Noções de Geometria Descritiva

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02/06/2019 Estácio - Disciplina online
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Disciplina: Expressão grá�ca
Aula 3: Noções de geometria descritiva
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Apresentação
Os conceitos que serão apresentados nesta aula são fundamentais para alunos de engenharia, pois têm como objetivo geral
desenvolver a chamada visão espacial. Tal habilidade não se adquire em uma só aula ou leitura: é preciso treinar bastante,
através do olhar cuidadoso e analítico de exercícios, para que você se acostume com essa nova forma de expressão e
linguagem.
A geometria descritiva permite a representação de objetos tridimensionais em um plano bidimensional. Os objetivos
principais desse importante campo da geometria são o estudo da forma, das dimensões e da posição de um objeto no
espaço através das suas projeções em planos. A ideia principal é projetar o objeto em planos que dividem o espaço
tridimensional em quatro quadrantes denominados diedros. O sistema de projeções foi desenvolvido por Gaspard Monge e é
conhecido como sistema mongeano.
Nesta aula, veremos características básicas desse sistema, associando as teorias ao conceito de projeção e, �nalmente, às
formas de representação grá�ca de objetos tridimensionais que serão estudadas nas aulas posteriores.
Objetivos
De�nir os conceitos de épura e diedros;
Classi�car projeção;
Identi�car as formas de representação grá�ca para objetos tridimensionais.
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Visão espacial
A capacidade de olhar as projeções de um objeto em planos bidimensionais e visualizar tal
objeto como ele é de verdade, ou seja, no espaço tridimensional.
Noções de projeção
Para compreender o conceito de projeção, vamos à situação ilustrada na Figura a seguir:
Um objeto, em forma de paralelepípedo, é posicionado acima
de um plano horizontal 𝛼. Uma fonte luminosa puntiforme é
posicionada sobre o centro do objeto a uma distância
conhecida. O ponto (O) é denominado centro de projeção. É
fácil perceber que a sombra projetada do objeto no plano é
de�nida pela projeção dos raios de luz no contorno do objeto,
designados como linhas projetantes. Essas linhas são
concorrentes. O centro de projeção (O), nesse exemplo, está
posicionado no centro do objeto e é projetado no plano por
uma linha projetante normal ao mesmo. Percebemos que a
projeção do objeto no plano é maior do que o objeto real, pois
as linhas projetantes se inclinam e ampliam as dimensões
verdadeiras do objeto.
Quando o centro de projeção (O), de onde saem as linhas projetantes, está a uma
determinada distância do objeto, designamos como centro de projeção próprio. Neste
caso, a superfície gerada pelas linhas projetantes é cônica.
Vejamos agora a situação ilustrada na próxima �gura. O mesmo objeto, em forma de paralelepípedo, é posicionado acima do
plano horizontal 𝛼, mas a fonte luminosa puntiforme é posicionada no in�nito, também sobre o centro do objeto. Note que agora
as linhas projetantes são paralelas entre si e perpendiculares ao plano de projeção. O centro de projeção não é um ponto
visualmente identi�cado, pois está muito longe do objeto. Percebemos que a projeção do objeto no plano é de mesma dimensão
do que o objeto real. Dizemos, nesse caso, que a projeção é representada em verdadeira grandeza.
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Quando o centro de projeção (O) está no in�nito do objeto, designamos como centro
de projeção impróprio. Nesse caso, a superfície gerada pelas linhas projetantes
perpendiculares ao plano de projeção é cilíndrica ortogonal.
Outro tipo de superfície cilíndrica pode ser gerado caso a fonte luminosa seja posicionada sobre o objeto, porém fora do seu eixo
central. As linhas projetantes são paralelas entre si, porém não são perpendiculares ao plano de projeção. Percebemos que a
projeção do objeto no plano é diferente do objeto real, pois as linhas projetantes se inclinam, ampliando a projeção do objeto.
