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Apostila de Matematica - Concurso da GCM

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Cursinho Morenão
Professor Felipe Furtado van Onselen
Apostila de Matemática Básica e Raciocínio Lógico para Concurso Público
Módulo I
Campo Grande – MS
2019
52
1 - Conjuntos Numéricos: Operações e Propriedades.
Os conjuntos numéricos são conjuntos formados por determinados números de uma mesma natureza. Isso significa que dado um número, ele pertence ao conjunto se satisfaz todas as propriedades dos números daquele conjunto. 
Exemplo: dado um número “x”, se x pode ser escrito na forma a/b (x = a/b com a e b números inteiros), temos que x é um número racional.
Os conjuntos numéricos mais fundamentais estudados na aritmética são: Conjunto dos números naturais, conjunto dos números inteiros, conjunto dos números racionais, conjunto dos números irracionais e conjunto dos números reais.
1.1 – Conjunto dos Números Naturais
Não definiremos aqui o conjunto dos números naturais, apenas os usaremos de maneira intuitiva na contagem e na ordenação de elementos. Porém, intuitivamente, sabemos que o conjunto dos números naturais é formado pelos seguintes elementos: {0, 1, 2, 3, 4, ...}, e se estende ao infinito.
Usaremos o símbolo para representar o conjunto dos números naturais. Assim, .
Usaremos o símbolo para representar o conjunto dos números naturais com exceção do zero. Assim, .
Temos duas operações definidas nos números naturais: adição e multiplicação.
Dados dois números naturais a e b, temos c = a+b também sendo um número natural chamado de soma de a com b.
Dados dois números naturais a e b, temos c = a.b também sendo um número natural chamado de produto de a com b.
Em particular, para quaisquer números naturais a e b, se b = a+1, então b é o sucessor de a.
As propriedades da adição e da multiplicação de dois números naturais são:
Para quaisquer a, b, c pertencentes ao conjunto 
1) a+b = b+a e a.b = b.a (propriedade comutativa)
Exemplos: 3 + 5 = 5 + 3 = 8; 3.6 = 6.3 = 18
2) (a+b)+c = a+(b+c) e (a.b).c = a.(b.c) (propriedade associativa)
Exemplos: (2+3)+6 = 5+6 = 11; (3.2).5 = 6.5 = 30
 2+(3+6) = 2+9 = 11; 3.(2.5) = 3.10 = 30
3) a+0 = 0+a = a e a.1 = 1.a = a (Existência de elemento neutro)
4) a.(b+c) = a.b + a.c e (a+b).c = a.c + b.c (propriedade distributiva)
Exemplos:
· 4.(2 + 7) = 4.2 + 4.7 = 8 + 28 = 36
· 
· 
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) Aplique a propriedade distributiva nos elementos abaixo:
a) 			b) 
c) 			d) 
e) 			f) 
g) 			h) 
i) 			j) 
k) 			l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
2) Considere a seguinte expressão: . Se aplicarmos a propriedade distributiva sobre essa expressão, obteremos a expressão:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
----------------------------------------------------------------
1.2 – Conjunto dos Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como sendo o conjunto dos naturais unido com o conjunto dos seus elementos simétricos em relação à adição. Assim, temos {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
Usaremos o símbolo para representar o conjunto dos números inteiros. Assim,
.
Dado um número inteiro x, representamos o simétrico (ou oposto) a x por –x, de forma que x + (-x) = 0. Essa é a propriedade do elemento oposto de um número. (Nota: simétrico ou oposto são sinônimos nesse sentido). Temos também que para cada número x, o seu simétrico é único.
Exemplos: 
o oposto de 2 é -2
o oposto de -2 é -(-2) que é 2 ou seja, -(-2) = 2
Daí vem a regra de sinal “menos com menos é mais”.
As operações que podemos definir nos inteiros são: adição, subtração e multiplicação. A adição e a multiplicação têm as mesmas propriedades definidas para os naturais. 
A subtração é definida como segue:
Dados dois inteiros x e y, definimos a subtração de x por y como sendo x-y = x + (-y), ou seja, a subtração de x por y é a soma de x com o oposto de y. 
Exemplos:
5 – 4 = 5 + (-4) = 1
3 – 7 = 3 + (-7) = -4
4 – (-9) = 4 + [-(-9)] = 4 + 9 = 13
As regras de sinais na multiplicação são definidas como segue: 
Sejam x e y dois inteiros.
