Apol 2 - topologia

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Apol2 - Topologia
Questão 1 - Topologia
Considerando os conteúdos disponíveis na  Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricas,
Tema 4 - Espaços Topológicos Hausdorff, sobre base de uma topologia métrica,  analise as 
seguintes afirmativas:
I. Todo espaço métrico (X,d) é de Hausdorff.
II. Todo espaço topológico discreto é de Hausdorff. 
III. Em qualquer conjunto X, a função d(x,y)=1,x=y e  d(x,y)=0,x≠1 é uma métrica.
Está correto apenas o que se afirma em:
A II
B
I, II e III.
Você acertou!
 I- É verdadeira, pois pela proposição de espaços de Hausdorff.
    II - verdadeira, pois pela proposição de espaços de Hausdorff.
    III - É verdadeira, pois é um espaço discreto.
Conteúdos da Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricas, Tema 4 - Espaços 
Topológicos Hausdorff.
C II e III
D I e II
E III
Questão 2 - Topologia
Considerando os conteúdos disponíveis na Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricas, 
Tema 3 - Espaços Topológicos Métricos sobre base de uma topologia métrica, e seja (X,d) um 
espaço métrico,  analise as seguintes afirmativas:
I. X e ⊘ são abertos.
II. Qualquer interseção finita de abertos de X é um aberto de . 
III. A união de uma quantidade qualquer de abertos de X  é um conjunto fechado de X.
Está correto apenas o que se afirma em:
A I e II
f
n
(
x
)
=
x
n
 
 
}
 
 
)
 
