04 1ra Lei

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Termodinâmica Aplicada
Tema 4. Primeira lei da termodinâmica .
UNIZAMBEZE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
Curso Engenharia Mecatrônica
Docente: MSc. Eng.ª Beatriz Reyes Collado
e-mail: beatriz50.c@uzambeze.ac.mz
mailto:beatriz50.c@uzambeze.ac.mz
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4.1 Primeira lei da termodinâmica para um sistema percorrendo um ciclo.
4-2 - Primeira lei da termodinâmica para mudança de estado de um sistema.
4.3 - Primeira lei da termodinâmica em termos de fluxo.
4.4 - Calor específico a pressão constante e a volume constante.
4.5 - Energia interna, entalpia e calor específico para gás ideal.
4.6 - Conservação de massa.
4.7- Conservação de massa e o volume de controle.
4.8 - Primeira lei da termodinâmica para o volume de controle. 
4.9 - O processo em regime permanente. 
Plano de aula
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PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
A primeira lei da termodinâmica é comumente chamada de "lei da
conservação da energia".
Nos cursos elementares de física, dá ênfase às transformações de energia
cinética e potencial e suas relações com o trabalho.
Uma forma mais geral de conservação de energia inclui os efeitos de
transferência de calor e a variação de energia interna.
Outras formas de energia podem serem incluídas: energia eletrostática,
energia de campos magnéticos, tensão superficial etc.
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A idéia básica, aqui, é que a energia pode ser armazenada dentro de um
sistema, transformada de uma para outra forma de energia e transferida
entre sistemas.
Para o sistema fechado a energia pode ser transferida através do trabalho e
da transferência de calor.
A quantidade total de energia é conservada em todas transformações e
transferências.
PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
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4-1. Primeira lei para um sistema percorrendo um ciclo.
A primeira lei da termodinâmica estabelece que, durante um processo cíclico
qualquer, percorrido por um sistema, a integral cíclica do calor é
proporcional à integral cíclica do trabalho, matematicamente se pode
expresar:
 δQ = δW (4.1)
 cicloQ = cicloW (4.2)
A base de todas as leis da natureza é a evidência experimental.
Toda a experiência efetuada até agora provou a veracidade direta ou
indiretamente da primeira lei.
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Sistemas industriais que operam em um ciclo termodinâmico: termoeléctricas
a vapor e os sistemas de refrigeração. Estes dois sistemas são projetados,
operados e controlados através da análise termodinâmica, mais
especificamente através dos princípios da primeira lei da termodinâmica.
Figura 4.1-1b -Sistema de refrigeração 
por compressão de vapor.
Figura 4.1-1a - Sistema termelétrico de uma central de 
geração elétrica.
4-1. Primeira lei para um sistema percorrendo um ciclo.
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A equação estabelece a primeira lei da termodinâmica para um
sistema operando em um ciclo.
Muitas vezes, estamos mais interessados a respeito de um processo que em um
ciclo. Assim é interessante obter uma expressão da primeira lei da
termodinâmica para um processo.
Isto pode ser feito introduzindo-se uma nova propriedade, a energia total, a
qual é representada pelo símbolo E.
4-1. Primeira lei para um sistema percorrendo um ciclo.
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Considere-se um sistema que percorre um
ciclo, mudando do estado 1 ao estado 2 pelo
processo A e voltando do estado 2 ao estado 1
pelo processo B.
Da primeira lei da termodinâmica temos;
Considerando os dois processo que constituem o ciclo separadamente obtemos;
 𝟏
𝟐
𝜹𝑸𝑨 + 𝟐
𝟏
𝜹𝑸𝑩= 𝟏
𝟐
𝜹𝑾𝑨 + 𝟐
𝟏
𝜹𝑾𝑩
Figura 4.2-1- Demonstração da existencia 
da propriedade termodinâmica, E
4-1. Primeira lei para um sistema percorrendo um ciclo.
