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CÁLCULO II: VOLUME II
MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA
Departamento de Análise - IME
UERJ
2
3
Copyright by Mauricio A. Vilches
Todos os direitos reservados
Proibida a reprodução parcial ou total
4
PREFÁCIO
"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?
Isso depende bastante de até onde você quer chegar."
Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas
Esta notas são a continuação natural dos livros CÁLCULO I: VOLUME I e CÁLCULO
I: VOLUME II, que é pré-requisito para este livro.
Da mesma forma que o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável, os conceitos
centrais do Cálculo Diferencial e Integral de várias variáveis são relativamente pro-
fundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só vez. Neste nível, o
importante é que o leitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreensão
geométrica dos problemas.
Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cálculo Di-
ferencial e Integral de uma variável.
Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, criteriosa, dos softwares
de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útil ao aprendizado
da disciplina.
Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e do IME-UERJ
que, de algum modo, nos motivaram e deram condições para escrever estas notas e à
Sra. Sonia Maria Alves pela digitação.
Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabilidade dos autores.
Mauricio A. Vilches - Maria Luiza Corrêa
Rio de Janeiro
Conteúdo
1 INTEGRAÇÃO DUPLA 7
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Integração Dupla sobre Retângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Significado Geométrico da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Extensão do Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 Regiões de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9 Regiões de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10 Regiões de tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11 Regiões Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.12 Extensão da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.13 Integral Dupla e Volume de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.13.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.14 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 MUDANÇA DE COORDENADAS 45
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Jacobiano da Mudança de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Mudança de Coordenadas e Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Mudança Linear de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Mudança Polar de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 Regiões Limitadas por Círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8 Exercícios de Mudança de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.9 Outras Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.10 Massa Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.11 Momento de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.11.1 Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.12 Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5
6 CONTEÚDO
2.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3 INTEGRAÇÃO TRIPLA 97
3.1 Integração Tripla sobre Paralelepípedos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Integrais Triplas sobre Regiões mais Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.1 7.2.1 Regiões Elementares no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.2 Regiões de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.3 Regiões de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2.4 Regiões de tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2.5 Região de tipo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 Extensão da Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4 MUDANÇA DE COORDENADAS 115
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5 APÊNDICE 139
5.1 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Bibliografia 159
Capítulo 1
INTEGRAÇÃO DUPLA
1.1 Introdução
As integrais duplas tem inúmeras aplicações em diversas Áreas da Ciência, como por
exemplos na Geometria e a Física. Na Geometria as integrais duplas podem ser utiliza-
das no cálculo de áreas de regiões planas, e do vólume de sólidos no espaço. Na Física
podem ser utilizadas para cálcular massa, momentos de massa e de inercia de regiões
planas.
Inicialmente, estudaremos o conceito de integração dupla para funções, que tem como
domínio, retângulos, posteriormente extenderemos o conceito para outros tipos de do-
mínios bem mais gerais.
Estudaremos nos próximos parágrafos, como reconhecer o domínio de integração das
integrais duplas, pois saber reconhecer estes domínios é fundamental para cálculo das
integrais duplas.
1.2 Integração Dupla sobre Retângulos
Denotemos por:
R = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
um retângulo em R2.
Consideremos P1 = {x0, x1, ...., xn} e P2 = {y0, y1, ...., yn} partições de ordem n de [a, b]
e [c, d] respectivamente, tais que:
a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b e c = y0 < y1 < . . . . . . < yn = d
e:
7
8 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
xi+1 − xi = b− a
n
e yj+1 − yj = d− c
n
.
a b
c
d
x x
R
i i+1
yj+1
yj
R ij
Figura 1.1: Partição de R
Note que se P1 determina n sub-intervalos e P2 determina m sub-intervalos, então
P1 × P2 determina n ·m sub-retângulos.
Definição 1.1. O conjunto P1×P2 é denominada partição do retângulo R de ordem n.
Observações 1.1.
1. Lembremos que f : A ⊂ R2 −→ R é uma função limitada se existe k ∈ R tal que
|f(x, y)| ≤ k, para todo (x, y) ∈ A.
2. Isto é, se f é limitada, então G(f) está contido entre os planos paralelos z = ±k.
3. A função f(x, y) = sen(x y) é limitada. De fato, temos que |f(x, y)| ≤ 1, para todo
(x, y) ∈ R2.
4. A função f(x, y) = e−(x2+y2) é limitada. De fato, temos que 0 < f(x, y) ≤ 1, para
todo (x, y) ∈ R2.
Consideremos a função limitada:
f : R ⊂ R2 −→ R,
1.2. INTEGRAÇÃO DUPLA SOBRE RETÂNGULOS 9
os n2 sub-retângulos:
Rij = [xi, xi+1]× [yj, yj+1]
e cij ∈ Rij arbitrário tal que i, j = 0, ...., n− 1.
Definição 1.2. A soma:
Sn =
n−1∑
i=0
n−1∑
j=0
f(cij) ∆x ∆ y,
onde:
∆x =
b− a
n
e ∆ y =
d− c
n
.
é dita soma de Riemann de f sobre R.
Definição 1.3. Uma função f : R ⊂ R2 −→ R limitada é integrável sobre R se
lim
n→+∞
Sn = lim
n→+∞
n−1∑
i=0
n−1∑
j=0
f(cij) ∆x ∆ y,
existe independente da escolha de cij ∈ Rij e da partição.
Definição 1.4. Se f íntegrável sobre R, denotamos este limite por:∫∫
R
f(x, y) dx dy,
que é denominada integral dupla de f sobre R.
Teorema 1.1. Seja R ⊂ R2 é um retângulo e f : R ⊂ R2 −→ R é contínua, então f é
integrável sobre R.
A prova deste teorema pode ser vista em [EL].
10 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
1.3 Significado Geométrico da Integral Dupla
Seja:
f : R ⊂ R2 −→ R
contínua tal que f(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R.
A existência da integral dupla de f sobre R tem um significado geométrico direto.
Consideramos o sólido W ⊂ R3 definido por:
W = {(x, y, z) ∈ R3 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}
Figura 1.2: Vista do sólido W
W é um conjunto fechado e limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y),
inferiormente pelo retângulo R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c e y = d.
Se denotamos por V (W ) o volume de W , então:
V (W ) =
∫∫
R
f(x, y) dx dy
Observemos primeiramente, que os conjuntos Rij são fechados e limitados, por outro
lado, as restrições de f a estes sub-intervalos são contínuas, então, pelo Teorema de
Weierstrass f atinge seu máximo e seu mínimo sobre Rij .
1.3. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DUPLA 11
Escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre Rij , então:
f(cij)×∆x×∆y
é o volume de cada paralelepípedo de base Rij e altura f(cij).
Figura 1.3: Partição e os paralelepípedos de W , respectivamente
Sn =
n−1∑
i=0
n−1∑
j=0
f(cij) ∆x∆y
é o volume do sólido circunscrito a W .
Analogamente se eij é o ponto onde f atinge seu mínimo sobre Rij (pois R é fechado,
limitado e f é contínua), então:
sn =
n−1∑
i=0
n−1∑
j=0
f(eij) ∆x∆y
é o volume do sólido inscrito em W .
Como f é integrável, os limites das somas de Riemann Sn e sn independem da escolha
de cij e eij :
12 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
sn =
∫∫
R
f(x, y) dx dy.
Em outras palavras os volumes dos sólidos inscritos e circunscritos a W , tendem ao
mesmo limite. Portanto, é razoável chamar este limite de volume de W .
Figura 1.4: Partição e os paralelepípedos de W , respectivamente
Figura 1.5: Reconstrução do sólido
1.3. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DUPLA 13
Figura 1.6: Reconstrução do sólido
Observações 1.2.
1. Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o significado ge-
ométrico da integral dupla independe da escolha da partição e dos pontos cij e
eij .
2. A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções de uma
variável.
Proposição 1.1.
1. Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobre R então
para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e:
∫∫
R
(
α f(x, y) + β g(x, y)
)
dx dy = α
∫∫
R
f(x, y) dx dy + β
∫∫
R
g(x, y) dx dy
2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x, y) ≤ f(x, y), para todo (x, y) ∈ R, então:
∫∫
R
g(x, y) dx dy ≤
∫∫
R
f(x, y) dx dy
14 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
3. Se R é subdividido em k retângulos e f é integrável sobre cada Ri, i = 1, ..., k
então f é integrável sobre R e,
∫∫
R
f(x, y) dx dy =
k∑
i=1
∫∫
Ri
f(x, y) dx dy
1.4 Integrais Iteradas
Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo:∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y) dx
]
dy.
Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral
∫ b
a
f(x, y) dx como integral de uma
veriável em x; o resultado é uma função de y que é novamente integrada em y, com
limites de integração c e d.
A integral
∫ b
a
[∫ d
c
f(x, y) dy
]
dx é calculada de forma análoga.
Exemplo 1.1.
[1] Calcule
∫ 2
0
[∫ 3
1
x2y dy
]
dx.∫ 3
1
x2y dy = x2
∫ 3
1
y dy = 4x2 e
∫ 2
0
[∫ 3
1
x2y dy
]
dx =
∫ 2
0
4x2 dx =
32
3
.
[2] Calcule
∫ pi
0
[∫ pi
0
cos(x+ y) dx
]
dy.
∫ pi
0
cos(x+ y) dx = sen(x+ y)
∣∣∣∣x=pi
x=0
= sen(y + pi)− sen(y),
e ∫ pi
0
[∫ pi
0
cos(x+ y) dx
]
dy =
∫ pi
0
(sen(y + pi)− sen(y)) dy = −4.
1.4. INTEGRAIS ITERADAS 15
[3] Calcule
∫ 1
−1
[∫ 1
−2
(x2 + y2) dx
]
dy.∫ 1
−2
(x2 + y2) dx =
(x3
3
+ x y2
)∣∣∣∣x=1
x=−2
= 3 + 3 y2
e ∫ 1
−1
[∫ 1
−2
(x2 + y2) dx
]
dy =
∫ 1
−1
(3 + 3 y2) dy = 8.
[4] Calcule
∫ pi
3
pi
6
[∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ
]
dφ.
∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ = sen(φ)
∫ 4
0
ρ2 eρ
3
dρ = sen(φ)
eρ
3
3
∣∣∣∣4
0
;
logo: ∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ == sen(φ)
e64 − 1
3
e ∫ pi
3
pi
6
[∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ
]
dφ =
e64 − 1
3
∫ pi
3
pi
6
sen(φ) dφ
logo: ∫ pi
3
pi
6
[∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ
]
dφ =
(e64 − 1) (√3− 1)
6
.
[5] Calcule
∫ 1
0
[∫ √1−y2
0
√
1− y2 dx
]
dy.∫ √1−y2
0
√
1− y2 dx = 1− y2
e:
e
∫ 1
0
[∫ √1−y2
0
√
1− y2 dx
]
dy =
∫ 1
0
(1− y2) dy = 2
3
.
16 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
[6] Seja a função f : [0, 1]× [0, 1] −→ R definida por:
f(x, y) =
{
1 se x ∈ Q
2 y se x /∈ Q.
Então:
∫ 1
0
dy =

∫ 1
0
dy = 1 se x ∈ Q
∫ 1
0
2 y dy = 1 se x /∈ Q.
Logo,
∫ 1
0
[ ∫ 1
0
dy
]
dx = 1.
Por outro lado
∫ 1
0
f(x, y) dx não existe, exceto quando y =
1
2
; logo,∫ 1
0
[ ∫ 1
0
dx
]
dy
não existe. Em geral, nada garante a existência das integrais iteradas.
