Apostila - Racioc+¡nio L+¦gico - Airles J+¦nior

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SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
 
DEFINIÇÃO: É o conjunto de medidas que tem por base o metro. 
 
UNIDADES DE COMPRIMENTO, CAPACIDADE E MASSA 
 
MÚLTIPLOS UNIDADE 
PRINCIPAL 
SUBMÚLTIPLOS 
km hm dam m dm cm mm 
kl hl dal l dl cl ml 
kg hg dag g dg cg mg 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente INFERIOR, deslocamos a vírgula da ESQUERDA para a 
DIREITA; 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente SUPERIOR, deslocamos a vírgula da DIREITA para a 
ESQUERDA. 
 
A relação nas medidas de COMPRIMENTO, CAPACIDADE e MASSA são decimais. As mudanças de unidades são feitas deslocan-
do-se a vírgula de UMA em UMA casa; 
 
UNIDADES DE ÁREA (SUPERFÍCIE) 
 
MÚLTIPLOS UNIDADE PRINCIPAL SUBMÚLTIPLOS 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente INFERIOR, deslocamos a vírgula da ESQUERDA para a 
DIREITA; 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente SUPERIOR, deslocamos a vírgula da DIREITA para a 
ESQUERDA. 
 
A relação nas medidas de SUPERFÍCIE é CENTESIMAL. As mudanças de unidades são feitas deslocando-se a vírgula de DUAS 
em DUAS casas; 
 
UNIDADES DE ÁREA (SUPERFÍCIE) 
 
MÚLTIPLOS UNIDADE PRINCIPAL SUBMÚLTIPLOS 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente INFERIOR, deslocamos a vírgula da ESQUERDA para a 
DIREITA; 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente SUPERIOR, deslocamos a vírgula da DIREITA para a 
ESQUERDA. 
 
A relação de VOLUME é MILESIMAL. As mudanças de unidades são feitas de TRÊS em TRÊS casas. 
 
 
 
 
Em todos os casos, se o número de algarismos for inferior ao necessário para deslocamento da 
vírgula, completam-se com zeros as ordens que faltam. 
 
RELAÇÕES ENTRE UNIDADES DE VOLUME E CAPACIDADE 
1m3 = 1000 litros 
1 dm3 = 1 litro 
1 cm3 = 1 ml 
 
CASO ESPECIAL DA ÁGUA 
Para a água pura, vale a seguinte correspondência: 
1 LITRO de água pesa 1 KG 
 
ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS 
 
QUADRADO 
 
 
Área: A = l2 
Perímetro: 2P = 4l 
 
 
RETÂNGULO 
 
 
Área: A = b  h 
Perímetro: 2P = 2h + 2h 
 
 
TRIÂNGULO 
 
Área: 
Perímetro: 2P = a + b + c 
 
CÍRCULO 
 
 
 
 
 
Área: 
Diâmetro: D = 2r 
Perímetro ou Comprimento: 
l
l
b
h
ca
b
h
2
hb
A


2rA 
r2C 
 
r 
 
 
 
VOLUMES DE SÓLIDOS 
 
CUBO 
 
 
Volume: V = a3 
 
PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO 
 
Volume: V = a . b . c 
 
HECTARE 
 
Hectare é uma unidade de medida agrária. É a medida mais usada para o cálculo do tamanho de áreas agrícolas, matas 
e áreas naturais. 
 
A medida é simbolizada por "ha" e corresponde a área de um quadrado de lado 100 m. 
 
1 hectare equivale a 10000 metros quadrados (m²). 
 
 
 
ALGUMAS MEDIDAS DE MASSA CONVERTIDAS EM GRAMA 
 
 
QUILATE 0,205 g 
ARROBA 14 689 g 
TONELADA 1 000 000 g 
LIBRA 373, 241 g 
ONÇA 28, 3495 g 
 
 
 
a
a
a
b
a
c
 
 
 
 
 
01.(FGV) Certo dia, por causa de um intenso temporal ocorrido na noite 
anterior, 7 funcionários da SAS (Secretaria de Assistência Social) che-
garam atrasados ao trabalho. Os tempos de atraso, em minutos, desses 
funcionários foram: 22, 38, 45, 12, 28, 33, 40. O tempo total NÃO traba-
lhado por esses funcionários nesse dia foi de: 
 
A) 2 h 42 min 
B) 2 h 54 min 
C) 3 h 16 min 
D) 3 h 22 min 
E) 3 h 38 min 
 
02.(IDECAN) Na planta de uma casa, um cômodo cujo comprimento é 
de 6 m está representado por um segmento de 25 cm. A escala 
utilizada nessa planta é: 
 
A) 1/18 
B) 1/20 
C) 1/24 
D) 1/28 
 
03.(CESPE) Na residência de Alves, onde moram 4 pessoas, a água é utili-
zada de forma racional, com um consumo médio diário de 0,15 m³ por 
pessoa. Na residência vizinha, utiliza-se a mangueira de água para “var-
rer” a calçada e, em apenas 15 minutos, 240 litros de água são desper-
diçados. Esse desperdício representa, do consumo médio diário de toda 
a família Alves, 
 
A) 1/4 
B) 1/3 
C) 2/5 
D) 3/5 
E) 5/3 
 
04.(IDECAN) Uma piscina olímpica é o tipo de piscina adequada para a 
prática de desportos olímpicos. O tamanho de uma piscina olímpica 
também é comumente utilizado – assim como um campo de futebol – 
como medida para definir a grandeza de outros espaços. A Federação 
Internacional de Natação estabelece as seguintes especificações para 
as piscinas olímpicas: 
 
 
 
 De acordo com os dados fornecidos, o volume de uma piscina olímpica é: 
 
A) 2500 l C) 250000 l 
B) 25000 l D) 2500000 l 
 
 
 
05.(IDECAN) Em um tanque, inseri 35 dm³, mais 1500 cm³, mais 23000000 
mm³ e mais 0,000000009 hm³ de água. Quantos litros de água inseri no 
tanque? 
 
A) 66,5 litros de água. 
B) 67,5 litros de água. 
C) 68,5 litros de água. 
D) 69,5 litros de água. 
 
 
06.(UEM) João comprou 1 kg de bombons e deu 6 bombons a cada filho, 
restando 2 bombons. Se cada bombom pesa 20 g, quantos filhos João 
tem? 
 
A) 6 
B) 8 
C) 4 
D) 2 
E) 12 
 
 
07.(FGV) Uma jarra contém 2 litros de suco de laranja. Após serem servi-
dos 4 copos com 270 mililitros de suco cada um, resta, de suco, na jarra: 
 
A) 1,08 litro 
B) 0,98 litro 
C) 0,92 litro 
D) 0,86 litro 
E) 0,84 litro 
 
 
08.(ESAF) Se uma indústria farmacêutica produziu um volume de 2 800 
litros de certo medicamento, que devem ser acondicionados em ampo-
las de 40 cm³ cada uma, então será produzido um número de ampolas 
desse medicamento na ordem de: 
 
A) 70 
B) 700 
C) 7 000 
D) 70 000 
E) 700 000 
 
 
09.(ESAF) Se uma indústria farmacêutica produziu um volume de 2 800 
litros de certo medicamento, que devem ser acondicionados em ampo-
las de 40 cm³ cada uma, então será produzido um número de ampolas 
desse medicamento na ordem de: 
 
A) 70 
B) 700 
C) 7 000 
D) 70 000 
E) 700 000 
 
 
 
 
 
 
10.(FGV) Certa piscina tem 12 m de comprimento, 6 m de largura e 1,5 m de 
profundidade. Sabe-se que, com a piscina cheia, deve-se colocar 4 g de 
cloro para cada 1000 litros de água. A quantidade de cloro que deve ser 
colocada nessa piscina cheia é de, aproximadamente: 
 
A) 280 g 
B) 360 g 
C) 430 g 
D) 500 g 
E) 620 g 
 
 
11.(FGV) Uma medida equivalente a 12,8 é: 
 
A) 128 c 
B) 1.280 c 
C) 12.800 c 
D) 128.000 c 
E) 1.280.000 c 
 
 
12.(FGV) Um milhão de segundos correspondem a: 
 
A) menos de um dia. 
B) mais de um dia e menos de uma semana. 
C) mais de uma semana e menos de dez dias. 
D) mais de dez dias e menos de doze dias. 
E) mais de doze dias. 
 
 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 
E C C D C B C D D C D D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjunto dos Números Naturais 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos 
 
N* = N – {0} = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
 
Conjunto dos Números Inteiros Não-Nulos 
 
Z* = Z – {0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} 
 
Conjunto dos Números Inteiros Não-Negativos 
 
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
Conjunto dos Números Inteiros Não-Positivos 
 
Z_ = {..., –3, –2, –1, 0} 
 
Conjunto dos Números Inteiros Positivos 
 
Z+* = Z+ – {0} = {1, 2, 3, ...} 
 
Conjunto dos Números Inteiros Negativos 
 
Z_* = Z_ – {0} = {..., –3, –2, –1} 
 
Conjunto dos Números Racionais 
 
PROPRIEDADES 
 Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional. 
 Todo número inteiro é um número racional. 
 Todo número decimal exato é um número racional. 
 Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional. 
 
Conjunto dos Números Irracionais 
 
Formado pelas dízimas não periódicas e raízes inexatas. 
 
 4142,12  
 e = 2,71828... 
  = 3,14159... 
 






 0q com Zqp, ;
q
p
x/xQ






 0q com Zqp, ;
q
p
x/xΙQ
 
 
 
Conjunto dos Números Reais 
 
 
 
RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
DIFERENÇA DE CONJUNTOS 
 
Dados dois conjuntosA e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos 
de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A – B. 
 
Exemplo: 
 
Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}. 
 
A – B = {1,2,3} e B – A = {6,7,8} 
 
INTERSECÇÃO 
 
Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados. 
 
Exemplo: 
 
Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}. 
 
A ∩ B = {4,5} 
 
UNIÃO 
 
Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados. 
 
Exemplo: 
 
Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}. 
 
A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8} 
 
 
QQR 
 
 
 
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
 
A relação entre um elemento e um conjunto é denominado de relação de pertinência. 
 
Exemplo: 
 
Seja o conjunto A = {1,3,5,7,9,11} 
 
9 ∈ A (9 pertence a A) 
 
10 ∉ A (10 não pertence a A) 
 
 
RELAÇÃO DE INCLUSÃO 
 
A relação entre conjuntos é denominado relação de inclusão. 
 
Essa relação é indicada pelos seguintes símbolos: 
 
⊂ → lê-se: está contido ⊃ → lê-se: contém ⊄ → lê-se: não está contido ⊅ → lê-se: não contém 
 
Exemplos: 
 
N ⊂ Z (O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos inteiros). 
 
Q ⊄ I (O conjunto dos números racionais não está contido no conjunto dos números irracionais). 
 
R ⊃ Q (O conjunto dos números reais contém o conjunto dos números racionais). 
 
Z ⊅ I (O conjunto dos números inteiros não contém o conjunto dos números irracionais). 
 
 
 
 
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) 
 
 
SUBCONJUNTOS 
 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A é também elemento de B. 
 
Em outras palavras, podemos dizer que um certo conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se todos os elementos 
que pertencem à A, também pertencerem ao conjunto B. 
 
Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {5, 7}, e C = {3, 7, 9}. 
 
B é um subconjunto do conjunto A. Observem que todos os elementos do conjunto B também pertencem ao conjunto 
A. 
 
C não é subconjunto do conjunto A, pois nem todos elementos de C pertencem a A. 
 
Número de subconjuntos = 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Seja o conjunto A = {2,4,6}. Nº sub. = = 8 subconjuntos. 
 
{ } : Subconjunto de todos os conjuntos. 
 
{2} , {4} , {6} : Subconjuntos com 1 elemento. 
 
{2,4} , {2,6} , {4,6} : Subconjuntos com 2 elementos. 
 
{2,4,6} : Subconjuntos com 3 elementos. 
 
 
DIAGRAMA DE VENN 
 
 
 
Basicamente nesse tipo de problemas fazemos: 
 
 Iniciamos pela intersecção. 
 
 
 Separamos as 4 partes. 
 
 
 Somamos as 4 partes e igualamos ao total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01.(UNESPAR) A respeito dos conjuntos numéricos, assinale a alternativa 
CORRETA: 
 
A) O conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números ra-
cionais. 
B) O conjunto dos números irracionais contém o conjunto dos números 
naturais. 
C) O conjunto dos números racionais contém o conjunto dos números 
naturais. 
D) O conjunto dos números naturais contém o conjunto dos números 
reais. 
E) O conjunto dos números irracionais contém o conjunto dos números 
inteiros. 
 
02.(FGV) O número de estudantes, de uma determinada classe, que gostam 
de Matemática é igual ao número de estudantes dessa classe que gos-
tam de Português. Juntando os estudantes que gostam de Matemática 
com os estudantes que gostam de Português, forma-se um grupo de 24 
estudantes. O grupo de estudantes que gostam de Matemática e tam-
bém de Português tem 6 estudantes. Nessa classe, o número de estu-
dantes que gostam de Matemática e não gostam de Português é: 
 
A) 18 
B) 15 
C) 12 
D) 9 
E) 6 
 
03.(FGV) Dois conjuntos A e B têm exatamente a mesma quantidade de 
elementos. A união deles tem 2015 elementos e a interseção deles tem 
1515 elementos. O número de elementos do conjunto A é: 
 
A) 250 
B) 500 
C) 1015 
D) 1765 
E) 1845 
 
04.(IDECAN) Uma fábrica de iogurtes pretende lançar dois novos sabores: 
goiaba e maracujá, e ofereceu os iogurtes a um grupo de 80 pessoas. 
Desse grupo observou-se que 18 pessoas gostaram dos dois produtos, 
51 gostaram do iogurte de goiaba e 43 gostaram do iogurte de maracu-
já. O número de pessoas que não gostaram de nenhum dos dois sabo-
res foi igual a: 
 
A) 4 
B) 5 
C) 6 
D) 7 
 
 
 
 
 
 
 
05.(FGV) Cada um dos 20 funcionários de uma empresa tem um cachorro 
ou um gato, sendo que alguns deles têm um cachorro e um gato. De-
zesseis funcionários têm cachorro e quatorze funcionários têm gato. O 
número de funcionários que têm cachorro e gato é: 
 
A) 10 
B) 12 
C) 14 
D) 16 
E) 18 
 
06.(FGV) Aos 5 anos, toda criança deve tomar um reforço das vacinas trí-
plice e pólio. Uma pesquisa feita com as 80 crianças que entraram no 1º 
ano do Ensino Fundamental de uma escola mostrou que: 
 
• 54 alunos tomaram a vacina tríplice. 
• 52 alunos tomaram a vacina pólio. 
• 16 alunos não tomaram nenhuma das duas vacinas. 
 
O número de alunos que tomou as duas vacinas é: 
 
A) 42 
B) 44 
C) 46 
D) 48 
E) 50 
 
07.(FGV) Em uma palestra estiveram presentes 60 pessoas. Dentre elas, 37 
eram homens, 42 eram advogados(as) e, entre as mulheres, 8 não eram 
advogadas. Quantos homens presentes não eram advogados? 
 
A) 6 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
E) 10 
 
08.(CESGRANRIO) Dos 36 funcionários de uma Agência de um Banco, sa-
be-se que: apenas 7 são fumantes, 22 são do sexo masculino e 11 são 
mulheres que não fumam. Com base nessas afirmações, é correto afir-
mar que o: 
 
A) número de homens que não fumam é 18. 
B) número de homens fumantes é 5. 
C) número de mulheres fumantes é 4. 
D) total de funcionários do sexo feminino é 15. 
E) total de funcionários não fumantes é 28. 
 
09.(IDECAN) Considere N o conjunto dos números naturais e Z o conjunto 
dos números inteiros. Sabendo-se que o conjunto Z possui uma quanti-
dade infinita de elementos, pode-se afirmar que (Z ∩ N): 
 
A) não possui elementos. 
B) possui uma quantidade finita de elementos. 
C) é o conjunto N 
D) é o conjunto N* (naturais não-nulos). 
E) possui 1 elemento. 
 
 
 
10.(FGV) Um conjunto tem 8 elementos, outro conjunto tem 9 elementos e 
a união deles tem 12 elementos. O número de elementos da interseção 
desses conjuntos é: 
 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
 
11.(UFPR) Sobre conjuntos numéricos, considere as seguintes afirmativas: 
 
1. O conjunto dos inteiros está contido no conjunto dos racionais. 
2. A = {-1,0,1,2} é subconjunto dos números naturais. 
3. Há números reais que não são racionais, nem irracionais 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
A) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
B) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. 
C) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
D) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
E) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
 
12.(AIRLES) Seja o conjunto X, o conjunto formado pelos meses do ano 
com 31 dias. Quantos subconjuntos possui o conjunto X? 
 
A) 6 
B) 16 
C) 32 
D) 64 
E) 128 
 
 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 
C D D A A C E A C E A E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAZÃO 
 
A razão entre dois números racionais a e b, com b ≠ 0, é o quociente de a por b. 
 
Indica-se a:b ou 
b
a
 e lê-se: “a está para b” ou “a para b”. Dizemos que a é o antecedente e b o consequente. 
 
EXEMPLO 
Em uma repartição pública, o número de funcionários do sexo masculino equivale a 
8
5 do número total de funcioná-
rios. A razão entre o número de homens e o de mulheres que trabalham nessa Repartição é, nessa ordem: 
 
A) 
8
3 B) 
5
2 C) 
2
1 D) 
3
5 E) 
5
4 
 
 
 
 
 
PROPORÇÃO 
 
É toda igualdade entre duas razões. Indica-se por 
d
c
b
a
 , na qual a, b, c e d ≠ 0 
 
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 
1. Propriedade fundamental 
dacb
d
c
b
a
 
 
2. Propriedade da soma dostermos 

d
c
b
a 
c
dc
a
ba 


 ou 
d
dc
b
ba 


 
 
3. Propriedade da diferença dos termos 

d
c
b
a 
c
dc
a
b-a 
 ou 
d
dc
b
b-a 
 
 
4. Propriedade da soma dos antecedentes e dos consequentes 

d
c
b
a 
b
a
db
ca



 ou 
d
c
db
ca



 
 
5. Propriedade da diferença dos antecedentes e dos consequentes 

d
c
b
a 
b
a
d-b
c-a
 ou 
d
c
db
c-a


 
 
 
 
 
 
6. Propriedade do produto dos antecedentes e dos consequentes 

d
c
b
a 2
2
b
a
db
ca



 ou 2
2
d
c
db
ca



 
 
EXEMPLO 
A razão entre dois números é de 
3
2 . Se o maior deles é igual a 24, então o menor é igual a: 
 
A) 8 
B) 10 
C) 12 
D) 15 
E) 16 
 
 
 
ESCALAS 
 
É a razão existente entre o comprimento representado no desenho e o correspondente comprimento real, medidos na 
mesma unidade de comprimento. Então: 
D
dE  
E = escala 
d = comprimento no desenho 
D = comprimento real 
 
 
 A unidade utilizada nas escalas é o centímetro (cm). 
 
 
EXEMPLO 
Sabendo-se que um navio de 90m de comprimento é representado por uma miniatura de 30 cm de comprimento, a 
escala utilizada é: 
 
A) 1:300 
B) 1:200 
C) 1:400 
D) 1:250 
E) 3:500 
 
 
 
 
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas sucessões de números são diretamente proporcionais quando as razões existentes entre um elemento qualquer da 
primeira e o seu correspondente na segunda sucessão são constantes. 
 
Digamos que as sucessões a, b, c e x, y, z são diretamente proporcionais, daí temos: 
 
z
c
y
b
x
a
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 1 
Rodrigo recebeu uma herança no valor de R$ 3.885.000,00 e pensou em dividi‐la integralmente entre seus três fi-
lhos, de acordo com a idade de cada um. As idades de seus filhos são 21, 39 e 45 anos. Considerando‐se esse caso 
hipotético, se cada filho receber uma quantia, diretamente proporcional à sua idade, podemos afirmar que o mais novo 
receberá mais de 780 reais. 
 
Mais novo Total 105 x = 81 585 000 → x = 777 000 
 
21 anos 105 anos Questão errada 
 
x 3 885 000 
 
EXEMPLO 2 
Em um prédio, o valor mensal das despesas com serviços gerais é divido entre os proprietários das salas comerciais. O 
valor pago por cada um é diretamente proporcional a área de cada sala. Logo, a despesa do mês, de 5 mil reais, foi divi-
dida entre uma sala de 40 , uma de 70 e uma de 90 . Podemos inferir então, que o proprietário da sala de 70 
 , pagará nesse mês, uma taxa inferior a 1750 reais. 
 
Se olharmos como um “todo”, somando as áreas das três salas temos uma área total de 200 . 
O proprietário da sala de 70 , tem 35% da área total. Como a divisão das despesas é diretamente proporcional 
a área da sala, ele vai pagar 35% das despesas. 35% de 5 mil, equivale a 1750. QUESTÃO ERRADA 
 
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas sucessões de números são inversamente proporcionais quando os produtos existentes entre um elemento qual-
quer da primeira e o seu correspondente na segunda sucessão são constantes. 
 
Digamos que as sucessões a, b, c e x, y, z são diretamente proporcionais, daí temos: 
 
zcybxa  
 
EXEMPLO 1 
Dois policiais vistoriaram 90 estabelecimentos num determinado local, dividindo essa tarefa em partes inversamente 
proporcionais às suas respectivas idades: 21 e 24 anos. Podemos concluir então, que o número de estabelecimentos 
vistoriados pelo policial mais velho, foi 48 
. 
Como a divisão foi feita em partes inversamente proporcionais, teremos: 
 
x/21 + x/24 = 90 → x = 1008 
 
O mais velho = 1008/24 = 42 estabelecimentos Questão errada 
 
EXEMPLO 2 
Um pai em seu testamento, resolve deixar tudo que possui para os seus dois filhos. Arthur de 10 anos e Miguel de 5 
anos. Ele dividiu em partes inversamente proporcionais às idades de seus filhos. Se o que ele possui está avaliado 
em 3 milhões, podemos afirmar que o filho mais novo irá receber mais de 2 milhões. 
 