 
}
}
τ
=
{
⊘
,
X
,
{
2
}
,
{
1
,
3
}
}
Você acertou!
 I- É verdadeira, pois são conjuntos abertos e fechados.
        II - verdadeira, pois a intersecção gera um conjunto aberto para contido em  X.
        III - É falsa, pois  união gera um conjunto aberto contido em  X.
     Conteúdos da Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricas, Tema 3 - Espaços 
Topológicos Métricos.
B I e III
C II e III
D I
E III
Questão 3 - Topologia
Considere os conteúdos disponíveis na Rota de Aprendizagem da Aula 5 – Topologia, Tema 3 - 
Topologia de Zariski sobre espaços localmente euclidianos, responda: seja X uma variedade 
topológica de dimensão m e compacta. Existe uma função contínua f:X→Rm (para algum m>0), 
tal que X é homeomorfo a f(X), chamada mergulho. Analise as seguintes afirmativas:
I. Rm é uma variedade topológica de dimensão m.
II. A topologia de Zariski é utilizada para estudar variedades algébricas.
III. Uma variedade topológica se comportam como um espaço euclidiano.
Está correto apenas o que se afirma em:
A I e II
B II
C II e III
D
I, II e III
Você acertou!
I. Os subconjuntos abertos de  An formam uma topologia chamada topologia de Zariski.
II.  Sim são utilizadas em variedades algébricas
III. Correto
Conteúdos da Rota de Aprendizagem da Aula 5 – Topologia, Tema 3 - Topologia de 
Zariski.
E I e III
Questão 4 - Topologia
Considerando o texto e os conteúdos disponíveis na Rota de Aprendizagem da Aula 5 - 
Topologia, Tema 4 - Espaços de Funções e  a sequência de funções {fn}n em F(I=[0,2π],R), 
com f1(x)=x,f2(x)=x2,...,fn(x)=xn, assinale a alternativa correta, referente à  convergência da 
sequência dada.
A Converge uniformemente para o intervalo 0≤f(x)≤1.
B É convergente na forma {0,1,4,16,32,...}.
C Converge pontualmente para a função f:R→[0,2π].
D
Converge uniformemente para a função f(x):I→R.
Você acertou!
Correta, pois  para todo  x∈I temos que  f(x)=a,a∈R.
Conteúdos da Rota de Aprendizagem da Aula 5 - Topologia, Tema 4 - Espaços de 
funções.  p. 6 - 8.
E Converge uniformemente para a função f(x)=ex.
Questão 5 - Topologia
Um dos problemas centrais, e motivadores, do estudo de topologia é desenvolver ferramentas para 
decidir quando espaços topológicos são homeomorfos. Considerando os conteúdos disponíveis na 
Rota de Aprendizagem da Aula 5 - Homotopias e o Grupo Fundamental, Tema 1 - Motivação, 
sejam X e Y espaços topológicos. A função f:X→Y é um homeomorfismo se f é bijetiva, contínua e
f−1 é contínua. Assinale a alternativa correta.
A
O quadrado e uma circunfêrencia  são homeomorfos.
Você acertou!
Pode ser percebido intuitivamente, dispondo as duas figuras concentricamente e ligando os 
pontos de uma e de outra por vetores com origem no centro e extremidade na circunferência. 
cada vetor corta o quadrado num único ponto e a correspondência 1-1 fica perfeitamente 
definida. logo são funções contínuas e tem inversa.
    Rota de Aprendizagem da Aula 5 - HOMOTOPIAS E O GRUPO FUNDAMENTAL, Tema 
1 - Motivação - p. 2-5.
B Na topologia usual da reta real os intervalos (a,b) e [a,b] são homeomorfos.
C O plano e a esfera de duas dimensões são homeomorfos.
D A reta real e o plano são homeomorfos.
E A esfera e o toro são homeomorfos.
Questão 6 - Topologia
Leia o texto a seguir:
"Seja X um espaço topológico, dizemos que X é T1 (ou Fréchet, ou Tikhonov) se dados dois pontos 
distintos x,y∈X, existem abertos U e V tais que x∈U,y∈U e y∈V,x∈V."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VILCHES, M. A. Topologia geral. 
<https://www.ime.uerj.br/~calculo/reposit/topologia.pdf>, p. 126. Acesso em 22 maio 2020.
Considerando o texto e os conteúdos disponíveis na Rota de Aprendizagem da Aula 4 - Topologia, 
Tema 5 - Axiomas de separabilidade sobre espaço métrico, assinale a alternativa correta.
A
Todo espaço métrico é T1.
Você acertou!
Comentário: Todo espaço métrico é T1, pois seus subconjuntos  finitos são fechados.
Conteúdos da Rota de Aprendizagem da Aula 4 - Topologia, Tema 4 ? Axiomas de 
separabilidade  p. 8 - 10.
B Se X={a,b} com topologia τ={∅,X,{a}}, então, τ é T1.
C Um espaço métrico qualquer não é T1.
D Todo espaço métrico tem base não numerável.
E Se X={a,b,c} com topologia τ={∅,X,{a},{b},{a,b}}, então,  τ é T1.
Questão 7 - Topologia
Considere o texto e os conteúdos disponíveis na Rota de Aprendizagem da Aula 5 - Topologia, 
Tema 4 - Espaços de Funções e a sequência de funções {fn}n em F([1,3],R), com fn(x)=e−nx.  
Assinale a alternativa correta, referente à  convergência da sequência dada.
A Converge uniformemente para a função f(x)=∞.
B Converge pontualmente para a função f(x)=∞.
C Converge pontualmente para a função f(x)=0.
D Converge uniformemente para a função f(x)=0.
Você acertou!
Correta, pois  diretamente das definições, podemos concluir que todo espaço regular é de 
Hausdorff; e todo espaço regular é normal.
    Conteúdos da Rota de Aprendizagem da Aula 4 - Topologia, Tema 4 - Axiomas de 
separabilidade  p. 9 - 12.
E Converge uniformemente para a função f(x)=e3.
Questão 8 - Topologia
Considere os conteúdos disponíveis na  Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricas, 
Tema 2 - Espaços Topológicos Métricos, sejam a,b∈R com a<b e R([a,b]) o conjunto das 
funções integráveis segundo Riemann de [a,b] em C1e a função R([a,b])×R([a,b])→R+.  
Assinale a alternativa que define a métrica da integral.
A ∫ba|f(x)2−g(x)2|dx
B ∫ba|f(x)2.g(x)2|dx
C
∫ba|f(x)−g(x)|dx
Você acertou!
Verdadeira, pois  ∫ba|f(x)−g(x)|dx é uma propriedade do cálculo diferencial.
Conteúdos da Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricas, Tema 2 - Espaços 
Topológicos Métricos.
D ∫ba|f(x+a)−g(x+b)|dx
E ∫ba|af(x)−bg(x)|dx
Questão 9 - Topologia
Considerando os conteúdos disponíveis na Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricas, 
Tema 2 - Métricas, o espaço topológico X  e uma métrica d, analise as seguintes afirmativas:
I. Em Rn, a métrica usualmente adotada é a euclidiana.
II.d(x,y)=√∑nj=1|xj−yj|2 é uma métrica euclidiana.
III. O par (X,d) é um espaço métrico.
Está correto apenas o que se afirma em:
A I,  II e III
Você acertou!
Pela definição de uma métrica, todas as afirmativas são verdadeiras.
Conteúdos da Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricas, Tema 2 - Métricas - 
p. 2-6.
B I
C I e IIII
D II
E I e II
Questão 10 - Topologia
Considerando os conteúdos disponíveis da Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricos,
Tema 2 - Métricas, analise as seguintes afirmativas:
Seja o conjunto X, com x,y e z∈X.  Uma métrica em X é uma função d:X×X→R que satisfaz as 
seguintes condições:
I. d(x,y)≥0 e para x=y  temos que d(x,y)=0
II.d(x,y)=d(y,x).III. d(x,z)=√d(x,y)+d(y,z).
Está correto apenas o que se afirma em:
A I, II e III.
B I
C I e III
D II
E
I e II
Você acertou!
Pela definição de uma métrica, apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
Conteúdos da Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricos, Tema 2 - Métricas - 
p.2-6.
Questão 11 - Topologia
Considere os conteúdos disponíveis na  Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricas, 
Tema 4 - Espaços Topológicos Hausdorff e responda:  Sejam  X={1,2,3} e   τ  uma topologia, 
assinale a alternativa cujo espaço topológico é de Hausdorff.
A τ={⊘,X,{1},{1,3}}
B
τ={⊘,X,{1},{2},{3}}
Você acertou!
Esta é a alternativa correta, pois um espaço topológico  X é de Hausdorff se, para quaisquer 
dois pontos distintos  x,y∈X, existem abertos  U,V⊂X, tais que  x∈U,y∈V e U∩V=⊘.
   Conteúdos da Rota de Aprendizagem da Aula 4 – Espaços métricas, Tema 4 - Espaços 
Topológicos Hausdorff.
C  τ={⊘,X,{1},{1,2}}
D τ={⊘,X,{1,2},{1,3}}
E τ={⊘,X,{2},{1,3}}