Apostila1_KPQW431M3H

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱ 
 
AULA 10: GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Questões Comentadas 47 
3. Lista de Questões 108 
4. Gabarito 135 
5. Resumo 136 
 
Olá! 
Seja bem vindo à nossa décima aula. Hoje vamos os seguintes 
tópicos do seu edital: 
 
Formas geométricas básicas. Perímetros, área e volume de figuras 
geométricas. Relações trigonométricas. 
 
São conteúdos bastante extensos, motivo pelo qual precisaremos 
ser bem objetivos. Procure tentar entender e visualizar os assuntos 
tratados: quanto mais você entender, menos fórmulas precisará decorar! 
 Sem demora, vamos começar. Uma boa aula pra todos nós! 
 
1. TEORIA: 
 Os assuntos a serem tratados na aula de hoje são bastante 
interligados, motivo pelo qual resolvi colocá-los juntos em uma mesma 
aula. Começaremos tratando sobre conceitos de Geometria para, em 
seguida, avançarmos na Trigonometria. 
 
1.1 Ângulos: 
 Ângulo é a medida de uma abertura delimitada por duas semi-retas. 
Veja na figura abaixo o ângulo A, que é a abertura delimitada pelas duas 
semi-retas desenhadas: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲ 
 
 O ponto desenhado acima no encontro entre as duas semi-retas é 
denominado Vértice do ângulo. 
 Um ângulo é medido de acordo com a sua abertura. Dizemos que 
uma abertura completa (isto é, uma volta completa), como a vista na 
figura abaixo, mede 360 graus (360º): 
 
 Assim, aberturas inferiores a uma volta completa medirão valores 
entre 0 e 360 graus. Veja um exemplo: 
 
 O ângulo da figura acima mede 30 graus, que equivale a 1/12 de 
360 graus. Portanto, a soma de 12 ângulos iguais a este equivale a uma 
volta completa (360º). É importante você conhecer alguns ângulos muito 
comuns. 
Como 360o representam uma volta completa, 180o representam 
meia-volta, como você pode ver abaixo: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴ 
 
 Quando duas retas se cruzam, formam-se ângulos interessantes, 
que você também deve conhecer: 
 
 Note, na figura acima, que o vértice dos ângulos A, B, C e D é o 
mesmo (simbolizado pelo ponto). Os ângulos A e C são denominados 
ângulos opostos pelo vértice, e tem o mesmo valor. Da mesma forma, os 
ângulos B e D tem o mesmo valor, pois também são opostos pelo vértice: 
A = C 
B = D 
 A soma dos ângulos A e B é de 180o (ou seja, são suplementares), 
assim como a soma dos ângulos B e C, C e D, e D e A. 
 Da mesma forma, quando uma reta transversal (simbolizada por “r” 
na figura abaixo) cruza duas retas paralelas (“x” e “y”), formam-se 
ângulos interessantes: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵ 
 
 Note que os ângulos A e C são iguais (pois são opostos pelo 
vértice), assim como B = D, E = G e F = H. Observe ainda que A + B = 
180o (isto é, são suplementares). O mesmo ocorre com B+C, C+D, E+F 
etc. 
 Os ângulos A e E possuem a mesma medida, sendo chamados de 
ângulos correspondentes. Veja que o mesmo ocorre entre C e G, B e F, D 
e H. 
 Os ângulos A e H somam 180o (são suplementares), sendo 
chamados de ângulos colaterais externos (estão do mesmo lado da reta r, 
e externamente às retas x e y). O mesmo ocorre entre B e G. 
 D+E = 180o também, assim como C+F. Estes são chamados de 
ângulos colaterais internos (estão do mesmo lado da reta r, e 
internamente às retas x e y). 
 E+F e D+C também são suplementares (somam 180o), sendo 
chamados de ângulos alternos internos (estão em lados alternados da 
reta r, e internamente às retas x e y). 
 Por fim, A+B e G+H somam também 180o e são chamados ângulos 
alternos externos. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶ 
 Uma outra unidade de medida de ângulos é chamada de “radianos”. 
Dizemos que 180o correspondem a  (“pi”) radianos. Com esta 
informação em mãos, conseguimos converter qualquer outro ângulo de 
graus para radianos, ou vice-versa, utilizando uma regra de três simples. 
Exemplificando, vamos converter 30o para radianos: 
180o ----------------------------------------  radianos 
30o---------------------------------------- X radianos 
 Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 
180 30
30 3
180 18
 radianos
6
X
X
X

 

  
 
 

 
 Da mesma forma, você verá que 360 2 radianoso  . 
 
1.2 Medidas de comprimento, área e volume 
 Uma unidade de medida é uma quantidade de uma grandeza física 
que é usada como um “padrão” para a medida de outras quantidades da 
mesma grandeza. Por exemplo, o “metro” é uma quantidade específica da 
grandeza física “comprimento”, sendo utilizado para medir o comprimento 
de outros corpos. Para cada grandeza física, o Sistema Internacional de 
Unidades define uma unidade padrão de medida. 
 Para efetuar os cálculos de comprimentos, áreas e volumes que 
faremos ao longo desta aula, você precisa conhecer: 
- qual a unidade padrão de medida daquela grandeza no Sistema 
Internacional de Unidades; 
- quais os principais múltiplos e submúltiplos da unidade padrão de 
medida; 
- como converter uma medida de um múltiplo para outro. 
1.2.1 Medidas de comprimento 
 A unidade padrão de medida de comprimento é o metro, 
representado pela letra m. Um metro é dividido em 10 decímetros, que 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰ 
facilmente. Veja que, como 1000dm3 = 1 m3, podemos dizer que 1000 
litros = 1m3. 
 
1.3 Geometria plana 
 A geometria plana é aquela que trabalha figuras em duas 
dimensões, isto é, em um plano. Veremos alguns conceitos básicos e, a 
seguir, as principais figuras geométricas planas que podem cair em sua 
prova. 
 Chamamos de Polígono qualquer figura geométrica fechada formada 
por uma série de segmentos de reta. Veja abaixo um exemplo de 
polígono: 
 
Note que uma figura como esta abaixo, apesar de formada por uma 
série de segmentos de reta, não é um polígono, pois não é fechada: 
 
Um polígono qualquer possui os seguintes elementos: 
- lados: são os segmentos de reta que formam o polígono (a figura 
abaixo, um pentágono, possui 5 segmentos de reta, isto é, 5 lados). 
- vértices: são os pontos de junção de dois segmentos de reta 
consecutivos. Estão marcados com letras maiúsculas na figura abaixo. 
- diagonais: são os segmentos de reta que unem dois vértices não 
consecutivos, isto é, não devemos considerar que os lados do polígono 
são também diagonais. Na figura abaixo, estão pontilhados: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱ 
 
 Além disso, ainda temos: 
- ângulos internos: são os ângulos formados nos vértices, entre dois lados 
consecutivos, na região interna ao polígono. Veja-os no triângulo abaixo: 
 
 
- ângulos externos: são os ângulos formados nos vértices, entre um lado 
e o prolongamento do outro lado, na região externa ao polígono. Veja um 
exemplo de ângulo externo: 
 
É bom você saber que: 
- o número de lados de um polígono é sempre igual ao número de 
vértices. Veja que o triângulo possui 3 lados e 3 vértices, bem como o 
pentágono possui 5 lados e 5vértices (o mesmo acontecendo com aquele 
polígono de 5 lados que fizemos no início deste tópico). 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヲ 
- se um polígono possui n vértices (ou lados), então o número de 
diagonais é dado pela fórmula abaixo: 
( 3)
2
n nD   
 Exemplificando, veja que o triângulo (n = 3) não tem nenhuma 
diagonal, e o pentágono (n = 5) possui 5 diagonais. 
 
- a soma do ângulo interno e do ângulo externo de um mesmo vértice é 
igual a 180º 
- a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é: 
( 2) 180oS n   
 Usando a fórmula acima, você pode ver que no triângulo (n = 3) a 
soma dos ângulos internos é 180º, e nos quadriláteros (polígonos de 4 
lados) esta soma é 360º. 
 Os polígonos podem ser classificados em côncavos ou convexos. 
Abaixo temos, da esquerda para a direita, um polígono convexo e outro 
côncavo, ambos com 5 lados: 
 
 Veja que o polígono convexo possui todos os ângulos internos 
inferiores a 180º. Já o polígono côncavo possui pelo menos um ângulo 
interno maior que 180º (marquei-o na figura). Em outras palavras, o 
polígono côncavo possui uma ponta “para dentro”, o que não ocorre nos 
polígonos convexos. 
 
Chamamos de polígono regular aquele que possui todos os lados 
iguais e todos os ângulos internos iguais (isto é, congruentes). O polígono 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱン 
abaixo é chamado de Hexágono regular. Ele possui 6 lados iguais e 6 
ângulos internos também iguais: 
 
 Em um polígono regular como este, é fácil calcular o valor de um 
ângulo interno. Basta lembrar que a soma dos ângulos internos é 
( 2) 180oS n   . Como neste caso n = 6, então S = 720º. Como temos 6 
ângulos internos iguais, basta dividir 720º por 6 e veremos que cada 
ângulo interno mede 120º. Além disso, é fácil calcular o valor de cada 
ângulo externo. Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo é 
180º, então cada ângulo externo deve medir 60º. 
 Finalizando essa parte introdutória, é válido você conhecer os 
nomes dos principais polígonos, bem como o número de lados de cada um 
deles: 
Nº de lados Nome Nº de lados Nome 
3 Triângulo 9 Eneágono 
4 Quadrilátero 10 Decágono 
5 Pentágono 11 Undecágono 
6 Hexágono 12 Dodecágono 
7 Heptágono ... ... 
8 Octógono 20 Icoságono 
 
 Agora vamos conhecer as principais figuras geométricas que podem 
cair em sua prova. Veremos também como calcular a área das mesmas. A 
área de uma figura nada mais é que o espaço na superfície por ela 
ocupado. 
Quanto ao perímetro, basta você saber o conceito: trata-se da soma 
dos comprimentos dos lados da figura. Faremos uma ressalva quando 
estivermos trabalhando com as circunferências. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヴ 
 
a) Retângulo: chamamos de paralelogramo qualquer quadrilátero 
(polígono de 4 lados) que possua os lados opostos paralelos*. O retângulo 
é um paralelogramo especial, onde, além dos lados opostos serem 
paralelos, todos os ângulos internos são iguais a 90º, isto é, são ângulos 
retos (de onde vem o nome retângulo). Chamamos o lado maior de base, 
e o lado menor de altura. Veja-o abaixo: 
 
*Obs.: você lembra que dois segmentos de reta são paralelos quando 
nunca se cruzam, isto é, seguem lado a lado “até o infinito”? 
 