3 000 000/15 = 200 000 
 
Arthur: 10 . 200 000 = 2 000 000 Miguel: 5 . 200 000 = 1 000 000 
 
Invertemos os valores, já que a divisão é feita em partes inversamente proporcionais. 
 
Arthur: 1 000 000 e Miguel: 2 000 000 Logo, Miguel terá direito a 2 000 000. 
 
QUESTÃO ERRADA 
 
 
 
 
 
 
01.(FGV) Em uma sala há advogados, juízes e desembargadores, e apenas 
eles. Para cada dois desembargadores há três juízes e para cada quatro 
juízes há sete advogados. A razão entre a quantidade de juízes e a 
quantidade total de pessoas na sala é: 
 
A) 11/39 
B) 12/41 
C) 14/43 
D) 13/45 
E) 15/47 
 
02.(CESGRANRIO) Uma empresa desenvolveu postes de iluminação elétri-
ca feitos de fibra de vidro, mais flexíveis e mais leves do que os postes 
tradicionalmente usados no Brasil. 
 
 Cada poste de fibra de vidro tem 120 kg, o que corresponde a 
3
1 , 
3
2 e 
8
1
, respectivamente, das massas dos postes de madeira, aço e concreto. 
 
 Qual é a razão entre as massas de um poste de concreto e de um poste 
de aço, nessa ordem? 
 
A) 16/3 
B) 8/3 
C) 4/3 
D) 1/3 
E) 1/12 
 
03.(VUNESP) No ano de 2015, uma pesquisa revelou que, no Brasil, a razão 
entre o número de pessoas que apresentam algum tipo de deficiência e 
o número de pessoas que não apresentam deficiência é de 1/3. 
 
 Com base nessa informação, é correto afirmar que, no Brasil, a cada: 
 
A) seis pessoas, uma tem algum tipo de deficiência. 
B) cinco pessoas, uma tem algum tipo de deficiência. 
C) quatro pessoas, uma tem algum tipo de deficiência. 
D) três pessoas, uma tem algum tipo de deficiência. 
E) duas pessoas, uma tem algum tipo de deficiência. 
 
04.(FGV) Uma árvore é 4 m mais alta do que outra árvore. As alturas das 
duas árvores estão na razão 2/3. A árvore mais alta mede: 
 
A) 6 m 
B) 8 m 
C) 9 m 
D) 12 m 
E) 15 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
05.(QUADRIX) Assinale a alternativa que contenha 2 grandezas que são 
inversamente proporcionais. 
 
A) Área de uma parede e a quantidade de tinta necessária para pintar 
essa parede. 
B) Tempo de uma lâmpada acesa e consumo de energia elétrica. 
C) Tempo para percorrer um determinado trajeto e velocidade utilizada 
para percorrer esse mesmo trajeto. 
D) Volume de uma caixa d'água e a quantidade de água que cabe nessa 
caixa. 
E) Tamanho de um saco de feijão e o peso desse saco de feijão. 
 
06.(IBADE) As duas sucessões numéricas a seguir são diretamente propor-
cionais: (8, x, y) e (12,15,21), onde x e y representam números inteiros 
desconhecidos. Quais os valores de x e y respectivamente? 
 
A) 10 e 12 
B) 12 e 14 
C) 12 e 16 
D) 10 e 14 
E) 14 e 16 
 
07.(CETREDE) Em uma gincana, o prêmio de 21 cupons de desconto deve 
ser dividido proporcionalmente ao número de pontos recebidos pelos 
três primeiros colocados. Se os candidatos X, Y e Z conseguiram 72, 84 
e 96 pontos, respectivamente, a quantidade de cupons de desconto que 
o primeiro colocado recebeu foi: 
 
A) 8 
B) 10 
C) 6 
D) 14 
E) 11 
 
08.(FGV) Felipe usou 800 gramas de feijão para fazer 6 acarajés e, agora, 
ele quer fazer 15 acarajés, usando a mesma proporção. Para isso, Felipe 
precisará de: 
 
A) 2,0 kg de feijão 
B) 1,8 kg de feijão 
C) 1,6 kg de feijão 
D) 1,5 kg de feijão 
E) 1,4 kg de feijão 
 
09.(FGV) Em um terminal de autoatendimento bancário há apenas cédulas 
de R$ 10,00, R$ 20,00 e R$ 50,00. As quantidades de cada um dos três 
tipos de cédula na máquina são inversamente proporcionais aos seus 
valores. Se há 272 cédulas ao todo, então a quantidade total de dinheiro 
armazenado no terminal é: 
 
A) R$ 3.600,00 
B) R$ 3.960,00 
C) R$ 4.050,00 
D) R$ 4.240,00 
E) R$ 4.800,00 
 
 
 
 
10.(FGV) Dividindo-se 11 700 em partes proporcionais a 1, 3 e 5, a diferença 
entre a maior das partes e a menor delas é: 
 
A) 6 500 
B) 5 500 
C) 5 800 
D) 5 200 
E) 5 00011.(IBADE) Maria tem três filhos; ela fez uma lista de tarefas domésticas 
com 20 itens, que será dividida entre seus filhos de maneira proporcio-
nal às suas idades. O filho mais velho tem 18 anos, 8 anos de diferença 
para o mais novo. Sabendo que o mais velho ficou com 9 tarefas, a ida-
de do filho do meio é de: 
 
A) 10 anos 
B) 12 anos 
C) 13 anos 
D) 15 anos 
E) 16 anos 
 
12.(FGV) José tem em sua microempresa três empregados cujos salá-
rios são proporcionais ao número de horas que trabalham por dia. 
 
 
 
 José paga mensalmente R$ 5.200,00 pelos salários desses três em-
pregados. O salário de Caio é: 
 
A) R$ 1.300,00 
B) R$ 1.820,00 
C) R$ 2.080,00 
D) R$ 2.220,00 
E) R$ 2.340,00 
 
 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 
B A C D C D A A E D B C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
É um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvam pares de grandezas direta ou inversamente pro-
porcionais 
 
Como resolver uma regra de três simples 
 
 Identificamos os termos dados no problema e o termos que é procurado, dispondo as grandezas envolvidas em co-
lunas, de modo que cada coluna contenha as grandezas semelhantes (dias, horas por dia, máquinas, etc.); 
 
 Identificamos se os pares estão nas mesmas unidades ou se é necessário efetuar conversões. Ao lado da coluna 
que contém a incógnita (x), colocamos uma flecha para baixo (por convenção). Esta coluna serve como referência 
para comparação com as demais; 
 
 Identificamos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais e colocamos as flechas da seguinte forma: 
 
Diretamente proporcional 
 
 Colocamos uma flecha no mesmo sentido da coluna da incógnita, ou seja, para baixo. 
 
Inversamente proporcional 
 
 Colocamos uma flecha no sentido contrário da coluna da incógnita, ou seja, para cima; 
 
 Utilizamos as propriedades da proporção para achar a solução do problema 
 
EXEMPLO 
 
Considere que 12 carteiros levem 21 minutos na triagem de certa quantidade de correspondências e que todos os car-
teiros trabalhem com a mesma eficiência. Nesse caso, se a esses carteiros forem agrupados outros dois, com igual 
eficiência, então o tempo necessário para a triagem da mesma quantidade de correspondências será superior a 18 mi-
nutos. 
 
Carteiros Tempo (min) 
 12 21 
 14 x 
O número de carteiros e o tempo são grandezas inversamente proporcionais. (Invertemos uma delas) 
21/ x = 14/12 → x = 18 minutos 
QUESTÃO ERRADA 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
É um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvam mais de dois pares de grandezas direta ou in-
versamente proporcionais 
 
 
Como resolver uma regra de três composta 
 
 Utilizamos o mesmo processo utilizado na regra de três simples; 
 
 É necessária atenção na identificação das grandezas inversas ou diretas, afim de que se possa montar as propor-
ções de forma correta. 
 
 
EXEMPLO 1 
 
Um escrivão digita 1.800 páginas em 4 dias, trabalhando 5 horas diárias para esse fim. Nessa situação, a quantidade de 
páginas que esse escrivão é capaz de digitalizar em 3 dias, trabalhando 4 horas e 30 minutos diários para esse fim, é 
superior a 1250. 
 
Páginas Dias Horas 
 
 1800 4 5 
 x 3 4,5 
 
Páginas e dias são diretamente proporcionais. (não inverte) 
 
Páginas e horas também são diretamente proporcionais. (não inverte) 
 
1800/x = 4/3 . 5/(4,5) → 1800/x = 20/(13,5) → 20x = 24300 → x = 1215 
 
QUESTÃO ERRADA 
 
EXEMPLO 2 
 
Para digitar 6.000 páginas, três datilógrafos trabalham por três dias, durante 4 h por dia. Com base nesse caso hipotéti-
co, julgue o item subsequente. Para digitar 10.000 páginas, trabalhando cinco dias, durante 3 h por dia, são necessários 
mais de três datilógrafos. 
Páginas Datilógrafos Dias Horas 
6000 3 3 4 
10000 x 5 3 
Datilógrafos e páginas são diretamente proporcionais (não inverte). 
Datilógrafos com dias e horas são inversamente proporcionais (inverte). 
 
 
 = 
 
 
 . 
 
 
 . 
 
 
 → 
 
 
 = 
 
 
 → 
 
 
 = 
 
 
 → x = 4 datilógrafos 
QUESTÃO CERTA 
 
 
 
 
 
01.(AOCP) O chefe de um setor administrativo cronometrou o tempo gasto 
por duas funcionárias para lacrar envelopes. Verificou que Bel demora, 
em média, 2 segundos para lacrar 3 envelopes. Cida é um pouco mais 
vagarosa, pois demora, em média, 5 segundos para lacrar 7 envelopes. 
Supondo que ambas mantenham o mesmo desempenho apresentado 
quando o chefe realizou a cronometragem, pode-se afirmar que enquan-
to Bel lacrar 180 envelopes, Cida lacrará: 
 
A) 176 envelopes D) 170 envelopes 
B) 174 envelopes E) 168 envelopes 
C) 172 envelopes 
 
02.(FGV) Três funcionários atendem 48 clientes em 4 horas. Com a mesma 
eficiência, 4 funcionários atendem 64 clientes em: 
 
A) 3 horas D) 6 horas 
B) 4 horas E) 7 horas 
C) 5 horas 
 
03.(IDECAN) Em 8 horas de trabalho, 20 trabalhadores batem 160 m² da 
laje de uma construção. Quantos trabalhadores serão necessários para 
bater 125 m² de laje, em 5 horas, sob as mesmas condições de trabalho 
iniciais? 
 
