AULA 2;E DIGITAL

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Cadeira :Electrónica digital
Álgebra de Boole
 Chimoio, Marco de 2018
1
Universidade Católica de Moçambique
Faculdade de Engenharias
Curso de engenharia Electrotécnica 
A álgebra de Boole é um sistema matemático composto por operadores, regras, postulados e teoremas. 
	A álgebra booleana usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que podem assumir apenas um dentre dois valores, zero (0) ou um (1). 
 A álgebra booleana trabalha com dois operadores, o operador AND, simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR é conhecido como soma lógica.
Álgebra de Boole
2
	As variáveis booleanas serão representadas por letras maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação f(A,B,C,D,...)
Operadores da Álgebra Booleana
3
	Operador AND (interseção)
	1- Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 
	
	2- Símbolo Lógico 
		
	3- Tabela Verdade 
Operadores Booleanos Fundamentais
4
	Operador OR (união)
	1- Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1. 
	
	2- Símbolo Lógico 
		
	3- Tabela Verdade 
Operadores Booleanos Fundamentais
5
	Operador NOT (inversor)
	1- Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valar lógico da referida variável. 
	
	2- Símbolo Lógico 
		
	3- Tabela Verdade 
Operadores Booleanos Fundamentais
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	Operador NAND
	1- Definição: A operação lógica NAND entre duas ou mais 
	2- Símbolo Lógico 
		
	3- Tabela Verdade 
Operadores Booleanos Secundários
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	Operador NOR
	1- Definição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 0. 	
	
	2- Símbolo Lógico 
		
	3- Tabela Verdade 
Operadores Booleanos Secundários
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	Operador EXOR (OU exclusivo)
	1- Definição: A operação lógica EXOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes).	
	2- Símbolo Lógico 
		
	3- Tabela Verdade 
Operadores Booleanos Secundários
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	Operador EXNOR (negativo de OU exclusivo)
	1- Definição: A operação lógica EXNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico.	
	
	2- Símbolo Lógico 
		
	3- Tabela Verdade 
Operadores Booleanos Secundários
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A + 0 = A 
A + 1 = 1 
A + A = A
A + A’ = 1
A . 0 = 0
A . 1 = A
A . A = A
A . A’ = 0
Álgebra de Boole(Postulados de Boole)
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Identidades Booleanas
	 A + 0 = A 	A . 0 = 0 		
 
	A + 1 = 1 	A . 1 = A 		
	A + A = 1 	A . A = 0 
	A + A = A	 	A . A = A 
 Complementação
Álgebra de Boole(Postulados de Boole)
12
 
Álgebra de Boole(Postulados de Boole)Complementação
Complementação
13
Complementação (ou Negação, ou Inversão)
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Propriedades
Comutativa
Associativa
Distributiva
Comutativa
Adição
A + B = B + A
Multiplicação
A . B = B . A
Álgebra de Boole(Postulados de Boole)
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Adição
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
Multiplicação
A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C
Distributiva
A . (B + C) = A . B + A . C
Associativa
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A + ( A . B ) = A
A + ( A’ . B ) = A + B
( A + B’ ) . B = A . B
( A . B ) + ( A . B’ ) = A
A + B ) . ( A + B’ ) = A
Álgebra de Boole(Postulados de Boole)
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Teoremas de De Morgan
1º Teorema de De Morgan
2º Teorema de De Morgan
1º Teorema de De Morgan: O complemento do
produto é igual à soma dos complementos. 
Álgebra de Boole
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Álgebra de Boole
1º Teorema de De Morgan
19
Álgebra de Boole
2º Teorema de De Morgan: O complemento da 
soma é igual ao produto dos complementos. 
20
Álgebra de Boole
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Dada uma função Booleana, descrita por sua tabela verdade, derivar uma expressão Booleana para esta função é encontrar uma equação que a descreva. Logo, a derivação deexpressões Booleanas é o problema inverso da avaliação de uma expressão Booleana.
Há basicamente duas maneiras de se definir (ou descrever) uma função Booleana:
descrevendo-se todas as situações das variáveis de entrada para as quais a função vale 1 ou,alternativamente, todas as situações em que a função vale 0. O primeiro método é conhecido por soma de produtos (SdP), enquanto que o segundo é chamado produto de somas (PdS).
Derivação de Expressões Booleanas
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Qualquer função Booleana pode ser descrita por meio de soma de produtos ou por meio de produto de somas. Como as funções Booleanas só podem assumir um dentre dois valores (0 ou 1), basta usar-se um dos dois métodos para se encontrar uma equação para uma função.
Derivação de Expressões Booleanas
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Dada uma função Booleana de n variáveis (ou seja, n entradas), haverá combinações possíveis de valores. Dizemos que esse conjunto de valores que as variáveis podem assumir, juntamente com os respectivos valores da função, constituem o espaço da função. A cada
combinação de entradas podemos associar um termo produto, no qual todas as variáveis da função estão presentes, e que é construído da seguinte forma: se a variável correspondente vale 0, ela deve aparecer negada; se a variável vale 1, ela deve aparecer não negada. A tabela a seguir lista os termos produto associados a cada combinação de entradas para uma função Booleana de três variáveis (A, B e C, por exemplo).
Derivação de Expressões usando Soma de Produtos (SdP)
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Derivação de Expressões usando Soma de Produtos (SdP)
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O método de derivação usando produto de somas é o dual (isto é, o oposto) do método de derivação em soma de produtos. A cada combinação das variáveis de entrada de uma
função podemos associar um termo soma, no qual todas as variáveis da função estão presentes, e que é construído da seguinte forma: se a variável correspondente vale 1, ela deve
aparecer negada; se a variável vale 0, ela deve aparecer não negada. A tabela a seguir lista os termos soma associados a cada combinação de entradas para uma função Booleana de três variáveis (A, B e C, por exemplo).
Derivação de Expressões usando Produto de Somas (PdS)
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Derivação de Expressões usando Produto de Somas (PdS)
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Literal - Uma variável complementada ou não em um termo produto (ou termo soma)
Para circuitos a dois níveis pode-se estabelecer seguintes critérios de minimização:
Minimizar o número de termos (número de portas do 1º nível do circuito e número de entradas no 2º nível do circuito).
Minimizar o número de literais (número de entradas nas portas do 1º 	nível do circuito).
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Minimização de funções
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Minimização de funções
3 termos, 7 literais
4 termos, 12 literais
2 termos, 4 literais
2 termos, 3 literais
Exemplos:
Para efetuar simplificações existem dois métodos: através da álgebra de boole e através de mapas de Karnaugh.
 
