AD 2- ESTATÍSTICA

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LUCIANO AUGUSTO DA PAIXÃO
Matrícula: 16113110187
 Polo: Paracambi
AD2 – Estatística Aplicada à Administração
1 - Instruções: Para responder a questão a seguir, utilize dentre as informações abaixo, as que julgar adequadas. Se Z tem distribuição normal padrão, então:
P(0< Z < 1) = 0,341 , P(0< Z < 1,6) = 0,445 , P(0< Z < 2) = 0,477
Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Qual a probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00?
µ = R$ 9.000,00 σ = R$ 1.500,00 x > R$ 6.000,00
Z − 2 → P(Z) = 0,4772
z = x − µ
o
P(x > 6000) → Z − 2
P(−2 < Z < 0) + P(0 < Z < +∞) = 0,4772 + 0,5 = 0,9772 ∗ 100 = 97, 72%
1
2 - Para verificar se duas dietas para emagrecer são igualmente eficazes, um médico separou ao acaso um conjunto de pacientes em dois grupos. Cada paciente seguiu a dieta designada para o seu grupo durante
4 meses. O médico registrou a perda de peso em Kg de cada paciente por grupo. Os dados estão apresentados no quadro a seguir:
	GRUPO 1 (Dieta 1)
	GRUPO 2 (Dieta 2)
	Resultados
	Resultados ao quadrado
	Resultados
	Resultados ao quadrado
	10
	100
	2
	4
	5
	25
	1
	1
	6
	36
	7
	49
	3
	9
	4
	16
	9
	81
	4
	16
	8
	64
	5
	25
	7
	49
	2
	4
	5
	25
	5
	25
	6
	36
	3
	9
	5
	25
	4
	16
	x1 = 64
	x22 = 450
	x1 = 37
	x22 = 165
Calcule o valor de t observado e verifique se é igual, superior ou inferior ao valor crítico e interprete o resultado.
1º Passo: Saber se as variâncias podem ser consideradas iguais
	
	GL1
	9
	GL2
	9
	
	α
	0,01
	1 – α
	0,99
	
Grupo I
	S (xi. fi)
	64
	x¯
	6,4
	
	S [(xi -x¯ )2 x fi]
	40,40
	
	n1
	10
	
 
√n1
	3,16
2º Passo: Testando a hipótese do exercício: diferenças entre médias, com amostras independentes e pequenas, mas variâncias populacionais estatisticamente iguais.
	n1
	10
	n2
	10
	2
S1
	4,49
	2
S2
	3,12
	2
(n1 – 1) x S1
	40,40
	2
(n2 – 1) x S2
	28,10
	x¯ 1
	6,4
	x¯ 2
	3,7
	x¯ 1- x¯ 2
	2,7
	1
 
n
	0,10
	T(0,025)
	2,100922037
H0 : μα = μb → H0 : μα – μb = 0 H1 : μα ≠ μb → H1 : μα ≠ μb
Teste bicaudal
Sp = J(n1–1)S12+(n2–1)S22= J(10–1)4,49+(10–1)3,12
 
 
J40,4+28,1
J68,5
n1+n2–2
10+10–2	=
18	=	18
 
Sp = ƒ3,805→ Sp = 1,95
t	= (s¯ 1–s¯ 2)–(µα–µb)= 	2,7–0	27 =	→ t
 
 
= 3,096
calc
SpJ 1 + 1
1,95√0,1+0,1
0,872
calc
nα nb
v = n1 + n2 - 2 → v = 18 tTAB = t	α=5% → t	= 2,1(18)	TAB
Sendo tCAL > tTAB → região de rejeição de H0
Com 95% de certeza, podemos afirmar que a perda de peso média dos dois grupos foram diferentes, e, portanto, uma das dietas é mais eficaz que a outra.
	