A) 15 C) 25 
B) 20 D) 30 
 
04.(FGV) Dois médicos atendem 24 pacientes em 6 horas. Mantidas as 
proporções, três médicos atendem 24 pacientes em: 
 
A) 9 horas D) 4 horas 
B) 8 horas E) 3 horas 
C) 6 horas 
 
05.(IBADE) Um veículo, com velocidade constante de 80 km/h, percorre 
certa distância em 5 horas. Se percorrer essa mesma distância com ve-
locidade constante 25% maior que a anterior, o percurso será realizado 
em: 
 
A) 4 h D) 6 h 
B) 3 h E) 7 h 
C) 2 h 
 
06.(IBADE) Em uma campanha municipal, o coordenador utilizou 20 agen-
tes de mesma eficiência para visitar 3.000 residências em 10 dias, tra-
balhando 8 horas por dia. O coordenador decidiu fazer uma nova cam-
panha visitando 4.500 novas residências, mas só utilizará 16 desses 
agentes trabalhando 10 horas por dia. O tempo, em dias, que durará a 
nova campanha será: 
 
A) 12 D) 35 
B) 15 E) 46 
C) 20 
 
 
 
07.(FGV) A uma velocidade média de 80 km/h percorre-se uma certa dis-
tância em 3 horas e 15 minutos. A uma velocidade média de 60 km/h, a 
mesma distância é percorrida em: 
 
A) 2 horas e 54 minutos D) 4 horas e 30 minutos 
B) 3 horas e 45 minutos E) 4 horas e 45 minutos 
C) 4 horas e 20 minutos 
 
08.(AOCP) Para Uma impressora tipo A tem o dobro de eficiência da im-
pressora tipo B, sendo que 4 impressoras do tipo A, trabalhando ao 
mesmo tempo, fazem 1000 impressões em 20 minutos. Quanto tempo 
seria necessário para que 2 impressoras do tipo B produzissem 5000 
impressões? 
 
A) 100 minutos D) 400 minutos 
B) 200 minutos E) 800 minutos 
C) 350 minutos 
 
09.(AIRLES) Um veículo percorre os 5/8 de uma estrada em 4 horas, à velo-
cidade média de 75 km/h. Para percorrer o restante dessa estrada em 1 
hora e 30 minutos, sua velocidade média deverá ser superior a 100 
km/h. 
 
 C  E 
 
10.(FGV) Sabe-se que 3 recenseadores, com a mesma capacidade de traba-
lho, entrevistam 360 pessoas em 8 dias. O número de dias que 2 desses 
recenseadores levarão para entrevistar 510 pessoas é: 
 
A) 14 D) 17 
B) 15 E) 18 
C) 16 
 
11.(IBADE) Um grupo com 12 agentes de manutenção consomem em seis 
dias 108 pães. Quantos pães serão necessários para quatro dias se três 
deles estiverem de férias? 
 
A) 72 D) 60 
B) 54 E) 96 
C) 84 
 
12.(IDECAN) Ao realizar uma viagem partindo da cidade em que reside até 
a cidade em que trabalha, um professor gastou 55 minutos e seu veículo 
desenvolveu uma velocidade média de 90 km/h. Qual deve ser a veloci-
dade média desenvolvida numa viagem de volta de forma que sejam 
economizados 10 minutos em relação ao tempo gasto na primeira via-
gem? 
 
A) 100 km/h C)110 km/h 
B) 105 km/h D) 120 km/h 
 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 
E B C D A B C D C D B C 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO DE PORCENTAGEM 
 
Chamamos de porcentagem a parte de um todo, que dele se retira ou a ele se junta. Também podemos definir porcen-
tagem como sendo qualquer razão cujo denominador é 100. O seu símbolo é o % (por cento). 
 
10% - lê-se dez por cento 
200% - lê-se duzentos por cento 
 
Observe que, quando dizemos, por exemplo 30% de um certo valor, queremos dizer que em cada 100 partes desse valor, 
tomamos 30 partes 
 
Transformação de porcentagem em fração 
 
Como porcentagem pode ser definida como sendo a razão na qual o denominador é 100, podemos transformar qual-
quer porcentagem em uma fração, onde o numerador da fração é a própria porcentagem e o denominador 100. 
 
EXEMPLOS: 
25
1
100
4%4  
 
Transformação de fração em porcentagem 
 
Para transformar qualquer fração em porcentagem, basta formar uma proporção na qual, a primeira razão é igual a 
própria fração e a segunda razão é igual a 
100
X . Donde X será a porcentagem procurada 
 
EXEMPLOS: 
%25X
4
100X1100X4
100
X
4
1
 
%50X
2
100X1100X2
100
X
2
1
 
 
EXEMPLO 
Transformando a fração 
8
3 em taxa percentual, temos: 
a) 37,5% 
b) 42% 
c) 32,5% 
d) 1,25% 
e) 35,7% 
 
TAXA PERCENTUAL 
 
Para determinarmos o percentual de certo valor, devemos tomar este valor e multiplicarmos pela taxa percentual dada. 
 
EXEMPLO 01: 
Determine 20% de 400. 
 
Solução: 
8020,0400
100
20400%20400  
 
 
 
Podemos generalizar nosso raciocínio pela seguinte fórmula: 
 
V
100
iP  
 
P = valor do percentual 
i = taxa percentual (dada em %) 
V = valor (principal) 
 
EXEMPLO 
Trinta por cento da quarta parte de 6.400 é igual a: 
 
a) 480 
b) 640 
c) 240 
d) 160 
e) 120 
 
 
 
AUMENTO PERCENTUAL 
 
Para aumentarmos i% de um certo valor, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo fator (100 + i)%. 
 
Generalizando temos: 
V
100
)i100(N  
 
N = novo valor (após o aumento) 
i = taxa percentual de aumento (dada em %) 
V = valor inicial (antes do aumento) 
 
EXEMPLO 
Um aluno comprou um livro de Matemática por R$ 47,00. Se esse aluno, depois do vestibular, deseja vender esse 
livro de modo a obter um lucro de 38%, então ele deve vender por: 
 
a) R$ 61,86 
b) R$ 64,86 
c) R$ 62,80 
d) R$ 65,86 
e) R$ 63,86 
 
 
 
DESCONTO PERCENTUAL 
 
Para descontarmos i% de um certo valor, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo fator (100  i)%. 
 
Generalizando temos: 
V
100
)i100(N  
 
N = novo valor (após o desconto) 
i = taxa percentual de desconto (dada em %) 
V = valor inicial (antes do desconto) 
 
 
 
EXEMPLO 
Se na compra de um artigo de R$ 3.250,00 foi concedido um desconto de 12,5%, o valor a ser pago pelo comprador 
é: 
 
a) R$ 2.856,50 
b) R$ 2.843,75 
c) R$ 2.840,00 
d) R$ 2.834,25 
e) R$ 2.827,50 
 
 
AUMENTOS SUCESSIVOS 
 
Para aumentarmos i% de um certo valor e depois j% e depois k%, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo seguinte 
fator: 
 
(100 + i)  (100 + j)  (100 + k)% 
 
EXEMPLO 
Numa cidade, a passagem de ônibus custava $12,00 em agosto. Em setembro, houve um aumento de 25% e, em ou-
tubro, um reajuste de 20% sobre o preço de setembro. Qual foi o aumento percentual da passagem de outubro em 
relação a agosto? 
 
a) 22,5% 
b) 36,7% 
c) 45% 
d) 50% 
e) 66,7% 
 
 
 
DESCONTOS SUCESSIVOS 
 
Para descontarmos i% de um certo valor e depois j% e depois k%, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo seguinte 
fator: 
 
(100  i)  (100  j)  (100  k)% 
 
EXEMPLO 
Sobre o valor de uma certa compra, foram feitos abatimentos de 10% e 15%. A taxa única que substituirá esses dois 
abatimentos é: 
 
a) 21,5% 
b) 22% 
c) 23,5% 
d) 25% 
e) 25,5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01.(FGV) Quando se compra um medicamento, 36% do preço pago é o im-
posto cobrado pelo governo. Considere um medicamento que custa R$ 
40,00. Se o governo não cobrasse imposto sobre medicamentos, o con-
sumidor poderia comprá-lo por: 
 
A) R$ 25,40 
B) R$ 25,60 
C) R$ 25,80 
D) R$ 26,00 
E) R$ 26,20 
 
02.(FDC) Se um trabalhador recebe um corte de 20% do seu salário, ele só 
vai readquirir o salário original se tiver um aumento de: 
 
A) 20% 
B) 25% 
C) 30% 
D) 35% 
E) 40% 
 
03.(FGV) O valor das ações de certa empresa sofreu queda de 8% no mês 
de maio, ficou estável em junho e teve queda de 15% em julho. Do início 
de maio até o final de julho a desvalorização do valor dessas ações foi 
de: 
 
A) 20% 
B) 21,6% 
C) 21,8% 
D) 23% 
E) 24,4% 
 
04.(IBADE) Rafaela é dona de uma loja e no mês de dezembro de 2017 re-
marcou seus preços com dois descontos sucessivos de 10% e um des-
conto de 20%. O desconto equivalente a esses três descontos foi: 
 
A) 35,20% 
B) 24,60% 
C) 30,00% 
D) 38,40% 
E) 40,00% 
 
05.(IDECAN) Seja a figura a seguir. 
 
 
 
 A área em negrito em relação à área total da figura corresponde a: 
 
A) 48% C) 62% 
B) 50% D) 75% 
 
 
 
06.(FGV) Sérgio tem 50% mais figurinhas das seleções da Copa do Mundo 
do que Alice. Sheila tem 25% menos figurinhas do que Alice. Conclui-se 
que: 
 
A) Sérgio tem 20% mais figurinhas do que Sheila. 
B) Sérgio tem 25% mais figurinhas do que Sheila. 
C) Sérgio tem 50% mais figurinhas do que Sheila. 
D) Sérgio tem 75% mais figurinhas do que Sheila. 
E) Sérgio tem 100% mais figurinhas do que Sheila. 
 
07.(IBADE) Uma caixa contém canetas azuis, pretas e vermelhas. 30 delas 
são azuis. As canetas pretas correspondem a 40 % do total de canetas 
na caixa. As 12 canetas restantes são vermelhas. O total de canetas na 
caixa é: 
 
A) 60 
B) 64 
C) 70 
D) 72 
E) 80 
 
08.(AIRLES) Na promoção: “Leve 16 e pague 15”. O desconto percentual 
equivalente é: 
 
A) 5,75% 
B) 6,25% 
C) 6,67% 
D) 6,75% 
E) 7,33% 
 
09.(FGV) O valor de uma ação da Bolsa de Valores desvalorizou 20% em 
junho e valorizou 20% em julho. Em relação ao seu valor no início de 
junho, assinale a opção que indica, ao final de julho, o valor dessa ação. 
 
A) ficou igual 
B) valorizou 2% 
C) desvalorizou 2% 
D) valorizou 4% 
E) desvalorizou 4% 
 
10.(FGV) Juliana pagou em um restaurante, pelo seu almoço e pelos 10% 
de gorjeta para o garçom, o total de R$ 27,50. Assinale a opção que in-
dica o valor da gorjeta do garçom. 
 
A) R$ 2,75 
B) R$ 2,70 
C) R$ 2,65 
D) R$ 2,55 
E) R$ 2,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.(FGV) Em certo município brasileiro o censo do ano de 2000 verificou 
que sua população tinha aumentado 15% na última década, e o censo 
de 2010 verificou que a população desse município tinha diminuído 10% 
na década anterior. Nessas duas décadas analisadas pelos dois censos, 
a população desse município aumentou: 
 
A) 3,5% 
B) 4,0% 
C) 4,5% 
D) 5,0% 
E) 5,5% 
 
12.(FGV) Após executar 60 tiros, Billy obteve 55% de acertos. Com mais 15 
tiros, ele aumentou sua porcentagem de acertos para 56%. Desses últi-
mos 15 tiros, Billy acertou: 
 
A) 3 
B) 6 
C) 9 
D) 12 
E) 15 
 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 
B B C A A E C B E E A C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição de Equação 
 
É uma sentença aberta expressa por uma igualdade entre duas expressões algébricas. 
 