A área do retângulo é dada pela multiplicação de sua base (b) pela 
sua altura (h), conforme a fórmula abaixo: 
A = b x h 
 Num retângulo com 10 centímetros de lado e 3 centímetros de 
altura, a área será: 
210 3 30A cm cm cm   
 Note que, assim como multiplicamos o número 10 pelo 3, 
multiplicamos a unidade de comprimento “cm” pela unidade de 
comprimento “cm”, chegando à 2cm (centímetros quadrados), que neste 
caso é a unidade de área. Se a base e altura estiverem em unidades de 
comprimento diferentes, será preciso colocá-las na mesma unidade de 
medida antes de efetuar o cálculo da área. 
 
b) Quadrado: trata-se de um retângulo onde a base e a altura tem o 
mesmo comprimento, isto é, todos os lados do quadrado tem o mesmo 
comprimento, que chamaremos de L. Veja: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヶ 
 Para calcular a área de um trapézio, é preciso saber também a sua 
altura (h), que é a distância entre a base menor e a base maior. Veja-a 
pontilhada na figura abaixo: 
 
 Conhecendo b, B e h, podemos calcular a área do trapézio através 
da fórmula abaixo: 
 
2
b B h
A
 
 
 Vamos calcular a área do trapézio deste trapézio (m representa a 
unidade de comprimento metro): 
 
 Veja que b = 3m, B = 4m e h = 2m. Utilizando a fórmula, temos: 
  23 4 2 14 7
2 2
A m
 
   
d) Losango: Trata-se de um polígono com 4 lados de mesmo 
comprimento. Veja abaixo: 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΑ 
 
 O quadrado é um caso particular de losango, onde todos os ângulos 
internos são iguais a 90º. 
 Para calcular a área de um losango, precisamos conhecer as suas 
duas diagonais: maior (D) e menor (d). Veja-as na figura a seguir: 
 
 Assim, a área do losango é dada pela fórmula abaixo: 
2
D dA  
 
e) Paralelogramo: como já disse acima, o paralelogramo é um 
quadrilátero com os lados opostos paralelos entre si. Esses lados opostos 
possuem o mesmo tamanho. Veja um exemplo: 
 
 A área do paralelogramo também é dada pela multiplicação da base 
pela altura: 
A = b x h 
 Repare que a altura não é igual ao lado menor (ela só será igual no 
retângulo, que é um caso especial de paralelogramo). Ela é o tamanho do 
segmento que une os dois lados opostos (b), sendo perpendicular* a eles. 
*Obs.: aqui vale a pena lembrar que dois segmentos de reta são 
perpendiculares quando se cruzam formando ângulos de 90º. 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΒ 
f) Triângulo: Trata-se de uma figura geométrica com 3 lados. Veja-a 
abaixo: 
 
 Para calcular a área do triângulo, é preciso conhecer a sua altura 
(h): 
 
 O lado “b”, em relação ao qual a altura foi dada, é chamado de 
base. Assim, calcula-se a área do triângulo utilizando a seguinte fórmula: 
2
b hA  
 Temos mais algumas considerações a fazer em relação ao triângulo. 
Primeiramente, lembre-se que a soma dos ângulos internos de um 
triângulo é 180o: 
 
 Assim, A + B + C = 180o. 
Existem os seguintes tipos de triângulos: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヰ 
- Triângulo isósceles: é o triângulo que tem dois lados iguais. 
Consequentemente, os 2 ângulos internos da base são iguais 
(simbolizados na figura pela letra A): 
 
- Triângulo escaleno: é o triângulo que possui os três lados com medidas 
diferentes, tendo também os três ângulos internos distintos entre si: 
 
 Você precisa conhecer um tipo particular de triângulo, que é aquele 
que possui um ângulo de 90º, isto é, um ângulo reto. Este é o triângulo 
retângulo. Veja-o no desenho abaixo: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴヲヱ 
 
 O ângulo marcado com um ponto é o ângulo reto (90º). Oposto a 
ele temos o lado “c” do triângulo, que chamaremos de hipotenusa. Já os 
lados “a” e “b”, que são adjacentes ao ângulo reto, são chamados de 
catetos. O Teorema de Pitágoras nos dá uma relação entre a hipotenusa e 
os catetos, dizendo que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da hipotenusa: 
2 2 2a b c  
 Para finalizar, vejamos o que é conhecido como “semelhança de 
triângulos”. Triângulos semelhantes são aqueles que possuem os mesmos 
ângulos internos (A, B e C). Podem ser de qualquer tipo: retângulos ou 
não; equiláteros, isósceles ou escalenos. Se temos 2 triângulos 
semelhantes, podemos afirmar que os seus lados são proporcionais. Veja 
os dois triângulos abaixo: 
 
 Esses triângulos são semelhantes se os ângulos internos forem 
iguais, isto é, se A = D, B = E e C = F. Se isso ocorrer, podemos montar 
proporções entre os lados correspondentes dos dois triângulos. Veja: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヲ 
a b c
d e f
  
 O lado “a” do primeiro triângulo pode também ser chamado de BC , 
pois os ângulos B e C estão nas extremidades do lado “a”. Da mesma 
forma, o lado “d” do segundo triângulo pode ser chamado de EF . 
Portanto, a proporção acima também pode ser escrita na forma abaixo: 
BC AC AB
EF DF DE
  
 Antes de passar para a próxima figura geométrica, vamos conhecer 
algumas relações métricas presentes no triângulo retângulo: 
 
 Observe no triângulo acima que h é a altura do triângulo ABC, e que 
o lado a foi dividido em duas partes (m e n) pela altura h. Neste 
triângulo, acima, você deve saber as seguintes fórmulas, que podem 
auxiliar na resolução de algum exercício: 
2
2
2
h m n
b m a
c n a
b c a h
 
 
 
  
 
 Não vou demonstrar essas fórmulas aqui para não estender a aula 
demasiadamente. Entretanto, todas essas fórmulas podem ser obtidas 
através da comparação de 2 triângulos semelhantes: ACH e ABH. 
 Para finalizar o estudo de triângulos, é bom voce saber a condição 
de existência de um triângulo. Se um triângulo tem lados de comprimento 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲン 
A, B e C, o comprimento do lado maior deve ser inferior à soma dos lados 
menores. Ex.: se alguém nos perguntasse se existe um triângulo com 
lados 5cm, 10cm e 22cm, diríamos que não, pois 22cm é maior que 5cm 
+ 15cm. 
 Voltaremos a falar de triângulos retângulos no estudo da 
Trigonometria, mais adiante. 
g) Círculo: em um círculo (ou circunferência), todos os pontos se 
encontram à mesma distância do centro. Essa distância é chamada de 
raio, e na figura abaixo está simbolizada pela letra r: 
 
 A área de uma circunferência é dada pela fórmula abaixo: 
2A r  
 Nesta fórmula, a letra  (“pi”) representa um número irracional que 
é, aproximadamente, igual a 3,14. Exemplificando, vamos calcular a área 
de um círculo com 10 centímetros de raio: 
2
2
2
(10 )
100
A r
A cm
A cm



 
 
 
 
 Substituindo  por 3,14, temos: 
2
2
3,14 100
314
A cm
A cm
 

 
 Já o perímetro de uma circunferência, isto é, o comprimento da 
circunferência, é dado por: 
2P r   
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヴ 
 Portanto, vamos calcular o perímetro daquela circunferência com 
10cm de raio: 
2
2 (3,14) (10 )
6,28 10
62,8
P r
P cm
P cm
P cm
  
  
 

 
 
 O diâmetro (D) de uma circunferência é um segmento de reta que 
liga um lado ao outro da circunferência, passando pelo centro. Veja que o 
diâmetro mede o dobro do raio: 
 
 As fórmulas da área e do comprimento da circunferência podem ser 
escritas em função do diâmetro, ao invés do raio. Como r = D/2, temos: 
2
4
DA   
P D  
 Imagine dois pontos quaisquer de uma circunferência, como A e B 
da figura abaixo. Veja que liguei-os ao centro da circunferência através 
dos segmentos de reta pontilhados, formando um ângulo entre estes 
segmentos: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヵ 
 