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Agora, consideremos outro ciclo, com o sistema
mudando do estado 1 ao estado 2pelo mesmo
processo A e voltando ao estado 1 pelo
processo C como indicado na Fig 4.2-1. Para
este ciclo podemos escrever:
 
𝟏
𝟐
𝜹𝑸𝑨 + 
𝟐
𝟏
𝜹𝑸𝑪 = 
𝟏
𝟐
𝜹𝑾𝑨 + 
𝟐
𝟏
𝜹𝑾𝑪
Subtraindo a segunda destas equações da primeira, temos
 𝟏
𝟐
𝜹𝑸𝑩 − 𝟐
𝟏
𝜹𝑸𝑪 = 𝟏
𝟐
𝜹𝑾𝑩 − 𝟐
𝟏
𝜹𝑾𝑪
ou, reordenando 𝟏
𝟐
(𝜹𝑸 − 𝜹𝑾)𝑩= 𝟐
𝟏
(𝜹𝑸 − 𝜹𝑾)𝑪 (4.2-1)
4-1. Primeira lei para um sistema percorrendo um ciclo.
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Visto que B e C representam caminhos
arbitrários entre os estados 1 e 2 concluímos que
a quantidade (𝜹Q - 𝜹W) é a mesma para
qualquer processo entre o estado 1 e o estado 2.
Em conseqüência, (𝜹Q - 𝜹W) depende somente
dos estados inicial e final não dependendo do
caminho percorrido entre os dois estados.
Isto nos faz concluir que a quantidade, (𝛿Q - 𝛿W), é uma função de ponto, e
portanto, é a diferencial exata de uma propriedade do sistema. Essa propriedade
é a energia total do sistema e é representada pelo símbolo E.
4-1. Primeira lei para um sistema percorrendo um ciclo.
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Assim podemos escrever: 𝜹𝑸 − 𝜹𝑾 = 𝒅𝑬
ou, 𝜹𝑸 = 𝒅𝑬 + 𝜹𝑾 (4.2-2)
Observe-se que, sendo E uma propriedade, sua diferencial é escrita dE.
Quando a Eq. 4.2-2 é integrada, de um estado inicial 1 a um estado final 2,
temos
𝑸𝟏−𝟐= 𝑬𝟐 − 𝑬𝟏 +𝑾𝟏−𝟐 (4.2-3)
onde:
Q1-2 é o calor transferido para o sistema durante o processo do estado 1 
parao estado 2, 
E1 e E2 são os valores inicial e final da energia total do sistema e
W1-2 é o trabalho efetuado pelo sistema durante o processo.
4-1. Primeira lei para um sistema percorrendo um ciclo.
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4-2. Primeira lei para mudança de estado de um sistema.
O significado físico da propriedade E é o de representar toda a energia de um
sistema em um dado estado. Essa energia pode estar presente em uma
multiplicidade de formas, tais como; energia cinética, energia potencial, energia
associada à estrutura do átomo, energia química, etc.
No estudo da termodinâmica é conveniente considerar-se separadamente as
energias cinética e potencial, as demais formas de energia do sistema são
agrupadas em uma única variável, já definida, a energia interna, representada
pelo símbolo U. Assim 𝑬 = 𝑼+ 𝑬𝑪 + 𝑬𝑷 (4.2-4)
sendo 𝑬𝑪 =
𝟏
𝟐
𝒎𝑽𝟐 e 𝑬𝑷 = 𝒎𝒈𝒁 (4.2-5)
onde: m massa do sistema,
V velocidade,
g aceleração gravitacional e
Z elevação em relação ao referencial adotado para o sistema
termodinâmico.
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4-2 . Primeira lei para mudança de estado de um sistema.
A energia interna U está associada ao estado termodinâmico do sistema.