Exemplos: 
 
4x + 5 = 46 3y – 7 = 0 x/2 + 3x = 32 4z – z/5 = 48 x – 12 = 23 
 
 
Definição de Equação do 1º grau 
 
É toda sentença na forma ax + b = 0. 
 
Exemplos: 
 
6x + 8 = 0 ( a = 6 e b = 8) 3s – 8 = 0 (a = 3 e b = – 8) 4/3x + 40 = 22 (a = 4/3 e b = 18) 
 
 
Resolução de Equações do 1º grau 
 
Na resolução de uma equação, ela sofre sucessivas transformações, mas sempre resultando em equações equivalen-
tes à equação inicial. Estas transformações são baseadas em algumas regras. 
 
 Regra nº 1: Eliminam-se os denominadores, sehouverem. 
 
 Regra nº 2: Efetuam-se as multiplicações indicadas. 
 
 Regra nº 3: Transpõe-se para o primeiro membro, todos os termos que contiverem a incógnita, que estiverem 
no segundo membro. 
 
 Regra nº 4: Transpõe-se para o segundo membro, todos os termos independentes, que estiverem no segundo 
membro. 
 
 Regra nº 5: Reduzem-se os termos semelhantes. 
 
 Regra nº 6: Divide-se toda a equação, pelo coeficiente da incógnita. 
 
 
 
Devemos sempre trocar o sinal quando passamos um termo de um membro 
para outro. 
 
 
Ex1: 
23x - 16 = 14 - 17x 
23x = 14 - 17x + 16 
23x + 17x = 30 
40x = 30 
x = 30/40 = 3/4 
 
 
 
Ex2: 
x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 
x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 12 
2x² + 6x = 2x² + 12 
Diminuindo 2x² em ambos os lados: 
6x = 12 
x = 12/6 = 2 
 
Raiz de uma Equação do 1º grau 
 
Chama-se de raiz da equação o valor que a incógnita x assume para que a equação tenha valor 0 (zero). 
 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Chamamos de sistema de equações, ao conjunto formado por duas ou mais equações. Na resolução de um sistema de 
equações simultâneas do primeiro graus, empregamos os processos da Adição, Substituição e Comparação, os quais 
passaremos a estudá-los separadamente. 
 
 
Método da Adição 
 
I) Multiplicam-se, ambos os membros de uma ou de cada uma das equações, por números, tais que, a incógnita que 
se deseja eliminar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de sinais contrários; 
II) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando, assim, uma única equação com uma in- cógnita; 
III) Resolve-se esta equação, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita; 
IV) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor de outra 
incógnita e consequentemente, a solução do sistema. 
 
Ex: 





2y3x2
6yx2
 
 
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por – 1 para podermos cortar –2x com 2x. 
 





2y3x2
6yx2
 
)1(
 





2y3x2
6yx2
 
 
2y
2
4y
4y2



 
 
2º passo: Substituir y = – 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x. 
 
 2x + y = 6 
2x + (– 2) = 6 
 2x – 2 = 6 
 2x = 6 + 2 
 x = 
2
8 
 x = 4 
 
3º passo: Dar a solução do sistema. S = {4, –2} 
 
 
 
Método da Substituição 
 
I) Resolve-se uma das equações, em relação à incógnita que se deseja eliminar; 
II) Substitui-se, na outra equação, a incógnita pelo seu valor obtido na primeira; 
III) Resolve-se a equação resultante dessa substituição; encontrando-se dessa forma, o valor da incógnita; 
IV) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra 
incógnita e consequentemente a solução do sistema. 
 
Ex: 





2y3x2
6yx2
 
 
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação. 
 





2y3x2
6yx2
 
x26y6yx2 
 
 
2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x. 
 
 2x + 3y = 2 
2x + 3 . (6 – 2x) = 2 
 2x + 18 – 6x = 2 
 – 4x = 2 – 18 
 – 4x = – 16 
 –x = – 
4
16 
 –x = – 4 )1( 
 
 x = 4 
 
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y. 
 
y = 6 – 2x 
y = 6 – 2.4 
y = 6 – 8 
y = – 2 
 
4º passo: Dar a solução do sistema. S = {4, –2} 
 
Método da Comparação 
 
I) Resolvem-se as duas equações, em relação à incógnita que se deseja eliminar; 
II) Comparam-se os dois valores desta incógnita e resolve-se a equação resultante, obtendo-se, assim, o valor de uma 
incógnita; 
III) Substitui-se o valor dessa incógnita, em qualquer uma das equações do sistema, obtendo-se o valor de outra incóg-
nita e consequentemente a solução do sistema. 
 
Ex: 





5y2x
7yx
 
 
1º passo: Isolar x nas 2 equações. 
 
Isolando x na 1ª equação 
x + y = 7 
x = 7 – y 
 
 
 
Isolando x na 2ª equação 
x – 2y = – 5 
x = – 5 + 2y 
 
2º passo: Realizando a comparação 
 
x = x 
7 – y = – 5 + 2y 
– y – 2y = –5 –7 
– 3y = – 12 *(–1) 
3y = 12 
y = 12/3 
y = 4 
 
3º passo: Para calcularmos o valor de x utilizamos qualquer uma das equações substituindo y por 4. 
 
x = – 5 +2y 
x = – 5 + 2 * 4 
x = – 5 + 8 
x = 3 
 
4º passo: Dar a Solução do sistema: {3, 4} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01.(FGV) José recebeu uma herança em dinheiro. Desse valor, a quinta 
parte foi utilizada para o pagamento do advogado e de impostos, e a 
terça parte do restante foi utilizada para o pagamento de dívidas. A fra-
ção do total que restou foi: 
 
A) 3/5 
B) 7/10 
C) 7/15 
D) 8/15 
E) 8/10 
 
02.(FGV) Há dez anos, Pedro tinha o triplo da idade de Joana. Se continua-
rem vivos, daqui a dez anos, Pedro terá o dobro da idade de Joana. 
Quando Joana nasceu, Pedro tinha: 
 
A) 28 anos 
B) 32 anos 
C) 36 anos 
D) 38 anos 
E) 40 anos 
 
03.(VUNESP) A tabela mostra os valores de algumas latinhas de bebidas 
vendidas em um clube e a quantidade consumida por uma família, em 
certo dia. 
 
 
 
 Considerando-se o número total de latinhas consumidas por essa famí-
lia nesse dia, na média, o preço de uma latinha saiu por R$ 5,00. Então, o 
preço de uma latinha de cerveja era: 
 
A) R$ 5,00 
B) R$ 5,50 
C) R$ 6,00 
D) R$ 6,50 
E) R$ 7,00 
 
04.(FGV) Daqui a 12 anos, Darlene terá o dobro da idade que tinha há 4 
anos. Daqui a 6 anos, a idade de Darlene será: 
 
A) 18 anos 
B) 22 anos 
C) 26 anos 
D) 28 anos 
E) 30 anos 
 
 
 
 
 
 
 
05.(FGV) José recebeu uma herança em dinheiro. Desse valor, a quinta 
parte foi utilizada para o pagamento do advogado e de impostos, e a 
terça parte do restante foi utilizada para o pagamento de dívidas. A fra-
ção do total que restou foi: 
 
A) 3/5 
B) 7/10 
C) 7/15 
D) 8/15 
E) 8/10 
 
06.(FGV) Sérgio e Mariana estão em uma mesma fila. Há 23 pessoas atrás 
de Sérgio e 17 pessoas na frente de Mariana. Sérgio está na frente de 
Mariana e há 8 pessoas entre eles. O número de pessoas na fila é: 
 
A) 32 
B) 33 
C) 34 
D) 35 
E) 36 
 
07.(FDC) Dois jogadores entram em um jogo, o primeiro com R$ 2.900,00 e 
o segundo com R$ 3.100,00. Depois de uma partida ganha pelo segun-
do, este tem o quádruplo do dinheiro do primeiro. Qual o valor da parti-
da? 
 
A) R$ 1.500,00 
B) R$ 1.600,00 
C) R$ 1.700,00 
D) R$ 1.800,00 
E) R$ 1.900,00 
 
08.(FGV) Duas caixas d'água iguais, posicionadas uma ao lado da outra, 
possuem, cada uma, capacidade de 900 litros, sendo que a primeira está 
cheia e a segunda, vazia. 
 
 
 
 A primeira caixa possui uma torneira que consegue esvaziá-la com va-
zão de 10 litros por hora e a segunda caixa possui uma torneira que 
consegue enchê-la com vazão de 15 litros por hora. Abrindo as duas 
torneiras simultaneamente, o tempo que deve decorrer até que os níveis 
da água nas duas caixas estejam na mesma altura é de: 
 
A) 18 h 
B) 25 h 
C) 30 h 
D) 36 h 
E) 45 h 
 
 
 
 
 
 
09.(FGV) Marlene comeu, inicialmente, um quarto da barra de chocolate 
que comprou. Depois, comeu um terço do que tinha sobrado. A fração 
da barra de chocolate que Marlene ainda tem para comer é: 
 
A) 1/2 
B) 1/3 
C) 1/4 
D) 3/4 
E) 1/12 
 
10.(FGV) Um casal pesou suas quatro malas no aeroporto para o embar-
que. As três primeiras malas pesaram 8 kg, 12 kg e 9 kg. Sabe-se que a 
média dos pesos das quatro malas foi de 11 kg. O peso da quarta mala 
é: 
 
A) 12 kg 
B) 13 kg 
C) 14 kg 
D) 15 kg 
E) 16 kg 
 
11.(FGV) Marlene comeu, inicialmente, um quarto da barra de chocolate 
que comprou. Depois, comeu um terço do que tinha sobrado. A fração 
da barra de chocolate que Marlene ainda tem para comer é: 
 
A) 1/2 
B) 1/3 
C) 1/4 
D) 3/4 
E) 1/12 
 
12.(FGV) As meninas Alice, Beatriz e Celia brincam na balança.Alice e Bea-
triz juntas pesam 100 kg, Alice e Celia juntas pesam 96 kg e Beatriz e 
Celia juntas pesam 108 kg. Beatriz pesa: 
 
A) 48 kg 
B) 50 kg 
C) 52 kg 
D) 54 kg 
E) 56 kg 
 
 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 
D E E C D A C D C D A E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORIAL 
 
INTRODUÇÃO 
 
O produto fatorial vai nos auxiliar na solução de problemas de uma forma abreviada, será muito importante para 
compreensão de outros conteúdos também. 
 
DEFINIÇÃO 
 
 Seja n um número natural, com n2, indicamos por n! como o produto de n pelos números naturais positivos me-
nores que n, isto é: 
 
 
 
 
Ex.: 
 
2! = 2.1 = 2 
3! = 3.2.1 = 6 
4! = 4.3.2.1 = 24 
5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
Também pode ser feito o seguinte desenvolvimento: 
10! = 10.9! 
15! = 15.14.13! 
20! = 20.19.18.17! 
 
OBS.: 
 
 
 
 
 
Ex.: 
 
Simplifique os fatoriais: 
 
a) b) 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
909.10
!8
!8.9.10
!8
!10
 3789.6.7
!5!.8
!8.9!.5.6.7
!5!.8
!9!.7

nn)1n.(n
)!2n(
)!2n).(1n.(n
)!2n(
!n 2 



 nn
1
n).1n(
1
)!1n.(n).1n(
)!1n(
)!1n(
)!1n(
2 








n! = n.(n1).(n2)...1 
 Por convenção 1! = 1 e 0! = 1. 
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
O PRINCÍPIO ADITIVO 
 
Enunciamos abaixo o que chamamos de princípio aditivo: 
Se A e B são dois conjuntos disjuntos, com m e n elementos, respectivamente, então AUB possui m+n elementos. 
 
Ex: Numa confeitaria há 5 sabores de picolés e 3 sabores de salgados. Suponha que Maria só tenha permissão para 
tomar um picolé ou comer um salgado. Quantos são os possíveis pedidos que Maria pode fazer? 
 
Sol.: 5+3 = 8 possibilidades 
 
 
 O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO 
 
Se uma decisão d1 pode ser tomada de m maneiras e se, uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser 
tomada de n maneiras, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 sucessivamente é m.n. 
 
Ex: Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 elementos e o outro com 15 elementos, encontram-se em um certo 
local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, o nú-
mero de cumprimentos será igual a: 
 
a) 35 b) 300 c) 595 d) 1190 e) 1200 
 
Sol.: 20x15 = 300 possibilidades 
 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então: k21 ppp   é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer. 
 
Você deve multiplicar o número de possibilidades de cada evento obtendo o número de resultados distintos do experi-
mento composto. 
 
Ex.: 
 
Uma montadora de automóveis apresenta um carro em três modelos diferentes e em cinco cores 
diferentes. Um consumidor terá quantas opções para escolher? 
 
Resp.  O número de opções é o produto das possibilidades de cada evento, ou seja, MODELO x 
COR. 
 
 = 15 opções. 3 5 
 
• p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa 
• p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa 
 
• pK é o número de possibilidades da k-ésima etapa. 
 
 
 
 
Ex.: 
 
Quantas placas de carro no Brasil podem começar com H e terminar com um número 
ímpar? 
 
Resp.  Temos 7 posições a serem ocupadas, a primeira só uma possibilidade (H) e a ultima tem 5 possibilidade 
(1,3,5,7,9), a segunda e terceira posição terá 26 possibilidade cada e as demais 10 possibilidades. 
 
 = 3380000 
 
Portanto, mais de 3 milhões de veículos. 
 
Ex.: 
 
Existem quantos anagramas da palavra LUA? 
 
Resp.  Nesse caso as 3 letras vão ser embaralhadas. Observase que existem 3 possibilidades (L, U e A) para a pri-
meira posição, 2 possibilidades para a segunda posição pois uma das letras já está na primeira posição e uma para a 
última, logo 
 
 = 6 anagramas 
 
Nesse caso, como são poucos resultados também poderíamos até escrever cada um dos anagramas e contá–los. 
 
LUA ALU ULA 
LAU AUL UAL 
 
 
1. ARRANJOS SIMPLES 
 
Seja B = {b1, b2, ... , bn} um conjunto com n elementos (n  N). 
 
Denomina-se arranjo simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer agrupamento de p elementos, distintos, 
escolhidos entre os elementos de B (p  N e p  n). 
 
Indica-se: 
 
 
 
► Observação: ARRANJO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza 
dos elementos componentes. 
 
Fórmula do número de arranjos 
 
 
)1pn()2n()1n(nA p,n   
 
ou 
 
)!pn(
!n
A p,n


 
 
 
 
 
10 10 10 1 26 26 5 
3 2 1 
FORTALEZA – CE 
 ou 
 
 
 
 
!!!
!,,

 nPn 
2. COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
Seja B = {b1, b2, ... , bn} um conjunto com n elementos (n  N). 
 
Denomina-se combinação simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer subconjunto de p elementos do con-
junto B. 
 
Indica-se: p,nC ou 
p
nC 
 
► Observação: COMBINAÇÃO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos 
elementos componentes. 
 
Fórmula das combinações simples 
 
 )!pn!(p
!n
C p,n


 
 
 
3. PERMUTAÇÕES SIMPLES 
 
Permutação é o tipo de agrupamento ordenado no qual, em cada grupo, entram todos os elementos. 
 
Fórmula das permutações simples 
 
 
 
 
 
 
!nPn  
 
 
 
4. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS 
 
O número de permutações possíveis com n elementos, dentre os quais um certo elemento se repete a vezes, é igual ao 
fatorial de n dividido pelo fatorial de  . 
 
 !
!

 nPn 
 
 
Se tivermos n elementos, dos quais: 
 são iguais a A 
 são iguais a B 
 são iguais a C 
 
O número de permutações distintas dos n elementos será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. PERMUTAÇÕES CIRCULAR 
 
 
 
 
 
 
6. COMBINAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
7. ARRANJO COM ELEMENTOS REPETIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)!1(  nP
c
n
)!1(!
)!1(
,1



np
pn
CR ppn
p
pn nAR ,
 
 
 
 
 
01.(FGV) Uma empresa solicita a seus funcionários que cadastrem uma 
senha de 4 dígitos (algarismos de 0 a 9) com a condição de que essa 
senha não contenha três dígitos iguais juntos. O número de senhas 
possível é: 
 
A) 9760 
B) 9780 
C) 9800 
D) 9810 
E) 9820 
 
02.(FGV) Dentre todos os números naturais de 3 algarismos, a quantidade 
desses números que possui pelo menos um algarismo 5 é: 
 
A) 90 
B) 184 
C) 225 
D) 240 
E) 252 
 
03.(FGV) Os cinco times de futebol de certo município disputarão um tor-
neio em que cada time jogará uma vez com cada um dos outros times. 
O número de partidas que serão realizadas é: 
 
A) 8 
B) 9 
C) 10 
D) 15 
E) 20 
 
04.(FGV) Quatro pessoas, Ana, Bia, Celia e Dulce devem se sentar em qua-
tro das seis poltronas representadas na figura abaixo. 
 
 
 
 Sabendo que Ana e Bia devem se sentar uma ao lado da outra, o número 
de maneiras diferentes que elas quatro podem se sentar nessas poltro-
nas é: 
 
A) 30 
B) 60 
C) 80 
D) 120 
E) 240 
 
05.(FGV) Assinale a opção que indica o número de anagramas das letras 
da palavra SUSSURRO. 
 
A) 1680 D) 1320 
B) 1560 E) 1260 
C) 1440 
 
 
 
06.(FGV) O presidente e o vice-presidente de uma comissão serão escolhi-
dos entre os 10 deputados do Partido X e os 6 deputados do Partido Y. 
Os Partidos acordaram que os dois cargos não poderão ser ocupados 
por deputados de um mesmo Partido. O número de maneiras diferentes 
de se escolher o presidente e o vice-presidente dessa comissão, é: 
 
A) 16 
B) 32 
C) 60 
D) 64 
E) 120 
 
07.(FGV) Uma empresa identifica seus bens permanentes com etiquetas 
que contém um código composto de duas letras (das vinte e seis do al-
fabeto) seguidas de dois algarismos. O número de bens permanentes 
que podem ser identificados da forma descrita é: 
 
A) menor do que 40.000. 
B) maior do que 40.000 e menor do que 50.000. 
C) maior do que 50.000 e menor do que 60.000. 
D) maior do que 60.000 e menor do que 70.000. 
E) maior do que 70.000. 
 
08.(FGV)Uma casa mal-assombrada tem 5 janelas. O número de maneiras 
diferentes pelas quais um fantasma pode entrar por uma janela qual-
quer e sair por outra diferente é: 
 
A) 9 
B) 10 
C) 16 
D) 20 
E) 25 
 
09.(AMEOSC) Assinale a alternativa correta com base na quantidade de 
formas que 5 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular: 
 
A) 6 
B) 12 
C) 24 
D) 36 
 
10.(FGV) Regina vai sortear uma menina e um menino entre os estudantes 
de uma de suas turmas para serem os representantes da turma. Nessa 
turma há 10 meninas e 12 meninos. O número de duplas diferentes pos-
síveis para representantes da turma é: 
 
A) 22 
B) 60 
C) 72 
D) 110 
E) 120 
 
 
 
 
 
 
 
11.(FGV) João tem 4 primas e 3 primos, deseja convidar duas dessas pes-
soas para ir ao cinema, mas não quer que o grupo seja exclusivamente 
masculino. O número de maneiras diferentes pelas quais João pode es-
colher seus dois convidados é: 
 
A) 9 
B) 12 
C) 15 
D) 16 
E) 18 
 
12.(FGV) As placas de automóveis no Brasil são compostas por três das 26 
letras do alfabeto seguidas de 4 algarismos. O número de placas dife-
rentes que começam pela letra K ou pela letra L: 
 
A) é maior que 13.000.000; 
B) está entre 12.000.000 e 13.000.000; 
C) está entre 11.000.000 e 12.000.000; 
D) está entre 10.000.000 e 11.000.000; 
E) é menor do que 10.000.000. 
 
13.(FGV) Uma empresa identifica seus bens permanentes com etiquetas 
que contém um código composto de duas letras (das vinte e seis do al-
fabeto) seguidas de dois algarismos. O número de bens permanentes 
que podem ser identificados da forma descrita é: 
 
A) menor do que 40.000. 
B) maior do que 40.000 e menor do que 50.000. 
C) maior do que 50.000 e menor do que 60.000. 
D) maior do que 60.000 e menor do que 70.000. 
E) maior do que 70.000. 
 
 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 
D E C D A E D D C E E A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentarem resultados variados, 
não sendo possível, portanto, a previsão lógica dos resultados, são denominados experimentos aleatórios. 
 
• Espaço amostral — é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espa-
ço amostral por U. 
 
• Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. 
 
O conceito de Probabilidade é muito fácil, trata-se de uma divisão. Antes de mais nada, convém saber que a questão de 
Probabilidade é inconfundível. Haverá no enunciado sempre a pergunta: Qual a probabilidade de ...? No máximo, a ques-
tão trocará a palavra probabilidade pela palavra chance. (Mas isso também não é algo comum de ocorrer)! 
 
Daí, procuraremos saber qual é a probabilidade de realização de um determinado evento! Teremos, então, que o concei-
to que buscamos é o seguinte: a probabilidade é a razão entre o nº de eventos favoráveis pelo nº de eventos possíveis. 
 
Exemplo: Um dado é lançado duas vezes sucessivamente e é observada a sequência das faces obtidas. Usando o PFC 
(princípio fundamental da contagem), o número de resultados possíveis de ocorrer nesse experimento é 66  = 36. Veja, 
a seguir, uma forma de representar os 36 pares ordenados: 
 
Lançamentos 
 2° 
1° 1 2 3 4 5 6 
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
Assim, U = {(1, 1), (1, 2),..., (2,1),.... (3,1),.... (4,1),..., (5, 1),..., (6,1),..., (6, 6)}. Cada par ordenado corresponde a um ponto 
amostral. 
 
 
Definição 
 
Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seus eventos. 
 
Denomina-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que: 
 
 
 
Em que: 
n(A) = n.° de elementos do evento A. 
n(U) = n.° de elementos do espaço amostral. 
 