	2
S1
	4,49
	
 
S=√S12
	2,12
	GRU PO 2
	S(xi.fi)
	37
	x¯
	3,7
	
	S[(xi -x¯ )2 x fi]
	28,10
	
	N2
	10
	
 
√n2
	3,16
	
	2
S2
	3,12
	
 
S=√S22
	1,77
	
	2	2
S1 /S2
	1,4377
	
	Ftab(9;9)1%
	5,35
Teste unilateral à direita H0 : σ 2 = σ 2A	b
H1 : σ12 > σ 22
FTAB= F(GLB;GLA)= F	α=1% → FTAB = 5,35 FCALC = Sb2/S 2 = 4,49/3,12 → FCALC = 1,4377A
(9,9)
Sendo F CALC < F TAB → região de aceitação de H0
Com 99% de certeza, pode-se dizer que a variância do grupo 1 é estatisticamente igual a variância do grupo 2.
t calculado = 3,1 e t tabelado = 2,1. Rejeita H0. Existe diferença entre as dietas –
3 - A Associação de Imprensa do Estado de São Paulo fez um levantamento com 1300 leitores, para verificar se a preferência por leitura de um determinado jornal é independente do nível de instrução do indivíduo. Os resultados obtidos foram:
	
	Tipo de Jornal
	Grau de Instrução
	Jornal A
	Jornal B
	Jornal C
	Outros
	1º Grau
	10
	8
	5
	27
	2º Grau
	90
	162
	125
	73
	Universitário
	200
	250
	220
	130
(a) Construa as hipóteses adequadas a esta situação.
H0 : Preferência por leitura de um determinado jornal independente do nível de instrução do indivíduo.
H1 : Preferência por leitura de um determinado jornal depende do nível de instrução do indivíduo.
(b) Qual o número esperado de leitores do 2º grau que lêem o jornal B?
E – nº esperado de observações com características (2º grau e jornal B).
E	= n2ºgrau.njornaSB= 450s420
2º grau e jornal B
ntotaS
1300 = 145,38
Espera-se que 145 leitores com 2º grau leiam o jornal B
(c) Através do nível descritivo, conclua sobre suas hipóteses utilizando um nível de significância de 1%.
	(Frequência observada – Frequência esperada)2 / Frequência esperada
	Grau de instrução
	Jornal A
	Jornal B
	Jornal C
	Outros
	Total
	1º grau
	0,21
	4,12
	5,32
	37,25
	46,89
	2º grau
	1,85
	1,90
	0,12
	0,55
	4,42
	Universitário
	1,28
	0,28
	0,10
	0,94
	2,60
	total
	3,33
	6,29
	5,54
	38,75
	53,91
X2CALC
= ⅀ (ƒ0–ƒe)2→ X2
ƒe
CALC
= 53,91
V = (Xlinhas - 1) . (Xcolunas – 1) = (3-1) . (4-1) = → V = 6 X2TAB (0,01;6) → X2TAB = 16,8
Sendo X2CALC > X2TAB → Região de rejeição de H0
Com 99% de certeza, pode-se afirmar que a preferência de leitura de um determinado jornal não depende do nível de instrução do indivíduo. O valor calculado é maior que o tabelado, logo rejeita-se H0. Sendo assim a preferência por um determinado jornal depende do nível do leitor.
4 – Sabe-se que o intervalo de confiança de 95% de uma média populacional é de 152 a
160. Se σ = 15, qual tamanho de amostra foi utilizado nesse estudo?
P(152 < µ < 160) = 0,95
P(x̅ − e < µ < x̅ + e ) = 0,95
e = Za ∗ o 
2	√n
o
x̅ − e = x̅ − (Zα ∗ ) = 152
2	√n
29,4
x̅ − (	) = 152
√n
29,4
x̅ + (	) = 160
√n
2x̅ = 312 → x̅ = 156
29,4
29,4
− (	) = 152 − 156 → −	= −4
√n
29,4
√n
29,4
(	) = 160 − 156 →	= 4
√n	√n
29,4 = 4 → 4√n = 29,4 → √n = 29,4
 	
→ √n = 7,35 → n = 54,02 → n = 54
√n	4
5 - A Nielsen Media Research relatou que o tempo médio que as famílias passam assistindo a televisão, no período de 8h às 11h da noite, e de 8,5 horas por semana. Dado um tamanho de amostra de 300 famílias e um desvio-padrão σ da população igual a 3,5 horas, qual é a estimação por intervalo de confiança de 95% da média de tempo que as pessoas assistem a televisão durante o período das 8h as 11h da noite?
x̅ = 8,5
σ = 3,5
n = 300
o
3,5
e = Za ∗ → 1,96 ∗ 	→ e = 0,396
2	√n	√300
P(x̅ − e < µ < x̅ + e) = 0,95
P(8,5 − 0,396 < µ < 8,5 + 0,396) = 0,95
P(8, 10 < µ < 8,896) = 0, 95
e = ±0,396 e o Intervalo 8,1 a 8,9 (8,5 – 0,396 = 8,1 e 8,5 + 0,396 = 8,9).
6 - Uma pesquisa realizada pela Society for Human Resouce Management perguntou a 346 pessoas que procuravam emprego por que os empregados trocam de emprego tão frequentemente. A resposta mais escolhida (152 vezes) foi “melhor remuneração em outro lugar”.
(a) qual é a estimação por ponto da proporção de pessoas que procuram emprego que escolheriam “melhor remuneração em outro lugar” como a razão para trocar de emprego?
n = 346
X = 152
p̂ = x → p̂ = 152 → p̂ = 0,4393
	