Como cada uma das parcelas é uma função de ponto, podemos escrever
𝒅𝑬 = 𝒅𝑼 + 𝒅(𝑬𝑪)+d(EP) (4.2-6)
A primeira lei da termodinâmica para uma mudança de estado de um sistema
pode, então, ser escrita como;
𝜹𝑸 = 𝒅𝑼 + 𝒅 𝑬𝑪 + 𝒅 𝑬𝑷 + 𝜹𝑾 (4.2-7)
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Três observações podem ser feitas relativa a essa equação:
1. A energia total E, realmente existe e podemos fazer uso desta para escrever a primeira
lei. Entretanto é mais conveniente, em termodinâmica, trabalhar separadamente com a
energia interna U, a energia cinética EC, e com a energia potencial EP.
2. A equação 4.2-3 e 4.2-7 são de fato o enunciado da conservação de energia. A variação
líquida de energia do sistema é sempre igual à transferência líquida de energia através
da fronteira do sistema, na forma de calor e trabalho.
3. A equação 4.2-3 e 4.2-7 somente tratam com variações de energia interna, energia
cinética e energia potencial. Não conseguimos nos informar sobre os valores absolutos
dessas quantidades através dessas equações. Se quisermos atribuir valores à energia
interna, energia cinética e potencial, precisamos admitir estados de referência e atribuir
valores às quantidades nesses estados.
4-2 . Primeira lei para mudança de estado de um sistema.
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4-3. Primeira lei da termodinâmica em termos de fluxo
A equação do primeiro princípio para o volume de controle encontra amplas
aplicações na termodinâmica, mecânica dos fluidos e transferência de calor.
Consideremos um intervalo de tempo 𝛿t, durante o qual uma quantidade de calor 𝛿Q
atravessa a fronteira do sistema, um trabalho 𝛿W é realizado pelo sistema, a variação
de energia interna é ΔU, de energia cinética é Δ(EC) e da energia potencial é Δ(EP).
Da primeira lei, podemosescrever:
𝜹𝑸 = ∆𝑼 + ∆𝑬𝑪 + ∆𝑬𝑷 + 𝜹𝑾
dividindo por 𝛿𝑡 teremos a taxa média de energia trocada, como calor e
trabalho e de aumento de energia do sistema.
𝜹𝑸
𝜹𝒕
=
∆𝑼
𝜹𝒕
+
∆𝑬𝑪
𝜹𝒕
+
∆𝑬𝑷
𝜹𝒕
+
𝜹𝑾
𝜹𝒕
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4.3 - Primeira lei da termodinâmica em termos de fluxo
Calculando o limite desses valores quando 𝛿𝑡 tende para zero temos
lim
𝛿𝑡→0
𝛿𝑄
𝛿𝑡
= 𝑄 , fluxo instantâneo de calor
, potencia
lim
𝛿𝑡→𝑜
∆𝑈
𝛿𝑡
=
𝑑𝑈
𝑑𝑡
, lim
𝛿𝑡→𝑜
∆(𝐸𝐶)
𝛿𝑡
=
𝑑(𝐸𝐶)
𝑑𝑡
, lim
𝛿𝑡→𝑜
∆(𝐸𝑃)
𝛿𝑡
=
𝑑(𝐸𝑃)
𝑑𝑡
Portanto a primeira lei em termos de fluxo é
 𝑄 =
𝑑𝑈
𝑑𝑡
+
𝑑(𝐸𝐶)
𝑑𝑡
+ 
𝑑(𝐸𝑃)
𝑑𝑡
+ 𝑊 (4.3-1) 
ou
 𝑄=
𝑑𝐸
𝑑𝑡
+ 𝑊 (4.3-2) 
lim
𝛿𝑡→0
𝛿𝑊
𝛿𝑡
= 𝑊
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4.3 - Primeira lei da termodinâmica em termos de fluxo
Exemplo 4.3-1
Durante a operação de carregamento de uma bateria, a corrente elétrica I, é
de 20 ampères, e a tensão 𝜀, é de 12,8 Volts, A taxa de transferência de calor,
 𝑄, dabateria para o meio é de 10 W. Qual a taxa de aumento de energia
interna?
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Calor específico a pressão constante, CP,
Calor específico a volume constante, CV,
• São propriedades relacionadas à energia interna.
• São particularmente úteis para a termodinâmica nos cálculos envolvendo
o modelo de gás ideal.