 
 
 
Adição de probabilidades 
 
Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral, podemos escrever: 
 
 
 
Observação: 
Se A  B =   P(A  B) = P(A) + P(B) 
 
 
Probabilidade do evento complementar 
 
Sejam: 
 
A = evento de um espaço amostral U. 
A = evento complementar de A. 
Então: 1)A(P)A(P  
 
 
Multiplicação de probabilidades 
 
Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes, de tal modo que: 
 
o primeiro evento é A e a sua probabilidade é p1 
o segundo evento é B e a sua probabilidade é p2 
o terceiro evento é C e a sua probabilidade é p3 
       
o K-ésimo evento é K e a sua probabilidade é pK 
 
Então a probabilidade de que os eventos A, B, C, .... K ocorram nessa ordem é: 
 
k321 pppp  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
 
 
 
 
 
 
01.(FGV) Dois dados são jogados. A probabilidade de que o produto dos 
dois números sorteados seja maior do que 12 é: 
 
A) 13/36 
B) 5/12 
C) 2/3 
D) 1/3 
E) 1/2 
 
02.(FGV) O dia 01 de abril de 2022 cairá em uma sexta-feira. Escolhe-se ao 
acaso um dia desse mês. A probabilidade de que esse dia seja um sá-
bado ou um domingo é de: 
 
A) 1/3 
B) 1/5 
C) 3/10 
D) 4/15 
E) 11/30 
 
03.(FGV) A probabilidade de um determinado aluno acertar cada uma das 
duas últimas questões de uma determinada prova é 70%. Acertar ou er-
rar cada uma das questões são eventos independentes. A probabilidade 
desse aluno errar as duas referidas questões: 
 
A) é menor que 10%; 
B) está entre 10% e 20%; 
C) está entre 20% e 30%; 
D) está entre 30% e 50%; 
E) é maior que 50%. 
 
04.(FGV) Em cada uma de duas urnas há três bolas: uma vermelha, uma 
rosa e uma azul. Sorteiam-se duas bolas, aleatoriamente, uma de cada 
urna. A probabilidade de as bolas sorteadas terem cores diferentes é de: 
 
A) 8/9 
B) 7/9 
C) 2/3 
D) 1/2 
E) 1/3 
 
05.(FGV) Entre os cinco números 2, 3, 4, 5 e 6, dois deles são escolhidos ao 
acaso e o produto deles dois é calculado. A probabilidade desse produto 
ser um número par é: 
 
A) 60% 
B) 75% 
C) 80% 
D) 85% 
E) 90% 
 
 
 
 
 
 
06.(FGV) Entre 6 deputados, 3 do Partido A e 3 do Partido B, serão sortea-
dos 2 para uma comissão. A probabilidade de os 2 deputados sorteados 
serem do Partido A é de: 
 
A) 1/2 
B) 1/3 
C) 1/4 
D) 1/5 
E) 1/6 
 
07.(FGV) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7}, João escolhe ao 
acaso um elemento de cada um deles. A probabilidade de que o produto 
dos dois elementos escolhidos seja um número par é: 
 
A) 1/4 
B) 1/3 
C) 1/2 
D) 2/3 
E) 3/4 
 
08.(FGV) Uma caixa contém 20 bolas, sendo 10% delas azuis e as demais, 
verdes. Sônia retira uma bola da caixa e constata que ela é azul. Em se-
guida, Júlia retira outra bola dentre as que restaram na caixa. A probabi-
lidade de a bola retirada por Júlia ser também azul é: 
 
A) 1/20 
B) 1/19 
C) 2/19 
D) 2/20 
E) 1/2 
 
09.(FGV) Entre os cinco números 2, 3, 4, 5 e 6, dois deles são escolhidos ao 
acaso e o produto deles dois é calculado. A probabilidade desse produto 
ser um número par é: 
 
A) 60% 
B) 75% 
C) 80% 
D) 85% 
E) 90% 
 
10.(FGV) Em uma turma de vinte alunos, há dois com necessidades educa-
tivas especiais. Para a realização de um determinado trabalho em gru-
po, o professor irá sortear, em sequência, dois alunos aleatoriamente. A 
probabilidade de que os dois alunos sorteados sejam exatamente os 
dois alunos com necessidades educativas especiais é de: 
 
A) 29/190 
B) 1/190 
C) 1/20 
D) 1/19 
E) 1/10 
 
 
 
 
 
 
11.(FGV) O quadro a seguir mostra a distribuição das idades dos funcioná-
rios de certa repartição pública: 
 
Faixa de idades (anos) Número de funcionários 
 20 ou menos 2 
 De 21 a 30 8 
 De 31 a 40 12 
 De 41 a 50 14 
 Mais de 50 4 
 
 
 Escolhendo ao acaso um desses funcionários,a probabilidade de que 
ele tenha mais de 40 anos é: 
 
A) 30% 
B) 35% 
C) 40% 
D) 45% 
E) 55% 
 
 
12.(FGV) Uma urna contém apenas bolas brancas e bolas pretas. São vinte 
bolas ao todo e a probabilidade de uma bola retirada aleatoriamente da 
urna ser branca é 1/5. Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente 
e sem reposição. A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pre-
tas é: 
 
A) 16/25 
B) 16/19 
C) 12/19 
D) 4/5 
E) 3/5 
 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 
A C A C E D D B E B D C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. O QUE É ESTATÍSTICA? 
 
Durante um telejornal, o repórter divulgou uma pesquisa segundo a qual apenas 5% dos brasileiros têm o hábito de ler 
jornal diariamente. 
 
Você já pensou em como são feitas pesquisas como essa? Como é possível entrevistar toda a população brasileira 
para se saber a porcentagem de leitores de jornal? 
 
O uso da pesquisa é bastante comum nas várias atividades humanas. 
 
Exemplos: 
 
1°) As indústrias costumam realizar pesquisas entre os consumidores antes do lançamento de um novo produto no 
mercado. 
 
2°) As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha. 
 
3°) A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou em um campeonato interfere no plane-
jamento dos treinamentos. 
 
A realização de uma pesquisa envolve muitas etapas, como a escolha da amostra, a coleta e organização dos dados 
(informações), o resumo desses dados (em tabelas, gráficos, etc.) e a interpretação dos resultados. 
 
A parte da Matemática que trata desses assuntos é a ESTATÍSTICA. 
 
Como uma primeira ideia, podemos entender a estatística como sendo um método de estudo de comportamentos coleti-
vos cujas conclusões são traduzidas em resultados numéricos. 
 
2. POPULAÇÃO 
 
A Estatística parte da observação de grupos, geralmente numerosos, aos quais damos o nome de população ou universo 
estatístico. 
 
Cada elemento da população estudada é denominado unidade estatística. Veja: 
 
POPULAÇÃO ESTATÍSTICA UNIDADE ESTATÍSTICA 
48 alunos que estudam na 
5ª série de uma escola 
Cada aluno que estuda na 5ª 
série dessa escola 
Clubes campeões paulistas 
de futebol 
Cada clube campeão paulista 
de futebol 
 
3. AMOSTRA 
 
A população estatística pode ser finita ou infinita. 
 
• Finita: quando apresenta um número finito de elementos. 
 
Por exemplo: 
– Um número de operários que trabalham em uma fábrica em uma determinada data. 
– As notas de Matemática dos alunos do ensino médio em um determinado bimestre. 
 
 
 
• Infinita: quando apresenta um número infinito de elementos. 
 
Por exemplo: 
– as temperaturas nos diversos pontos do Brasil em determinado momento. 
 
Quando o universo estatístico é infinito, não é possível fazer uma observação que abranja todos os seus elementos. 
Nesse caso, recorre-se a um subconjunto do universo estudado que chamamos de amostra. 
 
Mesmo quando o universo é finito, há razões que nos levam à utilização da técnica de amostragem, tais como: 
 
— razões econômicas, por ser dispendioso observar grande número de elementos; 
— razões de tempo, pois uma observação demorada pode levar a resultados desatualizados. 
 
4. VARIÁVEL 
 
A observação da população é dirigida ao estudo de uma dada propriedade ou característica dos elementos dessa popu-
lação. Essa característica pode ser: 
 
• Qualitativa: se os valores tomados não são numéricos, como: raça, área de estudos, meio de transporte etc. 
• Quantitativa: se os valores tomados são numéricos, como a altura, o peso, o preço de um produto etc. 
 
Uma característica quantitativa também se chama variável estatística ou simplesmente variável. Cada valor que essa 
variável pode assumir chama-se dado estatístico. 
 
As variáveis estatísticas podem ser: 
 
– Contínuas: quando podem assumir qualquer valor do intervalo da variação. Por exemplo, na determinação das altu-
ras dos adolescentes de uma escola, a variável "altura" é contínua. 
 
– Discretas: quando só podem assumir valores inteiros. Por exemplo, na determinação do número de sócios de um 
certo clube, a variável "número de sócios" é discreta. 
 
5. ROL 
 
É toda sequência (a1; a2; a3; ...; a4,) de dados numéricos tal que: 
 
• cada termo, a partir do segundo, é maior ou igual ao seu antecessor; 
• ou cada termo, a partir do segundo, é menor ou igual ao seu antecessor. 
 
Exemplo: os cinco alunos de uma amostra apresentaram as seguintes notas na prova bimestral de matemática 6; 4; 8; 
7; 8. Apresentando esses dados em rol, temos: (4; 6; 7; 8; 8) ou (8; 8; 7; 6; 4). 
 
6. CLASSES 
 
Em uma mostra de latas de óleo comestível, foram constatados os seguintes volumes em mililitros: 980; 990; 1.000; 
970; 980; 1.000; 1.010; 950; 970; 940; 1.020; 1.010; 920; 990; 950; 900; 1.000; 950; 970; 1.010. Podemos separar os 
elementos dessa amostra em róis disjuntos (sem elementos comuns). 
 
Por exemplo: 
I. 900;920 
II. 940 
III. 950; 950; 950 
IV. 970; 970; 970; 980; 980 
V. 990; 990; 1.000; 1.000; 1.000 
VI. 1.010; 1.010; 1.010; 1.020 
 
 
 
%100
F
F
%F 
Qualquer intervalo real que contenha um rol da amostra é chamado de classe. Por exemplo, podemos formar as seguin-
tes classes com os elementos dessa amostra: 
 
• o intervalo [900, 940[ contém o rol (I); 
• o intervalo [940, 950[ contém o rol (II); 
• o intervalo [950, 970[ contém o rol (III); 
• o intervalo [970, 990[ contém o rol (IV); 
• o intervalo [990, 1.010[ contém o rol (V); 
• o intervalo [1.010, 1.020] contém o rol (VI). 
 
A diferença entre o maior e o menor elemento de uma classe, nessa ordem, é chamada de amplitude da classe. 
 
Por exemplo: 
A amplitude da classe [900, 940[ é 940 – 900 = 40. 
 
► NOTAS 
 
1. Os extremos de cada classe não precisam ser, necessariamente, elementos da amostra, mas se o forem, deve-se 
tomar o cuidado de não permitir que um mesmo elemento pertença a duas classes simultaneamente; por isso, no 
exemplo anterior, com exceção do último intervalo, consideramos os demais abertos à direita. 
 
