Calculo com quadripolos

Prévia do material em texto

EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos
Aula 14
1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Tópicos desta aula
Quadripolos:
Definição
Matriz Impedância
Matriz Admitância
Matriz Híbrida H
Matriz Híbrida G
Matriz Transmissão T
Matriz Transmissão Inversa
Simétricos
Recíprocos
Observações
Quadripolos Não Lineares
Aplicações
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 2 / 34
Definição
Um bipolo contém dois polos, entre os quais existe uma tensão V e pelos
quais passa uma corrente I e é completamente caracterizado por algum
parâmetro que relaciona a tensão com a corrente. No caso de um bipolo
linear, essa relação é dada por uma impedância ou admitância.
Figura: Símbolo utilizado para um bipolo.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 3 / 34
Definição
O quadripolo, por sua vez, contém quatro polos e representa um estrutura
de dois acessos. Costuma-se chamar um dos acessos de entrada e o outro
de saída. A ideia de quadripolo visa a estender a de bipolo. Enquanto o
bipolo tem uma tensão e uma corrente no total, o quadripolo tem uma
tensão e uma corrente associada a cada um dos dois acessos.
Figura: Símbolo utilizado para um quadripolo.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 4 / 34
Definição
Por meio de quadripolos, podemos representar muitos dispositivos práticos
e equipamentos. Um amplificador de áudio tem uma entrada, onde se pode
ligar um microfone ou outra fonte de sinal sonoro, e uma saída, onde se
pode ligar um auto-falante. Em um transformador o primário atua como
entrada, sendo ligado à rede elétrica, e o secundário atua como saída,
sendo conectado a um equipamento elétrico. Esses dois equipamentos
exemplificam a aplicação do conceito de quadripolos.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 5 / 34
Matriz Impedância
Uma forma de representar um quadripolo é através da matriz impedância
(Z ). Neste caso, as tensões V1 e V2 são dadas em função das correntes I1
e I2. [
V1
V2
]
=
[
z11 z12
z21 z22
] [
I1
I2
]
(1)
Podemos perceber que:
z11 =
[
V1
I1
]
I2=0
(Impedância de entrada com saída em aberto)
z12 =
[
V1
I2
]
I1=0
(Transimpedância da porta 1 para 2 com entrada em
aberto)
z21 =
[
V2
I1
]
I2=0
(Transimpedância da porta 2 para 1 com saída em aberto)
z22 =
[
V2
I2
]
I1=0
(Impedância de saída com entrada em aberto)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 6 / 34
Matriz Admitância
Outra representação é dada pela matriz admitância (Y ). Neste caso, as
correntes I1 e I2 são dadas em função das tensões V1 e V2.[
I1
I2
]
=
[
y11 y12
y21 y22
] [
V1
V2
]
(2)
Podemos perceber que:
y11 =
[
I1
V1
]
V2=0
(Admitância de entrada com saída em curto)
y12 =
[
I1
V2
]
V1=0
(Transadmitância da porta 1 para 2 com entrada em curto)
y21 =
[
I2
V1
]
V2=0
(Transadmitância da porta 2 para 1 com saída em curto)
y22 =
[
I2
V2
]
V1=0
(Admitância de saída com entrada em curto)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 7 / 34
Relação entre matrizes impedância e admitância
Como a matriz impedância Z e a matriz admitância Y são tais que, sendo
V = [V1 V2]
T e I = [I1 I2]T
V = ZI
e
I = YV
temos
Y = Z−1 (3)
Essa última relação só é válida se a matriz Z for inversível.
Há quadripolos que só podem ser representados por uma das duas matrizes
(Z e Y ), que é o caso da matriz em questão não ser inversível.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 8 / 34
Exemplo 1
Determinar as matrizes impedância (Z ) e admitância (Y ) para o
quadripolo abaixo, em que R1 = 1 Ω e R2 = 2 Ω.
Para representação mais clara, vamos colocar fontes de tensão nos dois
acessos do quadripolo (entrada e saída):
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 9 / 34
Exemplo 1
Podemos escrever as equações:
V1 = R1Ia (4)
V1 = R2Ib + V2 (5)
I1 = Ia + Ib (6)
V2 = R1(Ib + I2) (7)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 10 / 34
Exemplo 1
Usando essas equações e substituindo os valores de R1 e R2, obtemos
Z =

3
4
Ω
1
4
Ω
1
4
Ω
3
4
Ω
 (8)
Podemos proceder de forma análoga para a determinação da matriz
admitância Y . Alternativamente, podemos fazer
Y = Z−1 =

