Trabalho de Matematica do Mayan

Prévia do material em texto

Introdução a Produto Cartesiano 
Os estudos inerentes à 1º série do Ensino Médio são responsáveis pela abordagem das 
funções, suas aplicações e gráficos. Nesse estudo, o aluno precisa ter a noção sobre 
produto cartesiano, principalmente no estabelecimento das relações entre os conjuntos 
formadores de uma função, já que toda função é constituída de pares ordenados (x,y). 
Definição Produto Cartesiano 
 
É interessante que o professor defina produto cartesiano de uma forma bem simples, clara 
e objetiva. 
Considere os conjuntos A = {1, 2} e B = {3, 5, 7}. 
Denominamos produto cartesiano o conjunto de todos os pares (x,y), tais que x pertence a 
A e y pertence a B, indicado pela expressão A x B. Simbolicamente representamos da 
seguinte maneira: A x B = {(x,y) / X Є A e y Є B} 
 
Represente o produto cartesiano por outros meios, veja os seguintes modelos: 
 
Diagrama de flechas: 
Em cada par ordenado de A x B, uma flecha parte do 1º elemento e atinge o 2º elemento, 
estabelecendo a relação entre eles. 
 
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) 
 
Conjunto de pares 
A x B = {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7)} 
 
 
Gráfico cartesiano 
Representamos os elementos de A no eixo x e os elementos de B no eixo y. O gráfico de A x 
B é constituído pelos pontos pertencentes ao produto A x B. 
 
Considerando os conjuntos A e B, podemos ter as seguintes situações: 
 
B x A = {(3,1), (5,1), (7,1), (3,2), (5,2), (7,2)} 
 
A x A = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1)} 
 
B x B = {(3,3), (3,5), (3,7), (5,5), (5,3), (5,7), (7,7), (7,3), (7,5)} 
 
A boa explanação e demonstração sobre esse conteúdo, seguido de atividades de fixação e 
correções comentadas, será de extrema importância para a sequência dos estudos 
relacionados às funções matemáticas. Vale ressaltar que as orientações dadas servem 
como ferramenta auxiliar, ficando a critério do professor buscar meios plausíveis para o 
bom entendimento do aluno. 
Atividade de produto cartesiano 
 (PUCC - 1982) Dados os 
conjuntos A={3,4,6}A={3,4,6}, B={1,2}B={1,2} e C={3,6,9,12}C={3,6,9,12}, determine o 
conjunto (C−A)×B(C−A)×B. 
 
resposta: 
(C−A)×B={9,12}×{1,2}={(9;1),(9;2),(12;1),(12;2)}(C−A)×B={9,12}×{1,2}={(9;1),(9;2),(12;1
),(12;2)} 
Introdução a Relação Binária 
As relações binárias são basicamente relações entre os elementos de dois conjuntos que 
seguem uma propriedade. Para entendermos completamente esse conceito precisamos 
nos familiarizar rapidamente com o conceito de par ordenado, plano cartesiano e produto 
cartesiano. 
Definição da Relação Binária 
Uma relação binária é uma comparação entre dois objetos tomados em uma ordem 
definida. Os objetos podem estar ou não relacionados de acordo com alguma regra. Toda 
relação é um conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao conjunto 
de partida, e o segundo elemento pertence ao conjunto de chegada. 
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/conjuntos
 Uma relação binária r sobre dois conjuntos A e B é: 
 
Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo 
um subconjunto do produto cartesiano entre os conjuntos A e conjunto B. Isto é, uma 
relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A x A pode ser 
chamado simplesmente de relação binária em A. 
Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados 
onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto 
é, para cada par (a,b), a ∈ A e b ∈ B. Então uma das seguintes afirmativas é verdadeira: 
 (a,b) ∈ R: dizemos que “a é R-relacionado a b”, escrevendo aRb. 
 (a,b) ∈ R: dizemos que “a não é R-relacionado a b”, escrevendo aRb. 
 
O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par 
ordenado que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No 
caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um subconjunto 
de B. 
Exemplos: 
 Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z} , e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma 
relação de A para B, uma vez que R é um subconjunto de A x B. Com respeito a esta 
relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz. O domínio de R é {1,3} e 
a imagem é {y,z}. 
 Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de 
igualdade, {(a,a); a ∈ A}, que é usualmente denotada por =. Essa relação é também 
chamada de identidade ou relação diagonal em A e será também denotado por δ. 
Atividade de Relação Binária 
Considerando a relação R = {(a, b) ∈ IN x IN ; a + 2 b = 6}, 
o domínio e a imagem de R–1 são respectivamente: 
a) IN e IN 
b) {0, 1, 2} e {2, 4, 6} 
c) {0, 1, 2, 3} e {0, 2, 4, 6} 
d) {0, 2, 4, 6} e {0, 1, 2, 3} 
e) {0, 1, 2, 3} e {0, 1, 2, 3} 
Para estar na relação R é necessário que a abscissa mais o dobro da ordenada seja 6. 
Assim, os elementos de R são: 
R = {(0, 3); (2, 2); (4, 1); (6, 0)} e, portanto R–1 = {(3, 0); (2, 2); (1, 4); (0, 6)}. 
 
Logo, o domínio é D(R–1) = {0, 1, 2, 3} e a imagem é Im(R–1) = {0, 2, 4, 6}. 
Alternativa "c". 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Subconjunto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_cartesiano
https://pt.wikipedia.org/wiki/Par_ordenado
INTRODUÇÃO DE FUNÇÃO 
Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único 
elemento de outro. O primeiro conjunto é chamado de domínio, e o segundo, 
contradomínio da função. 
 
DEFINIÇÃO DE NOÇÕES DE FUNÇÃO 
O professor de Matemática do 9º ano do ensino fundamental deve apresentar aos seus 
alunos as noções básicas de uma função, pois no ensino médio o aluno concluirá os 
estudos relacionados às funções. Então, devemos prepará-lo para os estudos mais 
complexos envolvendo tal conteúdo. 
Antes de ser apresentada em linguagem matemática, a ideia de função precisa ser 
trabalhada de forma intuitiva através de uma relação entre dois conjuntos. Um exemplo 
prático é a relação existente em um posto de gasolina entre a quantidade de litros de 
gasolina e o preço a pagar: 
 
Enfatize que existe uma relação lógica entre os dois conjuntos, o valor a ser pago depende 
da quantidade de litros de gasolina. Podemos perceber que o valor do litro da gasolina é 
R$2,50. Dizemos que o preço a pagar é dado em função da quantidade de litros. A 
linguagem matemática utilizada para expressar esse tipo de situação pode ser dada da 
seguinte maneira: 
 
 
Cada valor x de A corresponde a um único valor f(x) em B, dado pela função f. 
 
Demonstre a linguagem existente nas funções através de gráficos envolvendo os 
diagramas de flecha: domínio, contradomínio e imagem. 
 
Ressalte que A é o domínio, B é o contradomínio e C a imagem do conjunto A. 
Elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x. 
 
É importante dizer que para ser uma função, todos os elementos do domínio precisam 
estar associados a um único elemento do contradomínio, formando a imagem. Observe: 
 
 
Atividade de função 
Qual é o domínio da função y = √(x2 – 8x + 16)? 
 
Resposta: Sabendo que o radicando deve ser sempre um número não negativo, a função 
acima está definida para todo x real tal que x2 – 8x + 16 ≥ 0. Logo: 
x2 – 8x + 16 ≥ 0 
(x – 4)2 ≥ 0 
x – 4 ≥ 0 
x ≥ 4 
O domínio da função y = √(x2 – 8x + 16) é Df = {x R: x ≥ 4 }