1.5 Teorema de Fubini
O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integrais iteradas,
o que facilitará seu cálculo.
Teorema 1.2. (Fubini): Seja f : R −→ R contínua sobre R. Então:∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y) dx
]
dy =
∫ b
a
[∫ d
c
f(x, y) dy
]
dx
Prova: Veja o apêndice.
Observações 1.3.
1. Uma visualização geométrica do teorema de Fubini pode ser feita usando o prin-
cípio de Cavalieri: “ Dado um sólido, se denotamos por A(y) a área da seção
transversal ao sólido, medida a uma distância y de um plano de referência, o vo-
lume do sólido é dado por: V =
∫ d
c
A(y) dy, onde c e d são as distâncias mínima e
máxima ao plano de referência”.
1.5. TEOREMA DE FUBINI 17
2. Se f é uma função contínua e f(x, y) ≥ 0 em todo R, então:∫∫
R
f(x, y) dx dy
representa o volume do sólido W :
W = {(x, y, z) ∈ R3 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}.
c
Rb
d
a
Figura 1.7:
3. Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a uma distância x
da origem, obtemos uma seção plana que tem como área:
A(x) =
∫ d
c
f(x, y) dy.
Pelo princípio de Cavalieri, o volume total do sólido é:
∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ b
a
A(x) dx =
∫ b
a
[∫ d
c
f(x, y) dy
]
dx.
4. Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano xz a
uma distância y da origem obtemos uma seção plana de área:
A(y) =
∫ b
a
f(x, y) dx.
18 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
Pelo princípio de Cavalieri:
∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ d
c
A(y) dy =
∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y) dx
]
dy.
Exemplo 1.2.
[1] Calcule
∫∫
R
dx dy, onde R = [a, b]× [c, d].∫∫
R
dx dy =
∫ b
a
[∫ d
c
dy
]
dx =
∫ b
a
(d− c) dx = (b− a) (d− c);
numericamente a integral dupla
∫∫
R
dx dy, corresponde a área de R ou ao volume do
paralelepípedo de base R e altura 1.
[2] Calcule
∫∫
R
f(x, y) dx dy, onde R = [a, b]× [c, d] e f(x, y) = h, h constante positiva.∫∫
R
f(x, y) dx dy = h
∫∫
R
dx dy = h× A(R) = h (b− a) (d− c),
onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedo de base R e altura h.
[3] Calcule
∫∫
R
(x y + x2)
dx dy, onde R = [0, 1]× [0, 1].
∫∫
R
(x y + x2) dx dy =
∫ 1
0
[∫ 1
0
(x y + x2) dx
]
dy
=
∫ 1
0
[
x2 y
2
+
x3
3
]∣∣∣∣x=1
x=0
dy
=
∫ 1
0
[
y
2
+
1
3
]
dy =
7
12
.
O número
7
12
representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da
função f(x, y) = x y + x2, tal que (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1] e pelos planos coordenados.
1.5. TEOREMA DE FUBINI 19
Figura 1.8: Sólido do exemplo [3]
[4] Calcule
∫∫
R
x y2 dx dy, onde R = [−1, 0]× [0, 1].
∫∫
R
x y2 dx dy =
∫ 1
0
[∫ 0
−1
x y2 dx
]
dy = −1
2
∫ 1
0
y2dy = −1
6
.
[5] Calcule
∫∫
R
sen(x+ y) dx dy, onde R = [0, pi]× [0, 2pi].
∫∫
R
sen(x+ y) dx dy =
∫ 2pi
0
[∫ pi
0
sen(x+ y) dx
]
dy
=
∫ 2pi
0
(cos(y)− cos(y + pi)) dy = 0.
[6] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1 − y e inferiormente
pelo retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
20 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
Figura 1.9: Sólido do exemplo [6]
O sólido está limitado superiormente pelo plano z = 1− y e inferiormente pelo retân-
gulo R = [0, 1]× [0, 1]; então, o volume V é:
V =
∫∫
R
(1− y) dx dy =
∫ 1
0
[∫ 1
0
(1− y) dx
]
dy =
∫ 1
0
(1− y) dy = 1
2
u.v.
[7] Calcule o volume do sólido limitado por z = x2 + y2 e pelos planos x = 0, x = 3,
y = 0 e y = 1.
Figura 1.10: Sólido do exemplo [7]
1.6. EXTENSÃO DO TEOREMA DE FUBINI 21
R = [0, 3]× [0, 1]. O volume é:
V =
∫∫
R
(x2 + y2) dx dy =
∫ 1
0
[∫ 3
0
(x2 + y2) dx
]
dy =
∫ 1
0
(9 + 3y2) dy = 10u.v.
u.v. =unidades de volume.
[8] Calcule o volume do sólido limitado por z = 1 − y2 e pelos planos x = −1, x = 1,
y = −1 e y = 1.
Figura 1.11: Sólido do exemplo [8]
R = [−1, 1]× [−1, 1]. O volume é:
V =
∫∫
R
(1− y2) dx dy =
∫ 1
−1
[∫ 1
−1
(1− y2) dx
]
dy = 2
∫ 1
−1
(1− y2) dy = 8
3
u.v.
1.6 Extensão do Teorema de Fubini
Antes de estudar a integral dupla em regiões mais gerais enunciaremos uma generera-
lização do teorema 1.1.
Definição 1.5. Seja A ⊂ R tal que R = [a, b] × [c, d]. O conjunto A ⊂ R tem conteúdo
nulo se existe um número finito de sub-retângulos Ri ⊂ R, (1 ≤ i ≤ n) tais que:
A ⊂ R1 ∪R2 ∪ . . . ∪Rn−1 ∪Rn e:
lim
n→+∞
n∑
i=1
|Ri| = 0;
22 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
onde |Ri| é a área de Ri.
Exemplo 1.3.
[1] Se A = {p1, p2, ......., pm}, tal que pi ∈ R, (1 ≤ i ≤ m).
O conjunto A tem conteúdo nulo. De fato, utilizando uma partição de ordem n de R
como antes, temos:
|Ri| = (b− a) (d− c)
n2
,
1 ≤ i ≤ n. Como cada ponto pode estar no máximo em quatro sub-retângulos, então:
0 <
n∑
i=1
|Ri| ≤ 4m (b− a) (d− c)
n2
.
Logo:
lim
n→+∞
n∑
i=1
|Ri| = 0.
[2] ∂R tem conteúdo nulo.
b
c
d
x xa i i+1
yj+1
y
RRij
j
Figura 1.12: ∂R
Os pontos de ∂R estão distribuido em 4n− 4 sub-retângulos Rij :
0 <
n∑
i=1
|Ri| ≤ (4n− 4) (b− a) (d− c)
n2
≤ 4 (b− a) (d− c)
n
,
1.7. INTEGRAÇÃO DUPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 23
pois
n− 1
n
< 1. Logo:
lim
n→+∞
n∑
i=1
|Ri| = 0.
É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b] −→ R tem conteúdo
nulo.
Figura 1.13: G(f)
Teorema 1.3. Se f : R −→ R é uma função limitada e o conjunto onde f é descontínua
tem conteúdo nulo, então f é integrav´el sobre R.
Prova: Veja [EL] na bibliografia.
1.7 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais
Definiremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utilizados para
estender o conceito de integral dupla sobre retângulos a regiões mais gerais
1.8 Regiões de tipo I
Seja D ⊂ R2. D é uma região de tipo I se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)}
sendo φi : [a, b] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que φ1(x) ≤ φ2(x) para todo
x ∈ [a, b].
24 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
a b
D
D
ba
φ φ
φ
φ
1
2
2
1
Figura 1.14: Regiões de tipo I
1.9 Regiões de tipo II
D é uma região de tipo II se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2/c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}
sendo ψi : [c, d] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que ψ1(y) ≤ ψ2(y) para todo
y ∈ [c, d].
D
d
c
ψ Dψ ψ1 2
ψ
1 2
Figura 1.15: Regiões de tipo II
1.10 Regiões de tipo III
D é uma região de tipo III se pode ser descrita como região de tipo I ou de tipo II.
1.11. REGIÕES ELEMENTARES 25
1.11 Regiões Elementares
Observações 1.4.
1. As regiões de tipos I, II ou III são chamadas elementares.
2. As regiões elementares são fechadas e limitadas.
Exemplo 1.4.
[1] A região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4x− x2 pode ser descrita como de tipo
I:
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:{
y = x2
y = 4x− x2,
do qual obtemos: x = 0 e x = 2; logo, D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4x− x2}.
0.5 1.0 1.5 2.0
1
2
3
4
Figura 1.16: Região de tipo I
[2] Seja a região D limitada pelas seguintes curvas: y2 − x = 1 e y2 + x = 1.
A região pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 1, y2 − 1 ≤ x ≤ 1− y2};
D é uma região de tipo II.
26 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
Figura 1.17: Região de tipo II
[3] A região D limitada pela reta x + y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro
quadrante, pode ser descrita como de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2− y}.
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 1.18: Região de tipo III
[4] A região D limitada pelas curvas y = x − 1 e y2 = 2 x + 6, pode ser descrita como
de tipo II.
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:{
y = x− 1
y2 = 2x+ 6,
1.11. REGIÕES ELEMENTARES 27
do qual obtemos: x = −1 e x = 5; logo:
D = {(x, y) ∈ R2/− 2 ≤ y ≤ 4, y
2
2
− 3 ≤ x ≤ y + 1}.
-2 2 4 6
-2
-1
1
2
3
4
Figura 1.19: Região de tipo II
[5] Seja D a região limitada pela curva x2 + y2 = 1; esta região é do tipo III. De fato:
De tipo I:
D = {(x, y) ∈ R2/− 1 ≤ x ≤ 1, φ1(x) = −
√
1− x2 ≤ y ≤ φ2(x) =
√
1− x2}.
De tipo II:
D = {(x, y) ∈ R2/− 1 ≤ y ≤ 1, ψ1(y) = −
√
1− y2 ≤ x ≤ ψ2(y) =
√
1− y2}.
28 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figura 1.20: Região de tipo III
1.12 Extensão da Integral Dupla
Seja D uma região elementar tal que D ⊂ R, onde R é um retãngulo e f : D −→ R uma
função contínua (logo limitada). Definamos f ∗ : R −→ R por:
f ∗(x, y) =
{
f(x, y) se (x, y) ∈ D
0 se (x, y) ∈ R−D.
f ∗ é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ∂D; mas se ∂D consiste de uma
união finita de curvas que são gráficos de funções contínuas, pelo teorema 1.1, f ∗ é
integrável sobre R.
D
R
R
D
Figura 1.21: Gráficos de f e f ∗, respectivamente
1.13. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 29
Definição 1.6. f : D −→ R é integrável sobre D se f ∗ é integrável sobre R e em tal caso
definimos: ∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
R
f ∗(x, y) dx dy.
Se R1 é outro retângulo tal que D ⊂ R1 e f ∗1 : R1 −→ R é definida como antes, então:∫∫
R
f ∗(x, y) dx dy =
∫∫
R1
f ∗1 (x, y) dx dy,
pois f ∗ = f ∗1 = 0 onde R e R1 diferem.
R
D
R
f* =f* =0
1
1
Figura 1.22: Região de tipo III
Logo,
∫∫
D
f(x, y) dx dy não depende da escolha do retângulo.
1.13 Integral Dupla e Volume de Sólidos
Proposição 1.2. Se f : D −→ R é uma função contínua e limitada sobre D, então:
1. Se D é uma região de tipo I:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ b
a
[∫ φ2(x)
φ1(x)
f(x, y) dy
]
dx
30 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
2. Se D é uma região de tipo II:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ d
c
[∫ ψ2(y)
ψ1(y)
f(x, y) dx
]
dy
Para a prova, veja o apêndice.