• São definidas para substâncias puras e compressíveis simples como
sendo a derivada parcial das funções U(T,v) e h(T,P) respectivamente;
𝐶𝑉 = 
𝜕𝑈
𝜕𝑇 𝑉
(4.4-1)
𝐶𝑃 = 
𝜕ℎ
𝜕𝑇 𝑃
(4.4-2)
As unidades de Cv e Cp, no sistema internacional, SI, são o kJ/kg-k ou kJ/kg -oC.
Para unidades molares, kJ/ kmol-k.
4.4 - Calor específico a pressão constante e a volume constante
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Aproximações para Líquidos e Sólidos
Para simplificar avaliações envolvendo líquidos ou sólidos freqüentemente
adotamos a hipótese:
• O volume específico do líquido é constante
• A energia interna sendo somente função da temperatura.
A substância assim idealizada é chamada de incompressível.
Assim para uma substância na fase líquida ou sólida, que satisfaz o modelo de
substância incompressível a energia interna varia somente com a temperatura,
e portanto, o calor específico a volume constante será função somente da
temperatura.
𝐶𝑉 =
𝑑𝑈
𝑑𝑇
(incompressivel) (4.4-3)
4.4 - Calor específico a pressão constante e a volume constante
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4.4 - Calor específico a pressão constante e a volume constante
A entalpia, para qualquer substância, é função:
• Da energia interna,
• Da pressão e
• Do volume específico em qualquer fase.
h = u + Pv
Portanto para substâncias incompressíveis, o calor específico a pressão constante
CP e a volume constante, Cv são iguais.
Assim; Cv = CP= C, para sólidos e líquidos
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4.4 - Calor específico a pressão constante e a volume constante
𝑑ℎ = 𝐶𝑃 
1
2
𝑑𝑇 e 𝑑𝑈 = 𝐶𝑉 
1
2
𝑑𝑇
como Cp = Cv então, d h ≅ d u, para líquidos e sólidos
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4.5 - Energia interna, entalpia e calor específico para gás ideal
Para gases que obedecem o modelo de gás ideal, a energia interna específica é
função somente da temperatura.
Cv(T)= 
dU
dT
(4.5-1)
Separando as variáveis,
du = Cv T dT (4.5-2)
integrando desde T1 até T2 obtemos:
u(T2)-u(T1) = T1
T2 CvdT (4.5-3)
A entalpia específica foi definida como h=u+Pv, entretanto, para um gás ideal
a equação de estado é: Pv=RT, substituindo o valor do produto Pv na equação
de definição da entalpia, temos: h=u+RT (4.5-4)
Mostra que a entalpia específica também é função somente da temperatura.
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4.5 - Energia interna, entalpia e calor específico para gás ideal
Assim da Eq. 4.4-2 de definição do calor específico a pressão constante, resulta
para o gás ideal:
CP T =
dh
dT
(4.5-5)
dh = CP T dT (4.5-6)
h(T2)- h(T1)= T1
T2 CP T dT (4.5-7)
Uma relação importante entre os calores específicos dos gases ideais pode
ser obtida, diferenciando a Eq. 4.5-4 em relação à temperatura
dh
dT
=
du
dT
+ R (4.5-8)
substituindo o calor específico, obtemos: CP T − Cv T = R (4.5-9)
ou na base molar CP(T) - Cv T = ℜ 4.5-10)
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4.5 - Energia interna, entalpia e calor específico para gás ideal
Assim os calores específicos para um gás ideal diferem apenas do valor da
constante particular do gás. Como R é sempre positivo então, CP> Cv e
conseqüentemente 𝐶p> 𝐶v. Para um gás ideal o expoente da transformação
isoentrópica, k , (PVk=constante) é função somente da temperatura, por
definição
𝑘 =
𝐶𝑃(𝑇)
𝐶𝑣(𝑇)
(4.5-11)
Como Cp> Cv segue-se que k >1. Combinando a Eq. 4.5-9 com a Eq. 4.5-11
Resulta 𝐶𝑃 𝑇 =
𝑘 𝑅
𝑘−1
(4.5-12)
𝐶𝑣 𝑇 =
𝑅
𝑘−1
(4.5-13)
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4.6 - Conservação de Massa
Um sistema já foi definido como tendo uma quantidade fixa de massa.