 Repare que delimitamos uma certa região do círculo, compreendida 
entre as linhas pontilhadas. Uma região como esta é chamada de setor 
circular. Veja que destaquei o ângulo ACB (que simbolizei com a letra 
minúscula “a”). Ele é o ângulo central deste setor circular. Com base 
neste ângulo, conseguimos determinar a área do setor circular e o 
comprimento do segmento de círculo compreendido entre os pontos A e 
B. Para isso, vamos dizer que o raio deste círculo é “r”. 
 Sabemos que o ângulo central de uma volta completa no círculo é 
360º. E também sabemos a área desta volta completa, que é a própria 
área do círculo( 2r  ). A proporção abaixo nos permite calcular a área do 
setor circular, em função do ângulo central “a”: 
360º -------------------- 2r  
 a ------------------------- Área do setor circular 
 Portanto: 
2Área do setor circular
360o
a r  
 Assim, se temos um setor circular com ângulo central igual a 180º, 
a área deste setor será: 
2
2180Área do setor circular
360 2
o
o
rr    
 Isto é, a área do setor circular com ângulo central igual a 180º é 
exatamente a metade da área do círculo inteiro. 
 De forma análoga, sabemos que o comprimento da circunferência 
inteira é 2 r . Portanto, o comprimento do segmento circular entre os 
pontos A e B, cujo ângulo central é “a”, é obtido pela proporção abaixo: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヶ 
360º -------------------- 2 r 
 a ------------------------- Comprimento do 
setor circular 
 Logo, 
Comprimento do setor circular 2
360o
a r  
 Portanto, se a = 90º, então o comprimento do setor circular será 
igual a 
2
r , que é exatamente um quarto do comprimento total da 
circunferência. 
 Sobre circunferências, saiba ainda que denominamos Corda o 
segmento de reta qualquer ligando dois pontos da circunferência. O 
segmento AB da figura abaixo é um exemplo de corda: 
 
h) Posições relativas entre figuras planas: 
 
 Reta secante e tangente: 
Quando temos uma reta e um círculo, pode ser que esta reta passe 
pelo círculo dividindo-o em duas partes, e definindo uma corda. Trata-se 
de uma reta secante. Podemos ainda ter uma reta que passa por um 
círculo tocando-o em um único ponto. Neste caso, temos uma reta 
tangente ao círculo. Veja uma reta secante e outra tangente no desenho 
abaixo: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΑ 
 
 Note que a reta tangente forma ângulos de 90º com o raio R da 
circunferência no ponto de encontro: 
 
 Circunferências concêntricas: 
 Dizemos que duas circunferências são concêntricas quando 
compartilham o mesmo ponto central. Veja isso na figura abaixo: 
 
 Figuras inscritas e circunscritas: 
 
 Observe a figura abaixo: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΒ 
 
 
Note que este é o maior quadrado que podemos ter dentro deste 
círculo, afinal ele toca as bordas do círculo.Neste caso, dizemos que o 
quadrado está inscrito no círculo. Também podemos dizer que o círculo 
está circunscrito ao quadrado, uma vez que este é o menor círculo capaz 
de envolver completamente o quadrado. 
Assim, dizemos que um polígono está inscrito em outro quando 
encontra-se completamente na região interna deste outro polígono, com 
os seus vértices tocando no polígono que o circunscreve. Quando temos 
polígonos inscritos/circunscritos, é fácil encontrar alguma relação entre as 
dimensões dos dois. Repare que neste caso, o diâmetro do círculo é 
exatamente igual à diagonal do quadrado: 
 
 
Portanto, se soubermos que o diâmetro do círculo é igual a D, 
podemos calcular o valor do lado L do quadrado. A diagonal do quadrado 
forma, junto de outros dois lados, um triângulo retângulo: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヰ 
todo. Essas arestas se unem em “cantos” que denominamos de vértices. 
Esta figura acima possui exatamente 8 vértices. 
 Chamamos de faces deste paralelepípedo a região compreendida 
entre quatro arestas, formando um plano. Repare que este paralelepípedo 
possui, ao todo, 6 faces. Existe uma relação, chamada relação de Euler, 
que diz que, para qualquer poliedro convexo: 
Vértices + Faces = Arestas + 2 
 Neste paralelepípedo, temos: 
8 + 6 = 12 + 2 
 Chamamos de volume a quantidade de espaço ocupada por uma 
figura tridimensional como esta. O volume de um paralelepípedo, e de 
várias outras figuras que analisaremos, é dado pela multiplicação entre a 
área da base (Ab) e a altura (H): 
Volume = Ab x H 
 A base deste paralelepípedo é aquela face perpendicular à altura. 
Neste caso, tanto a face superior quanto a face inferior poderiam ser 
consideradas “bases”. Repare que esta base é um retângulo com 
dimensões C e L. Portanto, a área da base é simplesmente a área do 
retângulo: Ab = C x L 
 Assim, o volume do paralelepípedo é simplesmente a multiplicação 
das suas três dimensões: 
V = C x L x H 
 No cálculo do volume, lembre-se sempre que todas as dimensões 
devem estar na mesma unidade de comprimento. Isto é, se temos C = 
1m, L = 10cm e H = 0,2m, devemos converter a largura para L = 0,1m 
para depois efetuar a multiplicação. O resultado terá a unidade m3 (metro 
cúbico). 
 Veja ainda que podemos calcular facilmente a área da superfície 
deste paralelepípedo. Ela nada mais é que a soma das áreas das faces. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヱ 
Todas as faces são retangulares, entretanto as duas faces das 
extremidades possuem área igual a L x H, outras duas faces possuem 
área igual a C x H, e outras duas possuem área igual a C x L. Se um 
exercício pedisse “qual a área de papel de presente que precisamos para 
embrulhar uma caixa de sapatos com dimensões C, H e L”, bastaria 
calcular esta área superficial. 
b) Cubo: o cubo nada mais é que um paralelepípedo onde todas as 
arestas tem a mesma medida. Isto é, C = L = H. Veja o cubo abaixo, 
cujas arestas medem A: 
 
 Repare que este cubo possui 12 arestas, 8 vértices e 6 faces, assim 
como o paralelepípedo. O seu volume também é dado pela multiplicação 
da área da base pela altura, de modo que teremos: 
Volume = Ab x H = (A x A) x A = A3 
c) Cilindro: veja na figura abaixo um cilindro: 
 
 Repare que o cilindro possui uma base circular de raio R, e uma 
altura H. Portanto, a área da base do cilindro é: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヲ 
2Ab R 
 O volume do cilindro é dado pela multiplicação da área da base pela 
altura: 
V Ab H  
 A área total do cilindro é formado pela soma da área da base (que 
deve ser contada duas vezes, afinal temos esta área em cima e em baixo 
do cilindro) e a área lateral. 
 Repare que se “desenrolarmos” a área lateral e “abrimos” todo o 
cilindro, temos o seguinte: 
 
 O comprimento C do retângulo formado nada mais é que o 
comprimento da circunferência da base, isto é, 2C R . 
 Assim, a área lateral do cilindro é: 
2lateralA HxC Hx R  
 A área total do cilindro será simplesmente: 
Área total = 2 x Abase + Alateral 
 
d) Cone: O cone é uma figura com uma base circular, assim como o 
cilindro, porém com uma ponta na outra extremidade. Veja um exemplo: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンン 
 
 Neste cone, a área da base é simplesmente a área do círculo de raio 
R: 
2Ab R 
 Dado que a altura do cilindro é H, então o seu volume é: 
3
Ab HV  
 Repare para esse detalhe: aqui o volume não foi obtido pela simples 
multiplicação da área da base pela altura – foi preciso dividir esse produto 
por 3. Isso ocorre nas duas figuras geométricas com “pontas”: o cone e o 
prisma (que veremos a seguir). 
 No cone, chamamos de geratriz o segmento de reta que liga a 
ponta até a extremidade da base. Veja-a marcada pela letra “G” na figura 
acima. 
 Perceba que o raio da base R, a altura H e a geratriz G formam um 
triângulo retângulo. Portanto, fica fácil calcular a geratriz com auxílio do 
teorema de Pitágoras: 
G2 = R2 + H2 
 Quando “abrimos” um cone, temos a figura a seguir: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヴ 
 
 Veja que a área lateral do cone é um setor circular de raio igual à 
geratriz G. O comprimento deste setor circular (marcado em vermelho na 
figura acima) é igual ao comprimento da circunferência da base, isto é, 
2C R . Assim, podemos calcular a área deste setor circular a partir da 
seguinte proporção: 
 
Área do círculo de raio G --------------------------- Comprimento do círculo 
de raio G 
Área do setor circular --------------------------------- Comprimento do 
setor circular 
 
Isto é, 
 
  G2 ---------------------------- 2 G 
Área lateral do cone --------------------------2 R 
 
 Portanto, podemos dizer que: 
Área lateral do cone =  xGxR 
e) Pirâmide: 
 Veja abaixo uma pirâmide de base triangular e outra de base 
retangular: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヵ 
 
 Em ambos os casos, o volume da pirâmide é dado por: 
3
Ab HV  
 Como você já sabe calcular a área dessas duas bases, não entrarei 
em detalhes aqui. 
 Saiba ainda que chamamos de apótema a altura de cada uma das 
faces laterais, que são triângulos. 
Por fim, a área superficial é obtida pela soma da área da base e das 
áreas das faces laterais. 
 
f) Prisma: 
 Veja abaixo dois exemplos de prisma: um com base triangular e 
outro com base retangular: 
 
 Observe que as faces laterais de ambos são retângulos, cuja área é 
facilmente calculada. Além disso, você já sabe calcular a área da base de 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヶ 
cada um deles. Assim, você consegue calcular facilmente a área total de 
um prisma – mas não se esqueça de somar a área da base duas vezes, 
afinal temos essa área na extremidade inferior e superior das figuras. 
 O volume do prisma é dado pela multiplicação da área da base pela 
altura: 
V = Ab x H 
g) Esfera: a esfera é uma figura espacial formada por todosos pontos 
que se encontram à distância R de um ponto central C: 
 
 O volume de uma esfera de raio igual a R é: 
V = 4 R3/3 
 A área da superfície da esfera é: 
A = 4 R2 
 
1.5 Trigonometria 
 A trigonometria trata das relações entre comprimentos de dois 
lados de um triângulo retângulo. Como você pode perceber, nos tópicos 
anteriores nós já tratamos sobre algumas dessas relações, ao explorar a 
semelhança de triângulos e o teorema de Pitágoras. 
 Veja o triângulo retângulo abaixo: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΑ 
 
 Além do ângulo reto temos os ângulos a e b. Além disso, temos os 
lados A, B e C, onde C é a hipotenusa e A e B são os catetos. Assim, 
podemos definir: 
- Seno de um ângulo: é a razão entre o cateto oposto a este ângulo e 
a hipotenusa: 
 ( ) Cateto OpostoSen Ângulo
Hipotenusa
 
Isto é, o seno do ângulo a é a razão entre A e C: sen(a) = A / C. De 
maneira análoga, podemos dizer que sen(b) = B / C. 
 