Corolário 1.1. Se f(x, y) = 1 em todo D, então:∫∫
D
dx dy = Área(D)
De fato, se D é de tipo I, temos
∫∫
D
dx dy =
∫ b
a
[
φ2(x)− φ1(x)
]
dx = A(D).
Corolário 1.2. Se f(x, y) ≥ 0 e é contínua em D, podemos novamente interpretar a
integral dupla de f sobre D como o volume do sólido W limitado superiormente pelo
gráfico de f e inferiormente por D.
W = {(x, y, z) ∈ R3/(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}
D é a projeção de W sobre o plano xy e:
V (W ) =
∫∫
D
f(x, y) dx dy
1.13.1 Exemplos
[1] Calcule
∫ 1
0
[∫ 1
y
ex
2
dx
]
dy. A integral não pode ser calculada na ordem dada. Ob-
serve que: ∫∫
D
ex
2
dx dy =
∫ 1
0
[∫ 1
y
ex
2
dx
]
dy.
A região D, onde está definida a integral, é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1.
1.13. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 31
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 1.23: Região D
A região D é de tipo III; logo, D também é de tipo I. De fato: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x e:∫∫
D
ex
2
dx dy =
∫ 1
0
[∫ x
0
ex
2
dy
]
dx =
∫ 1
0
x ex
2
dx =
e− 1
2
.
[2] Calcule
∫ 1
0
[∫ 1
x
sen(y)
y
dy
]
dx.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 1.24: Região D
A região D, onde está definida a integral é de tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1. Por outro
lado, D é de tipo III, logo D também é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y, logo:
32 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
∫ 1
0
[∫ 1
x
sen(y)
y
dy
]
dx =
∫ 1
0
[∫ y
0
sen(y)
y
dx
]
dy
=
∫ 1
0
sen(y) dy = 1− cos(1).
[3] Calcule
∫∫
D
√
1− y2 dx dy, onde D é a região limitada por x2 + y2 = 1 no primeiro
quadrante.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 1.25: Região D
Consideramos D como região de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R/0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤
√
1− y2}.
Pela proposicão:
∫∫
D
√
1− y2 dx dy =
∫ 1
0
[∫ √1−y2
0
√
1− y2 dx
]
dy
=
∫ 1
0
(1− y2) dy = 2
3
.
Note que se escrevemosD como região de tipo I, a integração é muito mais complicada.
1.13. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 33
[4] Calcule
∫∫
D
(x+ y)2 dx dy, se D é a região limitada por y = x, 2 y = x + 2 e o eixo
dos y.
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 1.26: Região D
As retas se intersectam no ponto (2, 2). Escrevendo D como região de tipo I:
D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x
2
+ 1}.
Logo:
∫∫
D
(x+ y)2 dx dy =
∫ 2
0
[∫ x
2
+1
x
(x+ y)2 dy
]
dx
=
1
3
∫ 2
0
[(3x
2
+ 1
)3 − 8x3] dx = 21
6
.
[5] Determine o volume do sólido limitado por y−x+z = 1 e pelos planos coordenados.
Para ter uma visão geométrica do problema, fazemos o desenho do sólido, que é li-
mitado superiormente pelo plano que passa pelos pontos (0, 0, 1), (0, 1, 0), (−1, 0, 0) e
inferiormente pelo plano z = 0.
34 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
-1
1
Figura 1.27: O sólido e a região, respectivamente
A integral dupla representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico
da função z = f(x, y) = 1 + x − y e, inferiormente pela região D projeção de W no
plano xy.
W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ 1 + x− y},
onde:
D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ x+ 1}
é região do tipo I. Logo, o volume é:
V (W ) =
∫∫
D
(1 + x− y) dx dy
=
∫ 0
−1
[∫ x+1
0
(1 + x− y) dy
]
dx
=
1
2
∫ 0
−1
(x+ 1)2dx =
1
6
u.v.
[6] Determine o volume do sólido limitado por z = 2x+ 1, x = y2 e x− y = 2.
1.13. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 35
Figura 1.28: O sólido
Vista da reigião D:
1 2 3 4
1
2
Figura 1.29: A região D
Observe que z = f(x, y) = 2 x+ 1 e
V (W ) =
∫∫
D
(2x+ 1) dx dy,
onde D é a projeção do sólido no plano xy. Considerando D como região do tipo II, ela
é definida por:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 2, y2 ≤ x ≤ y + 2}.
O volume é:
36 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
V (W ) =
∫∫
D
(2x+ 1) dx dy
=
∫ 2
−1
[∫ y+2
y2
(2x+ 1) dx
]
dy
=
∫ 2
−1
(5 y + 6− y4) dy = 189
10
u.v.
[7] Calcule o volume do sólido que está acima do plano xy e é limitado por z = x2+4 y2
e x2 + 4 y2 = 4.
O gráfico de z = x2 + 4 y2 é um parabolóide elítico e o de x2 + 4 y2 = 4 é um cilindro
elítico.
Figura 1.30: O sólido
Vista da rigião D:
1.13. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 37
-2 2
-1
1
Figura 1.31: A região D
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o
resultado por 4.
2
1
Figura 1.32: A região D
D é a projeção do cilindro no plano xy. D é do tipo I:
D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤
√
4− x2
2
}.
e:
38 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
V = 4
∫∫
D
(x2 + 4y2) dx dy
= 4
∫ 2
0
[ ∫ √4−x2
2
0
(x2 + 4 y2) dy
]
dx
= 2
∫ 2
0
(
x2
√
4− x2 + (4− x
2)
3
2
3
)
dx
= 4pi u.v.
[8] Calcule a área da região plana limitada pelas curvas y = x2 e y = 4x− x2.
As curvas são parábolas: {
y = x2
y = 4x− x2,
os pontos de interseção das curvas são: (0, 0) e (2, 4).
0.5 1.0 1.5 2.0
1
2
3
4
Figura 1.33: A região D
D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4x− x2.
1.13. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 39
A =
∫∫
D
dx dy =
∫ 2
0
[∫ 4x−x2
x2
dy
]
dx
= 2
∫ 2
0
(2x− x2) dx = 8
3
u.a.
[9] Calcule o volume do sólido obtido pela interseção dos cilindros:
x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2, a 6= 0.
O sólido determinado pela interseção dos cilindros:
Figura 1.34: O sólido do exemplo [9]
Como o sólido é simétrico em relação à origem, calculamos o volume da porção do
sólido no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 8.
40 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
Figura 1.35: O sólido no primeiro octante
Claramente D é região do tipo I: D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ √a2 − x2}.
1
Figura 1.36: A região D
A altura do sólido W é dada por z = f(x, y) =
√
a2 − x2 e:
V = 8
∫∫
D
√
a2 − x2 dx dy
= 8
∫ a
0
[∫ √a2−x2
0
√
a2 − x2dy
]
dx
= 8
∫ a
0
(a2 − x2) dx = 16 a
3
3
u.v.
1.13. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 41
[10] Calcule o volume do sólido limitado por 3x+ 4 y = 10, z = x2 + y2 e situado acima
do plano xy, no primeiro octante.
2
1
Figura 1.37: Sólido e região do exemplo [10], respectivamente
D é uma região do tipo II:
D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 5
2
, 0 ≤ x ≤ 10− 4 y
3
};
logo:
V =
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫ 5
2
0
[∫ 10−4 y
3
0
(x2 + y2) dx
]
dy
= − 2
81
∫ 5
2
0
[
2 y − 5] [43 y2 − 80 y + 100] dy
= − 2
81
∫ 5
2
0
[
86 y3 − 375 y2 + 600 y − 500] dy = 15625
1296
u.v.
[11] Calcule o volume do sólido limitado por z − x y = 0, z = 0, y = x2 e y2 − x = 0.
42 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
Figura 1.38: Sólido do exemplo [11]
D é uma região do tipo I: D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ √x}.
1
Figura 1.39: Região D
Logo:
V =
∫∫
D
x y dx dy =
∫ 1
0
[∫ √x
x2
x y dy
]
dx
=
1
2
∫ 1
0
[x2 − x5] dx = 1
12
u.v.
1.14. EXERCÍCIOS 43
1.14 Exercícios
1. Calcule
∫∫
R
f(x, y) dx dy, se:
(a) f(x, y) = x2 y3 e R = [0, 1]× [0, 1]
(b) f(x, y) = (x+ y)2 (x2 − y2) e R = [0, 1]× [0, 1]
(c) f(x, y) = x2 + 4 y e R = [0, 2]× [0, 3]
(d) f(x, y) =
x2
y2 + 1
e R = [−1, 1]× [−1, 1]
(e) f(x, y) = ex y (x2 + y2) e R = [−1, 3]× [−2, 1]
(f) f(x, y) = x y − y2 e R = [0, 5]× [0, 4]
(g) f(x, y) = 5 x y2 e R = [1, 3]× [1, 4]
(h) f(x, y) = 2 x+ c2 y e R = [−2, 2]× [−1, 1]
(i) f(x, y) = x2 − y2 e R = [1, 2]× [−1, 1].
2. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função e in-
feriormente pelo retângulo dado:
(a) z =
√
9− y2 e R = [0, 4]× [0, 2]
(b) z = x2 + y2 e R = [−2, 2]× [−3, 3]
(c) z = y2 − x2 e R = [−1, 1]× [1, 3]
(d) z = 2x+ 3 y + 6 e R = [−1, 2]× [2, 3]
(e) z =
a cos(2 θ) + b sen(2α) e R = [0, pi
2
]× [0, pi
2
]
(f) z = x sen(y) e R = [0, pi]× [0, pi]
3. Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
44 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO DUPLA
(a)
∫ 1
0
[ ∫ 1
y
tg(x2) dx
]
dy
(b)
∫ 2
1
[ ∫ x
1
x2
y2
dy
]
dx
(c)
∫ 1
0
[ ∫ √1−x2
0
√
1− y2 dy
]
dx
(d)
∫ 1
0
[ ∫ 1
x
sen(y2) dy
]
dx
(e)
∫ 1
0
[ ∫ y
3y
ex
2
dx
]
dy
(f)
∫ 3
0
[ ∫ 9
y2
y cos(x2) dx
]
dy
4. Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas:
(a)
∫∫
D
y dx dy; y = 2x2 − 2, y = x2 + x
(b)
∫∫
D
x y dx dy; x
2
a2
+ y
2
b2
= 1, x, y ≥ 0
(c)
∫∫
D
x dx dy; x− y2 = 0, x = 1
(d)
∫∫
D
dx dy
x2 + 1
; y − x2 = 0, y = 1
(e)
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy; y = 0, y = x− 1 e x = 1, x = 0
(f)
∫∫
D
ex+y dx dy; y = 0, y = x e x− 1 = 0
(g)
∫∫
D
x cos(y) dx dy; y = 0, y = x2 e x = 1
(h)
∫∫
D
4 y3 dx dy; y = x− 6 e y2 = x
(i)
∫∫
D
(y2 − x) dx dy; y2 = x e x = 3− 2 y2
(j)
∫∫
D
(x2 + 2 y) dx dy; y = 2x2 e y = x2 + 1
(k)
∫∫
D
(1 + 2 x) dx dy; x = y2 e y + x = 2
(l)
∫∫
D
dx dy; y2 = x3 e y = x
Capítulo 2
MUDANÇA DE COORDENADAS
2.1 Introdução
Seja D∗ ⊂ R2 uma região elementar no plano uv e:
x, y : D∗ −→ R,
onde x = x(u, v) e y = y(u, v) são funções contínuas e com derivadas parciais contínuas
num retângulo aberto R tal que D∗ ⊂ R.