3
2
S −1
2
S
−1
2
S
3
2
S
 (9)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 11 / 34
Exemplo 1
Alternativamente, os parâmetros Y (ou Z ) podem ser determinados ao
colocar um dos acessos em curto ou em aberto.
Lembrando que [
I1
I2
]
=
[
y11 y12
y21 y22
] [
V1
V2
]
percebemos que para calcular os elementos da matriz Y , podemos fazer:
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 12 / 34
Exemplo 1
Parâmetros y11 e y21: saída em curto
Parâmetros y12 e y22: entrada em curto
Saída em curto (V2 = 0):
Assim, temos y11 = I1V1 =
3
2 S (admitância equivalente vista na entrada,
excluindo o resistor indicado) e y21 = I2V1 = −
1
2 S (através de relação entre
e I1 e I2 e com y11).
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 13 / 34
Exemplo 1
Entrada em curto (V1 = 0):
Assim, temos y22 = I2V2 =
3
2 S (admitância equivalente vista na saída,
excluindo o resistor indicado) e y12 = I1V2 = −
1
2 S (através de relação entre
e I1 e I2 e com y22).
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 14 / 34
Exemplo 1
Desta forma, obtemos novamente,
Y =

3
2
S −1
2
S
−1
2
S
3
2
S

Os parâmetros Z podem ser obtidos de forma análoga, lidando
separadamente com os casos saída em aberto (I2 = 0) e entrada em aberto
(I1 = 0).
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 15 / 34
Matriz Híbrida H
A matriz H permite escrever a tensão de entrada V1 e a corrente de saída
I2 em função da tensão de saída V2 e da corrente de entrada I1.
O fato de os parâmetros h não representarem todos as mesmas grandezas
(adimensional, impedância e admitância) justifica o nome híbrida para a
matriz H. [
V1
I2
]
=
[
h11 h12
h21 h22
] [
I1
V2
]
(10)
Podemos perceber que:
h11 =
[
V1
I1
]
V2=0
(Impedância de entrada com saída em curto)
h12 =
[
V1
V2
]
I1=0
(Ganho inverso de tensão com entrada em aberto)
h21 =
[
I2
I1
]
V2=0
(Ganho direto de corrente com saída em curto)
h22 =
[
I2
V2
]
I1=0
(Admitância de saída com entrada em aberto)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 16 / 34
Matriz Híbrida G
A matriz G permite escrever a tensão de saída V2 e a corrente de entrada
I1 em função da tensão de entrada V1 e da corrente de saída I2.[
I1
V2
]
=
[
g11 g12
g21 g22
] [
V1
I2
]
(11)
Podemos perceber que:
g11 =
[
I1
V1
]
I2=0
(Admitância de entrada com saída em aberto)
g12 =
[
I1
I2
]
V1=0
(Ganho inverso de corrente com entrada em curto)
g21 =
[
V2
V1
]
I2=0
(Ganho direto de tensão com saída em aberto)
g22 =
[
V2
I2
]
V1=0
(Impedância de saída com entrada em curto)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 17 / 34
Exemplo 2
Determinar os parâmetros híbridos h e g para o quadripolo, em que
R1 = 1 Ω e R2 = 2 Ω:
Lembrando que [
V1
I2
]
=
[
h11 h12
h21 h22
] [
I1
V2
]
Façamos:
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 18 / 34
Exemplo 2
Saída em curto (V2 = 0):
Assim, temos h11 = V1I1 =
2
3 Ω (impedância equivalente vista na entrada,
excluindo o resistor indicado) e h21 = I2I1 = −
1
3 .
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 19 / 34
Exemplo 2
Entrada em aberto (I1 = 0):
Assim, temos h12 = V1V2 =
1
3 e
I2
V2
= 43 S (admitância equivalente vista na
saída).
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 20 / 34
Exemplo 2
Desta forma, obtemos
H =

2
3
Ω
1
3
−1
3
4
3
S

Os parâmetros da matriz G podem ser obtidos de forma análoga ou através
de:
G = H−1 =