Entretanto, dependendo do elemento geométrico projetado, a projeção pode ter verdadeira grandeza.
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Nesse caso, com as linhas projetantes não perpendiculares ao plano de projeção,
porém paralelas entre si, a superfície gerada é cilíndrica oblíqua.
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 Tipos de projeção.
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
Sistema mongeano
O sistema mongeano possibilita a compreensão da forma, da posição e das dimensões de objetos tridimensionais de forma
precisa. O método consiste, inicialmente, em dividir o espaço tridimensional em quatro semiespaços, utilizando dois planos
perpendiculares entre si denominados (𝜋) e (𝜋′), em que (𝜋) é o plano horizontal e (𝜋′), o plano vertical. Assim, temos dois
conceitos:
Diedros
Semiespaços formados pela interseção dos planos
Linha de terra
Interseção dos planos (𝜋) e (𝜋′).
Nas �guras a seguir, podemos observar os planos horizontal e vertical, a formação dos semiespaços pela interseção dos planos e
a linha de terra. Note que o ponto (P) posicionado em um dos semiespaços é projetado com a projeção cilíndrica ortogonal em
dois planos de projeção, usando linhas projetantes paralelas entre si e ortogonais aos semiplanos (𝜋 ) e (𝜋′ ).𝐴 𝑃
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 Representação espacial dos planos (𝜋) e (𝜋′).
Vamos passar da representação espacial para uma representação plana, utilizando a Épura para eliminação da perspectiva. Esse
procedimento é feito através do rebatimento dos planos (𝜋 ) e (𝜋′ ) até que o plano horizontal anterior coincida com o plano
vertical superior e o plano horizontal posterior coincida com o plano vertical superior.
Na épura, a linha de terra é representada por uma linha grossa com duas pequenas linhas paralelas e abaixo da mesma, sem
representar o contorno dos planos.
𝐴 𝑃
 Representação espacial e em épura do ponto (𝑄)
Observe que a nomenclatura do ponto no espaço e em suas projeções foi feita de forma distinta. Dessa maneira, a leitura do
desenho é facilitada. O quadro a seguir apresenta as informações que caracterizam os elementos presentes na épura.
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Elementos Descrição
(𝑄) Ponto objeto
𝑄 Projeção do ponto no plano horizontal
𝑄’ Projeção do ponto no plano vertical
Linha projetante
Linha de chamada
  e  (Q)Q'¯ ¯¯̄¯̄ ¯̄¯ (Q)Q¯ ¯¯̄¯̄ ¯̄
  QQ'¯ ¯¯̄ ¯̄
Estudo básico de um ponto
Além da nomenclatura do ponto e de suas projeções, note que foram representadas distâncias que representam um conjunto de
medidas necessárias para de�nir a posição do ponto no espaço:  
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Clique nos botões para ver as informações.
A abscissa é a dimensão medida sobre a linha de terra, segundo um ponto de origem arbitrado. Todo ponto situado à direita
do ponto de origem tem abscissa positiva (+). Por outro lado, se o ponto é situado à esquerda da origem, terá abscissa
negativa (-).
Convenção de sinais para a abscissa de um ponto
Abscissa 
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O afastamento é a medida da linha projetante de um ponto, entre o ponto e o plano vertical de projeção 𝜋′. O afastamento é
positivo no 1º e 4º diedros, pois a linha projetante �ca à frente do plano vertical. Por outro lado, o afastamento é negativo
no 2º e 3º diedros, pois a linha projetante �ca atrás do plano horizontal.
Convenção de sinais para o afastamento de um ponto
Afastamento 
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A cota é a medida da linha projetante de um ponto, que vai do ponto ao plano horizontal de projeção 𝜋.A cota é positiva no
1º e 2º diedros, pois a linha projetante �ca acima do plano horizontal. Por outro lado, a cota é negativa no 3º e 4º diedros,
pois a linha projetante �ca abaixo do plano horizontal.