Estas duas funções determinam uma transformação do plano uv no plano xy. De fato:
T : D∗ −→ R2,
onde T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). A transformação T é também denotada por:
{
x = x(u, v)
y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.
Denotemos a imagen de D∗ por T como D = T (D∗), contida no plano xy.
45
46 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
D
u
v
*
y
D
x
T
Figura 2.1: Mudança de coordenadas
Exemplo 2.1.
Seja D∗ = [0, 1]× [0, 2pi] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).
Determinemos D = T (D∗) no plano xy.{
x = r cos(t)
y = r sen(t);
logo: x2 + y2 = r2 ≤ 1; então D = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.
r
2 pi
L D*
x
y
T
D
Figura 2.2: Mudança do exemplo
Definição 2.1. Uma transformação T é injetiva em D∗ se:
T (u1, v1) = T (u2, v2)
implica em u1 = u2 e v1 = v2, para todo (u1, v1), (u2, v2) ∈ D∗.
2.2. JACOBIANO DAMUDANÇA DE COORDENADAS 47
Observação 2.1. No exemplo 2.1, temos que:
D∗ = [0, 1]× [0, 2pi] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).
A transformação T não é injetiva.
De fato, T (0, t1) = T (0, t2) = (0, 0) para t1 6= t2. Observe que:
T (L) = (0, 0), onde L = {(0, t)/0 ≤ t ≤ 2pi}.
Mas se D∗ = (0, 1]× (0, 2pi], T é injetiva.
2.2 Jacobiano da Mudança de Coordenadas
Seja T : D∗ −→ D uma transformação definida por:
{
x = x(u, v)
y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.
Considere a seguinte matriz:
J(u, v) =

∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v

onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗.
Definição 2.2.
1. J é chamada matriz Jacobiana (de Jacobi) da transformação T .
2. O determinante da matriz J , dito jacobiano de T , é denotado e definido por:
∂(x, y)
∂(u, v)
= det(J(u, v)) ,
onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗.
48 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
Observações 2.1.
1. O jacobiano de T :
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∂x
∂u
∂y
∂v
− ∂x
∂v
∂y
∂u
,
onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗.
2. A importância da matriz Jacobiana de uma transformação deverá ser estudada
com mais rigor, em disciplinas mais avançadas. Por enquanto citaremos a se-
guinte proposição, sem prova:
Proposição 2.1. Se:
∂(x, y)
∂(u, v)
(u0, v0) 6= 0, (u0, v0) ∈ D∗,
então existe uma vizinhança do ponto (u0, v0) tal que a restrição de T a esta vizinhança
é injetiva.
Exemplo 2.2.
[1] No exemplo 2.1, temos que:
D∗ = [0, 1]× [0, 2pi] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)). Logo,
∂(x, y)
∂(r, t)
= r.
Note que para todo (r, t) ∈ L temos:
∂(x, y)
∂(r, t)
= 0.
[2] Seja o quadrado D∗ = [0, 1]× [0, 1] e T (u, v) = (u+ v, u− v).{
x = u+ v
y = u− v.
2.2. JACOBIANO DAMUDANÇA DE COORDENADAS 49
Se u = 0, então y = −x; se v = 0, então y = x, se u = 1; então y = 2− x e se v = 1, então
y = x− 2.
A região D = T (D∗) é a região do plano xy limitada pelas curvas y = x, y = −x,
y = x− 2 e y = 2− x.
O jacobiano:
∂(x, y)
∂(u, v)
= −2.
1
1
2
-1
1
Figura 2.3: Regiões D∗ e D, respectivamente
[3] Seja D∗ a região limitada pelas curvas u2 − v2 = 1, u2 − v2 = 9, u v = 1 e u v = 4 no
primeiro quadrante, sendo T (u, v) = (u2 − v2, u v).
Determinemos T (D∗) = D, fazendo:
{
x = u2 − v2
y = u v;
se u2 − v2 = 1, então x = 1; se u2 − v2 = 9, então x = 9, se u v = 1, então y = 1 e se
u v = 4, então y = 4
50 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
1 2 3
1
2
1 9
1
4
Figura 2.4: Regiões D∗ e D, respectivamente
∂(x, y)
∂(u, v)
= 2 (u2 + v2) 6= 0,
para todo (u, v) ∈ D∗.
2.3 Mudança de Coordenadas e Integrais Duplas
O seguinte teorema nos ensina o comportamento das integrais duplas sob mudanças
de coordenadas.
Teorema 2.1. Sejam D e D∗ regiões elementares no plano, T uma transformação de
classe C1 e injetiva em D∗. Suponha que T (D∗) = D. Então, para toda função integrá-
vel f sobre D temos:∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
D∗
f(u, v)
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv
onde: ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣
é o valor absoluto do determinante Jacobiano e a função nas novas coordenadas:
f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)).
2.4. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 51
Corolário 2.1. Em particular a área de D é:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
∫∫
D∗
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv
Observações 2.2.
1. É possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetiva num
subconjunto de conteúdo nulo de D∗, como no caso de L, no exemplo 1.
2. Observe que podemos ir do plano uv ao plano xy e vice-versa, pois T é bijetiva.
2.4 Mudança Linear de Coordenadas
A mudança linear é definida pela seguinte transformação:
x = x(u, v) = a1 u+ b1 v
y = y(u, v) = a2 u+ b2 v
onde a1 b2 − a2 b1 6= 0. Como: ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = |a1b2 − a2b1|,
do teorema anterior, segue:
Corolário 2.2. Se f(u, v) = f(a1 u+ b1 v, a2 u+ b2 v), então:
1. ∫∫
D
f(x, y) dx dy = |a1b2 − a2b1|
∫∫
D∗
f(u, v) du dv
2. Em particular, a área de D é:
A(D) = |a1b2 − a2b1|
∫∫
D∗
du dv = |a1b2 − a2b1|A(D∗)
52 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
Observação 2.2. As inversas da transformação linear são:
u = u(x, y) =
b2 x− b1 y
a1b2 − a2b1
v = v(x, y) =
−a2 x+ a1 y
a1b2 − a2b1
,
e que: ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣−1.
Exemplo 2.3.
[1] Seja D a região limitada pelas curvas y = 2x, y = x, y = 2x− 2 e y = x+ 1, calcule:∫∫
D
x y dx dy.
1 2 3
1
2
3
4
Figura 2.5: Região D
A presença dos termos 2x− y e y − x sugerem a seguinte mudança:{
u = 2x− y
v = y − x.
A nova região D∗ é limitada pelas seguintes curvas: u = 0, u = −2, v = 0 e v = 1.
2.4. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 53
-2
1
Figura 2.6: Região D∗
Note que: {
x = u+ v
y = u+ 2 v,
logo: ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 1 e f(u, v) = (u+ v) (u+ 2 v) = u2 + 3u v + 2 v2.
Então: ∫∫
D
x y dx dy =
∫ 1
0
[∫ 0
−2
(u2 + 3u v + 2 v2) du
]
dv = 1.
[2] Seja D a região limitada pela curva y + x = 2 e pelos eixos coordenados, calcule:∫∫
D
e
y−x
x+y dx dy.
1 2
1
2
Figura 2.7: Região D
54 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
A presença dos termos x+ y e x− y sugerem a seguinte mudança:{
u = x+ y
v = y − x.
D é limitada pelas curvas x = 0, y = 0 e x + y = 2; então, D∗ é limitada pelas curvas
u = v, u = −v e u = 2, respectivamente.
1 2
-2
2
Figura 2.8: Região D∗
∣∣∣∣∂(u,
v)∂(x, y)
∣∣∣∣ = 2, ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 12 e f(u, v) = e vu ;
então:
∫∫
D
e
y−x
x+y dx dy =
1
2
∫∫
D∗
e
v
u du dv
=
1
2
∫ 2
0
[∫ u
−u
e
v
u dv
]
du
=
1
2
∫ 2
0
u e
v
u
∣∣∣∣v=u
v=−u
du
=
[
e− e−1
2
] ∫ 2
0
u du = e− e−1.
2.4. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 55
[3] Determine a área da região D limitada pela curva fechada
(2x− 4 y + 7)2 + (x− 5 y)2 = 16.
-10 -5
1
-3
Figura 2.9: Região D
Considere a mudança: {
u = 2x− 4 y
v = x− 5 y.
D∗ é a região limitada pela curva (u + 7)2 + v2 = 16 que é um círculo centrado em
(−7, 0) de raio 4.
-10 -5
-4
4
Figura 2.10: Região D∗
56 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 6; então ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 16
e:
A(D) =
1
6
∫∫
D∗
du dv =
1
6
A(D∗) =
8 pi
3
u.a.
[4] Seja D a região limitada pela curva y + x = 1 e pelos eixos coordenados, calcule:
∫∫
D
cos
(x− y
x+ y
)
dx dy.
1
Figura 2.11: Região D
A presença dos termos x+ y e x− y sugerem a seguinte mudança:
{
u = x− y
v = x+ y.
2.4. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 57
-1 1
1
Figura 2.12: Região D∗
D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = v, u = −v e v = 1, logo:∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 12 e f(u, v) = cos(uv );
então:
∫∫
D
cos
(
y − x
x+ y
)
dx dy =
1
2
∫∫
D∗
cos
(u
v
)
du dv
=
1
2
∫ 1
0
[∫ v
−v
cos
(u
v
)
du
]
dv
=
1
2
∫ 1
0
v
(
sen(1)− sen(−1)) dv
= sen(1)
∫ 1
0
v dv
=
sen(1)
2
.
[5] SejaD a região limitada pelas curvas y−2x = 2, y+2x = 2, y−2x = 1 e y+2x = 1,
calcule: ∫∫
D
y + 2x
(y − 2x)2 dx dy.
58 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
-1 10.5-0.5
1
2
Figura 2.13: Região D
A presença dos termos y + 2x e y − 2x sugerem a seguinte mudança:{
u = y + 2x
v = y − 2x.
D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2.
1 2
1
2
Figura 2.14: Região D∗
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 14 e f(u, v) = uv2 ;
então:
2.4. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 59
∫∫
D
y + 2x
(y − 2x)2 dx dy =
1
4
∫∫
D∗
u
v2
du dv
=
1
4
∫ 2
1
[∫ 2
1
u
v2
du
]
dv
=
3
16
.
[5] Seja D a região limitada pelas curvas y + x = 1, y + x = 4, x − y = −1 e x − y = 1,
calcule:
∫∫
D
(x+ y)2 ex−y dx dy.
1 2 4
1
2
3
Figura 2.15: Região D
A presença dos termos y + x e y − x sugerem a seguinte mudança:
{
u = x+ y
v = x− y.
D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 4, v = −1 e v = 1.
60 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
2 4
-1
1
Figura 2.16: Região D∗
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 12 e f(u, v) = u2 ev;
então:
∫∫
D
(x+ y)2 ex−y dx dy =
1
2
∫∫
D∗
u2 ev du dv
=
1
1
∫ 1
−1
[∫ 4
1
u2 ev du
]
dv
=
21 (e− e−1)
2
.
2.5 Mudança Polar de Coordenadas
Um ponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares (r, θ) onde
r é a distância da origem a P e θ é o ângulo formado pelo eixo dos x e o segmento de
reta que liga a origem a P .
