processos Estocásticos/ Prof. Fabŕıcio Simões 1 1 Exerćıcios de Probabilidade 1. Liste os elementos de cada um dos espaços amostrais a seguir: (a) O conjunto de inteiros entre 1 e 50 diviśıveis por 8 (b) O conjunto S = {x | x2 + 4x− 5 = 0} (c) O conjunto de resultados quando uma moeda é lançada até uma coroa aparecer ou três caras aparecerem. Considere um máximo de 4 lançamentos (d) O conjunto S = {x | 2x− 4 ≥ 0 e x < 1} 2. Um experimento consiste em jogar um par de dados, um verde e um vermelho, e anotar os números obtidos. Se x é um resultado do dado verde e y, o resultado do dado vermelho, descreva o espaço amostral S listando os elementos (x, y). 3. Um inteiro é escolhido ao acaso, dentre os números 1,2,...,50. Qual será a probabilidade de que o número escolhido seja div́ısivel por 6 ou por 8? 4. Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara três vezes mais freqüentemente que coroa. Essa moeda é jogada três vezes. Seja X o número de caras que aparece. Estabeleça a distribuição de probabilidade de X. Faça um esboço do gráfico da distribuição de probabilidade. 5. A probabilidade de fechamento dos interruptores A e B do circuito apresentado na Figura 1 é dada por p. Se todos os interruptores funcionarem independentemente, qual será a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e R. p p i(t) i(t) A B L R Fig. 1: Sistema 6. De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso sem reposição. Seja X o número de peças defeituosas encontradas. Estabeleça a distribuição de probabilidade de X. Dica: Use a distribuição de Bernoulli. 7. Seja X a duração da vida de uma válvula eletrônica e admita-se que X possa ser representada por uma variável aleatória cont́ınua, com fpd f(x) = b exp(−bx), x ≥ 0. Seja pj = P (j ≤ X < j + 1). Verifique que pj é da forma (1− a)aj e determine a. 8. Seja X uma variável aleatória cont́ınua, com fdp dada por f(x) = ax, 0 ≤ x ≤ 1, = a, 1 ≤ x ≤ 2, = −ax+ 3a, 2 ≤ x ≤ 3, = 0, para quaisquer outros valores. (a) Determine a constante a. (b) Se X1, X2 eX3 forem três observações independentes de X, qual será a probabillidade de, exatamente, um desses três números ser maior do que 1,5? IFBA/Introdução aos Processos Estocásticos/ Prof. Fabŕıcio Simões 2 9. Determine o valor de c de modo que a função a seguir seja uma distribuição de probabilidade da variável aleatória X f(x) = c(x2 + 4), para x = 0, 1, 2, 3 10. O tempo de falha em horas de um importante componente de um equipamento eletrônico usado na fabricação de DVD player tem a função densidade de probabilidade dada por f(x) = { 1 2000e (−x/2000), x ≥ 0 0, x < 0 Determine a probabilidade do componente falhar antes de 2000 horas. 11. Dado que um sinal de voz pode ser modelado através de uma densidade de probabilidade Laplaciana f(v) = α 2 e−α|v|, calcule a probabilidade de que o sinal esteja acima de zero. 12. Mostre que a função abaixo pode representar uma fdp e calcule o valor médio do sinal x(t) associado. f(x) = sin(x) 2 [u(x)− u(x− π)] 13. Um componente eletrônico tem um tempo de vida modelado pela função densidade de probabilidade dada por f(t) = t a2 e−(t/a) 2 , t > 0 e a = 104 Encontre a média e a variância. IFBA/Introdução aos Processos Estocásticos/ Prof. Fabŕıcio Simões 3 2 Respostas 1. S1 = {8, 16, 32, 40, 48}, S2 = {1,−5}, S3 = {Co, CaCo, CaCaCa, CaCaCo} e S4 = {1/2 ≤ x < 1} 2. Todas as posśıveis combinações, por exemplo, S = (1, 1), (1, 2), (1, 3), . . .. 3. P = 1250 4. P (X = 0) = (1/4)3, P (X = 1) = 3(1/4)2(3/4), P (X = 2) = 3(3/4)2(1/4), P (X = 3) = (3/4)3 5. 2p− p2 6. 0,41; 0,41; 0,15 e 0,0256. 7. pj = e −jx(1− e−x) e a = e−x 8. a = 1/2 e P = 3/8; 9. c = 1/30 10. P (x < 2000) = 0, 64 11. P = 1/2 12. f(x) é uma função densidade de probabilidade. 13.
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