4
3
S −1
3
1
3
2
3
Ω

1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 21 / 34
Matriz Transmissão T
Os parâmetros transmissão (ou ABCD) relacionam as variáveis da entrada
(V1 e I1) com as da saída (V2 e I2).[
V1
I1
]
=
[
A B
CD
] [
V2
−I2
]
(12)
Podemos perceber que:
A =
[
V1
V2
]
I2=0
(Ganho inverso de tensão com saída em aberto)
B =
[
−V1I2
]
V2=0
(Transimpedância negativa da porta 1 para 2 com saída
em curto)
C =
[
I1
V2
]
I2=0
(Transadmitância negativa da porta 1 para 2 com saída em
aberto)
D =
[
− I1I2
]
V2=0
(Ganho inverso negativo de corrente com saída em curto)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 22 / 34
Matriz Transmissão Inversa
Os parâmetros da matriz de transmissão inversa relacionam as variáveis da
saída (V2 e I2) com as da entrada (V1 e I1).[
V2
I2
]
=
[
A′ B ′
C ′ D ′
] [
V1
−I1
]
(13)
Podemos perceber que:
A′ =
[
V2
V1
]
I1=0
(Ganho de tensão com entrada em aberto)
B ′ =
[
−V2I1
]
V1=0
(Transimpedância da porta 2 para 1 com entrada em
curto)
C ′ =
[
I2
V1
]
I1=0
(Transadmitância negativa da porta 2 para 1 com entrada
em aberto)
D ′ =
[
− I2I1
]
V1=0
(Ganho negativo de corrente com entrada em curto)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 23 / 34
Exemplo 3
Determinar os parâmetros de transmissão para o quadripolo, em que
R1 = 1 Ω e R2 = 2 Ω:
Lembrando que [
V1
I1
]
=
[
A B
C D
] [
V2
−I2
]
Façamos:
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 24 / 34
Exemplo 3
Saída em aberto (I2 = 0):
Assim, temos A = V1V2 = 3 e C =
I1
V2
= 4 S .
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 25 / 34
Exemplo 3
Saída em curto (V2 = 0):
Assim, temos B = −V1I2 = 2 Ω e D = −
I1
I2
= 3.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 26 / 34
Exemplo 3
Desta forma, obtemos
T =
[
3 2
4 3
]
Os parâmetros da matriz de transmissão inversa podem ser obtidos de
forma análoga.
Observe que, com a definição apresentada, a matriz de transmissão inversa
não é a inversa da matriz de transmissão.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 27 / 34
Quadripolos simétricos
Considere o seguinte quadripolo e suas equações da matriz impedância:
[
V1
V2
]
=
[
z11 z12
z21 z22
] [
I1
I2
]
Quando z22 = z11, o quadripolo é dito simétrico. Isto significa que o
quadripolo pode ser dividido em duas partes iguais.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 28 / 34
Quadripolos recíprocos
Considere o seguinte quadripolo e suas equações da matriz impedância:
[
V1
V2
]
=
[
z11 z12
z21 z22
] [
I1
I2
]
Quando o quadripolo é linear e não tem fontes vinculadas, z12 = z21 e ele é
dito recíproco. Isto significa que colocando uma fonte de tensão ideal em
uma das portas de acesso e medindo a corrente na outra com um
amperímetro ideal, a medida é a mesma que no caso de os dois acessos
serem trocados.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 29 / 34
Observações
Um quadripolo pode ter representação através de uma das matrizes
apresentadas e não ter representação em outras.
Por exemplo, um transformador ideal pode ser representado por
com
V1 =
1
n
V2
e
I1 = −nI2
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 30 / 34
Observações
Como não existem equações relacionando os fasores das tensões com os da
corrente, não existem matrizes impedância (Z ) nem admitância (Y ). No
entanto, o transformador ideal dispõe de matrizes híbridas H e G e de
matriz de transmissão:[
V1
I2
]
=
[
0 1n
−n 0
] [
I1
V2
]
⇒ H =
[
0 1n
−n 0
]
e [
I1
V2
]
=
[
0 − 1n
n 0
] [
V1
I2
]
⇒ G =
[
0 − 1n
n 0
]
e [
V1
I1
]
=
[
A B
C D
] [
V2
−I2
]
⇒ T =
[ 1
n 0
0 n
]
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 31 / 34
Quadripolos Não Lineares - Observação
Toda a teoria apresentada até então foi voltada para os quadripolos
lineares, em que é possível escrever duas das variáveis como combinação
linear das outras duas.
Na formulação apresentada, as variáveis V1, V2, I1 e I2 podem representar
tanto tensões e correntes no domínio do tempo (quadripolos resistivos),
quanto fasores ou transformadas de Fourier de tensões ou correntes
(quadripolos com resistores e elementos reativos).
No entanto, no caso de, por exemplo, as tensões V1 e V2 serem funções
não lineares das correntes I1 e I2, diz-se que o quadripolo é não linear, com
tensões dadas por
V1 = f1(I1, I2)
e
V2 = f2(I1, I2)
sendo f1 e f2 funções não lineares das correntes I1 e I2.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 32 / 34
Aplicações
A representação de um circuito linear de dois acessos nas formas
apresentadas é útil porque permite:
Condensar toda a estrutura do circuito em um modelo de quatro
parâmetros;
Servir de modelo de pequenos sinais para circuitos não lineares;
Facilitar a análise de quadripolos maiores compostos por associações
de quadripolos mais simples;
Prover mais informação sobre a resposta de um circuito, em
comparação com a situação em que se dispõe apenas de uma função
de transferência;
Facilitar a síntese de um circuito um circuito que implemente uma
resposta pré-determinada.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 33 / 34
Bibliografia
Burian, Y. & Lyra, A.C.C., Circuitos elétricos, Prentice-Hall Brasil,
2006;
Alexander, C., M. Sadiku, and M. Sadiku. "Fundamentals of Electric
Circuits, 2000."(Capítulo 19).
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 34 / 34
	Tópicos
	Definição
	Matriz Impedância
	Matriz Admitância
	Matriz Híbrida H
	Matriz Híbrida G
	Matriz Transmissão T
	Matriz Transmissão Inversa
	Quadripolos simétricos
	Quadripolos recíprocos
	Observações
	Quadripolos Não Lineares
	Aplicações
	Bibliografia