Simplificação de expressões booleanas 
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Simplificação de expressões booleanas 
31
Simplificação de expressões booleanas 
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O mapa de Karnaugh é um método gráfico usado para simplificar uma equação lógica ou para converter uma tabela verdade no seu circuito lógico correspondente, de um modo simples e ordenado.
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MÉTODO DO MAPA DE KARNAUGH
SIMPLIFICAÇÃO – Mapas de Karnaugh
2 variáveis
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Para obter a expressão simplificada deve-se tentar agrupar as regiões onde S é igual a 1 no menor número possíveis de agrupamento. 
As regiões onde S é igual 1 que não puderem ser agrupadas serão consideradas isoladamente.
Um diagrama de 2 variáveis pode ser agrupado em: 
 
MAPAS DE KARNAUGH 
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MAPAS DE KARNAUGH 
36
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MAPAS DE KARNAUGH (termo isolado ) 
Região onde S = 1, sem vizinhança para agrupamento. Os termos isolados sãoos próprios casos de entrada sem simplificação. A Figura mostra alguns 
exemplos e suas respectivas equações:
MAPAS DE KARNAUGH (termo isolado ) 
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MAPAS DE KARNAUGH 
39
40
MAPAS DE KARNAUGH 
segue os seguintes passos:
1. Construa o mapa K e coloque 1 nos quadrados que correspondem aos 1 na tabela verdade. Coloque “0” nos outro quadrados;
2. Analise o mapa quanto aos 1 adjacentes e agrupe os 1 que não sejam adjacentes a quaisquer outros 1 (1isolados);
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O procedimento de simplificação por mapa de karnaugh.
3.Em seguida, procure 1 que são adjacentes a somente um outro.
Agrupe todo par que contém tal 1;
4. Agrupe qualquer octeto;
 5.Agrupe qualquer quarteto;
6. Agrupe quaisquer pares necessários para incluir 1 que ainda não tenham sido agrupados;
6. Forme a soma OR de todos os termos gerados por cada agrupamento;
7.certifique-se de usar o menor número de agrupamentos!
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O procedimento de simplificação por mapa de karnaugh
Don’t Care Valores Don’t Care são as combinações das entradas que não importam para o nosso circuito e podem ser adaptados tanto como nível alto ou baixo. 
 Convenientemente devemos escolher o valor do DC que melhor simplifique o circuito.
43
Don’t Care 
44
Don’t Care
1.Passe a expressão para a forma de soma de produtos caso ela não esteja nesse formato;
2. Para cada termo-produto coloque um 1 em cada quadrado do mapa K cuja denominação seja a mesma da combinação das variáveis de entrada;
3. Coloque 0 em todos os outros quadrados
45
Preenchendo um mapa K apartir da expressao de saida
Ex.2 – Considere a função de três variáveis, F(A,B,C): 
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Preenchendo um mapa K apartir da expressao de saida
Definição de variáveis;
Obtenção da Tabela de Verdade;
Determinação da função;
Simplificação da função (analítica, mapas de Karnaugh, );
Conversão das funções para o uso de portas pretendidas;
Desenho do diagrama lógico;
Realização.
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ETAPAS PARA A SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA
“SELECÇÃO PARA INGRESSO EM EMPRESA”
Para realizar uma primeira selecção de ingresso numa determinada empresa são precisos dois ou mais dos seguintes requisitos:
 Possuir título académico.
 Possuir dois anos de experiência.
 Ser recomendado pela direcção da empresa.
Construa, com portas lógicas, um circuito que realize, automaticamente, a selecção.
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EXERCÍCIO
1. Definição de variáveis:
a - Possuir título académico.
b - Possuir dois anos de experiência.
c - Ser recomendado pela direcção da empresa.
2. Tabela de Verdade:
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SELECÇÃO PARA INGRESSO EM EMPRESA
	a	b	c	F
	0	0	0	0
	0	0	1	0
	0	1	0	0
	0	1	1	1
	1	0	0	0
	1	0	1	1
	1	1	0	1
	1	1	1	1
3. Determinação da função:
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selecção para ingresso em empresa
		00	01	11	10
	0			1	
	1		1	1	1
4. Simplificação da função:
6. Circuito lógico:
Floyd, - Digital Fundamentals, 9th Edition
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Bibliografia 
c
a
d
b
d
c
a
f(a,b,c,d)
×
+
×
+
×
×
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,
,
(
d
c
a
c
b
a
d
c
b
d
c
a
d
c
b
a
f
+
+
×
+
+
×
+
+
×
+
+
=
c
a
b
a
g(a,b,c)
×
+
×
=
)
(
)
,
,
(
c
b
a
c
b
a
g
+
×
=
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
F
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
=
abc
S