Exercícios. Assunto: Estrutura Cristalina

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO 
PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
DAVID MORAIS 
FRANCIMARIO BEZERRA NESIO 
MADALENA MACHADO ROCHA 
TATIANE CRISTINA SCHMIDT 
 
 
 
 
 
CIÊNCIA DOS MATERIAIS – LISTA DE EXERCÍCIOS II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JUAZEIRO – BA 
2021 
LISTA DE EXERCÍCIOS No. 2 – Estrutura Cristalina 
 
1- Diferencie materiais cristalinos de materiais não-cristalinos em termos de arranjo 
atômico. 
Materiais cristalinos apresentam uma matriz regular que se repete, onde os átomos ou 
moléculas estão ordenados sobre longas distâncias atômicas formando uma estrutura 
tridimensional chamada rede cristalina. Materiais não-cristalinos não apresentam uma 
regularidade na sua estrutura e nem posicionamento dos átomos ou moléculas. 
 
2- Quais são as estruturas cristalinas mais comuns encontradas nos materiais 
metálicos? 
As estruturas mais comuns presentes nos materiais metálicos estão entre: cúbica de 
faces centradas (CFC), cúbica de corpo centrado (CCC), hexagonal compacta (HC). 
 
3- O que você entende como “fator de empacotamento atômico” e de que depende? 
Fator de empacotamento atômico (FEA) compreende a representação da fração 
volumétrica de uma célula unitária que tem como correspondência esferas sólidas. O FEA 
é um índice obtido pela razão do volume dos átomos em uma célula unitária pelo volume 
total da célula unitária e pode variar de 0 a 1. Este fator tem como dependência a 
estrutura cristalina do material, pois tem como propósito identificar quantos átomos podem 
ser organizados numa estrutura cristalina e visa determinar a qualidade no empilhamento. 
 
4- O ferro tem estrutura cúbica de corpo centrado a temperatura ambiente. 
a) Calcule o parâmetro de rede e o fator de empacotamento atômico para o ferro 
nestas condições. 
Parâmetro de rede 
A geometria da célula unitária para CCC, CFC e Cúbica simples é univocamente descrita 
em termos de seis parâmetros: . Onde, como podemos verificar no 
paralelepípedo apresentado pela imagem de apoio, referem-se ao comprimento 
das três arestas com ; e referem-se aos três ângulos formados entre as 
arestas com 
 
Calculando o Parâmetro para o sistema cristalina CCC. 
Seja o paralelepípedo de lados a, com átomos de raio R e aplicando a relação 
trigonométrica de Pitágoras para os triângulos NOP e NPQ, temos: 
 
Triângulo NOP 
 (Equação 1) 
onde NO=NP=a, logo 
 (Equação 2) 
Triângulo NPQ 
 (Equação 3) 
onde NQ = 4R e PQ=a e substituindo a equação 2 em 3, temos 
 
logo, 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o parâmetro de rede para o Ferro com configuração estrutural CCC é 
 
 
 
 
 
Fator de empacotamento atômico para o ferro com estrutura CCC 
- Dados iniciais 
O volume da célula unitária ( ) é dado por 
 
 
Logo, para CCC é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
O volume para uma esfera ( ) é dado por 
 
 
 
 
Para o cálculo do volume de esfera para uma estrutura, deve ser considerado o 
número de átomos presentes matriz, portanto 
 
 
 
 
O número de átomos para CCC é igual a 2. 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A 910 °C o ferro passa de estrutura cúbica de corpo centrado para estrutura 
cúbica de face centrada. Calcule o parâmetro de rede e o fator de empacotamento 
atômico para o ferro nestas condições. 
Parâmetro de rede 
Calculando o Parâmetro para o sistema cristalina CFC. 
Seja o paralelepípedo de lados a, com átomos de raio R e aplicando a relação 
trigonométrica de Pitágoras para o triângulos OPQ, temos: 
 
Triângulo OPQ 
 
onde PQ=OP=a e OQ=4R logo 
 
 
Portanto, o parâmetro de rede para o Ferro com configuração estrutural CFC é 
 
 
Fator de empacotamento atômico para o Ferro com estrutura CFC 
O número de átomos para CFC é 4 e aplicando a deduções feitas acima. Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Calcule a densidade para o ferro CCC e para o ferro CFC. 
O cálculo para densidade é dado por 
 
 
 
 
Onde 
n = número de átomos associados a cada célula unitária; 
A = peso atômico, para o Ferro, 
 = volume da célula unitária 
 = número de Avogadro = 6,022 x 
 
Dado: o raio atômico do Ferro é dado como . Consulta 
Tabela 3.1 do livro de Callister; Rethwisch (2018). 
 