- Cosseno de um ângulo: é a razão entre o cateto adjacente a este 
ângulo e a hipotenusa. 
 ( ) Cateto AdjacenteCos Ângulo
Hipotenusa
 
Repare que o cateto B é adjacente ao ângulo a. Portanto, cos(a) = 
B / C, e cos (b) = A / C, uma vez que o cateto A é adjacente ao ângulo b. 
 
- Tangente de um ângulo: é a razão entre o cateto oposto e o cateto 
adjacente a um determinado ângulo. 
 ( )( )
 ( )
Cateto Oposto Sen ÂnguloTan Ângulo
Cateto Adjacente Cos Ângulo
  
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΒ 
Assim, como A é oposto ao ângulo a e B é adjacente a este mesmo 
ângulo, então tan(a) = A / B. Já tan(b) = B / A. Perceba ainda que tan(a) 
= sen(a) / cos(a), e tan(b) = sen(b) / cos(b). 
 
Definimos ainda proporções derivadas dessas, que são: 
- cossecante: inverso do seno. Isto é, cossec(a) = 1 / sen(a) 
- secante: inverso do cosseno. Assim, sec(a) = 1 / cos(a) 
- cotangente: inverso da tangente, ou seja, cot(a) = 1 / tan(a) 
Pelo que vimos acima, repare que, se a e b são ângulos agudos de 
um mesmo triângulo retângulo: 
sen(a) = cos(b) 
sen(b) = cos(a) 
tan(a) = 1 / tan(b) 
Como sabemos que os ângulos a, b e 90º somam 180º (por serem 
os ângulos internos de um triângulo), então b = 90º - a. Isto nos permite 
perceber que: 
sen(a) = cos(90º - a) 
tan(a) = 1 / tan(90º - a) 
 
 Visto isso, podemos definir uma relação fundamental da 
trigonometria. Sendo sen2(a) o valor do quadrado do seno de a, e cos2(a) 
o valor do quadrado do cosseno de a, então: 
sen2(a) + cos2(a) = 1 
 
 Isto vale para qualquer ângulo! Não demonstraremos essa 
propriedade para não perdermos tempo. Mas grave-a, pois ela será 
bastante utilizada. Antes de avançarmos, vejamos um exemplo numérico: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΓ 
 
 A hipotenusa é lado de medida 5. O cateto de medida 3 é oposto ao 
ângulo a e adjacente ao ângulo b. Já o cateto de medida 4 é oposto ao 
ângulo b e adjacente ao ângulo a. Portanto, 
sen(a) = 3 / 5 = 0,6 
cos(a) = 4 / 5 = 0,8 
tan(a) = 3 / 4 = 0,75 
sen(b) = 4 / 5 = 0,8 
cos(b) = 3 / 5 = 0,6 
tan(b) = 4 / 3 = 1,333… 
cossec(a) = 1 / sen(a) = 5 / 3 = 1,666… 
sec(a) = 1 / cos(a) = 5 / 4 = 1,25 
cot(a) = 1 / tan(a) = 4 / 3 = 1,333... 
 
 Como você pode ver: 
sen(a) = cos(b) = cos (90º - a) = 0,6 
cos(a) = sen(b) = sen(90º - a) = 0,8 
tan(a) = 1 / tan(b) = 1 / tan(90º - a) = 0,75 
 
Observe ainda que a nossa propriedade fundamental é respeitada: 
sen2(a) + cos2(a) = 0,62 + 0,82 = 0,36 + 0,64 = 1 
 
 O círculo trigonométrico é uma ferramenta didática utilizada para 
estender os conceitos vistos até aqui para todos os ângulos (e não apenas 
entre 0 e 90º, como temos em um triângulo retângulo). Veja abaixo um 
desenho deste círculo: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヰ 
 
 Como você pode ver, trata-se de um círculo de raio unitário (r = 1). 
O ângulo a, formado entre o eixo horizontal e o segmento de reta em 
vermelho, no sentido anti-horário, tem o seu cosseno marcado no eixo 
horizontal e o seu seno marcado no eixo vertical. Podemos ainda incluir 
um terceiro eixo neste desenho, para representar o valor da tangente do 
ângulo a. Veja: 
 
 Repare que o cos(a) encontra-se entre a origem dos eixos (0) e 1. 
Isto é, este cosseno tem valor positivo, entre 0 e 1. O mesmo ocorre com 
sen(a). Entretanto, observe o que ocorreria se estivéssemos trabalhando 
com o ângulo a = 135º: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヱ 
 
 Neste caso, o seno continua tendo sinal positivo, porém o cosseno 
toca na parte negativa (entre 0 e –1) do eixo horizontal, tendo por isso 
valor negativo. Repare ainda que o ângulo a = 225º teria seno e cosseno 
negativos: 
 
 E o ângulo a = 315º teria seno negativo e cosseno positivo: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΑ 
 
1. FGV – TJ/AM – 2013) Abel, Bruno, Carlos, Diogo, Elias e Fernando 
estão, respectivamente, sobre os vértices A, B, C, D, E e F de um 
hexágono regular, dispostos nessa ordem e no sentido horário. Sejam a, 
b, c, d e e as distâncias de Fernando, respectivamente, a Abel, Bruno, 
Carlos, Diogo e Elias, então é correto afirmar que 
(A) a = b = c = d =e 
(B) a < b < c < d < e = 2a 
(C) a = e < b= d < c = 2a 
(D) a = b < d= e < c = 2a 
(E) a = c < b= d < e = 2a 
RESOLUÇÃO: 
 Veja na figura abaixo o hexágono, e as distâncias de Fernando a 
cada um dos colegas. Repare que “a” e “e” são lados do hexágono, e “b”, 
“c” e “d” são diagonais do hexágono. A maior delas é “c”, e “b” e “d” são 
iguais: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΒ 
 
 
 Portanto, temos a ordem a = e < b = d < c. Isso já nos permitiria 
marcar a alternativa C. Mas veja que ela termina afirmando que c = 2a. 
Para comprovarmos isso, basta observar que um hexágono regular é 
formado por 6 triângulos equiláteros: 
 
 
 Na figura acima fica fácil ver que o segmento “c” é formado por 2 
segmentos de medida igual a “a”. 
Resposta: C 
 
2. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) A razão entre a área e o perímetro de 
uma circunferência de 
raio R vale: 
A) R/ 
B)  /2 
C)  R/2 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΓ 
D) 2R 
E) R/2 
RESOLUÇÃO: 
 A área de uma circunferência é  R2, enquanto o seu comprimento 
(perímetro) é de 2 R. 
 Assim, a razão entre a área e o perímetro é: 
Área/Perímetro = ( R2) / (2 R) = R/2 
Resposta: E 
 
 
3. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Um programa de computador foi 
executado durante 2 horas, 20 minutos e 40 segundos. O tempo total, em 
segundos, dessa execução correspondeu a: 
A) 5840 
B) 6420 
C) 7280 
D) 8440 
E) 9260 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que 2 horas correspondem a 2 x 60 minutos = 120 
minutos que, por sua vez, correspondem a 120 x 60 segundos = 7200 
segundos. 
 Já 20 minutos correspondem a 20 x 60 = 1200 segundos. 
 Assim, 2horas, 20 minutos e 40 segundos correspondem a: 
7200 +1200 + 40 = 8440 segundos 
Resposta: D 
 
4. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Observe o triângulo a seguir: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヰ 
 
O ângulo g vale: 
A) 30o 
B) 35o 
C) 40o 
D) 45o 
E) 50o 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui basta lembrar que a soma dos ângulos internos de um 
triângulo é igual a 180 graus. Isto é, 
180 = 60 + 75 + g 
g = 180 – 60 – 75 = 45º 
Resposta: D 
5. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Uma piscina com 5 metros de 
comprimento, 2 metros de largura e 1 metro de altura possui uma 
capacidade total de armazenamento de água, em litros, equivalente a: 
A) 500 
B) 1.000 
C) 2.000 
D) 5.000 
E) 10.000 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que esta piscina corresponde a um paralelepípedo, cujo 
volume é dado pela multiplicação de suas dimensões: 
V = 5 x 2 x 1 = 10m3 
 
 Para converter para litros, basta lembrar que 1 litro = 1 dm3. 
Portanto, 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヴ 
 
O volume de água, quando seu nível atinge 6 cm de altura, é igual a 96  
cm3. Quando totalmente cheio, o volume da água é igual a 178  cm3. 
Desse modo, é correto afirmar que R e r medem, em centímetros, 
respectivamente, 
a) 4,0 e 2,0. 
b) 4,0 e 2,5. 
c) 5,0 e 3,0. 
d) 6,25 e 4,0. 
e) 6,25 e 4,5. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe o cilindro com raio da base igual a R e altura igual a 6cm. 
O seu volume é de 96  cm3, ou seja, 
2 6Volume R  
296 6R   
296 6R  
216 R 
4R cm 
 
 O volume total é a soma do volume dos dois cilindros, ou seja, 
 
 
Volume total = Volume do cilidro pequeno + Volume do cilindro grande 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵΑ 
12km--------------- TB 
 
TB = 12 x 1 / 50 = 0,24 hora 
 Para obter os tempos em minutos, basta multiplicarmos por 60 
(pois temos 60 minutos em 1 hora). Logo, 
TA = 0,282 x 60 = 16,92 minutos 
TB = 0,24 x 60 = 14,4 minutos 
 
 A diferença de tempos foi de 16,92 – 14,4 = 2,52 minutos 
(aproximadamente 2,6). 
Resposta: E 
 
12. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Dois carros partem no 
mesmo instante, das cidades Campo Verde e Porto Grande, com destino a 
Vitória do Sul, pelo caminho mais curto. 
 