2.5. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 61
r
x
y
θ
P’
r
P
Figura 2.17: Mudança polar de coordenadas
A relação entre as coordenadas (x, y) e (r, θ) é dada por:{
r =
√
x2 + y2
θ = arctg
(y
x
)
x 6= 0.
Ou, equivalentemente: {
x = r cos(θ)
y = r sen(θ).
Esta mudança é injetiva em:
D∗ = {(r, θ)/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2pi},
com θ0 =constante.
Note que a região circular D = {(x, y) /x2 + y2 ≤ a2} corresponde, em coordenadas
polares, à região retangular:
D∗ = {(r, θ) /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2pi} = [0, a]× [0, 2 pi].
Exemplo 2.4.
[1] A cardióide é uma curva de equação cartesiana x2 + y2 =
√
x2 + y2 − y; em coorde-
nadas polares fica r = 1− sen(θ), r ≥ 0.
62 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
-1 1
-2
1
Figura 2.18: Cardióide
[2] A lemniscata de Bernoulli é uma curva de equação cartesiana:
(x2 + y2)2 = a2 (x2 − y2);
em coordenadas polares fica r2 = a2 cos(2θ).
-1 1
1
Figura 2.19: Lemniscata
[3] O cilindro circular reto de raio a, em coordenadas cartesianas é definido como o
seguinte conjunto:
C = {(x, y, z) ∈ R3/ x2 + y2 = a2, a ≥ 0};
em coordenadas polares:
C∗ = {(r, θ, z) ∈ R3/r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 pi}.
Calculemos o jacobiano da mudança de coordenadas polares:
2.6. REGIÕES LIMITADAS POR CÍRCULOS 63
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = r > 0.
Do teorema anterior, segue:
Corolário 2.3. Se f(r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)), então:
1. ∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
D∗
r f(r, θ) dr dθ
2. Esta igualdade ainda é válida se:
D∗ = {(r, θ)/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2pi}.
3. Em particular a área de D é:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
∫∫
D∗
r dr dθ
2.6 Regiões Limitadas por Círculos
Seja a > 0. A região D, limitada pelo círculo x2 + y2 = a2, em coordenadas polares é
dada por:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2pi}.
64 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
1
1
Figura 2.20: A região D
Neste caso: ∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ 2pi
0
[∫ a
0
r f(r, θ) dr
]
dθ
A região D, limitada pelo círculo (x− a)2 + y2 ≤ a2, em coordenadas polares é:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 a cos(θ), −pi
2
≤ θ ≤ pi
2
}.
Figura 2.21: A região D
Neste caso:
2.6. REGIÕES LIMITADAS POR CÍRCULOS 65
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ pi
2
−pi
2
[∫ 2 acos(θ)
0
r f(r, θ) dr
]
dθ
A região D, limitada pelo círculo x2 + (y − a)2 ≤ a2, em coordenadas polares é:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 a sen(θ), 0 ≤ θ ≤ pi}.
Figura 2.22: A região D
Neste caso:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ pi
0
[∫ 2a sen(θ)
0
r f(r, θ) dr
]
dθ
Exemplo 2.5.
[1] Calcule
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas:
x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x e y =
√
3x
3
,
no primeiro quadrante.
66 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
Figura 2.23: A região D
Usando coordenadas polares, a nova região D∗ no plano rθ é determinada por:
D∗ = {(r, θ) /1 ≤ r ≤ 2, pi
6
≤ θ ≤ pi
4
}.
Como x2 + y2 = r2, temos:∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫∫
D∗
r3 dr dθ =
∫ pi
4
pi
6
[∫ 2
1
r3 dr
]
dθ =
5 pi
16
.
[2] Calcule
∫∫
D
ln(x2 + y2) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas:
x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2, (0 < a < b).
Usando coordenadas polares temos que D∗ está determinada por:
D∗ = {(r, θ) / a ≤ r ≤ b, 0 ≤ θ ≤ 2pi}.
Por outro lado, ln(x2 + y2) = 2 ln(r),
∫∫
D
ln(x2 + y2) dx dy =
∫∫
D∗
2 r ln(r) dr dθ
= 4pi
∫ b
a
r ln(r) dr
= pi (r2(2 ln(r)− 1))
∣∣∣∣b
a
= pi (2 b2 ln(b)− 2 a2 ln(a) + a2 − b2).
2.6. REGIÕES LIMITADAS POR CÍRCULOS 67
[3] Determine o volume do sólido situado acima do plano xy e limitado pelos gráficos
de z = x2 + y2 e x2 + y2 = 2 y.
O gráfico de z = x2 + y2 é um parabolóide centrado na origem e o do cilindro circular
reto x2 + y2 = 2y que é centrado em (0, 1, 0) e de raio 1, pois, podemos escrever x2 +
y2 − 2 y = x2 + (y − 1)2 − 1.
Figura 2.24: O sólido do exemplo [3]
Logo D = {(x, y) ∈ R2/x2 + (y − 1)2 ≤ 1}, em coordenadas polares é:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 sen(θ), 0 ≤ θ ≤ pi}.
O sólido W é limitado superiormente pelo parabolóide; logo:
V =
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy.
Utilizando coordenadas polares temos x2 + y2 = r2 e:
68 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
V =
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫∫
D∗
r3 dr dθ =
∫ pi
0
[∫ 2sen(θ)
0
r3 dr
]
dθ
= 4
∫ pi
0
sen4(θ) dθ
= 4
∫ pi
0
[
3
8
+
cos(4θ
8
− sen(2θ
2
]
dθ
=
[− sen3(θ) cos(θ)− 3
2
cos(θ) sen(θ) +
3 θ
2
]∣∣∣∣pi
0
=
3pi
2
u.v.
[4] Calcule o volume do sólido limitado externamente por x2 + y2 + z2 = 25 e interna-
mente por x2 + y2 = 9.
Figura 2.25: O sólido do exemplo [4]
2.6. REGIÕES LIMITADAS POR CÍRCULOS 69
3 5
3
5
Figura 2.26: A região D
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o
resultado por 8.
V = 8
∫∫
D
√
25− x2 − y2 dx dy,
onde D é a projeção do sólido no plano xy. Usando coordenadas polares obtemos a
nova região D∗ definida por:
D∗ = {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤ pi
2
}
e
√
25− x2 − y2 = √25− r2:
V = 8
∫∫
D
√
25− x2 − y2 dx dy = 8
∫ pi
2
0
[∫ 5
3
r
√
25− r2 dr
]
dθ =
256pi
3
u.v.
[5] A seguinte integral é muito utilizada em Estatística:∫ +∞
0
e−x
2
dx.
Seja R = [−a, a]× [−a, a]. Então:
∫∫
R
e−(x
2+y2) dx dy =
∫ a
−a
[∫ a
−a
e−x
2
e−y
2
dy
]
dx
=
[∫ a
−a
e−x
2
dx
] [∫ a
−a
e−y
2
dy
]
.
70 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
Figura 2.27: Gráfico de f(x, y) = e−(x2+y2)
Se denotamos por :
L(a) =
∫ a
−a
e−u
2
du = 2
∫ a
0
e−u
2
du,
temos:
L2(a) =
∫∫
R
e−(x
2+y2) dx dy.
SejamD eD1 regiões elementares tais queD ⊂ R ⊂ D1 ondeD é a região limitada pelo
círculo inscrito em R e D1 é a região limitada pelo círculo circunscrito a R:
R
D1
D
Figura 2.28:
Como f(x, y) = e−(x2+y2) é contínua em D1 e e−(x
2+y2) > 0, para todo x, y,∫∫
D
e−(x
2+y2) dx dy ≤ L2(a) ≤
∫∫
D1
e−(x
2+y2) dx dy.
2.6. REGIÕES LIMITADAS POR CÍRCULOS 71
Usando coordenadas polares, D é definida por 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2pi, D1 é definida
por 0 ≤ r ≤ √2 a e 0 ≤ θ ≤ 2pi:
e−(x
2+y2) = e−r
2
e:
∫ 2pi
0
[∫ a
0
r e−r
2
dr
]
dθ = pi (1− e−a2);
então, √
pi (1− e−a2) ≤ L(a) ≤
√
pi (1− e−2a2).
Como:
lim
a→+∞
∫ a
0
e−u
2
du =
∫ +∞
0
e−u
2
du,
temos:
∫ +∞
0
e−u
2
du =
√
pi
2
.
[6] Se D = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ (x− y)2 + (x+ y)2 ≤ 4, y ≤ 0, x+ y ≥ 0}, calcule:
∫∫
D
e
x+y
x−y
(x− y)2dx dy.
Usamos mudança linear: {
u = x− y
v = x+ y.
Logo, a nova região D∗ é limitada pelas curvas u2 + v2 = 1, u2 + v2 = 4, v ≤ u e 0 ≤ v:
72 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
1 2
1
2
Figura 2.29: A região D
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 2; então ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 12
e: ∫∫
D
e
x+y
x−y
(x− y)2dx dy =
1
2
∫∫
D∗
e
v
u
u2
du dv.
Usando coordenadas polares obtemos a região D∗∗ definida:
D∗∗ = {(r, θ) / 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ pi
4
}.
1
2
∫∫
D∗
e
v
u
u2
du dv =
1
2
∫∫
D∗∗
r etg(θ)
r2 cos2(θ)
dr dθ
=
ln(2) (e− 1)
2
.
2.7 Aplicação
Seja D região do tipo II, limitada por curvas de equações (em forma polar): r = g(θ) e
r = h(θ) e definida por:
D = {(r, θ)/g(θ) ≤ r ≤ h(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2},
onde g, h : [θ1, θ2] −→ R são funções contínuas tais que 0 ≤ g(θ) ≤ h(θ). Então:
2.7. APLICAÇÃO 73
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ θ2
θ1
[∫ h(θ2)
g(θ1)
r f(r, θ) dr
]
dθ
Em particular, a área de D é:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
1
2
∫ θ2
θ1
[
(h(θ))2 − (g(θ))2
]
dθ
Exemplo 2.6.
[1] Calcule o volume do sólido limitado pelo cone z =
√
x2 + y2 e pelo cilindro
r = 4 sen(θ), no primeiro octante.
Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no plano r θ o cilindro
projeta-se no círculo r = 4 sen(θ); logo 0 ≤ r ≤ 4 sen(θ) e 0 ≤ θ ≤ pi
2
.
Figura 2.30: A região D
74 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
-2 -1 1 2
1
2
3
4
Figura 2.31: A região D
V =
∫∫
D∗
r2 dr dθ =
∫ pi
2
0
[∫ 4 sen(θ)
0
r2dr
]
dθ =
128
9
u.v.
[2] Calcule a área da região limitada pelo interior do círculo r = 4 sen(θ) e pelo exterior
do círculo r = 2.
-2 -1 1 2
1
2
3
4
Figura 2.32: A região D
Os círculos se intersectam em: θ =
pi
6
e θ =
5pi
6
e:
A(D) =
1
2
∫ 5pi/6
pi/6
(16 sen2(θ)− 4) dθ = (2pi
3
+ 2
√
3
)
u.a.
[3] Calcule a área da região limitada por r = 2(1 + sen(θ)).
2.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 75
Figura 2.33: A região limitada por r = 2(1 + sen(θ))
0 ≤ θ ≤ 2pi. Logo:
A(D) = 2
∫ 2pi
0
(1 + sen(θ))2dθ = 6piu.a.
[4] Calcule a área da região limitada por r = sen(3θ).
Figura 2.34: A região D
0 ≤ θ ≤ 2pi. Logo:
A(D) =
1
2
∫ 2pi
0
sen2(3θ) dθ =
pi
2
u.a.