(-x).y = - (x.y) e x.(-y) = - (x.y)
Exemplo: (-9) . 3 = - (9.3) = -27
Segue então a regra de sinal 
(-x).(-y) = - [x.(-y)] = -[-(x.y)] = x.y
Exemplo: (-5).(-2) = -[-(5.2)] = -(-10) = 10
Assim, podemos definir as seguintes regras de sinais para a multiplicação:
1) Sinais iguais -> resultado positivo
(+).(+) = (+)
(-).(-) = (+)
2) Sinais diferentes -> resultado negativo
(+).(-) = (-)
(-).(+) = (-)
As propriedades dos naturais também valem para os inteiros:
Para quaisquer a, b, c pertencentes ao conjunto 
1) a+b = b+a e a.b = b.a (propriedade comutativa)
Exemplos: 3 + 5 = 5 + 3 = 8; 3.6 = 6.3 = 18
2) (a+b)+c = a+(b+c) e (a.b).c = a.(b.c) (propriedade associativa)
3) a+0 = 0+a = a e a.1 = 1.a = a (Existência de elemento neutro)
4) a.(b+c) = a.b + a.c e (a+b).c = a.c + b.c (propriedade distributiva)
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) Resolva as expressões abaixo:
a) 
b)
c)
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
2) Considere a seguinte expressão numérica: . Qual é o seu valor numérico?
a) 19 b) -21 c) -3 d) 57 e) 69
3) (OFFICIUM) Se , e , então é igual a:
a) -3 b) -1 c) 3 d) 7 e) 9
4) Aplique a propriedade distributiva nos elementos abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
-----------------------------------------------------------------
1.2.1 – Múltiplos e Divisores
A divisão inteira de dois números inteiros é definida como segue:
Sejam x e y dois inteiros de forma que x > y. 
Escrevemos: ou x/y como sendo a divisão inteira de x por y. O resultado deve ser outro número inteiro.
Exemplos:
Múltiplo: Sejam x e y dois números inteiros. Dizemos que y é múltiplo de x se existe um número inteiro z tal que y = x.z, ou seja, se y é um produto de x com outro número inteiro. Observe que y é múltiplo de z também.
Exemplos:
1) 33 é múltiplo de 11, pois 33 = 11 . 3
2) 288 é múltiplo de 2, pois 288 = 2 . 144
3) 288 é múltiplo de 144, pois 288 = 144 . 2
4) 45 e múltiplo de 9, pois 45 = 9 . 5 (perceba que 45 é múltiplo de 9 e de 5 ao mesmo tempo, ou seja, 45 é um múltiplo comum de 9 e 5)
Divisores: Sejam x e y dois números inteiros. Dizemos que x é um divisor de y se y é um múltiplo de x, ou seja, se y = x.z (para algum z inteiro), então x é divisor de y. Observe que z também é divisor de y.
Se x é um divisor de y tal que y = x.z (conforme definimos acima), podemos então escrever:
Vemos que dividir y por x obtemos um inteiro z, ou seja, a divisão é inteira (exata). O mesmo vale para a divisão de y por z. Portanto x e z são divisores de y.
Com isso, concluímos que x é um divisor de y se, e somente se, a divisão y/x resulta em um número inteiro.
Exemplos: 
1) 11 é divisor de 33, pois 33 = 11 . 3.
Obtemos então (temos também )
2) 7 é divisor de 49, pois 49= 7 . 7.
Obtemos então 
Quando x é divisor de y, dizemos que y é divisível por x, assim, nos exemplos acima, temos que 33 é divisível por 11 e por 3, enquanto que 49 é divisível por 7.
Qualquer número inteiro tem pelo menos 4 divisores. Seja y um inteiro, temos que y, -y, 1 e -1 são divisores de y.
Exemplos:
1) 
Considere o número 44. Temos que 44, -44, 1 e -1 são divisores de 44, pois , , e 
2) 
Considere o número 53. Temos que 53, -53, 1 e -1 são divisores de 53, pois , e 
Quando um número é divisível apenas por ele mesmo, por seu oposto, por 1 e por -1, dizemos que esse número é primo.
Exemplos:
1) 2 é um número primo, pois é divisível apenas por 2, -1, 1 e -1. 
2) 53 é um número primo, pois é divisível apenas por 53, -53, 1 e -1.
Como saber se um número é múltiplo de outro?
Para sabermos se um número é múltiplo ou divisor de outro, basta realizarmos a divisão de um pelo outro. Vejamos:
Sejam x e y dois inteiros tal que x < y.
Caso resto(y/x) = 0, ou seja, y/x é um número inteiro, então temos as duas situações:
- y é múltiplo de x
- x é divisor de y (y é divisível por x)
O resultado acima é um processo prático para dizermos se um número é múltiplo ou divisor de outro.

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