Considerando que eles mentêm a mesma velocidade, é correto afirmar 
que chegará primeiro e a distância que o outro carro estará nesse 
momento da cidade de destino são, respectivamente, 
a) carro 2 e 24 km. 
b) carro 2 e 22 km. 
c) carro 1 e 20 km. 
d) carro 1 e 22 km. 
e) carro 2 e 20 km. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵΒ 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos usar o teorema de pitágoras para encontrar as distâncias: 
 
 
Carro 1: 
Hipotenusa2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2 
distância2 = (60)2 + (25)2 
distância2 = 3600 + 625 
distância = 65km 
 
Carro 2: 
Hipotenusa2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2 
distância2 = (27)2 + (36)2 
distância2 = 729 + 1296 
distância = 45km 
 
 O carro 2 chegará primeiro, pois vai percorrer uma distância 20km 
menor (65 – 45 = 20). 
Resposta: E 
 
13. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Renata estava 
organizando um evento e calculou que seriam necessários 150 copos, de 
200 mL, de suco. No mercado, havia duas marcas diferentes do mesmo 
suco, sendo que uma era vendida, em lata de 350 mL, por R$ 3,85 e 
outra, em garrafa de 2 L, por R$ 21,00. Renata comprou o suco da marca 
mais barata e gastou 
(A) R$ 307,00. 
(B) R$ 330,00. 
(C) R$ 326,00. 
(D) R$ 315,00. 
(E) R$ 300,00. 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵΓ 
 Podemos calcular o preço de um litro de cada suco usando regras 
de três simples: 
- suco em lata: 
0,350 litro -------------- 3,85 reais 
1 litro --------------------- P 
 
P x 0,350 = 1 x 3,85 
P = 11 reais 
- suco em garrafa: 
2 litros -------------- 21 reais 
 1 litro ---------------- P 
 
P x 2 = 1 x 21 
P = 10,50 reais 
 
 Portanto, o suco mais barato é aquele em garrafa. O volume 
necessário é de 150 copos de 200mL, ou seja, de 0,2 litros, totalizando: 
Volume = 150 x 0,2 = 30 litros 
 
 Como 1 litro custa 10,50 reais, então 30 litros custam 30 x 10,50 = 
315 reais. 
Resposta: D 
 
14. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Para elaborar um 
desenho gráfico, Hélio utiliza uma escala em que 0,5 cm do desenho 
corresponde a 0,1 km no comprimento real. Se a figura real a ser 
representada nesse desenho é de um quadrado com a área de 1 600 m2, 
é correto afirmar que, no desenho, essa figura terá os lados cuja medida, 
em centímetro, é igual a 
(A) 0,5. 
(B) 0,2. 
(C) 0,4. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヰ 
(D) 0,3. 
(E) 0,1. 
RESOLUÇÃO: 
 Se o quadrado tem lados medindo L, podemos dizer que: 
Área do quadrado = L2 
1600m2 = L2 
L = 40m 
 
 
 
 
 
 Sabendo que 0,1km (100m) reais correspondem a 0,5cm no 
desenho, então: 
100m reais ----------- 0,5cm no desenho 
 40m reais ----------- D 
 
100 x D = 40 x 0,5 
D = 0,2cm no desenho 
Resposta: B 
 
15. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Considerando que as 
medidas dos lados de um triângulo retângulo são diretamente 
proporcionais a 5, 7 e 4 e que sua área é igual a 40 cm2, o perímetro 
dessa figura, em centímetros, será 
(A) 64. 
(B) 32. 
(C) 48. 
(D) 20. 
(E) 16. 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヱ 
 Sendo k uma constante de proporcionalidade, e sabendo que os 
lados são proporcionais a 5, 7 e 4, podemos dizer que os lados medem 
5k, 7k e 4k respectivamente. 
 O maior lado é 7k, portanto ele é a hipotenusa. Os dois catetos 
podem ser chamados de base e altura do triângulo, de modo que: 
Área = (base x altura) / 2 
40 = (4k x 5k) / 2 
80 = 20k2 
4 = k2 
k = 2 
 
 Logo, os lados são 7 x 2 = 14cm, 5 x 2 = 10cm e 4 x 2 = 8cm. O 
perímetro é: 
P = 14 + 10 + 8 = 32cm 
Resposta: B 
 
 
 
16. IDECAN – COREN/MA – 2013) Os quadrados na figura 
apresentada têm perímetros iguais a 72 cm e 20 cm. 
A área em negrito no interior da figura mede 
 
A) 235 cm2. 
B) 241 cm2. 
C) 253 cm2. 
D) 259 cm2. 
E) 267 cm2. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヲ 
RESOLUÇÃO: 
 Como o quadrado maior tem 72cm de perímetro, então seu lado 
mede 72 / 4 = 18cm. E o quadrado menor tem 20cm de perímetro, então 
seu lado mede 20 / 4 = 5cm. Portanto, os triângulos brancos tem base 
medindo 5cm. 
 E repare que a altura de cada triângulo é de 9cm – 2,5cm = 6,5cm: 
 
 Portanto, a área de cada triângulo é 6,5 x 5 / 2 = 16,25cm2. A área 
do quadrado maior é igual a 182 = 324cm2. Retirando-se os 4 triângulos, 
temos: 
Área preta = 324 – 4 x 16,25 = 259cm2 
Resposta: D 
17. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) A tabela 
apresenta os valores dos lados de três triângulos: A, B e C. 
 
O maior valor possível para a soma X + Y + Z, considerando que todos os 
lados tabelados têm como medidas números inteiros, é 
A) 22. 
B)23. 
C) 25. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヶ 
 
Esses dois triângulos são semelhantes. Sendo assim, a soma dos valores 
de x e y é 
A) 32. 
B) 34. 
C) 36. 
D) 38. 
E) 40. 
RESOLUÇÃO: 
 Se os triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais: 
 
 
 Portanto, 
30 / 20 = x / 12 
x = 18cm 
 
30 / 20 = 24 / y 
y = 16cm 
 
 Portanto, x + y = 34cm. 
Resposta: B 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶΑ 
21. IDECAN – COREN/MA – 2013) No triângulo a seguir, o lado KL é 
paralelo ao segmento DE. 
 
A soma dos valores dos ângulos “x” e “a” é 
A) 170°. 
B) 180°. 
C) 185°. 
D) 190°. 
E) 195°. 
RESOLUÇÃO: 
 Como os segmentos KL e DE são paralelos, então: 
 
 Assim, 
a + 115 = 180 
a = 65º 
 
 E 
x + 55 = 180 
x = 125º 
 
 Logo, x + a = 190º. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶΒ 
Resposta: D 
22. IDECAN – PREF. SANTO ANTÔNIO DE PÁDUA/RJ – 2013) A 
figura a seguir é composta por losangos cujas diagonais medem 6 cm e 4 
cm. A área da figura mede 
 
A) 48 cm2. 
B) 50 cm2. 
C) 52 cm2. 
D) 60 cm2. 
E) 64 cm2. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo D e d as diagonais de um losango, sua área é dada por: 
Área = D x d / 2 = 6 x 4 / 2 = 12cm2 
 
 Como ao todo temos 5 losangos, a área total é: 
5 x 12 = 60cm2 
Resposta: D 
 
23. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) Observe a 
planificação dos cilindros A e B nas figuras, com medidas dadas em 
centímetros. 
 
A razão entre o volume do cilindro B e o volume do cilindro A é 
A) 1/10. 
B) 1/2. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶΓ 
C) 2. 
D) 5. 
E) 10. 
RESOLUÇÃO: 
 O volume do cilindro é dado pela multiplicação da área da base e 
sua altura. Assim, 
3
2 5 5( . ).
3 3
X XVa X   
2 3 35 25 50. .6 .6
3 9 3
X X XVb X      
 
 
 
 Repare que: 
3510 10
3
XVb Va
 
  
 
 
10Vb
Va
 
Resposta: E 
 
24. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) Sobre a 
figura apresentada, é correto afirmar que, EXCETO: 
 
A) As retas r e ¨H G

 são paralelas coincidentes. 
B) As retas r e s são perpendiculares entre si. 
C) O plano pl(EFGH) é perpendicular ao plano g. 
D) Os segmentos de reta ÄB e EF são paralelos. 
E) O ponto H é a projeção ortogonal do ponto C sobre a reta r. 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヰ 
A) As retas r e ¨H G

 são paralelas coincidentes. 
 CORRETO. As duas retas estão sobrepostas. 
 
B) As retas r e s são perpendiculares entre si. 
 ERRADO. As retas r e s são paralelas. 
C) O plano pl(EFGH) é perpendicular ao plano g. 
 CORRETO. Como vemos na figura, esses dois planos se cruzam 
formando ângulos de 90º. 
 
D) Os segmentos de reta ÄB e EF são paralelos. 
 CORRETO. Veja os ângulos retos marcados na figura. 
 
E) O ponto H é a projeção ortogonal do ponto C sobre a reta r. 
 CORRETO. O segmento CH é perpendicular (90º) à reta r. 
Resposta: B 
 
25. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) Observe o 
retângulo. 
 