n	346
(b) qual é a estimação por intervalo de confiança de 95% da proporção populacional?
n = 346
X = 152
p̂ = 0,4393
q = 1 − 0,4393 → q = 0,5607
o2 = pq → o = ƒ0,4393 ∗ 0,5607 → o = 0,4963
o	0,4963
p ± e = p ± Za ∗ → 0,4393 ± (1,96 ∗		) → 0,4393 ± 0,0523
2	√n	√346
p − e = 0,4393 − 0,0523 → p − e = 0,387 p + e = 0,4393 + 0,0523 → p + e = 0,492 P(0, 387 < p^ < 0,492) = 0, 95
7 - Dados dos salários anuais mais bonificações recebidos pelos CEOs das empresas são publicados na Annual Pay Survey (Pesquisa de Salarios Anuais) da revista Business Week. Uma amostra preliminar revelou que o desvio padrão é igual a US$ 675, sendo os dados fornecidos em milhares de dólares. Quantos CEOs devem estar contidos em uma amostra se quisermos obter uma estimativa da média populacional dos salários anuais mais bonificações,com uma margem de erro de US$ 100 mil? (nota: a margem de erro desejada seria E = 100 se os dados forem expressos em milhares de dólares). Use 95% de confiança.
o	675	1,96 ∗ 675	 	 
e = Za ∗ = 100 → 1,96 ∗	= 100 →	100	= √n → √n = 13,23 → n = 175,03
2	√n
n = 175
√n
n = z2 x S2a/2	=
2
e
1,962 x 6752
 
1002
= 175, 03 .
8 - As primeiras semanas de 2004 foram boas para o mercado de ações. Uma amostra de
25 grandesfundos de capitalização ilimitada apresentou os seguintes retornos no intervalo de um ano, com vencimento em 16 de janeiro de 2004.
	7
	3,2
	1,4
	5,4
	8,5
	2,5
	2,5
	1,9
	5,4
	1,6
	1
	2,1
	8,5
	4,3
	6,2
	1,5
	1,2
	2,7
	3,8
	2
	1,2
	2,6
	4
	2,6
	0,6
(a) Qual é a estimação por ponto do retorno médio populacional no intervalo de um ano, ate o presente, para os fundos de capitalização ilimitada?
	xi
	fi
	xi*fi
	0,6
	1
	0,6
	1
	1
	1
	1,2
	2
	2,4
	1,4
	1
	1,4
	1,5
	1
	1,5
	1,6
	1
	1,6
	1,9
	1
	1,9
	2
	1
	2
	2,1
	1
	2,1
	2,5
	2
	5
	2,6
	2
	5,2
	2,7
	1
	2,7
	3,2
	1
	3,2
	3,8
	1
	3,8
	4
	1
	4
	4,3
	1
	4,3
	5,4
	2
	10,8
	6,2
	1
	6,2
	7
	1
	7
	8,5
	2
	17
∑ =	83,7
n = 25
Σ xi ∗ ƒi = 83,7
x̅ = (∑ xi ∗ ƒi) → x̅ = 83,7
 	