Assim, 
A densidade para CFC é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A densidade para CCC é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Sabendo que o Pb cristaliza no sistema cfc, calcule o parâmetro de rede para o 
Pb e o seu raio atômico. Dados: ; . 
Massa específica teórica para metais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume da célula unitária para a estrutura CFC: 
 
 
Parâmetro de rede para a estrutura CFC: 
 
 
 
 
6. O que é polimorfismo ou alotropia? Quais as conseqüências deste fenômeno nas 
propriedades dos materiais? Cite 2 exemplos de materiais que exibem 
polimorfismo. 
Polimorfismo ocorre quando um material específico pode apresentar mais que uma 
estrutura cristalina. A alotropia é o polimorfismo para sólidos elementares. A estrutura 
cristalina que prevalece depende tanto da temperatura quanto da pressão externa. Um 
exemplo é encontrado no carbono, no qual a grafita é o polimorfo estável sob as 
condições ambientes, enquanto o diamante é formado sob pressões extremamente 
elevadas. Outro exemplo ocorre com o ferro puro, que possui uma estrutura cristalina 
CCC à temperatura ambiente, que se altera para CFC a 912⁰C. Geralmente uma 
transformação polimórfica é acompanhada de uma mudança na massa específica e em 
outras propriedades físicas. 
 
7. Explique o que é anisotropia? 
Anisotropia é a dependência das propriedades físicas dos monocristais de algumas 
substâncias em relação à direção cristalográfica na qual as medições são realizadas, 
estando associada à variação do espaçamento atômico ou iônico em função da direção 
cristalográfica. Por exemplo, o módulo de elasticidade, a condutividade elétrica e o índice 
de refração podem apresentar diferentes valores nas direções [100] e [111]. Nos materiais 
isotrópicos, as propriedades medidas são independentes da direção de medição. A 
extensão e a magnitude dos efeitos da anisotropia nos materiais cristalinos são funções 
da simetria da estrutura cristalina, de modo que o grau de anisotropia aumenta com a 
diminuição da simetria estrutural (as estruturas triclínicas são, em geral, altamente 
anisotrópicas). 
 
8. No sistema cúbico, diga. 
Representação esquemática das direções [110], [111] e [100] na célula unitária: 
 
a) Qual das seguintes direções corta os vértices das faces do cubo: <110>, <111> 
ou <100>? 
As três direções cortam os vértices das faces do cubo. 
 b) Qual das seguintes direções corta as diagonais das faces do cubo: <110>, <111> 
ou <100>? 
Apenas a direção [110] corta a diagonal de uma das faces do cubo. 
c) Qual das seguintesdireções corta a diagonal do cubo: <110>, <111> ou <100>? 
Apenas a direção [111] corta uma das diagonais do cubo. 
 
9- Sobre direções e planos cristalográficos, diga: 
a) Qual a direção e o plano cristalográfico de maior empacotamento atômico para a 
estrutura CCC? 
Seja a célula unitária CCC: 
 
 
A direção com maior empacotamento atômico é a direção <1 1 1>, cuja densidade 
atômica linear é igual a 1, conforme cálculo abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo, 
 
 
 na equação acima temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Plano Cristalográfico com maior empacotamento atômico é o (1 -1 0), cuja densidade 
atômica planar é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo o valor de 
 
 
 na equação acima, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual a direção e o plano cristalográfico de maior empacotamento atômico para a 
estrutura CFC? 
Seja a célula unitária CFC: 
 
A direção com maior empacotamento atômico é a direção <1 1 0>, cuja densidade 
atômica linear é igual a 1, conforme cálculo abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo, na equação acima temos: 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
O Plano Cristalográfico com maior empacotamento atômico é o {1 0 0}, cuja densidade 
atômica planar é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
substituindo o valor de na equação acima, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10- Sobre Planos cristalinos e direções, diga: 
a) Qual o plano cristalino perpendicular à direção [111]? Faça o desenho 
esquemático. 
O plano cristalino perpendicular à direção [1 1 1] e o plano (1 1 1), representado pela 
figura abaixo: 
 
b) Qual o plano cristalino perpendicular à direção [110]? Faça o desenho. 
O plano cristalino perpendicular à direção [1 1 0] e o plano (1 1 0), representado pela 
figura abaixo: 
 
c) Qual o plano cristalino perpendicular à direção [100]? Faça o desenho. 
O plano cristalino perpendicular à direção [1 0 0] e o plano (1 0 0), representado pela 
figura abaixo: 
 
 
 
11- . Represente dentro de uma célula unitária as direções: 
 [111]; [021]; [010]; [1 1]; [120]; [110]; [001]; [100]; [0 0]. 
 
 
 
12-. De acordo com os índices de Miller dados esboce dentro de uma célula unitária 
os seguintes planos: (111); ( 0 ); (201); (010); (110); (020); ( 1); ( 1 ); (011); 
( 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (0 1 0) (1 1 0) (0 2 0) 
 (1 1 1) (-1 0 -1) (2 0 1) 
 
 
 
 
13- Quais as informações básicas que podem ser obtidas por difração de raios x? 
A Difração de Raios X é uma das principais técnicas de caracterização de estruturas em 
materiais cristalinos. Com DRX é possível obter informações como composição do 
material, estrutura ou morfologia dos átomos ou moléculas no interior do material. Em 
outras palavras, a técnica de DRX é usada principalmente para determinar a estrutura 
atômica e molecular de um cristal. 
 (1 -1 1) (-1 1 -1) (0 1 1 ) (-1 -1 0)