Surge agora uma pergunta: variará a massa do sistema quando houver variação
de energia do sistema?
Se isto acontecer, então a nossa definição de sistema como tendo uma
quantidade fixa de massa não será válida, quando variar a energia do sistema.
Da teoria da relatividade, sabemos que a massa e a energia estão relacionadas
pela equação:
𝐸 = 𝑚𝐶2 (4.6-1)
onde C é a velocidade da luz,
m a massa e
E é a energia.
Concluímos a partir dessa equação que a massa de um sistema varia quando
sua energia varia.
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Calculemos a grandeza dessa variação de massa para um problema típico e
determinemos se essa variação é ou não significativa.
• Consideremos um recipiente rígido que contém 1,0 kg de uma mistura
estequiométrica de um hidrocarboneto combustível (por exemplo, gasolina,
C8H18) e ar, que constitui o nosso sistema. Do nosso conhecimento do
processo de combustão, sabemos que após a realização desse processo, será
necessário transferir cerca de 2900 kJ de calor do sistema para o meio para
que seja restabelecida a temperatura inicial do sistema.
Do primeiro princípio Q1−2= U2-U1+W1−2
como, W1-2= 0, e Q1-2= - 2 900 kJ , concluímos que a energia interna do sistema
decresceu de 2 900 kJ durante o processo de troca de calor.
4.6 - Conservação de Massa
27
Calculemos, agora, a diminuição de massa durante o processo, utilizando a
Eq. 4.6-1. A velocidade da luz é 2,9979x108 m/s.
2 900 000 (J) = m (kg) . (2,9979x108(m/s))2
m = 3,23 x10 -11 kg
Portanto, quando a energia do sistema varia de 2 900 kJ a redução de massa do
sistema será de 3,23 x 10 -11 kg.
Uma variação de massa dessa ordem de grandeza não pode ser detectada pela
balança analítica de maior precisão. Portanto se usarmos as leis de conservação
de massa e energia como leis independentes não introduziremos erros
significativos na grande maioria dos problemas termodinâmicos, e nossa
definição de sistema, tendo uma massa fixa, pode ser usado mesmo que haja
variação de energia do sistema.
4.6 - Conservação de Massa
28
4.7 Conservação de Massa e o Volume de Controle
A massa bem como o calor e o
trabalho podem atravessar a superfície
de controle, e a massa contida no
interior do volume de controle, bem
como suas propriedades, podem variar
no tempo.
A Fig. 4.7-1 mostra o esquema de um volume de controle com transferência de
calor, trabalho de eixo, acumulação de massa dentro do volume de controle e
movimento de superfície.
29
4.7 Conservação de Massa e o Volume de Controle
O princípio de conservação de massa para o volume de controle é introduzido
usando-se a Fig. 4.7-2
No tempo " t " a quantidade de massa dentro do sistema, m, sob consideração é
a soma 𝐦 = 𝐦𝐯𝐜(t)+ 𝛅𝐦𝐞 (4.7-1)
onde: mVC(t) é a massa contida dentro do volume de controle
𝜹me é a massa dentro da pequena região denominada " e“
adjacente ao volume de controle
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4.7 Conservação de Massa e o Volume de Controle
Analisemos, agora, o que ocorre com a quantidade fixa de matéria " m " no
decorrer do intervalo de tempo dt
No instante de tempo (t+dt)
a quantidade de matéria sob
consideração no sistema pode ser
expressa pela equação:
𝒎 = 𝒎𝒗𝒄 𝒕 + 𝒅𝒕 + 𝜹𝒎𝒔 (4.7-2)
Observe que as quantidades de massa nas regiões " e " e " s " não são
necessariamente iguais e que, a quantidadede matéria dentro do volume de
controle pode ter variado.