As medidas dos lados a, b e c, em cm, são expressas por x2 + 2x – 1, x + 
1 e 3x + 1, nessa ordem. Sabendo-se que a medida do lado a é igual à 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヲ 
negrito equivale a 3/5 do perímetro do retângulo ABCD, então a área 
desse retângulo mede 
 
(A) 84 cm² 
(B) 90 cm² 
(C) 92 cm² 
(D) 96 cm² 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de L o comprimento do lado maior do retângulo 
ABCD, e de M o comprimento do lado menor. Marcando isso na figura, 
temos: 
 
 O perímetro é igual à soma dos lados, ou seja, 
Perímetro = L + M + L + M 
40 = 2 x L + 2 x M 
40 = 2 x (L + M) 
40 / 2 = L + M 
L + M = 20 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αン 
M = 20 – L 
 Veja agora o retângulo em negrito. O seu lado maior também mede 
L. Vamos chamar o seu lado menor de N: 
 
 Foi dito que o perímetro da região em negrito equivale a 3/5 do 
perímetro do retângulo ABCD, ou seja, 
Perímetro da região em negrito = (3/5) x 40 = 3 x 40 / 5 = 24cm 
 
 Por outro lado, 
 
Perímetro da região em negrito = L + N + L + N 
24 = 2 x (L + N) 
24 / 2 = L + N 
12 = L + N 
N = 12 – L 
 
 A área de um retângulo é dada pela multiplicação do lado maior 
(comprimento) pelo lado menor (largura). Assim, 
Área do retângulo ABCD = L x M = L x (20 – L) 
Área do retângulo em negrito = L x N = L x (12 – L) 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヴ 
 Foi dito que a área em negrito da figura corresponde a 1/3 da área 
do retângulo ABCD, ou seja, 
L x (12 – L) = (1/3) x L x (20 – L) 
(12 – L) = (1/3) x (20 – L) 
12 – L = 20/3 – L/3 
12 – 20/3 = L – L/3 
36/3 – 20/3 = 3L/3 – L/3 
16/3 = 2L/3 
16 = 2L 
L = 16/2 = 8cm 
 
 Portanto, 
Área do retângulo ABCD = L x (20 – L) 
Área do retângulo ABCD = 8 x (20 – 8) 
Área do retângulo ABCD = 8 x 12 
Área do retângulo ABCD = 96cm2 
Resposta: D 
27. CONSULPLAN – AVAPE – ARAÇATUBA/SP – 2013) O número 
de arestas dos poliedros convexos A, com 4 vértices e 4 faces; B, com 8 
vértices e 6 faces; e C, com 12 vértices e 8 faces, formam, nesta ordem, 
uma progressão aritmética de razão r. O valor de r, tal que r א R, é 
A) 2. 
B) 4. 
C) 6. 
D) 8. 
E) 10. 
RESOLUÇÃO: 
 O número de arestas pode ser obtido pela relação abaixo: 
V + F = A + 2 
 
O poliedro convexo A tem 4 vértices e 4 faces, logo: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヵ 
4 + 4 = A + 2 
A = 6 arestas 
 
B tem 8 vértices e 6 faces, logo: 
8 + 6 = A + 2 
A = 12 arestas 
 
C tem 12 vértices e 8 faces, portanto: 
12 + 8 = A + 2 
A = 18 arestas 
 
Os números 6, 12, 18 formam uma PA de razão r = 6. 
Resposta: C 
 
 
 
 
 
 
28. CONSULPLAN – BANESTES – 2013) Na figura a seguir EA = AB 
= AC = CI = BD = DC; FB = BJ = JI e DJ = JC. 
 
Se o quadrado ABDC tem perímetro igual a 144 cm, então a área 
referente à parte hachurada da figura mede 
(A) 2556 cm² 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΑΒ 
 
Suponha que a rampa do Palácio do Planalto, em Brasília, forma com o 
solo um triângulo retângulo de vértices A, B e C, conforme a figura. Se 
sua inclinação com relação ao solo é constante de 26° e a distância de 
sua base no ponto B até o ponto C é de 9m, a distância do ponto A ao 
ponto C é: 
(Considere: sen(26º) = 0,438; cos(26º) = 0,899 tan(26º) = 0,488) 
A) 3m 
B) 3,942m 
C) 4,392m 
D) 5m 
E) 8,091m 
RESOLUÇÃO: 
 Foi dito que BC = 9m, e que o ângulo B mede 26º. A definição de 
tangente nos diz que: 
Tangente de B = Cateto oposto / Cateto Adjacente 
Tangente de B = AC / BC 
tan(26º)= AC / 9 
0,488 = AC / 9 
AC = 9 x 0,488 = 4,392 
Resposta: C 
 
31. FUNDATEC – CREA/PR – 2013) Uma construtora tem como 
símbolo a figura abaixo, formada por dois semicírculos verdes. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヰ 
Resposta: A 
32. UFG – CELG-GT – 2014) A figura a seguir representa um bloco 
retangular com 320 cm de comprimento, 60 cm de largura e 75 cm de 
altura. Será retirado desse bloco um bloco menor, também retangular, 
com 80 cm de comprimento, 30 cm de largura e 15 cm de altura. 
 
Tendo em vista as informações apresentadas, a razão entre o volume 
retirado e o volume total do bloco é igual a 
(A) 1/5 
(B) 1/10 
(C) 1/15 
(D) 1/20 
(E) 1/40 
RESOLUÇÃO: 
 O volume total é: 
Vtotal = 320x60x75 cm3 
 
 O volume retirado é: 
Vretirado = 80x30x15 cm3 
 
 A razão é: 
Vretirado / Vtotal = (80x30x15)/(320x60x75) 
Vretirado / Vtotal = (1x30x15)/(4x60x75) 
Vretirado / Vtotal = (1x30x1)/(4x60x5) 
Vretirado / Vtotal = (1x1x1)/(4x2x5) 
Vretirado / Vtotal = 1/40 
Resposta: E 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヱ 
 
33. UFG – CELG-GT – 2014) A figura a seguir mostra um cubo de 
aresta a = 3 cm, no qual foram colocados, no centro de todas as faces, 
novos cubos com arestas medindo 1 cm. Este processo pode ser 
continuado, ou seja, em uma segunda iteração, pode-se colocar, no 
centro das faces dos novos cubos, outros cubinhos com aresta igual a 1/3 
da aresta anterior, e assim sucessivamente. 
 
De acordo com o raciocínio apresentado, o volume do sólido, em cm3, 
obtido após a segunda iteração é igual a: 
(A) 299/9 
(B) 301/9 
(C) 307/9 
(D) 309/9 
(E) 316/9 
RESOLUÇÃO: 
 O volume do primeiro cubo é V = 33 = 27cm3. O volume de cada 
um dos 6 cubos menores obtidos na primeira iteração V = 13 = 1 cm3, 
totalizando 6x1 = 6cm3. O volume de cada um dos cubos com aresta 
medindo 1/3 é igual a: 
V = (1/3)3 = 1/27 cm3 
 
 Veja que teremos um total de 30 cubinhos com aresta 1/3, pois em 
cada um dos cubos com aresta igual a 1 nós conseguimos fixar 5 desses 
cubinhos menores (um no centro de cada face exposta). Ao todo temos o 
volume 30 x (1/27)cm3. 
 
 Somando todos os volumes: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヴ 
comprimento 1,10C e largura 1,10L. Somente a altura permanece sendo 
A. O seu volume é: 
Vvenda = 1,10C x 1,10L x A 
Vvenda = 1,21 x C x L x A 
Vvenda = 1,21 x Vamostra 
Vvenda = (1 + 0,21) x Vamostra 
Vvenda = (1 + 21%) x Vamostra 
 
 Portanto, veja que o volume vendido é 21% maior que o volume da 
amostra. 
Resposta: D 
36. UFG – UEAP – 2014) Para determinar a distância entre dois 
pontos, utiliza-se uma roda. Para percorrer uma distância de 141,3 m, a 
roda deu 150 voltas completas. Nessas condições, a medida do diâmetro, 
em centímetros, dessa roda é 
Dado: ん = 3,14 
(A) 15,0 
(B) 30,0 
(C) 45,3 
(D) 94,2 
RESOLUÇÃO: 
 Uma volta completa de uma roda com raio R mede o comprimento: 
C = 2 ん R 
C = 2 x 3,14 x R 
C = 6,28 x R 
 
 Assim, 150 voltas medem 150xC, ou seja, 150x6,28xR, que por sua 
vez correspondem aos 141,3 metros: 
141,3 metros = 150x6,28xR 
141,3 metros = 942xR 
R = 141,3 / 942 
R = 0,15 metros 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヵ 
R = 15 centímetros 
 
 Logo, o diâmetro da roda é 2 x R = 2 x 15 = 30cm. 
Resposta: B 
 
37. UFG – UEAP – 2014) A figura a seguir foi construída empilhando-
se cubos com 2 cm de lado. 
 
Nestas condições, o volume da figura, em cm³, é igual a 
(A) 96 
(B) 72 
(C) 48 
(D) 24 
RESOLUÇÃO: 
 Tente reproduzir mentalmente a montagem da figura acima, 
empilhando cubinhos de 2cm de lado cada. Note que, no sentido da 
altura, temos uma altura máxima de 4 cubinhos (repare nos pontinhos 
usados para fazer a marcação). Esta é a pilha mais alta. Temos outra 
pilha com 3 cubinhos (a segunda mais alta), 2 pilhas com 2 cubinhos 
cada, e mais 1 cubinho isolado à esquerda. Ao todo são 4 + 3 + 2x2 + 1 
= 12 cubinhos. Como o volume de cada um deles é V = 23 = 8cm3, o 
volume total é 12x8 = 96cm3. 
Resposta: A 
 
38. UFG – IF/GO – 2014) Um aluno corta um pedaço de papelão na 
forma de um setor circular em que o raio e o ângulo central medem, 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヶ 
respectivamente, 120 cm e 60º. Em seguida, ele une, sem sobreposição, 
as laterais desse setor para formar um cone. O raio da base desse cone, 
em centímetros, será: 
(A) 20 
(B) 48 
(C) 60 
(D) 72 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que o comprimento da base do cone montado como descrito 
no enunciado será igual ao comprimento do setor circular. 
 Uma circunferência de raio 120cm tem comprimento total de: 
C = 2 x ん x R = 2 x ん x 120 = 240 ん cm 
 