2.8 Exercícios de Mudança de Coordenadas
Nesta seção apresentaremos mudanças de coordenadas não usuais. Lembremos, que
utilizaremos o teorema de mudança de coordenadas e a fórmula:
76 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
D∗
f(u, v)
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv
onde: ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣
é o valor absoluto do determinante Jacobiano e f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)).
Exemplo 2.7.
[1] Calcule: ∫ 2
1
[ ∫ √x
0
y e
√
x dy
]
dx.
Primeiramente observamos que:∫ 2
1
[ ∫ √x
0
y e
√
x dy
]
dx =
∫∫
D
y e
√
x dx dy,
onde D = {(x, y) / 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √x}; D é região de tipo I.
1 2
1
Figura 2.35: A região D
Utilizemos a mudança de coordenadas:
2.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 77
{
x = u2
y = v;
=⇒

x = 1 =⇒ u = 1
x = 2 =⇒ u = √2
y = 0 =⇒ v = 0
y =
√
x =⇒ v = u.
Logo, D∗ = {(u, v) / 1 ≤ u ≤ √2, 0 ≤ v ≤ u}.
1 2
1
Figura 2.36: A região D∗
O jacobiano da mudança é:
∂(x, y)
∂(u, v)
= det
[
2u 0
0 1
]
= 2u;
que é não nulo em D∗ e f(x, y) = y e
√
x = v eu. Logo:
∫∫
D
y e
√
x dx dy =
∫∫
D∗
2u v eu du dv
= 2
∫ √2
1
[ ∫ u
0
u v eu dv
]
du
=
∫ √2
1
u3 eu du
= 6 + 4 e
√
2 (2
√
2− 3).
78 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
[2] Calcule: ∫∫
D
(x2 + y2) dx dy,
onde D é limitada por x y = 2, x y = 4, x2−y2 = 1 e x2−y2 = 9, no primeiro quadrante.
1 2 3
1
2
Figura 2.37: A região D
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
{
u = x2 − y2
v = 2x y.
=⇒

x y = 2 =⇒ v = 4
x y = 4 =⇒ v = 8
x2 − y2 = 1 =⇒ u = 1
x2 − y2 = 9 =⇒ u = 9.
Então D∗ = [1, 9]× [4, 8]. Por outro lado:
∂(u, v)
∂(x, y)
= det
[
2x −2 y
2 y 2x
]
= 4 (x2 + y2) =⇒ ∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
4 (x2 + y2)
;
logo:
(x2 + y2)
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 14 ,
e:
2.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 79
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
1
4
∫∫
D∗
du dv
=
1
4
∫ 9
1
∫ 8
4
dv du = 8.
[3] Calcule: ∫∫
D
(y + 2x2) (y − x2) dx dy,
onde D é limitada por x y = 1, x y = 2, y = x2 e y = x2 − 1, no primeiro quadrante.
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 2.38: A região D
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
{
u = x y
v = y − x2 =⇒

x y = 1 =⇒ u = 1
x y = 2 =⇒ u = 2
y = x2 =⇒ v = 0
y = x2 − 1 =⇒ v = −1.
Então D∗ = [1, 2]× [−1, 0]. O jacobiano da mudança é:
∂(u, v)
∂(x, y)
= det
[
y x
−2x 1
]
= y + 2x2 =⇒ ∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
y + 2x2
.
Então:
80 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
(y + 2x2) (y − x2)
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = v,
logo:
∫∫
D
(y + 2x2) (y − x2) dx dy =
∫∫
D∗
v du dv
=
∫ 0
−1
∫ 2
1
v du dv = −1
2
.
[4] Calcule: ∫∫
D
e−x
2−x y−y2dx dy,
onde D é limitada por x2 + y2 + x y ≤ 1.
- 1 1
- 1
1
Figura 2.39: A região D
Completando os quadrados:
x2 + y2 + x y =
(
x+
y
2
)2
+
(√3 y
2
)2
.
Utilizemos a mudança linear de coordenadas:
u = x+
y
2
v =
√
3 y
2
2.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 81
A região é dada porD∗ = {(u, v) / u2+v2 ≤ 1}. Por outro lado, o jacobiano da mudança
é:
∂(u, v)
∂(x, y)
= det
 1
1
2
0
√
3
2
 =
√
3
2
=⇒ ∂(x, y)
∂(u, v)
=
2
√
3
3
.
Então:
∫∫
D
e−x
2−x y−y2dx dy =
2
√
3
3
∫∫
D∗
e−(u
2+v2) du dv.
Utilizando coordenadas polares, temos que D∗∗ = {(r, θ) / 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 pi}
e:
∫∫
D
e−x
2−x y−y2dx dy =
2
√
3
3
∫∫
D∗
e−(u
2+v2) du dv
=
2
√
3
3
∫∫
D∗∗
e−r
2
r dr dθ
=
2
√
3
3
∫ 1
0
∫ 2pi
0
r e−r
2
dθ dr
=
2pi
√
3
3
(1− e−1).
[5] Calcule:
∫∫
D
(x2 − y2) exy dx dy,
onde D é limitada por x y = 1, x y = 4, y = x e y = x+ 2 no primeiro quadrante.
82 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1
2
3
4
Figura 2.40: A região D
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
{
u = x y
v = −x+ y. =⇒

x y = 1 =⇒ u = 1
x y = 4 =⇒ u = 4
−x+ y = 0 =⇒ v = 0
−x+ y = 2 =⇒ v = 2.
Logo a região D∗ = [1, 4]× [0, 2]:
1 4
2
Figura 2.41: A região D
O jacobiano da mudança é:
∂(u, v)
∂(x, y)
= det
[
y x
−1 1
]
= x+ y =⇒ ∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
x+ y
;
observe que como x, y > 0, temos:
(x2 − y2) exy
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = (x− y) (x+ y) exyx+ y = (x− y) exy = −v eu.
2.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 83
Então:
∫∫
D
(x2 − y2) exy dx dy = −
∫∫
D∗
v eu du dv
= −
∫ 4
1
∫ 2
0
v eu dv du = 2 (e− e4).
[6] Calcule: ∫∫
D
e
x3+y3
xy dx dy,
onde D = {(x, y) / y2 − 2x ≤ 0, x2 − 2 y ≤ 0}.
2
2
Figura 2.42: A região D
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:{
x = u2 v
y = u v2.
Então: {
y2 − 2x ≤ 0 =⇒ 0 ≤ v ≤ 3√2
x2 − 2 y ≤ 0 =⇒ 0 ≤ u ≤ 3√2.
A região D∗ = [0, 3
√
2]× [0, 3√2]. Por outro lado:
x3 + y3
xy
= u3 + v3 e
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 3u2 v2.
84 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
Então:
∫∫
D
e
x3+y3
xy dx dy =
∫∫
D∗
3u2 v2 eu
3+v3 du dv
= 3
∫∫
D∗
u2 v2 eu
3
ev
3
du dv
= 3
∫ 3√2
0
[ ∫ 3√2
0
u2 v2 eu
3
ev
3
du
]
dv
=
∫ 3√2
0
v2 ev
3 [
eu
3
∣∣∣∣ 3
√
2
0
]
dv
= (e2 − 1)
∫ 3√2
0
v2 ev
3
dv =
1
3
(e2 − 1)2.
[7] Calcule: ∫∫
D
x3 y3
√
1− x4 − y4 dx dy,
onde D = {(x, y) / x4 + y4 ≤ 1}, no primeiro quadrante.
1- 1
- 1
1
Figura 2.43: A região D
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
2.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 85

x =
√
r cos(θ)
y =
√
r sen(θ).
O jacobiano da mudança é:
∂(x, y)
∂(r, θ)
=
1
4
√
sen(θ)
√
cos(θ)
Então:
x3 y3
√
1− x4 − y4
∣∣∣∣∂(x, y)∂(r, θ)
∣∣∣∣ = 14 cos(θ) sen(θ) r3√1− r2
Logo, D∗ = {(r, θ) / 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ pi
2
} e:
∫∫
D
x3 y3
√
1− x4 − y4 dx dy = 1
4
∫∫
D∗
cos(θ) sen(θ) r3
√
1− r2 dr dθ
=
1
4
[ ∫ 1
0
r3
√
1− r2 dr
] [ ∫ pi/2
0
cos(θ) sen(θ) dθ
]
=
1
60
.
[8] Determine a área da região limitada por y2 = 2 p x, y2 = 2 q x, x2 = 2 r y e x2 = 2 s y
tais que 0 < p < q e 0 < r < s.
Figura 2.44: A região D
86 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
u =
y2
2x
v =
x2
2 y
=⇒

y2 = 2 p x =⇒ u = p
y2 = 2 q x =⇒ u = q
x2 = 2 r y =⇒ v = r
x2 = 2 s y =⇒ v = s.
Então D∗ = [p, q]× [r, s]. Por outro lado:
∂(u, v)
∂(x, y)
= det
 −
y2
2x2
y
x
x
y
− x
2
2y2
 = −34 =⇒
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 43 .
Então:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
∫∫
D∗
4
3
du dv =
4
3
(q − p) (s− r).
[9] Determine a área da região limitada por:
√
x
a
+
√
y
b
= 1,
√
x
a
+
√
y
b
= 4, y =
b x
a
e
y =
9 b x
a
, tal que a, b > 0.
Figura 2.45: A região D
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
2.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 87

u =
√
a y
b x
v =
√
x
a
+
√
y
b
=⇒

a y = b x =⇒ u = 1
a y = 9 b x =⇒ u = 3√
x
a
+
√
y
b
= 1 =⇒ v = 1√
x
a
+
√
y
b
= 4 =⇒ v = 4.
Então D∗ = [1, 3] × [1, 4]. Não é difícil calcular a inversa da transformação de coorde-
nadas: 
x =
a v2
(1 + u)2
y =
b u2 v2
(1 + u)2
.
Logo:
∂(x, y)
∂(u, v)
= det

− 2 v
2 a
(1 + u)3
2 v a
(1 + u)2
2u v2 b
(1 + u)3
2u2 v b
(1 + u)2
 = −4 a b u v3(1 + u)4 .
E:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
∫∫
D∗
4 a b u v3
(1 + u)4
du dv
=
∫ 3
1
[ ∫ 4
1
4 a b u v3
(1 + u)4
dv
]
du
= 255 a b
∫ 3
1
u
(1 + u)4
du =
935 a b
64
.
[10] Calcule o volume do sólido limitado pelo elipsóide:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1;
88 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
onde a, b, c 6= 0.
Pela simetria do sólido calculamos o volume relativo ao primeiro octante; logo:
V = 8 c
∫∫
D
√
1−
[
x2
a2
+
y2
b2
]
dx dy.
A região D é limitada pela porção de elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 no primeiro quadrante. Use-
mos a seguinte mudança: {
x = a r cos(θ)
y = b r sen(θ);
o determinante Jacobiano da mudança é:
∂(x, y)
∂(r, θ)
=
[
a cos (t) −ar sin (t)
b sin (t) br cos (t)
]
= a b r.
Por outro lado: √
1−
[
x2
a2
+
y2
b2
]
=
√
1− r2.
A região D∗ = [0, 1]× [0, pi
2
]:
V = 8 a b c
∫∫
D∗
r
√
1− r2 dr dθ
= 4 a b c pi
∫ 1
0
r
√
1− r2 dr = 4 a b c pi
3
u.v.
Em particular, se a = b = c, temos uma esfera de raio a e:
V =
4pi a3
3
u.v.