𝒎𝒗𝒄 𝒕 + 𝜹𝒎𝒆 = 𝒎𝑽𝑪 𝒕 + 𝒅𝒕 + 𝜹𝒎𝒔
ou rearranjando, 𝒎𝒗𝒄 𝒕 + 𝒅𝒕 −𝒎𝑽𝑪 𝒕 = 𝜹𝒎𝒆 − 𝜹𝒎𝒔 (4.7-3)
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4.7 Conservação de Massa e o Volume de Controle
A Eq. 4.7-3 pode ser expressa na base de taxa. Primeiro dividindo-a por dt para
obter:
𝒎𝒗𝒄 𝒕+𝒅𝒕 −𝒎𝒗𝒄(𝒕)
𝒅𝒕
=
𝜹𝒎𝒆
𝒅𝒕
-
𝜹𝒎𝒔
𝒅𝒕
(4.7-4)
A equação para a taxa instantânea de massa é obtida tomando-se o limite de dt
tendendo para zero na Eq. 4.7-4. No limite o volume de controle e o sistema
coincidem. Assim, o limite do termo do lado esquerdo da Eq. 4.7-4 é:
𝐥𝐢𝐦
𝒅𝒕→𝟎
𝒎𝒗𝒄 𝒕+𝒅𝒕 −𝒎𝒗𝒄(𝒕)
𝒅𝒕
=
𝒅𝒎𝒗𝒄
𝒅𝒕
Onde,
 𝒅𝒎𝒗𝒄 𝒅𝒕 é a taxa de variação de massa dentro do volume de controle no
tempo t.
32
4.7 Conservação de Massa e o Volume de Controle
No mesmo limite, quando dt tende para zero, os termos do lado direito da Eq.
4.7-4 tornam-se respectivamente;
lim
𝑑𝑡→0
𝛿𝑚𝑒
𝑑𝑡
= 𝑚𝑒 , lim
𝑑𝑡→0
𝛿𝑚𝑠
𝑑𝑡
= 𝑚𝑠
Nesta expressão 𝑚𝑒 e 𝑚𝑠 , são as taxas instantâneas de escoamento de massa na
entrada e saída, respectivamente, no volume de controle.
Em resumo a Eq. 4.7-4 quando dt →0 é,
𝑑𝑚𝑣𝑐
𝑑𝑡
= 𝑚𝑒 − 𝑚𝑠 (4.7-5)
Em geral podem existir várias localizações na superfície de controle através das
quais a massa pode entrar ou sair. Assim, a Eq. 4.7-5 é reescrita introduzindos e o
somatório nos termos do lado direito da equação, como na Eq. 4.7-6
𝑑𝑚𝑣𝑐
𝑑𝑡
= 𝑒 𝑚𝑒- 𝑠 𝑚𝑠 (4.7-6)
33
4.7 Conservação de Massa e o Volume de Controle
Vamos considerar um outro aspecto do escoamento de massa através de uma
superfície de controle. Para simplificar, admitamos que um fluido esteja
escoando uniformemente no interior de um tubo ou duto como mostrado na
Fig. 4.7-3.
Desejamos examinar o escoamento em termos de quantidade de massa que
cruza a superfície, A durante o intervalo de tempo dt. Conseqüentemente a
massa que atravessa asuperfície A é dada por 𝑑𝑚 =
𝐴𝑑𝑥
𝑣
onde v, é o volume específico do fluido
34
Se agora, dividirmos ambos os membros dessa expressão por dt e tomarmos o
limite para dt→0, o resultado será:
 𝑚 =
𝐴𝑉
𝑣
(4.7-7)
onde 𝑉 é a velocidade.
Deve-se observar que este resultado, a Eq. 4.7-7, foi desenvolvido para uma
superfície de controle estacionária A, e que, tacitamente admitimos que o
escoamento era normal à superfície e uniforme através da superfície. Deve-se
também considerar que a Eq. 4.7-7 se aplica a qualquer uma das várias
correntes de escoamento que entra e sai do volume de controle , sujeito às
hipóteses mencionadas.