 Como o setor tem 60º, que é 1/6 de 360º, podemos dizer que o seu 
comprimento será 1/6 do total. Ou seja, 
Comprimento do setor = 240 ん / 6 = 40 ん cm 
 
 Portanto, a base do cone será uma circunferência com comprimento 
de 40んcm. Para obter o seu raio, podemos escrever: 
Comprimento do setor = 2 ん r 
40 ん = 2 ん r 
40 = 2r 
r = 20cm 
Resposta: A 
 
39. UFG – IF/GO – 2014) Um sabonete tem a forma de um 
paralelepípedo reto retângulo com dimensões 10 cm x 5 cm x 4 cm. 
Considere que esse sabonete perca 2% do seu volume cada vez que é 
usado para banho. Nessas condições, a quantidade de banhos necessários 
para reduzir o sabonete à metade do seu volume inicial é: 
(A) 20 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΒΑ 
(B) 25 
(C) 40 
(D) 50 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo V o volume inicial do sabonete, ao chegar a metade de seu 
volume teremos apenas 50%xV. Sabemos que o sabonete perde 2%xV a 
cada banho. Portanto, chamando de “n” o número de banhos necessários 
para reduzir o sabonete à sua metade, temos: 
Metade do volume = Volume inicial – n x Volume perdido a cada banho 
50%V = V – nx2%V 
0,5 = 1 – n x 0,02 
n x 0,02 = 1 – 0,5 
n = 0,5 / 0,02 
n = 25 
Resposta: B 
 
40. VUNESP – TJ/SP – 2014) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de um salão quadrado em 8 regiões com o formato de 
trapézios retângulos congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes 
(Q), conforme mostra a figura: 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo é igual a 24 
m², então a área total desse piso é, em m², igual a 
(A) 324. 
(B) 400. 
(C) 225. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΒΒ 
(D) 256. 
(E) 196. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que cada trapézio tem altura x, base maior medindo 2x e 
base menor medindo x: 
 
 Portanto, a área de cada um deles é dada por: 
Área do trapézio = (base maior + base menor) . altura / 2 
Área do trapézio = (2x + x).x / 2 
24 = (2x + x).x / 2 
48 = (3x).x 
16 = x2 
x = 4 m 
 
 Veja que o salão é um quadrado com lados medindo x+x+x+x = 4x 
= 4.4 = 16 metros. Portanto, sua área é: 
Área do salão = lado2 = 162 = 256 m2 
Resposta: D 
 
41. VUNESP – TJ/SP – 2014) Em uma folha quadrada ABCD, foi 
desenhado um quadrado Z, de área igual a 169 cm², conforme mostra a 
figura: 
MATEMÁTICAPっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΒΓ 
 
Nessas condições, é correto afirmar que o perímetro da folha ABCD, em 
centímetros, é igual a 
(A) 56. 
(B) 72. 
(C) 60. 
(D) 64. 
(E) 68. 
RESOLUÇÃO: 
 Se o quadrado Z tem área 169, podemos calcular a medida de seus 
lados assim: 
Área do quadrado = lado2 
169 = lado2 
lado = 13 
 
 Podemos calcular a medida x observando que temos triângulos 
retângulos com catetos medindo x e 12, e hipotenusa medindo 13: 
Hipotenusa2 = (cateto1)2 + (cateto2)2 
132 = 122 + x2 
169 = 144 + x2 
169 – 144 = x2 
25 = x2 
5 = x 
 
 Portanto, cada lado da folha mede 12 + x = 12 + 5 = 17cm. O seu 
perímetro é 17+17+17+17 = 4x17 = 68cm. 
Resposta: E 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヰ 
 
42. VUNESP – TJ/SP – 2014) Considere um reservatório com o 
formato de um paralelepípedo reto retângulo, com 2m de comprimento e 
1,5m de largura, inicialmente vazio. A válvula de entrada de água no 
reservatório foi aberta por certo período, e, assim, a altura do nível da 
água no reservatório atingiu 50 cm, preenchendo 40% da sua capacidade 
total. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura desse 
reservatório, em metros, é igual a 
(A) 1,75. 
(B) 1,25. 
(C) 1,65. 
(D) 1,50. 
(E) 1,35. 
RESOLUÇÃO: 
 Note que 50cm de altura corresponde a 40% da capacidade do 
reservatório, que também corresponde a 40% da altura total do 
reservatório. Assim, a altura total (100%) é obtida em uma regra de três 
simples: 
50cm --------------- 40% da altura 
A --------------------- 100% da altura 
 
50x100% = Ax40% 
50 x 100 / 40 = A 
5 x 100 / 4 = A 
5 x 25 = A 
125 cm = A 
1,25m = A 
Resposta: B 
 
43. VUNESP – TCE/SP – 2015) Procurando encontrar o tom exato da 
cor solicitada pelo cliente, um pintor preparou uma mistura de três tintas, 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヱ 
A, B e C. Usou certa lata como medida e misturou, em um balde, 3
5
 de 
lata de tinta A, 2
3
 de lata de tinta B e 4
3
 de lata de tinta C. Da mistura 
preparada, reservou uma quantidade equivalente a duas latas (medida) 
completamente cheias e usou totalmente o restante para pintar uma área 
de 6,3 m², como teste. Desse modo, é correto afirmar que, aplicada de 
forma idêntica à aplicada na área teste, cada lata (medida) dessa mistura 
permite pintar uma área igual, em m², a 
(A) 12,5. 
(B) 11,8. 
(C) 11,4. 
(D) 10,8. 
(E) 10,5. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo L a capacidade da lata usada como medida, podemos dizer 
que a mistura total teve volume: 
Volume total = 3L/5 + 2L/3 + 4L/3 
Volume total = 3L/5 + 6L/3 
Volume total = 3L/5 + 2L 
Volume total = 3L/5 + 10L/5 
Volume total = 13L/5 
 
 Tirando 2 latas, ou seja, 2L, sobra: 
13L/5 – 2L = 
13L/5 – 10L/5 = 
3L/5 
 Essa sobra foi capaz de pintar 6,3 metros quadrados. Assim, 
podemos obter a área pintada com 1 lata (ou 1L) em uma regra de três 
simples: 
3L/5 ————— 6,3 metros quadrados 
L —————— A metros quadrados 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヲ 
(3L/5) x A = L x 6,3 
(3/5) x A = 1 x 6,3 
(3/5) x A = 6,3 
A = 6,3 x 5 / 3 
A = 10,5 metros quadrados 
Resposta: E 
 
44. VUNESP – TCE/SP – 2015) Em um terreno retangular, cuja 
medida do perímetro é igual a P, a razão entre as medidas de 
comprimento (C) e largura (L), nessa ordem, é 5
2
. Desse modo, é correto 
afirmar que 
(A) P = 2 C. 
(B) P = 5 L. 
(C) P = 3 C. 
(D) P = 7 L. 
(E) P = 5 C. 
RESOLUÇÃO: 
 A razão entre comprimento e largura é: 
C / L = 5 / 2 
C = 5L / 2 
 O perímetro P é: 
P = 2xlargura + 2xcomprimento 
P = 2L + 2C 
P = 2L + 2x5L/2 
P = 2L + 5L 
P = 7L 
Resposta: D 
 
45. FUNIVERSA – POLÍCIA CIENTÍFICA/GO – 2015) Considerando 
as notações: dm = decímetro, mm = milímetro, km = quilômetro, m = 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γン 
metro; h = hora, min = minuto, L = litro, mL = mililitro, kg = 
quilograma, mg = miligrama, assinale a alternativa correta. 
a) 35,6 dm = 35.600 mm 
b) 5,75 km = 57.500 m 
c) 2 h e 35 min + 3 h e 47 min = 6 h e 12 min 
d) 450 mL = 4,5 L 
e) 3.750 mg = 3,75 g 
RESOLUÇÃO: 
 Façamos as conversões: 
a) 35,6 dm = 356cm = 3560mm (e não 35.600 mm) 
b) 5,75 km = 57,5hm = 575dam = 5750m (e não 57.500 m) 
c) 2 h e 35 min + 3 h e 47 min = 5h e 82min = 6h e 22 min (e não 6 h e 
12 min) 
d) 450 mL = 45cL = 4,5dL = 0,45L (e não 4,5 L) 
e) 3.750 mg = 375cg = 37,5dg = 3,75 g (CORRETO) 
Resposta: E 
 
46. CESGRANRIO – IBG – 2014) Três herdeiros, Arnaldo, Bruno e 
Paulo, dividiram um terreno quadrado de 42 metros de lado em três 
terrenos retangulares de áreas iguais. A figura abaixo mostra a divisão e 
a parte que coube a cada um. 
 
O perímetro, em metros, do terreno retangular destinado a Bruno é 
a) 588 
b) 105 
c) 147 
d) 112 
e) 126 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヴ 
RESOLUÇÃO: 
 Veja a figura abaixo, onde marquei algumas dimensões: 
 
 Como as áreas são iguais, então: 
Área de Bruno = Área de Paulo 
42 x L = (42 – L) x 21 
2 x L = (42 – L) 
2 x L + L = 42 
3L = 42 
L = 14m 
 
 O perímetro da área de Bruno é: 
P = 42 + 14 + 42 + 14 = 112 metros 
Resposta: D 
 
47. CESGRANRIO – IBG – 2014) Uma peça de madeira de formato 
retangular de dimensões 20 cm x 45 cm será repartida em duas peças 
pelas linha tracejadas, conforme a figura a seguir. 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヵ 
Com as peças obtidas, pode-se montar um quadrado. Para isso, 
considerando x e y assinalados na figura, o valor x + y é de 
a) 30 
b) 10 
c) 25 
d) 15 
e) 20 
RESOLUÇÃO: 
 Temos a seguinte figura: 
 
 Veja que x + x = 20, portanto x = 10cm. Para montar um quadrado 
com as peças resultantes da separação é preciso posicioná-las da 
seguinte maneira: 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヶ 
 Para que esta figura seja um quadrado, precisamos que: 
L = 10 + 20 
L = 30 
 Também é preciso que: 
L – y = y 
30 – y = y 
30 = 2y 
y = 15cm 
 Logo, 
x + y = 10 + 15 = 25cm 
Resposta: C 
48. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) Observe os triângulos 
retângulos ACB e ECD. Os ângulos  e Ê, assinalados na Figura abaixo, 
têm medidas iguais e maiores do que 45°. 
 
