TCC - RAFAEL CRONEMBERGER - COMPLETO - REV1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAFAEL SOARES CRONEMBERGER 
 
 
 
 
ANÁLISE COMPARATIVA DO DIMENSIONAMENTO MANUAL 
E COM AUXÍLIO DO SOFTWARE EBERICK PARA LAJES E 
VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
Salvador 
 2019 
 
 
 
 
RAFAEL CRONEMBERGER 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMPARATIVA DO DIMENSIONAMENTO MANUAL 
E COM AUXÍLIO DO SOFTWARE EBERICK PARA LAJES E 
VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
Monografia apresentada ao Curso de 
graduação em Engenharia Civil, Escola 
Politécnica, Universidade Federal da Bahia, 
como requisito parcial para obtenção do grau 
de Engenheiro Civil 
 
 
Orientadora: Profª. Tatiana Bittencourt Dumêt 
 
 
 
Salvador 
2019 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Agradeço primeiramente a Deus por ter chegado até aqui com saúde e em 
condições de realizar este sonho. Agradeço aos meus pais Antonia e Nonato pelas 
oportunidades que me foram dadas e, por estarem sempre do meu lado nas horas em 
que preciso, agradeço aos meus irmãos Hugo e Vitor, agradeço aos meus amigos pelo 
apoio, à minha namorada por compartilhar dessa jornada comigo, aos meus tios pela 
constante preocupação comigo, aos meus professores, e em especial a minha 
orientadora, pelo conhecimento passado com tamanha maestria. Gostaria de 
agradecer também à Full Estruturas pela oportunidade de estagiar na área que tanto 
almejei, empresa em que aprendi e aprendo todos os dias. 
Agradeço também à Universidade Federal da Bahia por ter me dado a chance e 
todas as ferramentas necessárias que permitiram chegar ao final desse ciclo de 
maneira positiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
Nos dias de hoje é incomum conceber projetos estruturais de forma manual, 
exceto em casos específicos. Os programas possuem tutoriais que, em um primeiro 
contato passa a falsa impressão de que é possível operar sem ter um conhecimento 
teórico apropriado, mas essa ideia deve ser combatida. O objetivo desse trabalho é 
comparar, analisar e verificar divergências entre o dimensionamento manual 
simplificado, estudado nas disciplinas de estruturas, para lajes e vigas, e o 
dimensionamento com auxílio de softwares a partir de modelos matemáticos mais 
elaborados. Este trabalho consiste num estudo de caso de uma planta arquitetônica, e 
a partir desse estudo comparativo é possível tomar decisões com maiores propriedades 
em futuros projetos. Na revisão bibliográfica encontram-se os principais fundamentos 
para o dimensionamento e detalhamento de vigas e lajes de concreto armado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Palavras-chave: Concreto armado. Laje maciça moldada in loco. Vigas de concreto 
armado. Cálculo estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1 – Distribuição normal das resistências à compressão dos corpos de prova. ............ 19 
Figura 2 – Modos de ensaios de resistência do concreto à tração. ........................................ 19 
Figura 3 – Diagrama parábola-retângulo Tensão versus Deformação.................................... 20 
Figura 4 – Diagrama simplificado da tensão versus deformação dos aços. ........................... 23 
Figura 5 – Esquema estrutural para obtenção de coeficientes. .............................................. 36 
Figura 6 – Diagrama retangular simplificado para o concreto. ................................................ 41 
Figura 7 – Diagrama simplificado Tensão versus Deformação para o aço tipo A. .................. 41 
Figura 8 – Domínios de Estado Limite Último. ........................................................................ 42 
Figura 9 – Seção transversal no Domínio 1............................................................................ 43 
Figura 10 – Seção transversal no Domínio 2. ......................................................................... 43 
Figura 11 – Seção transversal no Domínio 3. ......................................................................... 43 
Figura 12 – Seção transversal no Domínio 4. ......................................................................... 43 
Figura 13 – Seção transversal no Domínio 5. ......................................................................... 44 
Figura 14 – Domínios possíveis em flexão simples. ............................................................... 45 
Figura 15 – Seção transversal sob flexão. ............................................................................. 45 
Figura 16 – Diagrama de deformação da seção transversal sob flexão. ................................ 46 
Figura 17 – Domínios da flexão admitindo o aço CA 50-A e 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎 ............................ 47 
Figura 18 – Divisão da seção transversal para a armadura dupla .......................................... 48 
Figura 19 – Seção 2 para a armadura dupla .......................................................................... 49 
Figura 20 – Características das vigas de seção T .................................................................. 50 
Figura 21 – Largura da mesa colaborante .............................................................................. 51 
Figura 22 – Seção T com linha neutra na mesa. .................................................................... 51 
Figura 23 – Armadura considerada concentrada. ................................................................... 54 
Figura 24 – Distribuição das armaduras de pele. ................................................................... 55 
Figura 25 – Espaçamento entre barras (valores mínimos). .................................................... 56 
Figura 26 – Seção T com linha neutra na mesa. .................................................................... 57 
Figura 27 – Modelo de treliça para o cálculo do esforço cortante. .......................................... 57 
Figura 28 – Vão livre e vão teórico. ........................................................................................ 60 
Figura 29 – Vãos teóricos 𝑙𝑥 (menor vão) e 𝑙𝑦 (maior vão). ................................................... 61 
Figura 30 – Casos de vinculação das lajes. ........................................................................... 62 
Figura 31 – Caso específico de vinculação. ........................................................................... 62 
Figura 32 – Corte na laje, indicando as duas camadas de armadura. .................................... 65 
Figura 33 – Distribuição das armaduras negativas. ................................................................ 67 
Figura 34 – Determinação do ramo vertical da armadura negativa. ....................................... 67 
Figura 35 – Determinação do ramo vertical da armadura negativa. ....................................... 68 
 