2.9 Outras Aplicações da Integral Dupla
Como em uma variável, outras aplicações, além do cálculo de volumes, podem ser de-
finidas através de integrais duplas, tais como, massa total, centro de massa e momento
de inércia.
2.10. MASSA TOTAL 89
2.10 Massa Total
Suponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar D e consideremos
que a massa está distribuida sobre D com densidade conhecida, isto é, existe uma
função z = f(x, y) > 0 em D que representa a massa por unidade de área em cada
ponto (x, y) ∈ D. Se a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é constante.
Neste caso a massa total da lâmina é o produto da densidade pela área da lâmina.
Quando a densidade f varia de ponto a ponto em D e f é uma função integrável sobre
D, a massa total M(D) de D é dada por:
M(D) =
∫∫
D
f(x, y) dx dy
2.11 Momento de Massa
O momento de massa de uma partícula em torno de um eixo é o produto de sua massa
pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentos de massa da lâmina D
em relação ao eixo dos x e dos y são respectivamente:
Mx =
∫∫
D
y f(x, y) dx dy, My =
∫∫
D
x f(x, y) dx dy
D
(x,y)
Figura 2.46: A região D
2.11.1 Centro de Massa
O centro de massa da lâmina é definido por (x, y), onde:
90 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
x =
My
M(D)
, y =
Mx
M(D)
Fisicamente (x, y) é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estar concentrada
sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Se f(x, y) = k, (k > 0)
em todo D, (x, y) é chamado centróide de D. Neste caso o centro de massa é o centro
geométrico da região D.
Exemplo 2.8.
[1] Calcule o centro de massa do retângulo [0, 1] × [0, 1] se a densidade é dada pela
função: f(x, y) = ex+y.
A massa total de D = [0, 1]× [0, 1] é:
M(D) =
∫ 1
0
[∫ 1
0
ex+y dx
]
dy = e2 − 2e+ 1.
Os momentos de massa respectivos são:
Mx =
∫ 1
0
[∫ 1
0
y ex+y dx
]
dy = e− 1 e My =
∫ 1
0
[∫ 1
0
x ex+y dx
]
dy = e− 1
e o centro de massa de D é (
1
e− 1 ,
1
e− 1).
[2] Determine o centro de massa da região limitada por um semicírculoD de raio a cen-
trado na origem, sabendo que sua densidade em cada ponto é proporcional à distância
do ponto à origem.
Figura 2.47: A região D
2.11. MOMENTO DE MASSA 91
f(x, y) = k
√
x2 + y2. Calculamos a massa total usando coordenadas polares. A nova
região D∗ é definida por: 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ pi;√x2 + y2 = r:
M(D) = k
∫ pi
0
[∫ a
0
r2 dr
]
dθ =
k pi a3
3
.
Os momentos de massa respectivos são:
Mx =
∫ a
0
[∫ pi
0
r3 cos(θ)
dθ
]
dr = 0 e My =
∫ a
0
[∫ pi
0
r3 sen(θ) dθ
]
dr =
a4
2
;
o centro de massa de D é (0,
3 a
2 k pi
).
[3] Determine o centróide da região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4x− x2.
1 2
4
2
1 2
4
2
Figura 2.48: A região D
Neste caso f(x, y) = 1 para todo (x, y) ∈ D, onde:
D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4x− x2}
e M(D) = A(D) =
8
3
. Esta área já foi calculada anteriormente.
Mx =
∫ 2
0
[∫ 4x−x2
x2
y dy
]
dx =
16
3
e My =
∫ 2
0
[∫ 4x−x2
x2
x dy
]
dx =
8
3
;
o centróide de D é (2, 1).
[4] Determine o centro de massa da região limitada pelas curvas y = x + x2, y = 0 e
x = 2 se a densidade em cada ponto é Exe f(x, y) = y
1+x
.
92 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
M(D) =
∫ 2
0
[∫ x(x+1)
0
y
1 + x
dy
]
dx =
1
2
∫ 2
0
(x3 + x2) dx =
10
3
,
Mx =
∫ 2
0
[∫ x(x+1)
0
y2
1 + x
dy
]
dx =
1
2
∫ 2
0
(x4 + x3) dx =
412
45
,
My =
∫ 2
0
[∫ x(x+1)
0
x y
1 + x
dy
]
dx =
1
3
∫ 2
0
(x5 + 2x4 + x3) dx =
26
5
;
o centro de massa de D é (
39
25
,
206
75
).
2.12 Momento de Inércia
Sejam L uma reta no plano, D uma lâmina como antes e δ(x, y) = d((x, y), L), onde d é
a distância no plano e (x, y) ∈ D.
D
L(x,y)
δ
Figura 2.49:
Se f(x, y) é a densidade em cada ponto de D, o momento de inércia da lâmina em
relação à reta L é:
IL =
∫∫
D
δ2(x, y) f(x, y) dx dy
Em particular, se L é o eixo dos x:
2.12. MOMENTO DE INÉRCIA 93
Ix =
∫∫
D
y2 f(x, y) dx dy
Se L é o eixo dos y:
Iy =
∫∫
D
x2 f(x, y) dx dy
O momento de inércia polar em relação à origem é:
I0 = Ix + Iy =
∫∫
D
(x2 + y2) f(x, y) dx dy
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de resistir
à aceleração angular em torno desse eixo.
Exemplo 2.9.
[1] Determine o momento de inércia polar da região limitada pelas curvas y = ex,
x = 1, y = 0 e x = 0, se a densidade em cada ponto é f(x, y) = x y.
Ix =
∫∫
D
xy3 dx dy =
∫ 1
0
[∫ ex
0
x y3 dy
]
dx =
1
64
(3 e4 + 1),
Iy =
∫∫
D
yx3 dx dy =
∫ 1
0
[∫ ex
0
y x3 dy
]
dx =
1
16
(e2 + 3);
logo, o momento de inércia polar é:
I0 = Ix + Iy =
1
64
(3 e4 + 4 e2 + 13).
[2] Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por x2+y2 = a2 e x2+y2 = b2,
(0 < a < b). Calcule o momento de inércia polar da lâmina.
Usando coordenadas polares, a nova região é definida por: a ≤ r ≤ b e 0 ≤ θ ≤ 2pi e o
momento de inércia polar é:
I0 = k
∫ 2pi
0
[∫ b
a
r3 dr
]
dθ =
k (b4 − a4)pi
2
.
94 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
2.13 Exercícios
1. Determine o volume dos seguintes sólidos:
(a) Limitado superiormente por z = x2+y2 e inferiormente pela região limitada
por y = x2 e x = y2.
(b) Limitado superiormente por z = 3x2 + y2 e inferiormente pela região limi-
tada por y = x e x = y2 − y.
(c) Limitado por y2 + z2 = 4 , x = 2 y, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.
(d) Limitado por z = x2 + y2 + 4 , x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y = 1.
(e) Limitado por x2 + y2 = 1 , y = z, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.
2. Calcule a área da região limitada pelo eixo dos y e as curvas y = sen(x) e y =
cos(x).
3. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
(a) y = x2, y = 2x+ 5
4
(b) y = −x2 − 4, y = −8
(c) y = 5− x2, y = x+ 3
(d) x = y2, y = x+ 3, y = −2, y = 3
(e) y3 = x, y = x
(f) y = −x2 − 1, y = −2x− 4
(g) x = y2 + 1, y + x = 7
(h) y = 4− x2, y = x2 − 14
4. Determine o centro de massa da lâmina plana R, no plano xy e densidade dada
f :
(a) R é limitado por x2 + y2 = 1 no
primeiro quadrante e f(x, y) = x y
(b) R é limitado por y = x e y = x2 e
f(x, y) = x2 + y2
5. Definimos o valor médio de f sobre a região D por:
VM =
1
A
∫∫
D
f(x, y) dx dy,
onde A é a área de D. Calcule VM se:
2.13. EXERCÍCIOS 95
(a) f(x, y) = x2, e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)
(b) f(x, y) = x2 y2 e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)
(c) f(x, y) = x2 y2 e D do triângulo de vértices (0, 0), (4, 0), e (0, 2)
(d) f(x, y) = x2 y2 e D do triângulo de vértices (−1, 0), (1, 0), e (0, 1)
Mudanças de Variáveis
1. Utilizando a mudança de variáveis: x = u+ v e y = u− v, calcule:∫ 1
0
[ ∫ 1
0
(
x2 + y2
)
dx
]
dy.
2. Utilizando a mudança de variáveis: x+ y = u e x− y = v, calcule:∫∫
D
(
x+ y
)2
(x− y)2 dx dy,
onde D é limitado pelo quadrado de vértices (1, 0), (2, 1) e (0, 1).
3. Utilizando a mudança de variáveis: u = x− y e v = x+ y, calcule:∫∫
D
(
x2 − y2) sen2(x+ y) dx dy,
onde D = {(x, y)/− pi ≤ x+ y ≤ pi, −pi ≤ x− y ≤ pi}.
4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:
(a)
∫∫
D
ex
2+y2 dx dy, sendo D = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1}
(b)
∫∫
D
ln(x2 + y2) dx dy, sendo D = {(x, y)/x ≥ 0, y ≥ 0, a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2}
(c)
∫∫
D
sen(
√
x2 + y2)√
x2 + y2
dx dy, sendo D limitadas por x2 + y2 = pi
2
4
e x2 + y2 = pi2
5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x = 4−y2 e x+2 y−4 = 0.
96 CAPÍTULO 2. MUDANÇA DE COORDENADAS
6. Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pelas curvas:
(a) r = 1 e r = 2cos(θ)√
3
(fora a circunferência r = 1).
(b) r = 2 (1 + cos(θ)) e r = 2 cos(θ).
(c) r = 2 (1− cos(θ)) e r = 2.
7. Calcule
∫∫
D
sen(x2 + y2) dx dy, sendo D o disco unitário centrado na origem.
8. Sendo dadas a parábola y2 = x+1 e a reta x+y = 1, calcule o momento de inércia
em relação a cada eixo e o momento de inércia polar.
9. Calcule
∫∫
D
(x2 − y2) dx dy, onde D é a região limitada por x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0 e
x2 + y2 = 2.
10. Calcule
∫∫
D
y + 1
x2 + (y + 1)2
dx dy, onde D é a região limitada por x2 + y2 ≤ 1 e
y ≥ 0.
11. Calcule
∫∫
D
y ln(x+ y)
x2
dx dy, onde D é a região limitada por x+y = 1, x+y = 2,
y = x e y = 0.
12. Determine a área da região limitada por x2 + 3 y2 − 2x− 6 y + 1 = 0.
13. Determine a área da região limitada por x y = 4, x y = 8, x y3 = 5 e x y3 = 15.
14. Calcule
∫∫
D
cos(x + 2 y) sen(x − y) dx dy, onde D é a região limitada por y = x,
x+ 2 y = 2 e y = 0.
15. Calcule
∫∫
D
√
x+ y
x− 2 y dx dy, onde D é a região limitada por y = 0, 2 y = x e
y = 1− x.
16. Determine o momento de inércia polar da região limitada por x2−y2 = 1, x2−y2 =
9, x y = 2 e x y = 4.
Capítulo 3
INTEGRAÇÃO TRIPLA
O conceito de integrais triplas é análogo ao das integrais duplas, as propriedades e
teoremas são análogos aos estudados no capítulo anterior. As definições são obtidas
através de somas triplas de Riemann. As aplicações são, cálculo de volume de sólidos,
massa, centros de massa e de momentos de inercia de corpos no espaço.
3.1 Integração Tripla sobre Paralelepípedos
Este capítulo é totalmente análogo ao anterior.