Se AB = DE = 30 cm e BE = 42 cm, qual é a medida, em cm, do 
segmento DA? 
(A) 2 
(B) 6 
(C) 12 
(D) 14 
(E) 18 
RESOLUÇÃO: 
 Os dois triângulos (ABC e DCE) são semelhantes, pois todos os seus 
ângulos internos são iguais. Repare que os dois triângulos são retangulos, 
tendo as hipotenusas AB = DE = 30cm. Portanto, podemos dizer que 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΓΒ 
DA = DC – CA 
DA = DC – CE 
DA = 24 – 18 
DA = 6cm 
Resposta: B 
 
49. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) De acordo com as 
recomendações das principais agências desaúde do mundo, uma pessoa 
adulta deve consumir, por dia, cerca de 0,8 g de proteína animal para 
cada quilograma de sua massa. Isso significa que uma pessoa de 80 kg, 
por exemplo, deve consumir diariamente 64 g de proteína animal. 
Seguindo essa recomendação, uma pessoa de 65 kg deve consumir 1 kg 
de proteína animal em, aproximadamente, 
(A) 2 dias 
(B) 1 semana 
(C) 2 semanas 
(D) 20 dias 
(E) 1 mês 
RESOLUÇÃO: 
 Em um dia, uma pessoa com 65kg deve consumir 65 x 0,8 = 52 
gramas de proteína animal. Para consumir 1000 gramas (ou seja, 1kg), o 
tempo necessário é: 
Dias = 1000g / 52g por dia = 19,23 dias 
 Portanto, são necessários 20 dias. 
Resposta: D 
 
50. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Sabe-se que a base circular 
de um tanque cilíndrico possui raio igual a 3 metros. Esse tanque foi 
colocado dentro de um tanque esférico, cujo raio é igual a 5 metros. O 
volume máximo, em metros cúbicos, que o tanque cilíndrico pode ter é 
(A) 90  
(B) 72  
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΓΓ 
(C) 54  
(D) 45  
(E) 36  
RESOLUÇÃO: 
 Observe a figura abaixo. Ela mostra um corte lateral da esfera com 
um cilindro dentro, sendo o cilindro maior possível, tanto que ele toca as 
paredes da esfera: 
 
 O segmento CA tem o mesmo comprimento do raio da base do 
cilindro, ou seja, CA = 3m. Já o segmento CB tem o mesmo comprimento 
do raio da esfera, pois ele vai do centro da esfera até a sua parede. 
Assim, CB = 5m. Portanto, pelo teorema de pitágoras: 
CB2 = CA2 + AB2 
52 = 32 + AB2 
25 = 9 + AB2 
16 = AB2 
AB = 4m 
 
 O segmento AB representa a metade da altura do cilindro. Portanto, 
o cilindro tem 8 metros de altura e 3 metros de raio da base. O seu 
volume é: 
V = altura x área da base 
V = 8 x  x32 
V = 8 x  x9 
V = 72 m3 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰン 
2P = G 
 
 Substituindo na primeira equação podemos encontrar uma relação 
entre P e M: 
M = (4/5) x G 
M = (4/5) x 2P 
M = (8/5) x P 
M x (5/8) = P 
 
 Portanto o reservatório pequeno corresponde a 5/8 do reservatório 
médio. 
Resposta: C 
 
53. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) A densidade volumétrica de 
um objeto é definida pela razão entre a sua massa e o seu volume. Sabe-
se que dois cubos sólidos possuem a mesma densidade volumétrica, 
sendo que um deles tem as arestas medindo 10 cm, o outro tem as 
arestas medindo 20 cm, e a massa do cubo menor é igual a 750 gramas. 
 
A massa do cubo maior, em quilogramas, é igual a 
(A) 8,0 
(B) 7,5 
(C) 6,0 
(D) 3,0 
(E) 1,5 
RESOLUÇÃO: 
 O volume de um cubo cujo lado mede L é: 
V = L3 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰヴ 
 
 O volume de cada cubo é: 
Volume menor = 103 = 1000cm3 
Volume maior = 203 = 8000cm3 
 
 Repare que o volume do cubo maior é 8 vezes maior do que o 
volume do cubo menor. Portanto, a massa do cubo maior será oito vezes 
superior, ou seja, 
Massa do cubo maior = 8 x 750 = 6000g = 6kg 
Resposta: C 
 
54. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) O retângulo ABCD foi 
dividido em 12 retângulos menores, todos iguais. Em cada um desses 
retângulos foi traçada uma de suas diagonais, como mostra a Figura 
abaixo. 
 
A razão entre as áreas do triângulo PQR e do retângulo ABCD é igual a 
(A) 1/12 
(B) 1/6 
(C) 1/5 
(D) 1/4 
(E) 1/3 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de R a área de cada um dos 12 retângulos menores. 
A área do retângulo ABCD é igual a 12xR, afinal ele é formado por 12 
retângulos menores. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰヵ 
 Já o triângulo PQR é formado por um retângulo menor (de área R) e 
mais duas metades de retângulo menor (delimitadas pelas diagonais, e 
tendo área igual a R/2 cada uma). Portanto, a área de PQR é dada por R 
+ 2 x R/2 = R + R = 2R. 
 A razão entre as áreas é: 
Área PQR / Área ABCD = 2R / 12R = 2 / 12 = 1 / 6 
Resposta: B 
55. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Seja  um arco do primeiro 
quadrante, tal que tg  = 3. Sabendo-se que sec = 1 / cos, desde que 
cos   0, quanto vale sec(2)? 
(A) – 0,8 
(B) –1,25 
(C) 0,8 
(D) 1,25 
(E) 101/2 
RESOLUÇÃO: 
 Note que: 
cos(2X) = cos2X – sen2X 
cos(2X) = cos2X – (1 – cos2X) 
cos(2X) = 2cos2X – 1 
 
 Veja ainda que: 
tg(X) = sen(X) / cos(X) 
3 = sen(X) / cos(X) 
9 = sen2(X) / cos2(X) 
9.cos2(X) = sen2(X) 
9.cos2(X) = 1 – cos2(X) 
10.cos2(X) = 1 
cos2(X) = 1/10 
 Logo, 
cos(2X) = 2cos2X – 1 
cos(2X) = 2.(1/10) – 1 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰヶ 
cos(2X) = 1/5 – 1 
cos(2X) = -4/5 
 
 Assim, 
sec(2X) = 1 / cos(2X) = 1 / (-4/5) = -5/4 = -1,25 
Resposta: B 
 
56. FUNCAB – CODATA – 2013) Uma obra de aterro consumiu 14 mil 
metros cúbicos de brita que foram transportadas em caminhões 
basculantes com volume interno de 8 metros cúbicos. O número mínimo 
de caminhões basculantes utilizados foi: 
A) 1 250 
B) 1 480 
C) 1 550 
D) 1 675 
E) 1 750 
RESOLUÇÃO: 
 Temos: 
8 metros cúbicos -------------- 1 caminhão 
14.000 metros cúbicos --- N caminhões 
 
8N = 14.000 x 1 
N = 14.000 / 8 
N = 1.750 caminhões 
Resposta: E 
 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰΑ 
Fim de aula. Até o próximo encontro! Abraço, 
Prof. Arthur Lima 
Instagram: @ProfArthurLima 
Facebook: ProfArthurLima 
YouTube: Professor Arthur Lima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰΒ 
 
1. FGV – TJ/AM – 2013) Abel, Bruno, Carlos, Diogo, Elias e Fernando 
estão, respectivamente, sobre os vértices A, B, C, D, E e F de um 
hexágono regular, dispostos nessa ordem e no sentido horário. Sejam a, 
b, c, d e e as distâncias de Fernando, respectivamente, a Abel, Bruno, 
Carlos, Diogo e Elias, então é correto afirmar que 
(A) a = b = c = d =e 
(B) a < b < c < d < e = 2a 
(C) a = e < b= d < c = 2a 
(D) a = b < d= e < c = 2a 
(E) a = c < b= d < e = 2a 
 
2. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) A razão entre a área e o perímetro de 
uma circunferência de 
raio R vale: 
A) R/ 
B)  /2 
C)  R/2 
D) 2R 
E) R/2 
 
3. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Um programa de computador foi 
executado durante 2 horas, 20 minutos e 40 segundos. O tempo total, em 
segundos, dessa execução correspondeu a: 
A) 5840 
B) 6420 
C) 7280 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰΓ 
D) 8440 
E) 9260 
4. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Observe o triângulo a seguir: 
 
O ângulo g vale: 
A) 30o 
B) 35o 
C) 40o 
D) 45o 
E) 50o 
 
5. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Uma piscina com 5 metros de 
comprimento, 2 metros de largura e 1 metro de altura possui uma 
capacidade total de armazenamento de água, em litros, equivalente a: 
A) 500 
B) 1.000 
C) 2.000 
D) 5.000 
E) 10.000 
 
6. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) A área de uma circunferência com 
diâmetro de 20cm vale, em cm2: 
A) 40ん 
B) 800ん 
C) 100ん 
D) 200ん 
E) 400ん