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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO #AAE - 2 DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I PROFESSOR: Wilson Espindola Passos ANO: 2020 1- Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação: a) R: b) R: c) R: 2- Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado: 3-Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m3 de água. Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu revestimento interno. R: V= a². y= 32 Y=32 a² A= 4.a.a² 2ª³-128=0 A=4 Y=2 As dimensões para que se tenha um menor gasto na piscina são de 4m, 4m e 2m. 4- Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses. Quais dimensões devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma área máxima? R: 2(x+y) =1500 X+y= 1500/2 X+y= 750 X=750-y A=y(750-y) A= 750y-y² A’(y)= 750-2y Com, a’(y)=0 0= 750-2y 2y=750 Y= 750/2 Y= 375m Outra dimensão X=750-y X=750-375 X=375m Ou seja, A=375.375 A= 140625m² 5- Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular em seu quintal. Porém, ela possui apenas 20m de tela para cercá-la. Quais deverão ser as medidas dos lados do retângulo, para que o máximo de espaço seja aproveitado? R: Como o perímetro é de 20 m, as dimensões do retângulo são de 10 – x e x. A (x) = x∙(10 – x) = 10 x – x2 A área será máxima, quando a tangente de inclinação for zero. A’(x) = 10 – 2x Igualando- se a derivada a zero, 10 – 2.x = 0, deixando x em evidencia o resultado de x é 5. A horta deve ser com dimensão de 5x5 para obter a máxima utilização da tela. 6- Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume de 36 m3. R. Indicando-se a largura por x, o comprimento por 3.x e a altura por y, O volume desta caixa é dado por: V = 3x. x. y = 3 x y A = ( 3 x x + 2 x y x y), logo a área A = 3 x + 8 x y (22) Substituindo a área, A(x) = 3 x + 8 x = 3 x + (23) A(x) = 3 x + 96 x à zero, assim: Para encontrar o valor máximo ou mínimo é preciso derivar a área e igualar A (x) = ( ) (24) A () = 3 x + 9 x 96 x = 6 x 96 x A (x) = 0, A (x) = 6 x 96 = 0 x = 16 = 2 2 2,52 metros. Para calcular a altura é só substituir a medida x em y =, y =, logo, y = 4,76 metros. Logo, as dimensões que permitem a máxima economia de material para um tanque de volume 36 m³, são aproximadamente: comprimento, largura e altura, respectivamente, 7,56 m, 2,52 m e 4,76 m. ( ) 2 1 1 1 x x dx dy - - = ( ) 3 3 1 x y + = 2 3 1 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = x x x dx dy 2 2 1 1 2 x x x y + - = ( ) 3 2 2 2 1 4 1 x x x dx dy + + = x x y - + = 1 1
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