4.7 Conservação de Massa e o Volume de Controle
35
4.8 - Primeira Lei da Termodinâmica para o Volume de Controle
Já consideramos a primeira lei da termodinâmica para um sistema, que consiste
numa quantidade fixa de massa e mostramos que para um processo ela pode
ser representada pela Eq. 4.2-3, isto é
 𝑄1−2 = 𝐸2 − 𝐸1 + 𝑊1−2
Vimos também que, dividindo por dt, ela pode ser escrita em termos de uma
equação de fluxo médio num intervalo de tempo dt,
 
𝑄1−2
𝑑𝑡
=
𝐸2−𝐸1
𝑑𝑡
+ 
𝑊1−2
𝑑𝑡
(4.8-1)
36
A fim de escrever a primeira lei em termos de fluxo para um volume de
controle, procedemos de modo análogo ao usado para deduzir a equação da
conservação da massa em termos de fluxo.
4.8 - Primeira Lei da Termodinâmica para o Volume de Controle
Consideremos agora cada termo da
primeira lei da termodinâmica escrita para
sistema e transformemo-lo numa forma
equivalente, aplicável ao volume de
controle. Consideremos primeiramente o
termo E2 - E1.
37
4.8 - Primeira Lei da Termodinâmica para o Volume de Controle
Seja
Et energia do volume de controle no instante t
Et+ dt a energia no volume de controle no instante
t+dt
Então
E1 = Et + ee𝛿me a energia do sistema no instante t
E2 = Et+ dt + es𝛿ms a energia do sistema no
instante t+dt
Portanto,
E2 - E1 = Et+ 𝛿t+ es𝛿ms- Et - ee𝛿me = (Et+dt- Et) + (es𝛿ms- ee𝛿me) (4-8-2)
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4.8 - Primeira Lei da Termodinâmica para o Volume de Controle
Consideremos com maior detalhe o trabalho
associado às massas 𝜹me e 𝜹ms que cruzam a
superfície de controle. O trabalho é realizado
pela força normal (normal à área A) que age
sobre a 𝛿me e 𝛿ms quando estas massas
atravessam a superfície de controle. Essa força
normal é igual ao produto da tensão normal - 𝝈n,
pela área A. O trabalho realizado é:
−𝜎𝑛𝐴𝑑𝑙 = −𝜎𝑛𝛿𝑉 = −𝜎𝑏𝑣𝛿𝑚 (4.8-3)
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4.8 - Primeira Lei da Termodinâmica para o Volume de Controle
Então, o trabalho total realizado pelo sistema durante, dt, será;
𝛿𝑊 = 𝛿𝑊𝑣𝑐 + 𝑃𝑠𝑣𝑠𝛿𝑚𝑠 − 𝑃𝑒𝑣𝑒𝛿𝑚𝑒 (4.8-4)
dividamos, agora, as Eq. 4.8-2 e 4.8-4 por dt e substituamos na primeira lei Eq.
4.8-1. Combinando os termos e rearranjando,
𝛿𝑄
𝑑𝑡
+
𝛿𝑚𝑒
𝑑𝑡
𝑒𝑒 + 𝑃𝑒𝑣𝑒 =
𝐸𝑡+𝛿𝑡−𝐸𝑡
𝑑𝑡
+
𝛿𝑚𝑠
𝑑𝑡
𝑒𝑠 + 𝑃𝑠𝑣𝑠 +
𝛿𝑊𝑣𝑐
𝑑𝑡
(4.8-5)
Cada um dos termos de fluxo mássico dessa expressão pode ser rescrito na
forma:
𝑒 + 𝑃𝑣 = 𝑢 + 𝑃𝑣 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑍 = ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑍 (4.8-6)
usando a definição de entalpia específica dada pela Eq. 2.2-2.