2. Embora não seja obrigatório, é conveniente que, dentre duas classes consecutivas, o extremo à direita (aberto) da 
primeira coincida com o extremo à esquerda (fechado) da segunda, como fizemos no exemplo ar tenor. 
 
7. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
A quantidade de elementos da amostra que pertencem a uma determinada classe é chamada de frequência dessa 
classe. No exemplo anterior: 
 
• a frequência da classe [900, 940[ é igual a 2, pois 2 elementos da amostra pertencem a essa classe; 
 
• a frequência da classe [940, 950[ é igual a 1, pois apenas 1 elemento da amostra pertence a essa classe; 
 
• analogamente, as classes [950, 970[; [970, 990[; [990, 1.010[ e [1.010, 1.020] têm frequências, respectivamente, 
iguais a 3, 5, 5 e 4. 
 
Podemos apresentar as classes com suas respectivas frequências através de uma tabela chamada de tabela de distri-
buição de frequência: 
 
Classe (volume em mililitros) F 
[900, 940[ 2 
[940, 950[ 1 
[950, 970[ 3 
[970, 990[ 5 
[990, 1.010[ 5 
[1.010, 1.020] 4 
 
A soma de todas as frequências, 2+1+3+5+5+4=20, é chamada de frequência total (Ft) da distribuição. Dividindo a fre-
quência F de uma classe pela frequência total Ft, obtemos um número chamado de frequência relativa da classe. É 
usual apresentar-se a frequência relativa em porcentagem. Indicando a frequência relativa de uma classe por F%, tem-
se que: 
 
 
 
 
 
 
Assim, da tabela anterior, temos que: 
 
• a classe [900, 940[ tem frequência relativa igual a 
 
• a classe [940, 950[ tem frequência relativa igual a 
 
• a classe [950, 970[ tem frequência relativa igual a 
 
• a classe [970, 990[ tem frequência relativa igual a 
 
• a classe [990, 1.010[ tem frequência relativa igual a 
 
• a classe [1.010, 1.020] tem frequência relativa igual a 
 
Assim, temos a tabela de distribuição de frequência e de frequência relativa: 
 
Classe 
(volume em mililitros) 
F F% 
[900, 940[ 2 10% 
[940, 950[ 1 5% 
[950, 970[ 3 15% 
[970, 990[ 5 25% 
[990, 1.010[5 25% 
[1.010, 1.020] 4 20% 
 F1 = F =20 
 
8. CLASSES UNITÁRIAS 
 
Podemos considerar uma classe como sendo um único número real. Esse tipo de classe é denominado classe unitária. 
 
 
Exemplo: Para avaliar o nível de ensino em uma região, escolheu-se uma amostra de trezentos alunos da primeira série 
do ensino médio e aplicou-se uma prova. 
A tabela de distribuição de frequência abaixo mostra o resultado dessa prova. As notas representam classe unitárias. 
 
Classe (nota) Freqüência (nº. de alunos) 
2,0 40 
3,0 85 
5,0 75 
6,0 50 
7,0 30 
8,0 20 
 
9. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 
Em muitos casos, uma representação gráfica de uma distribuição de frequências nos dá uma ideia melhor de um levan-
tamento estatístico do que um quadro com números. 
 
Nesse item, estudaremos as representações gráficas mais usadas em Estatística. 
 
 
 
 
Gráfico de barras 
Os dados de uma tabela podem ser representados graficamente por retângulos paralelos, horizontais ou verticais, to-
dos de mesma largura e comprimentos proporcionais às frequências. 
 
Esses gráficos, chamados gráficos de barras, permitem uma rápida exploração visual e uma comparação entre a variá-
vel em estudo e suas frequências. 
 
O gráfico de barras verticais é também chamado de gráfico de colunas. 
 
Veja o que foi publicado na imprensa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de setores 
 
O gráfico de setores é um círculo dividido em partes (setores), cujas medidas são proporcionais às frequências relati-
vas, como nos dois exemplos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico poligonal ou de linha 
 
Traçado no plano cartesiano, esse tipo de gráfico é usado geralmente para identificar tendências de aumento ou dimi-
nuição de valores numéricos de uma variável: índices de audiência de programas de televisão, lucros de empresas, 
desempenho de atletas etc. O gráfico poligonal é chamado também de gráfico de linha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. HISTOGRAMA 
 
O histograma é um gráfico utilizado para representar uma distribuição de freqüência em que as classes não são unitá-
rias. 
 
Veja, a seguir como esse gráfico é construído. 
 
1º. Separam-se os elementos da amostra em classes de mesma amplitude e representam-se essas classes no eixo das 
abscissas: 
 
Classe Freqüência 
[x1, x2[ F1 
[x2, x3[ F2 
[x3, x4[ F3 
 
[xn-1, xn] Fn 
 
 
 
 
 
 
 
 
2°. Constroem-se retângulos cujas bases coincidem com as classes; a altura de cada retângulo representa a frequência 
da classe correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
► NOTA: Podem-se construir histogramas com classes de amplitudes diferentes, porém, a altura de cada retângulo não 
representará a frequência da classe. Por isso, é mais usual adotar uma mesma amplitude para as classes. 
 
Exemplo: Os alunos de uma amostra apresentaram as seguintes estaturas, em centímetros: 
 
 165 170 165 177 
 169 180 162 171 
 178 173 164 172 
 181 166 168 170 
 
Vamos separar os elementos da amostra em quatro classes de mesma amplitude: 
 
Classe (estatura em cm) Freqüência 
[161,5; 166,5[ 4 
[165,5; 171,5[ 6 
[171,5; 176,5[ 2 
[176,5; 181,5] 4 
0 
| 
x1 
| 
x2 
| 
x3 
| 
x4 
| 
xn 
 
... 
 
Classe 
0 
 
x1 
 
x2 
 
x3 
 
x4 
| 
xn 
 
... 
 
Classe 
F 
F2 
F1 
F3 
 
... 
 
 
 
► NOTA: Lembre-se que os extremos de classe não precisam ser, necessariamente, elementos da amostra. Começa-
mos da medida 161,5 cm, mas poderíamos ter começado de outra medida, por exemplo, 161,8 cm ou de 162 cm, que é o 
menor elemento da amostra. Se você optar por começar de valores não pertencentes à amostra, procure sempre come-
çar de um valor a menos de uma unidade do menor elemento da amostra. 
 
 
O histograma correspondente a essa distribuição é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Média Aritmética ( ) 
 
Os conteúdos de 4 baldes de água são: 3l, 5l, 2l e 1l. Se toda essa água fosse distribuída igualmente entre es-ses 
baldes, com quantos litros de água ficaria cada um? 
A quantidade de água de cada um seria razão da quantidade total de água para o numero de baldes, isto é: 
 
 
 
O resultado 2,75l é chamado de média aritmética dos valores 3l, 5l, 2l e 1l. 
 
Podemos entender a média aritmética de duas ou mais quantidades como sendo o valor que cada uma delas teria 
se, mantendo-se a soma delas, todas fossem iguais. 
 
A média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn, que se indica por , é dada por: 
 
 
 
ou, usando o símbolo de somatório: 
 
 
 
Média aritmética ponderada 
 
Cinco baldes contêm 4 litros de água cada um, três outros contêm 2l de água cada um, e, ainda, dois outros contêm 
5l de água cada um. Se toda essa água fosse distribuída igualmente entre esses baldes, com quantos litros ficaria cada 
um? 
A quantidade de água de cada balde seria a razão da quantidade total de água para o número de baldes, isto é: 
 
 
 
O resultado 3,6l é chamado de média aritmética ponderada dos valores 4l, 2l e 5l, com pesos (fatores de pondera-
ção) 5, 3 e 2, respectivamente. 
x
 75,2
4
1253


x
n
xxxx
x n321



n
x
x
n
1i
i

 6,3
10
253254


0 
 
161,5 
 
166,5 
 
171,5 
 
176,5 
 
181,5 
 
Classe 
F 
8 
4 
2 
 
 
 
A média aritmética ponderada dos números x1, x2, x3, ... , xn, com pesos, p1, p2, p3, ..., pn, respectivamente, é o número 
 tal que: 
 
 
 
Moda 
 
É o valor mais frequente de um conjunto de dados. 
Ex: Ao analisarmos a imagem com o time de futebol poderemos notar que a Moda corresponde à altura 1,66 metro que 
é a mais comum no grupo de 11 jogadores apresentados 
. 
Mediana 
 
Depois de ordenados os valores por ordem crescente ou decrescente, a mediana é: 
 – o valor que ocupa a posição central, se a quantidade desses valores for ímpar; 
 – a média dos dois valores centrais, se a quantidade desses valores for par. 
Em outras palavras mediana: é o valor intermediário que separa a metade superior da metade inferior do conjunto de 
dados. No entanto esse valor pode ser encontrado de formas diferentes caso o número de dados seja par ou ímpar, 
vejamos: 
 
Para o número de termos ímpar: 
{32, 27, 15, 44, 15} 
{15, 15, 27, 32, 44} 
Md = 27 
Para o número de termos par: 
{32, 27, 15, 44, 15, 32} 
{15, 15, 27, 32, 32, 44} 
Md = 27 + 32/2 
Md = 59/2 
Md = 29,5 
x
n321
nn332211
pppp
pxpxpxpx
x





 
 
 
 
 
01.(FGV) Considere a lista de cinco números reais: 2, 9, 4, 10, x. Sabe-se 
que a mediana desses números é igual à média deles. A soma dos pos-
síveis valores de x é: 
 
A) 22,5 
B) 21,25 
C) 20,75 
D) 19,5 
E) 17,5 
 
02.(FGV) A média e a moda (única) dos inteiros 2, 4, 5, 7, 7, 8, N são iguais. 
O valor de N é: 
 
A) 5 
B) 7 
C) 8 
D) 12 
E) 16 
 
03.(FGV) Os 12 funcionários de uma repartição da prefeitura foram subme-
tidos a um teste de avaliação de conhecimentos de computação e a 
pontuação deles, em uma escala de 0 a 100, está no quadro abaixo. 
 
50 55 55 55 55 60 62 63 65 90 90 100 
 
 O número de funcionários com pontuação acima da média é: 
 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
 
04.(FGV) A média das idades dos cinco jogadores mais velhos de um time 
de futebol é 34 anos. A média das idades dos seis jogadores mais ve-
lhos desse mesmo time é 33 anos. A idade, em anos, do sexto jogador 
mais velho desse time é: 
 
A) 33 
B) 32 
C) 30 
D) 28 
E) 26 
 
05.(FGV) A média de cinco números de uma lista é 19. A média dos dois 
primeiros números da lista é 16. A média dos outros três números da 
lista é: 
 
A) 13 
B) 15 
C) 17 
D) 19 
E) 21 
 
 
 
06.(FGV) Em um curso de treinamento dos funcionários de uma empresa, 
as notas dos alunos de uma turma na prova final estão no gráfico a se-
guir: 
 
 
 
 A média dos alunos dessa turma foi: 
 
A) 6,5 
B) 6,7 
C) 6,9 
D) 7,0 
E) 7,3 
 
07.(IESES) Qual são, respectivamente, os valores da mediana e da moda no 
seguinte conjunto de dados (1; 3; 22; 23; 5; 3;