 
Figura 36 – Sugestão de detalhamento para abertura em lajes maciças. .............................. 69 
Figura 37 – Critérios de vinculação para casos específicos. .................................................. 72 
Figura 38 – Ruptura por fendilhamento (a) e ruptura por arrancamento (b)............................ 73 
Figura 39 – Barra em situação de boa aderência: 𝛼 > 45°. .................................................... 75 
Figura 40 – Barra em situação de boa aderência: 𝛼 < 45° - h < 60cm. .................................. 75 
Figura 41 – Barra em situação de boa aderência: 𝛼 < 45° - h ≥ 60cm. .................................. 76 
Figura 42 – Gancho semicircular, com ponta reta de comprimento não inferior a 2Ø. ............ 77 
Figura 43 – Gancho em ângulo de 45º (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 
4Ø. ......................................................................................................................................... 77 
Figura 44 – Gancho em ângulo reto, com ponta reta de cobrimento não inferior a 12Ø. ........ 77 
Figura45 – Planta arquitetônica do pavimento tipo. ............................................................... 82 
Figura 46 – Esquema do modelo estrutural adotado. ............................................................. 83 
Figura 47 – Planta de forma baseada no Pré-dimensionamento do pavimento. ..................... 88 
Figura 48 – Condições de contorno das Lajes: 1 e 2 apoiadas na L3. ................................... 90 
Figura 49 – Condições de contorno das Lajes: 1 e 2 engastadas na L3. ................................ 91 
Figura 50 – Condições de contorno das Lajes 3 e 10. ............................................................ 92 
Figura 51 – Condições de contorno das Lajes 4, 5, 7 e 8. ...................................................... 94 
Figura 52 – Condições de contorno da Laje 6. ....................................................................... 95 
Figura 53 – Reações das lajes nas vigas e momentos fletores característicos calculados. .... 96 
Figura 54 – Momentos fletores característicos corrigidos. ...................................................... 97 
Figura 55 – Áreas de aço das lajes em estudo. ...................................................................... 99 
Figura 56 – