Centro de Massa e Momento Linear

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Disciplina: Mecânica BásicaDisciplina: Mecânica Básica
Professor: Carlos AlbertoProfessor: Carlos Alberto
Centro de Massa e Centro de Massa e 
Momento LinearMomento Linear
 
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O Centro de MassaO Centro de Massa
“O centro de massa de um sistema de partículas é o 
ponto que se move como se (1) toda a massa do 
sistema estivesse concentrada nesse ponto e (2) todas 
as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto”.
✔ Sistema de partículasSistema de partículas
cm
 
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O Centro de MassaO Centro de Massa
Se x1 = 0
✔ Sistema de partículasSistema de partículas
cm
m1 = m2 m1 > m2
cm
 
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O Centro de MassaO Centro de Massa
Podemos generalizar de duas partículas para um sistema de muitas partículas
✔ Sistema de partículasSistema de partículas
Em 3D
(DEFINIÇÃO: CENTRO DE MASSA)
 
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O Centro de MassaO Centro de Massa
✔ Corpos maciçosCorpos maciços
✔ SimetriasSimetrias
Para cada componente
 
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Três partículas de massa m1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e m3 = 3,4 kg formam um 
triângulo equilátero de lado a = 140 cm. Onde fica o centro de massa desse 
sistema?
Exemplo 9.1: (Halliday, p220)Exemplo 9.1: (Halliday, p220)
cm
 
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Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada, 
como mostrado na figura abaixo.
Exemplo 5.15: (Tipler, p148)Exemplo 5.15: (Tipler, p148)
0,4 m
0,2 m
0,2 m
0,8 m
 
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Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada, 
como mostrado na figura abaixo.
Exemplo 5.15: (Tipler, p148)Exemplo 5.15: (Tipler, p148)
y
x
m2
m1
0,70,4
0,2
0,5
0,4 m
0,2 m
0,2 m
0,8 m
 
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A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de 
raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de 
coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa.
Exemplo 9.2: (Halliday, p221)Exemplo 9.2: (Halliday, p221)
x
y
Placa P
 
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CMR
A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de 
raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de 
coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa.
Exemplo 9.2: (Halliday, p221)Exemplo 9.2: (Halliday, p221)
x
y
CMP
CMC
Placa Composta
C = R + P
 
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Encontrando o centro de massa por integraçãoEncontrando o centro de massa por integração
✔ Barra uniformeBarra uniforme
dm = λ dx
dx
z
y
x
 
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Encontrando o centro de massa por integraçãoEncontrando o centro de massa por integração
✔Anel semicircularAnel semicircular
y
xθ
dθ
ds = R dθ
 
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Movimento do centro de massaMovimento do centro de massa
Derivando os dois lados:
Derivando novamente os dois lados:
0
 
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Movimento do centro de massaMovimento do centro de massa
Movimento do corpo
(ou sistema de partículas)
Movimento do CM
Movimento das partículas 
Em Relação ao CM
“O centro de massa se um sistema se move como uma partícula de massa M = Σm 
sob a influência da força externa resultante que atua sobre o sistema”.
 
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Um projétil é disparado em uma trajetória tal que o faria aterrizar 55 m adiante. 
No entanto, ele explode no ponto mais alto da trajetória, partindo-se em dois 
fragmentos de mesma massa. Imediatamente após a explosão, um dos 
fragmentos possui uma velocidade instantânea igual a zero e, depois cai na 
vertical. Onde aterriza o outro fragmento? Despreze a resistência do ar.
Exemplo 5.16: (Tipler, p152)Exemplo 5.16: (Tipler, p152)
cm
cm
 
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James está a uma distância de 20,0 m de Ramon, e ambos estão em pé sobre a 
superfície lisa de um lago congelado. Ramon possui massa de 60,0 kg e James 
possui massa de 90,0 kg. Na metade da distância entre os dois homens, uma 
caneca contendo a bebida favorita deles está apoiada sobre o gelo. Eles puxam as 
extremidades de uma corda leve esticada entre eles. Quando James se desloca 6,0 
m no sentido da caneca, em que sentido se desloca Ramon e qual é a distância 
percorrida por ele?
Exemplo 8.14: (Young, p260)Exemplo 8.14: (Young, p260)
 
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Pedro (massa de 80 kg) e Davi (Massa de 120 kg) estão em um barco a remo 
(massa de 60 kg), em um lago calmo. Davi está próximo à proa, remando, e Pedro 
está na popa, a 2,0 m de Davi. Davi se cansa e para de remar. Pedro se oferece 
para remar, e, quando o barco atinge o repouso, eles trocam de lugar. De quanto 
o barco se move, quando eles trocam de lugar? (Despreze qualquer força 
horizontal exercida pela água)
Exemplo 5.17: (Tipler, p153)Exemplo 5.17: (Tipler, p153)
 
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Momento linearMomento linear
(quantidade de movimento)(quantidade de movimento)
“A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual a força 
resultante que atua sobre a partícula e tem a mesma orientação que essa força”.
✔ 2ª Lei de Newton2ª Lei de Newton
(DEFINIÇÃO)
Para uma partícula:
Para um sistema de partículas:
No SI, o momento linear tem como unidade kg·m/s (quilograma vezes metro por segundo).
 
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Colisão e ImpulsoColisão e Impulso
x
✔ Colisão simplesColisão simples
(DEFINIÇÃO DE IMPULSO)
(TEOREMA DO MOMENTO 
LINEAR E IMPULSO)
No Sistema Internacional (SI), a unidade da grandeza impulso é N · s (newton vezes 
segundo). Como N = kg · m/s2, temos:
 
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Colisão e ImpulsoColisão e Impulso
✔ Colisão simplesColisão simples
Se a função é conhecida, podemos calcular integrando a função. Se temos um 
gráfico de em função de t, podemos obter J calculando a área entre a curva e o eixo t.
Podemos definir uma força média como sendo a força constante capaz de produzir o 
mesmo impulso da força de intensidade variável. Isto é:
 
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Com um eficiente golpe de karatê, você parte um bloco de concreto. Seja 0,70 kg a 
massa de sua mão, que se move a 5,0 m/s quando atinge o bloco, parando 6,00 
mm além do ponto de contato. 
(a) Qual é o impulso que o bloco exerce sobre sua mão?
(b) Quais são o tempo aproximado de colisão e a força média que o bloco exerce 
sobre sua mão?
Exemplo 8.5: (Tipler, p.250)Exemplo 8.5: (Tipler, p.250)
 
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Suponha que você jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra uma parede. 
Ela colide com a parede quando está se movendo horizontalmente da direita para 
a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente da esquerda para direita a 20 
m/s.
(a) Calcule o impulso da força resultante sobre a bola durante sua colisão com a 
parede.
(b) sabendo que a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache 
a força horizontal média que a parede exerce sobre a bola durante a colisão.
Exemplo 8.2: (Young, p.251)Exemplo 8.2: (Young, p.251)
Comumente, o intervalo de tempo 
durante a qual uma bola de tênis 
permaneceem contato com uma 
raquete é aproximadamente igual 
a 0,01 s. A bola visivelmente se 
achata por causa da enorme 
força exercida pela raquete.
 
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A figura é uma vista superior da trajetória de um carro de corrida ao colidir com 
um muro de proteção. Antes da colisão o carro está se movendo com uma 
velocidade escalar vi = 70 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 
30º com o muro. Após a colisão está se movendo com velocidade escalar vf = 50 
m/s, ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 10º com o muro. A massa m 
do piloto é de 80 kg.
(a) Qual é o impulso a que o piloto é submetido após a colisão?
(b) A colisão dura 14 ms. Qual é o módulo da força média que o piloto 
experimenta durante a colisão?
Exemplo 9.5: (Halliday, p230)Exemplo 9.5: (Halliday, p230)
 
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Quando o cabo arrebenta e o sistema de segurança falha, um elevador cai em 
queda livre de uma altura de 36 m. Durante a colisão no fundo do poço do 
elevador a velocidade de um passageiro de 90 kg se anula em 5,0 ms (suponha 
que não há ricochete nem do passageiro nem do elevador.) Quais são os módulos 
(a) do impulso e (b) da força média experimentados pelo passageiro durante a 
colisão? Se o passageiro pula verticalmente para cima com uma velocidade de 7,0 
m/s em relação ao piso do elevador quando o elevador está prestes a se chocar 
com o fundo do poço, quais são os módulos (c) do impulso e (d) da força média 
(supondo que o tempo que o passageiro leva para parar permaneça o mesmo)?
Questão 33: (Halliday, p250)Questão 33: (Halliday, p250)
 
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Conservação do momento linearConservação do momento linear
Vimos que
Sistema isolado → Força resultante nula
Sistema fechado → # de partículas constante 
Lei de Conservação do
Momento Linear
“Se um sistema de partículas não está submetido a nenhuma força externa, o 
momento linear total do sistema não pode variar”.
Não confunda 
Momento e Energia!!! Momento tem componentesMomento tem componentes
x, y e z!x, y e z!
 
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Uma urna de votação de massa m = 6,0 kg desliza com velocidade v = 4,0 m/s em 
um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois 
pedaços. Um pedaço, de massa m1 = 2,0 kg, se move no sentido positivo do eixo x 
com v1 = 8,0 m/s. Qual é a velocidade do segundo pedaço, de massa m2?
Exemplo 9.6: (Halliday, p.232)Exemplo 9.6: (Halliday, p.232)
 
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Um atirador segura um rifle de massa mR = 3,0 kg frouxamente de modo que a 
arma possa recuar livremente ao disparar. Ele atira uma bala de massa mB = 5,0 g 
horizontalmente com velocidade relativa ao solo dada por vB = 300 m/s. Qual é a 
velocidade de recuo do rifle? Quais são os valores da energia cinética final e do 
momento linear total final da bala e do rifle?
Exemplo 8.4: (Young p.255)Exemplo 8.4: (Young p.255)
 
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Ao explodir, uma cabeça-de-negro colocada no interior de um coco vazio de 
massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, quebra o 
coco em três pedaços, que deslizam sobre a superfície. Uma vista superior é 
mostrada na figura abaixo. O pedaço C de massa 0,30M, tem uma velocidade 
escalar final vfC = 5,0 m/s.
(a) Qual é a velocidade do pedaço B, de massa 0,20M?
(b) Qual é a velocidade escalar do pedaço A?
Exemplo 9.8: (Halliday, p.233)Exemplo 9.8: (Halliday, p.233)
 
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Dois robôs em combate deslizam sobre uma superfície sem atrito conforme 
mostra a figura 'a'. O robô A, com massa 20 kg, move-se com velocidade 2,0 
m/s paralelamente ao eixo Ox. Ele colide com o robô B, com massa de 12 kg, 
que está inicialmente em repouso. Depois da colisão, verifica-se que a 
velocidade do robô A é de 1,0 m/s com uma direção de faz um ângulo α = 30º 
com a direção inicial (figura 'b'). Qual é a velocidade final do robô B?
Exemplo 8.6: (Young, p.257)Exemplo 8.6: (Young, p.257)
 
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Momento e energia cinética em colisõesMomento e energia cinética em colisões
Energia Cinética Conservada Colisão Elástica
Perda de Energia Cinética Colisão inelástica
 Perda Máxima Perfeitamente inelásticaPerfeitamente inelástica
Antes Depois
 
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Colisões inelásticas em uma dimensãoColisões inelásticas em uma dimensão
✔ Colisão inelástica unidimensionalColisão inelástica unidimensional
✔ Colisões perfeitamente inelásticas unidimensionaisColisões perfeitamente inelásticas unidimensionais
Antes Depois
 
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O pêndulo balístico era usado para medir a 
velocidade dos projéteis antes que os dispositivos 
eletrônicos fossem inventados. A versão mostrada na 
figura abaixo era composta por um bloco de madeira 
de massa M = 5,4 kg, pendurado por duas cordas 
compridas. Uma bala de massa m = 9,5 g é disparada 
conta o bloco e sua velocidade se anula rapidamente. 
O sistema bloco-bala oscila para cima, com o centro 
de massa subindo uma distância h = 6,3 cm antes de 
o pêndulo parar momentaneamente no final de uma 
trajetória em arco de circunferência. Qual é a 
velocidade da bala antes da colisão?
Exemplo 9.9: (Halliday, p.236)Exemplo 9.9: (Halliday, p.236)
 
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Um carro compacto com massa de 100o kg está se deslocando do sul para o norte 
em linha reta a uma velocidade de 15 m/s quando colide contra um caminhão de 
massa 2000 kg que se desloca de oeste para leste a 10 m/s. Felizmente, todos os 
ocupantes usavam cinto de segurança e ninguém se feriu, porém os veículos se 
engavetaram e passaram a se deslocar, após a colisão, como um único corpo. A 
seguradora pediu para você calcular a velocidade dos carros unidos após a colisão. 
Qual é a sua resposta?
Exemplo 8.9: (Young, p.261)Exemplo 8.9: (Young, p.261)
 
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Colisões ElásticasColisões Elásticas
Antes Depois
Pela conservação do momento:
Pela conservação da energia cinética:
Não é Solúvel!!!
 
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Colisões elásticas em uma dimensãoColisões elásticas em uma dimensão
✔ Casos particulares:Casos particulares:
i) Massas iguais
ii) Alvo em repouso
Trocam velocidade
(a) (b)
 
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Um bloco de 4,0 kg, movendo-se para direita a 6,0 m/s, sofre uma colisão elástica 
frontal com um bloco de 2,0 kg que se move para a direita a 3,0 m/s (figura). 
Encontre as velocidades finais dos dois blocos.
Exemplo 8.13: (Tipler, p.258)Exemplo 8.13: (Tipler, p.258)
 
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A situação descrita na figura abaixo é uma colisão elástica entre dois discos de 
hóquei sobre uma mesa de ar sem atrito. O disco A possui massa mA = 0,500 kg e o 
disco B possui massa mB = 0,300 kg. O disco A possui velocidade inicial de 4,0 m/s 
no sentido positivo do eixo Ox e uma velocidade final de 2,0 m/s cuja direção é 
desconhecida. O disco B está inicialmente em repouso. Calcule a velocidade final 
vB2 e os ângulos α e β indicados na figura.
Exemplo 8.12: (Young, p.266)Exemplo 8.12: (Young, p.266)
 
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Dois cavaleiros se deslocam em sentidos contrários em um trilho de ar linear sem 
atrito (figura 'a'). Depois da colisão (figura 'b'), o cavaleiro B se afasta com 
velocidade final de +2,0 m/s (figura 'c'). Qual a velocidade final do cavaleiro A?
Exemplo 8.5: (Young, p.256)Exemplo 8.5: (Young, p.256)
 
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.comSuponha que na colisão descrita no Exemplo 8.5 os dois cavaleiros não sejam 
rebatidos, mas permaneçam colados após a colisão. As massas e as velocidades 
são as mesmas do Exemplo anterior. Calcule a velocidade final v2x, comum dos 
dois corpos depois da colisão, e compare a energia cinética inicial com a energia 
cinética final.
Exemplo 8.7: (Young, p.259)Exemplo 8.7: (Young, p.259)
Repetimos a experiência do trilho de ar do Exemplo 8.5, porém agora adicionamos 
para-choques de molas ideais nas extremidades dos cavaleiros para que as 
colisões sejam elásticas. Quais são as velocidades de A e de B depois da colisão?
Exemplo 8.10: (Young, p.264)Exemplo 8.10: (Young, p.264)
 
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