→ ¯x = 3, 348
n	25
b) Dado que a população tenha uma distribuição normal, desenvolva um intervalo de confiança de 95% do retorno médio populacional no intervalo de um ano, ate o presente, para os fundos de capitalização ilimitada.
n = 25
GL = 24
	(3,348-xi)^2
	((3,348-xi)^2)*fi
	7,55
	7,55
	5,51
	5,51
	4,61
	9,23
	3,79
	3,79
	3,42
	3,42
	3,06
	3,06
	2,10
	2,10
	1,82
	1,82
	1,56
	1,56
	0,72
	1,44
	0,56
	1,12
	0,42
	0,42
	0,02
	0,02
	0,20
	0,20
	0,43
	0,43
	0,91
	0,91
	4,21
	8,42
	8,13
	8,13
	13,34
	13,34
	26,54
	53,09
∑ = 125,54
S2 =i–1
∑n (xi − x̅)2 ∗ ƒi n − 1
= 125,54
24
S = √S2 → S = 2,287 P(−t < µ < t) = 0,95
1 − α = 0,95 → α = 0,05
α = 0,025
2
tα = t0,025 (24 GL) = 2,064
2
tα ∗ S
 2	=
√n
2,064 ∗ 2,287 →
√25
tα ∗ S
 2	= 0,944
√n
tα ∗ S	tα ∗ S
P (x̅ − 2	< µ < x̅ + 2	) = 0,95
	
√n	√n
P(3,348 − 0,944 < µ < 3,348 + 0,944) = 0,95
P(2, 4 < µ < 4,29) = 0, 95
IC = X¯ ± e
X¯ = 7 + 2,5 + 1 + 1,5 + 1,2 + 3,2 + ⋯ + 8,5 + 1,6 + 6,2 + 2 + 0,6 = 83,7 = 3,348
 	
∑ X2 − (∑ X)2
S2 = 	n	=
n − 1
S = ƒ5,2309 = 2,287
25	25
405,77 − (83,7)2
 	25	= 5,2309
24
S
e = ta/2 x √n
= 2,064 x 2,287 = 0,9441
√25
Logo: IC = [3,348 – 0,9441 ; 3,348 + 0,9441] = [2,4039 ; 4,2921]
9 - Uma máquina automática para encher pacotes de café enche-os segundo uma distribuição normal, com média e variância sempre igual a 400 g 2. A máquina foi regulada para = 500g . Desejamos, periodicamente, colher uma amostra de 16 pacotes e verificar se a produção está sob controle, isto é, se = 500 g ou não. Se uma dessas amostras apresentasse uma média x = 492 g, você pararia ou não a produção para regular a máquina?
µ = 500
V = 400
σ = √400 = 20
x̅ = 492
n = 16
α = 0,01
Teste de hipóteses
H0: µ = 500 H1: µ ≠ 500
Z = x̅ − µ = 492 − 500 = −8 = −1,6
o	20	5
√n	√16
Como o Zcalc = −1, 6 está no RAH0, não Má necessidade de parar a máquina
Para  = 0,01, em um teste z bicaudal, os valores críticos são -z/2 = -2,575 e z/2 = 2,575. Como o Zcal está compreendido entre os valores críticos, está na área de aceitação de Ho e portanto não precisa parar a máquina (-z/2 < Z0 < z/2).
Ainda que fosse usado  = 0,05 (valores críticos -z/2 = -1,96 e z/2 = 1,96) o Zcal ainda estaria na faixa de aceitação de H0.
10 - Um instrutor tem duas turmas, A e B, para determinada disciplina. A turma A tem 16 estudantes, e a turma B 25 estudantes. Em um mesmo exame, embora não tivesse havido diferença significativa entre as notas médias, a turma A acusou desvio padrão de 9, enquanto que, para a turma B, o desvio padrão foi de 12. Podemos concluir que a variabilidade da turma B seja maior do que a variabilidade da turma A, ao nível de significância:
(a) 0,01;
(b) 0,05
19
GLA = 15 e GLB = 24
 o2
FcaS =	=o2
B
Æ
122
 
92
144
= 81
= 1,78
(a) 0,01 = Ftab para α = 0,01 = 2,889
	NA
	16
	NB
	25
	GLA
	15
	GLB
	24
	α
	0,01
	1 – α
	0,99
	SA
	9
	SB
	12
	2
SA
	81
	2
SB
	144
	2	2
SB / SA
	1,7778
	Ftab (24;15)1%
	3,29
H0 : σA2 = σB2
H1 : σB2 > σ 2A
→ Teste unilateral à direita
FTAB = F(GLB ; GLA) = Fα=1%(24;15) → FTAB = 3,29 FCALC = S2B / S2A = 144/81 → FCALC = 1,778
Sendo FCALC < FTAB → Região de aceitação de H0
Com 99% de certeza, pode-se dizer que a variância da turma A é estatisticamente igual à variância da turma B. Ou seja, não há variabilidade.
b)	0,05 = Ftab para α = 0,05 = 2,108
	NA
	16
	NB
	25
	GLA
	15
	GLB
	24
	α
	0,05
	1 – α
	0,95
	SA
	9
	SB
	12
	2
SA
	81
	2
SB
	144
	2	2
SB / SA
	1,7778
	FTAB (24;15)5%
	2,29
H0 : σ
2 = σB2
→ Teste unilateral à direitaA
H1 : σB2 > σ 2A
FTAB = F(GLB ; GLA) = Fα=5%(24;15) → FTAB = 2,29 FCALC = S2B / S2A = 144/81 → FCALC = 1,778
Sendo FCALC < FTAB → Região de aceitação de H0
Com 95% de certeza, pode-se dizer que a variância da turma A é estatisticamente igual à variância da turma B. Ou seja, não há variabilidade.
Como FCal é menor Ftab pode-se concluir que as variáveis são estatisticamente iguais para ambos os níveis (0,01 e 0,05)
11 - Dois grupos A e B consistem, cada um, de 100 indivíduos portadores de determinada enfermidade. Aplica-se um soro ao grupo A, mas não ao grupo B (aqui chamado de grupo controle); fora isso, os dois grupos são tratados de maneira idêntica. Constata-se que, nos grupos A e B, 73% e 65%, respectivamente, se curam da enfermidade. Teste a hipótese de que o soro é eficiente, ao nível de significância:
(a) 0,01;
(b) 0,05;
(c) 0,10
	nA
	100
	nB
	100
	pA
	0,73
	pB
	0,65
	nA * PA
	73
	nB * pB
	65
	P
	0,69
	nA + nB
	200
	Q
	0,31
	PQ
	0,2139
	PQ / nA
	0,002139
	PQ / nB
	0,002139
	S2
	0,004278
	S
	0,065406
Interesse em comparar duas proporções (pA	e pB) provenientes de amostras (nA e nB) distintas.
H0 : pA = pB H1 : pA > pB
→ Teste unilateral à direita
p = nÆ∗pÆ+nB∗pB= 73+65
nÆ+nB
200 = 0,69
q = 1 - p = 0,31
 
Sp = Jpq + pq= J0,2139 + 0,2139= √0,004278→ Sp = 0,0654
nÆ	nB
100
100
Z	= pÆ–Pb= 0,73–0,65→ Z
= 1,22
CALC	Sp
0,0654
CALC
a) Ztab para α = 0,01 = 2,33
O Zc = 1,22 < Z tab = 2,33, logo pode-se afirmar com 99% de certeza, que e o soro não é eficiente.
	α
	0,01
	1-α
	0,99
	ZTAB = (0,49)
	2,33
Sendo ZCALC < ZTAB → Região de aceitação de H0
Com 99% de certeza, pode-se dizer que o soro é ineficiente.
b) Ztab para α = 0,05 = 1,64
	α
	0,05
	1-α
	0,95
	ZTAB = (0,45)
	1,64
Sendo ZCALC < ZTAB → Região de aceitação de H0
Com 95% de certeza, pode-se dizer que o soro é ineficiente.
c) Ztab para α = 0,10 = 1,28
	α
	0,10
	1-α
	0,90
	ZTAB = (0,40)
	1,28
Sendo ZCALC < ZTAB → Região de aceitação de H0
O Zc = 1,22 < Z tab = 1,28, logo pode-se afirmar com 90% de certeza, que e o soro não é eficiente.
12 – Um investidor dispõe de certa importância em dinheiro para investir no momento. Três possibilidades alternativas de carteira estão disponíveis. Os lucros estimados para cada carteira, sob cada condição econômica, são indicados na tabela de remuneração:
	EVENTOS
	CARTEIRAS
	
	A
	B
	C
	Economia decresce
	$500,00
	-$2.000,00
	-$7.000,00
	Não há mudança
	$1.000,00
	$2.000,00
	$-1.000,00
	Economia cresce
	$2.000,00
	$5.000,00
	$20.000,00
Com base em experiência passada, o investidor atribui as seguintes probabilidades para cada condição econômica: P(a economia decresce) = 0,30; P(não há mudanças) = 0,50; e P(a economia cresce) = 0,20.
a) Determine a melhor seleção de carteiras para o investidor de acordo com o critério do valor monetário esperado. Discuta.
	EVENTOS
	P
	CARTEIRAS
	
	
	A
	B
	C
	Economia decresce
	0,3
	$500,00
	-$2.000,00
	-$7.000,00
	Não há mudança
	0,5
	$1.000,00
	$2.000,00
	-$1.000,00
	Economia cresce
	0,2
	$2.000,00
	$5.000,00
	$20.000,00
Valor médio esperado
E(X) = ΣX x P(X)
E(XA) = (0,3 x 500) + (0,5 x 1.000) + (0,2 x 2.000) = R$1.050,00
E(XB) = [0,3 x (-2.000)] + (0,5 x 2.000) + (0,2 x 5.000) = R$1.400,00
E(XC) = [0,3 x (-7.000)] + [0,5 x (-1.000)] + (0,2 x 20.000) = R$1.400,00
As carteiras B e C tem um melhor retorno médio esperado quando comparados com a carteira
A. Contudo, a carteira C é mais vulnerável, pois, depende de um ambiente com economia crescente para dar lucro. A carteira mais confiável e vantajosa para o investimento é a B.
b) Qual seria o efeito nos resultados se as probabilidades das condições econômicas fossem:
a. 0,1; 0,6; 0,3?
b. 0,1; 0,3;0,6?
c. 0,4; 0,4; 0,2?
	EVENTOS
	P
	CARTEIRAS
	
	
	A
	B
	C
	Economia decresce
	0,1
	500,00
	-2.000,00
	-7.000,00
	Não há mudança
	0,6
	1.000,00
	2.000,00
	-1.000,00
	Economia cresce
	0,3
	2.000,00
	5.000,00
	20.000,00
	Valor médio esperado: E(X) = ΣX x P(X)
	1.250,00
	2.500,00
	4.700,00
	EVENTOS
	P
	CARTEIRAS
	
	
	A
	B
	C
	Economia decresce
	0,1
	500,00
	-2.000,00
	-7.000,00
	Não há mudança
	0.3
	1.000,00
	2.000,00
	-1.000,00
	Economia cresce
	0,6
	2.000,00
	5.000,00
	20.000,00
	Valor médio esperado: E(X) = ΣX x P(X)
	1.550,00
	3.400,00
	11.000,00
	EVENTOS
	P
	CARTEIRAS
	
	
	A
	B
	C
	Economia decresce
	0,4
	500,00
	-2.000,00
	-7.000,00
	Não há mudança
	0,4
	1.000,00
	2.000,00
	-1.000,00
	Economia cresce
	0,2
	2.000,00
	5.000,00
	20.000,00
	Valor médio esperado: E(X) = ΣX x P(X)
	1.000,00
	1.000,00
	800,00
13 – Uma parte importante das responsabilidades do atendimento de um setor público diz respeito à velocidade com que os processos são processados. Suponha que uma variável importante do atendimento ao
público se refira ao fato de a pessoa encarregada do registro dos processos realizar sua tarefa no prazo de 2h. Dados anteriores indicam que há uma probabilidade de 0,60 de que a pessoa encarregada conclua o processamento em 2h.
a) Se for selecionada uma amostra de cinco atendimentos, qual é a probabilidade de que a pessoa encarregada pelo processamento:
n = 5	p = 0,6	q = 0,4
P (X = x) =	n!
X! x (n − X)!
x psx qn–s
b) Qual o número esperado de processos que serão realizados no período de duas horas cada?
Valor esperado é a média.
E(X) = n.p = 5 x 0,6 = 3 processos
c) Em todos os cinco casos realizará o processamento em 2h?
P (X = 5) =	5!
5! x (5 − 5)!
x 0,65x 0,45–5 = 0,0778 ou 7,78%
d) Em pelo menos três casos realizará o processamento em 2h?
P(X≥3) = P (X=3) + P (X=4) + P (X=5)
P (X = 3) =	5!
3! x (5 − 3)!
x 0,63x 0,45–3 = 0,3456
P (X = 4) =	5!
4! x (5 − 4)!
x 0,64x 0,45–4 = 0,2592
P (X = 5) =	5!
5! x (5 − 5)!
x 0,65x 0,45–5 = 0,0778
Logo:
P(X≥3) = 0,3456 + 0,2592 + 0,0778 = 0,6826 ou 68,26%
14 – Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 processos aleatoriamente de um lote muito grande de processos para arquivamento. Sabe-se que, em geral, 20% dos processos apresentam algum tipo de irregularidade.
a) Qual a probabilidade de que não mais do que 2 processos extraídos esteja irregulares?
n = 10
p= 0,2
q = 0,8
P(x ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2)
P(x ≤ 2) =	10!
0! (10 − 0)!
∗ 0,20 ∗ 0,810–2 +	10!
1! (10 − 1)!
∗ 0,21 ∗ 0,810–1 +	10!
2! (10 − 2)!
∗ 0,22 ∗ 0,810–2
P(x ≤ 2) = 0,1074 + 0,2684 + 0,3020
P(x ≤ 2) = 0,6778
b) Qual a probabilidade de todos os processos estarem regulares?
Não ter nenhum processo irregular!
P (X = 0) =	10!
0! x (10 − 0)!
x 0,20x 0,810–0 = 0,1074 ou 10,74%
c) Qual o valor esperado de processos irregulares? E qual o desvio padrão?
x´= n ∗ p x´= 10 ∗ 0,2
x´= 2
n= 10
p= 0,2
q= 0,8
o = ƒn ∗ p ∗ q
 
o = ƒ10 ∗ 0,2 ∗ 0,8 o = ƒ1,6
o = 1,265
Valor esperado é a média.
E(X) = n.p = 10 x 0,2 = 2 processos
Desvio padrão
o = ƒn. p. q = ƒ10 x 0,2 x 0,8 = 1,2649
15 - Quando um poluente é descarregado continuamente num rio, por experiências pretéritas, sabe-se que o número esperado de excessos aos padrões regulatórios, referentes à qualidade da água, é tratado por meio de uma distribuição de Poisson com taxa de 8 excessos por mês. Com base nestas informações, determine o número esperado de excessos em uma semana, em 15 dias e em 1 mês? Faça um gráfico contemplando estas probabilidades e discuta a sua simetria relativa. Determine qual a probabilidade de se ter 2 ou mais excessos em 1 semana, em 2 semanas e em um mês.
a) determine o número esperado de excessos em uma semana, em 15 dias e em 1 mês?
Valor (número) esperado = λ
Uma semana
8 excessos – 4 semanas (1 mês)
λ excessos – 1 semana
λ = 2 excessos
15 dias (duas semanas)
8 excessos – 4 semanas (1 mês)
λ excessos – 2 semanas
λ = 4 excessos
Um mês
8 excessos – 4 semanas (1 mês) λ excessos – 4 semanas (1 mês) λ = 8 excessos
b) Faça um gráfico contemplando estas probabilidades e discuta a sua simetria relativa.
>
c) Determine qual a probabilidade de se ter 2 ou mais excessos em 1 semana, em 2 semanas e em um mês.
1 semana:
λ = 2 (Se são 8 excessos em 4 semanas, logo em uma semana são 2) e = 2,7182818285
P(X ≥ 2) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)]
P (X = 0) =
P (X = 1) =
20 
x e–2
0!	= 0,1353
21 x e–2
1!	= 0,2707
P(X ≥ 2) = 1 − (0,1353 + 0,2707) = 0,594 ou 59,4%
2 semana:
λ = 4 (Se são 8 excessos em 4 semanas, logo em 2 semanas são 4)
e = 2,7182818285
P(X ≥ 2) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)]
P (X = 0) =
P (X = 1) =
40 
x e–4
0!	= 0,018
41 x e–4
1!	= 0,073
P(X ≥ 2) = 1 − (0,018 + 0,073) = 0,9084 ou 90,84%
1 mês (4 semanas):
λ = 8
e = 2,7182818285
P(X ≥ 2) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)]
P (X = 0) =
P (X = 1) =
80 
x e–8
0!	= 0,000335
81 x e–8
1!	= 0,002707
P(X ≥ 2) = 1 − (0,000335 + 0,002707) = 0,997 ou 99,70%
16 - De acordo com os dados da tabela abaixo, verifique quais fontes de geração de energia (quadrilhões de BTU) mais estão correlacionadas linearmente com o aumento de liberação de CO2 na atmosfera (MM 3). Justifique estatisticamente suasconclusões.m
 
CO2
	Ano
	(MM m3)
	Carvão
	Gás Natural
	Hidro
	1986
	1,385
	19,509
	16,541
	3,071
	1987
	1,436
	20,141
	17,136
	2,635
	1988
	1,515
	20,738
	17,599
	2,334
	1989
	1,541
	21,346
	17,847
	2,839
	1990
	1,474
	22,456
	18,362
	2,997
	1991
	1,494
	21,594
	18,229
	2,961
	1992
	1,527
	21,629
	18,375
	2,575
	1993
	1,527
	20,249
	18,584
	2,851
	1994
	1,663
	22,111
	19,348
	2,650
	1995
	1,694
	22,029
	19,101
	3,181
Correlação linear entre CO2 e Carvão:
S2X =	23,35	-	23,27	=	0,009
 
9,00
SX =	0,094
S2Y = 4494,56 -	4486,01 =	0,950
 
9,00
SY =	0,975
CovXYAno
CO2
Carvão
(X)
(Y)
X2
Y2
X * Y
1986
1,385
19,509
1,92
380,60
27,02
1987
1,436
20,141
2,06
405,66
28,92
1988
1,515
20,738
2,30
430,06
31,42
1989
1,541
21,346
2,37
455,65
32,89
1990
1,474
22,456
2,17
504,27
33,10
1991
1,494
21,594
2,23
466,30
32,26
1992
1,527
21,629
2,33
467,81
33,03
1993
1,527
20,249
2,33
410,02
30,92
1994
1,663
22,111
2,77
488,90
36,77
1995
1,694
22,029
2,87
485,28
37,32
Somatório
15,26
211,80
23,35
4.494,56
323,65
323,65	-	323,13
0,059
=	 	=
9,00
0,975
0,094
= 0,6405
0,059
x
r =
Correlação linear entre CO2 e Gás Natural:
S2X =	23,35	-	23,27	=	0,009
 
9,00
SX =	0,094
S2Y = 3287,15 -	3280,52	=	0,736
 
9,00
SY =	0,858
20
CovXYAno
CO2
Gás
(X)
(Y)
X2
Y2
X * Y
1986
1,385
16,541
1,92
273,60
22,91
1987
1,436
17,136
2,06
293,64
24,61
1988
1,515
17,599
2,30
309,72
26,66
1989
1,541
17,847
2,37
318,52
27,50
1990
1,474
18,362
2,17
337,16
27,07
1991
1,494
18,229
2,23
332,30
27,23
1992
1,527
18,375
2,33
337,64
28,06
1993
1,527
18,584
2,33
345,37
28,38
1994
1,663
19,348
2,77
374,35
32,18
1995
1,694
19,101
2,87
364,85
32,36
Somatório
15,26
181,12
23,35
3.287,15
276,95
276,95	-	276,32
0,070
=	 	=
9,00
0,858
0,094
= 0,8711
0,070
x
r =
Correlação linear entre CO2 e Hidro:
S2X =	23,35	-	23,27	=	0,009
 
9,00
SX =	0,094
S2Y =	79,52	-	78,92	=	0,067
 
9,00
SY =	0,259
CovXYAno
CO2
Hidro
(X)
(Y)
X2
Y2
X * Y
1986
1,385
3,071
1,92
9,43
4,25
1987
1,436
2,635
2,06
6,94
3,78
1988
1,515
2,334
2,30
5,45
3,54
1989
1,541
2,839
2,37
8,06
4,37
1990
1,474
2,997
2,17
8,98
4,42
1991
1,494
2,961
2,23
8,77
4,42
1992
1,527
2,575
2,33
6,63
3,93
1993
1,527
2,851
2,33
8,13
4,35
1994
1,663
2,65
2,77
7,02
4,41
1995
1,694
3,18
2,87
10,11
5,39
Somatório
15,26
28,09
23,35
79,52
42,87
42,87	-	42,86
0,001
=	 	=
9,00
0,259
0,094
= 0,0463
0,001
x
r =
Observando os cálculos das correlações lineares do Carvão, Gás Natural e Hidro com a emissão do CO2 pode se concluir que a fonte de energia que está mais correlacionados linearmente com o aumento de liberação de CO2 na atmosfera (MM m3) é o Gás Natural. A correlação entre eles é positiva e alta (0,8711) significando que quando a emissão do CO2 aumentar a do Gás Natural aumentará também.