Convenção de sinais para a cota de um ponto
Cota 
Para caracterizar um ponto, devemos indicar sua nomenclatura da seguinte maneira:
(𝑄) [ ABSCISSA; AFASTAMENTO; COTA]
Exemplo
(𝐴) [ 20; 25; 50]
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Projeções de um ponto nos 4 diedros
Nosso objetivo é ter noções básicas e conceituais de projeção, não sendo necessário aprofundamento em geometria descritiva.
Portanto, vamos estudar os sinais de afastamento e cotas, assim como a posição das projeções de um ponto na representação
espacial e em épura para cada um dos diedros.
Ponto no 1º diedro
Todo ponto situado no 1º diedro tem, em épura, projeção
horizontal abaixo da linha de terra (ou seja, afastamento
positivo) e projeção vertical acima da linha de terra (ou seja,
cota positiva).
 Representação espacial e em épura de um ponto no 1º Diedro.
 Representação espacial e em épura de um ponto no 2º Diedro.
Ponto no 2º diedro
Todo ponto situado no 2º diedro tem, em épura, ambas as
projeções acima da linha de terra (ou seja, afastamento
negativo e cota positiva).
Ponto no 3º diedro
Todo ponto situado no 3º diedro tem, em épura, projeção
horizontal acima da linha de terra (ou seja, afastamento
negativo) e projeção vertical abaixo da linha de terra (ou seja,
cota negativa).
 Representação espacial e em épura de um ponto no 3º Diedro.
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 Representação espacial e em épura de um ponto no 4º diedro.
Ponto no 4º diedro
Todo ponto situado no 4º diedro tem, em épura, ambas as
projeções abaixo da linha de terra (ou seja, afastamento
positivo e cota negativa).
 Sistema mongeano.
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Formas de representação grá�ca para objetos tridimensionais
Até o presente momento, você deve ter percebido que, basicamente, temos duas formas de representação grá�ca de um objeto:
Representação espacial Projeções
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Conheceremos mais detalhes de cada tipo de representação a seguir.
Representação espacial
Com a representação espacial, que chamaremos de
perspectiva, conseguimos compreender o formato e as
dimensões do objeto de forma simples. Entretanto, é preciso
elaborar um desenho mais complexo e completo, utilizando
técnicas que permitam a visualização clara das características
do objeto em três dimensões.
 Representação espacial de um objeto em perspectiva.
Projeções
A outra maneira de representar o objeto é através das suas projeções, que chamaremos de vistas ortográ�cas, facilitando o
desenho propriamente dito, mas tornando menos direta a compreensão do objeto real.
Olhar as vistas ortográ�cas e visualizar claramente o objeto e suas características no espaço tridimensional é uma tarefa simples,
mas que demanda prática do aluno para o desenvolvimento de sua visão espacial. Algumas pessoas terão mais facilidade, outras
precisarão praticar mais, mas todos podem utilizar as projeções para representar, compreender e construir um objeto real de
forma e�ciente.
Vejamos um exemplo da visualização do objeto através de suas projeções, utilizando o objeto em perspectiva apresentado
anteriormente. Vamos posicionar o objeto no 1º diedro. Note que um terceiro plano de projeção, denominado (𝜋′′), foi
acrescentado ao diedro, pois não seria possível compreender todas as características do diedro sem ele. O terceiro plano de
projeção também é chamado de plano de per�l.
 Representação espacial e projeções do objeto nos planos verticais e horizontal.
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Note que a �gura projetada nos planos verticais e horizontal é a �gura visualizada por um observador localizado em frente à face
analisada. Na face vermelha, por exemplo, as linhas tracejadas indicam que existem arestas do objeto que não podem ser vistas
pelo observador.