40
4.8 - Primeira Lei da Termodinâmica para o Volume de Controle
Utilizando-se a Eq. 4.8-6 para as massas entrando e saindo do volume de
controle, a Eq. 4.8-5 torna-se
𝛿𝑄
𝑑𝑡
+
𝛿𝑚𝑒
𝑑𝑡
ℎ𝑒 +
𝑉𝑒2
2
+ 𝑔𝑍𝑒 =
𝐸𝑡+𝛿𝑡−𝐸𝑡
𝑑𝑡
+
𝛿𝑚𝑠
𝑑𝑡
ℎ𝑠 +
𝑉𝑠2
2
+ 𝑔𝑍𝑠 +
𝛿𝑊𝑣𝑐
𝑑𝑡
(4.8-7)
equação do primeiro princípio para um volume de controle em termos de fluxo
 
 
𝑄𝑣𝑐 + 𝑚𝑒 ℎ𝑒 +
𝑉𝑒2
2
+ 𝑔𝑍𝑒 =
𝑑𝐸𝑣𝑐
𝑑𝑡
+ 𝑚𝑠 ℎ𝑠 +
𝑉𝑠2
2
+ 𝑔𝑍𝑠 + 𝑊𝑣𝑐
(4.8-8)
Em outras palavras essa equação diz que a taxa líquida de transferência de calor
para o volume de controle, mais a taxa de energia que entra no mesmo como
resultado da transferência de massa, é igual à taxa de variação da energia dentro
do volume de controle mais a taxa de energia que sai deste como resultado da
transferência de massa, e mais a potência líquida associada a eixo, cisalhamento,
efeitos elétricos e outros fatores que já foram mencionados.
41
4.9 - O processo em Regime Permanente
Nossa primeira aplicação das equações de volume de controle será no
desenvolvimento de um modelo analítico adequado para operações em regime
permanente de dispositivos como: Turbinas, Compressores, Bocais, Caldeiras,
Trocadores Calor etc. , ou seja, um grupo muito grande de problemas de
interesse na engenharia. Esse modelo não incluirá as fases transitória de
entrada em operação e parada de tais dispositivos, abordando apenas o
período de tempo de operação estável.
42
4.9 - O processo em Regime Permanente
Consideremos um certo conjunto de hipóteses (além daquelas que levaram à
equação da 1a lei) que conduzem a um modelo razoável para esse tipo de
processo, ao qual nos referimos como processo em regime permanente.
1. O volume de controle não se move em relação ao sistema de
coordenadas.
• Esta hipótese significa que todas as velocidades medidas em relação aquele
sistema são também velocidades relativas à superfície de controle, e não há
trabalho associado com a aceleração do volume de controle.
2. Quanto à massa no volume de controle, o estado da mesma em cada ponto
do volume de controle não varia com o tempo.
• Esta hipótese requer que
𝑑𝑚𝑣𝑐
𝑑𝑡
=0 , é também
𝑑𝐸𝑣𝑐
𝑑𝑡
= 0
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4.9 - O processo em Regime Permanente
portanto, concluímos para o processo em regime permanente, podemos escrever a
equação da continuidade, Eq. 4.7-4 como:
 𝑚𝑠 = 𝑚𝑒 (4.9-1)
e a primeira lei da termodinâmica como:
 
 
𝑄𝑣𝑐 + 
 
𝑚𝑒 ℎ𝑒 +
𝑉𝑒2
2
+ 𝑔𝑍𝑒 = 𝑚𝑠 ℎ𝑠 +
𝑉𝑠2
2
+ 𝑔𝑍𝑠 + 𝑊𝑣𝑐 (4.9-2)
3 - Quanto à massa que escoa através da superfície de controle, o fluxo de massa e
o estado dessa massa em cada área discreta de escoamento na superfície de
controle não varia com o tempo. As taxas na qual o calor e o trabalho cruzam a
superfície de controle permanecem constantes. Isto requer que cada quantidade
nas Eq. 4.9-1 e Eq.4.9-2 sejam invariáveis com o tempo, isto significa que a
aplicação das Eq. 4.9-1 e 4.9-2 à operação de tais dispositivos é independente do
tempo.