Sejam R ⊂ R3 o paralelepípedo retangular definido por:
R = [a, b]× [c, d]× [p, q]
Consideremos as seguintes partições de ordem n dos intervalos: [a, b], [c, d] e [p, q]:
a = x0 < x1 < ...... . . . . . . < xn = b
c = y0 < y1 < ...... . . . . . . < yn = d
p = z0 < z1 < ...... . . . . . . < zn = q.
Subdividamos R em n3 sub-paralelepípedos:
Rijk = [xi, xi+1]× [yj, yj+1]× [zk, zk+1], i, j, k = 1 . . . n.
97
98 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA
b
c d
a
p
q
R
Figura 3.1: Subdivisão de R
Denotemos por:
∆x =
b− a
n
, ∆ y =
d− c
n
e ∆ z =
q − p
n
.
Seja:
f : R ⊂ R3 −→ R
uma função limitada. Escolhamos cijk ∈ Rijk e formemos a seguinte soma de Riemann:
Sn =
n−1∑
i=0
n−1∑
j=0
n−1∑
k=0
f(cijk)∆x∆y∆z.
Definição 3.1. Se lim
n→+∞
Sn existe e é independente da escolha dos cijk ∈ Rijk e da par-
tição,
denominamos este limite de integral tripla de f sobre R e a denotamos por:
lim
n→+∞
Sn =
∫∫∫
R
f(x, y, z) dx dy dz
Em tal caso f é dita integrável sobre R.
Teorema 3.1. Se f é contínua em R, então f é integrável sobre R.
Para a prova do teorema veja [EL].
3.1. INTEGRAÇÃO TRIPLA SOBRE PARALELEPÍPEDOS 99
Observação 3.1. No capítulo anterior vimos que se:
f : [a, b]× [c, d] −→ R,
f(x, y) ≥ 0 e contínua para todo (x, y) ∈ [a, b]× [c, d], a integral dupla:∫∫
R
f(x, y) dx dy
representa o volume do sólido:
W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ [a, b]× [c, d], 0 ≤ z ≤ f(x, y)}.
Para integrais triplas esta interpretação geométrica não é conveniente, pois o gráfico
de f é um subconjunto de R4 o qual não é possível visualizar.
Mas se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ R:∫∫∫
R
dx dy dz
representa o volume de R (veja o exemplo 1). Isto se justifica, pois a soma de Riemann
correspondente:
Sn =
n−1∑
i=0
n−1∑
j=0
n−1∑
k=0
∆x∆y∆z
é a soma dos volumes dos n3 sub-paralelepípedos formado pela partição; então:
lim
n→+∞
Sn
é exatamente o volume de R.
A integral tripla tem propriedades análogas às das integrais duplas.
Proposição 3.1. Seja x = (x, y, z) ∈ R.
1. Linearidade da integral tripla. Se f e g são funções integráveis sobre R, então
para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e:
∫∫∫
R
(
α f(x) + β g(x)
)
dx dy dz = α
∫∫∫
R
f(x) dx dy dz + β
∫∫∫
R
g(x) dx dy dz
onde x = (x, y, z).
100 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA
2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x) ≤ f(x), para todo x ∈ R, então:
∫∫∫
R
g(x) dx dy dz ≤
∫∫∫
R
f(x) dx dy dz
3. Se R é subdividido em k paralelepípedos e f é integrável sobre cada Ri, i =
1, ..., k então f é integrável sobre R e,
∫∫∫
R
f(x) dx dy dz =
k∑
i=1
∫∫∫
Ri
f(x) dx dy dz
A prova segue diretamente das definições.
Observações 3.1.
1. A noção de conteúdo nulo poder ser estendida ao paralelepípedo R de forma
completamente análoga ao caso do retângulo; mudando sub-retângulos por sub-
paralelepípedos e área por volume.
2. Como antes, o teorema é válido se o conjunto de descontinuidades de f é de
conteúdo nulo.
3. Para integrais triplas continua valendo o teorema de Fubini. Agora temos 3 ! = 6
possíveis integrais iteradas.
Teorema 3.2. (Fubini) Seja f : R −→ R contínua em R. Então:
∫∫∫
R
f(x, y, z) dx dy dz =
∫ b
a
[∫ d
c
[∫ q
p
f(x, y, z) dz
]
dy
]
dx
=
∫ q
p
[∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y, z) dx
]
dy
]
dz
=
∫ d
c
[∫ b
a
[∫ q
p
f(x, y, z) dz
]
dx
]
dy
=
∫ b
a
[∫ q
p
[∫ d
c
f(x, y, z) dy
]
dz
]
dx
= ..................
3.1. INTEGRAÇÃO TRIPLA SOBRE PARALELEPÍPEDOS 101
A prova do teorema de Fubini para integrais triplas é completamente análoga à das
integrais duplas, que pode ser vista no apêndice.
Exemplo 3.1.
[1] Se R = [a, b]× [c, d]× [p, q], calcule∫∫∫
R
dx dy dz.
∫∫∫
R
dx dy dz =
∫ b
a
[∫ q
p
[∫ d
c
dy
]
dz
]
dx = (d− c) (q − p) (b− a),
que é o volume de R.
[2] Se R = [0, 1]× [1, 2]× [0, 3], calcule:∫∫∫
R
xyz dx dy dz.
∫∫∫
R
xyz dx dy dz =
∫ 2
1
[∫ 1
0
[∫ 3
0
xyz dz
)
dx
]
dy
=
9
2
∫ 2
1
[∫ 1
0
x y dx
]
dy =
27
8
.
[3] Se R = [0, pi]× [0, pi]× [0, pi], calcule:∫∫∫
R
sen(x+ y + z) dx dy dz.
∫∫∫
R
sen(x+ y + z) dx dy dz =
∫ pi
0
[∫ pi
0
[∫ pi
0
sen(x+ y + z) dz
]
dx
]
dy = −8.
[4] Se R = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1], calcule:∫∫∫
R
(x2 + y2 + z2 + x y z) dx dy dz.
102 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA
∫∫∫
R
(x2 + y2 + z2 + x y z) dx dy dz =
∫ 1
0
[∫ 1
0
[∫ 1
0
(x2 + y2 + z2 + xyz) dz
]
dx
]
dy
=
∫ 1
0
[∫ 1
0
(x2 + y2 +
1
3
+
1
2
x y)) dx
]
dy
=
∫ 1
0
[2
3
+
y
4
+ y2
]
dy =
9
8
.
3.2 Integrais Triplas sobre Regiões mais Gerais
3.2.1 7.2.1 Regiões Elementares no Espaço
De forma análoga ao estudado no capítulo das integrais duplas definidas em regiões
mais gerais. Consideremos W ⊂ R3.
3.2.2 Regiões de tipo I
A região W é do tipo I se pode ser descrita por:
W = {(x, y, z) ∈ R3/(x, y) ∈ D, f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y)}
onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano xy e f1, f2 : D −→ R
contínuas, sendo f1 ≤ f2.
D
W
z=f
z=f
2
1
Figura 3.2: Região de tipo I
3.2. INTEGRAIS TRIPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 103
3.2.3 Regiões de tipo II
W é do tipo II se pode ser descrita por:
W = {(x, y, z) ∈ R3/(x, z) ∈ D, g1(x, z) ≤ y ≤ g2(x, z)}
onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano xz e g1, g2 : D −→ R
contínuas, sendo g1 ≤ g2.
W
y=g
y=g
2
1D
Figura 3.3: Região de tipo II
3.2.4 Regiões de tipo III
W é do tipo III se pode ser descrita por:
W = {(x, y, z) ∈ R3/(y, z) ∈ D, h1(y, z) ≤ x ≤ h2(y, z)}
onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano yz e h1, h2 : D −→ R
contínuas, sendo h1 ≤ h2.
104 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA
W
D
x=hx=h 12
Figura 3.4: Região de tipo III
3.2.5 Região de tipo IV
A região W é de tipo IV se é do tipo I, ou tipo II, ou tipo III.
como por exemplo região limitada por uma esfera, ou por um elipsóide.
Observações 3.2.
1. Em qualquer dos casos anteriores, W é chamada região elementar do espaço.
2. As regiões W são conjuntos fechados e limitados em R3.
3. Alguns exemplos de regiões elementares:
Figura 3.5: Região elementar
3.3. EXTENSÃO DA INTEGRAL TRIPLA 105
De tipo III:
Figura 3.6: Região elementar
Em geral:
Figura 3.7: Região elementar
3.3 Extensão da Integral Tripla
Seja W uma região elementar em R3 tal que W ⊂ R, R um paralelepípedo como antes.
Se f : W −→ R é uma função contínua, definamos f ∗ : R −→ R por
106 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA
f ∗(x, y, z) =
{
f(x, y, z) se (x, y, z) ∈ W
0 se (x, y, z) ∈ R−W.
Se ∂W tem conteúdo nulo, então, f ∗ é integrável sobre R e definimos a integral tripla
de f sobre W como:∫∫∫
W
f(x, y, z) dx dy dz =
∫∫∫
R
f ∗(x, y, z) dx dy dz.
Em tal caso dizemos que f é integrável sobre W . A integral não depende da escolha
do paralelepípedo R.
Proposição 3.2. Seja f : W ⊂ R3 −→ R contínua.
1. Se W é do tipo I:
∫∫∫
W
f(x, y, z) dx dy dz =
∫∫
D
[∫ f2(x,y)
f1(x,y)
f(x, y, z) dz
]
dx dy
2. Se W é do tipo II:
∫∫∫
W
f(x, y, z) dx dy dz =
∫∫
D
[∫ g2(x,z)
g1(x,z)
f(x, y, z) dy
]
dx dz
3. Se W é do tipo III:
∫∫∫
W
f(x, y, z) dx dy dz =
∫∫
D
[∫ h2(y,z)
h1(y,z)
f(x, y, z) dx
]
dy dz
Observação 3.2. Observe que em todos os casos anteriores D é uma região elementar
do plano e, portanto, pode ser do tipo I, II ou III; dependendo do tipo continuamos
com a integral dupla.
3.3. EXTENSÃO DA INTEGRAL TRIPLA 107
Corolário 3.1. Se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ W , então:∫∫∫
W
dx dy dz = V (W )
onde V (W ) é o volume de W .
Exemplo 3.2.
[1] Calcule
∫ 2
0
∫ 4−x2
0
∫ x
0
sen(2 z)
4− z dy dz dx.
Note que: ∫ 2
0
∫ 4−x2
0
∫ x
0
sen(2 z)
4− z dy dz dx =
∫∫
D
[ ∫ x
0
sen(2 z)
4− z dy
]
dz dx,
onde:
D = {(x, z) / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4− x2}.
2
2
4
Figura 3.8: A região D
Calculamos primeiro: ∫ x
0
sen(2 z)
4− z dy =
x sen(2 z)
4− z ;
108 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA
a seguir, precisamos calcular:∫ 2
0
∫ 4−x2
0
∫ x
0
sen(2 z)
4− z dy dz dx =
∫∫
D
x sen(2 z)
4− z dz dx,
onde consideramos D = {(x, z) / 0 ≤ x ≤ √4− z, 0 ≤ z ≤ 4} como uma região de tipo
III; logo,
∫ 2
0
∫ 4−x2
0
∫ x
0
sen(2 z)
4− z dy dz dx =
∫ 4
0
∫ √4−z
0
x sen(2 z)
4− z dx dz
=
∫ 4
0
sin(2 z)
2
dz =
1− cos(8)
4
.
[2] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z + x2