Analisando a imagem, vemos que a face vermelha do objeto é projetada no plano vertical (𝜋′ ). As faces em verde são projetadas
no plano de per�l, (𝜋′′), assim como a face inclinada, em amarelo. Por �m, as faces em azul são projetadas no plano (𝜋 ). Note que
a face amarela, por ser inclinada, aparece projetada tanto no plano de per�l e no plano (𝜋 ).
Vemos, a seguir, que após o rebatimento dos planos horizontal e vertical, obtemos três projeções. A visualização plani�cada das
projeções são as vistas ortográ�cas do objeto, que serão objeto de estudo nas próximas aulas.
𝑠
𝐴
𝐴
 Rebatimento dos planos verticais e horizontal para visualização planificada das projeções.
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 Representação espacial: perspectiva.
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Atividade
1. Represente, em épura, o segmento de reta e a �gura de acordo com as coordenadas descritivas dadas.
Dica: Você pode utilizar uma folha de papel quadriculado ou utilizar uma régua para marcação das medidas das coordenadas
descritivas. Lembre-se que cotas positivas são representadas acima da linha de terra e que afastamentos positivos são
representados abaixo da linha de terra.
a) Segmento , sendo (A)(-10; 10; 20) e (B)(20; 20; 20)
b) Triângulo DEF. Sendo (D) = (10; -20; -10), (E)(40; 0; 0) e (F)(25; 20; 20)
AB¯ ¯¯̄¯
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2. Classi�que as sentenças em CERTA ou ERRADA.
a) Projeções cilíndricas sempre terão as medidas em verdadeira grandeza com o objeto projetado.
b) Projeções cônicas são caracterizadas pela presença do centro de projeção próximo ao objeto.
c) Se o ponto (A) ∈ 𝜋 , sua cota é igual a zero.
d) Se o ponto (B) ∈ 𝜋 , seu afastamentoé igual a zero.
e) Se o ponto (C) tem afastamento e cota positivos, está localizado no 2º diedro.
f) Se o ponto (D) tem afastamento e cota negativos, está localizado no 4º diedro.
g) Se o ponto (E) possui afastamento positivo e cota negativa, as projeções em épura serão as seguintes: projeção E acima da linha de terra e
projeção E’ abaixo da linha de terra.
h) Se o ponto (F) possui afastamento negativo e cota positiva, as projeções em épura serão as seguintes: ambas as projeções do ponto
estarão acima da linha de terra.
𝐴
𝑆
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3. Observe os objetos e suas projeções ortogonais e faça a identi�cação das faces visíveis nas representações espaciais e nas
projeções correspondentes. Lembre-se que as linhas tracejadas correspondem a arestas não visíveis.
A B
C
NotasReferências
ESTEPHANIO, Carlos Alberto do Amaral. Desenho técnico – uma linguagem básica. 4. ed. edição. Rio de Janeiro: Carlos
Estephanio, 1996.
MONTENEGRO, Gildo. Geometria descritiva. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2015, v.1.
MUNIZ, César; MANZOLI, Anderson. Desenho técnico. 1. ed. Rio de Janeiro: Lexikon, 2015.
RIBEIRO, Antônio Clelio; PERES, Mauro Pedro; IZIDORO, Nacir. Curso de desenho técnico e AutoCAD. 1. ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2013.
Próxima aula
Conceito de épura e diedros;
Conceito e classi�cação de projeção;
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Formas de representação grá�ca para objetos tridimensionais.
Explore mais
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, sugerimos a leitura dos seguintes livros disponíveis na Biblioteca
Virtual:
MONTENEGRO, Gildo. Geometria descritiva. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2015. v. 1, p. 7-27.
MUNIZ, César; MANZOLI, Anderson. Desenho técnico. 1. ed. Rio de Janeiro: Lexikon, 2015. cap. III, p. 57-67.
RIBEIRO, Antônio Clelio; PERES, Mauro Pedro; IZIDORO, Nacir. Curso de desenho técnico e AutoCAD. 1. ed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2013. p. 6-9.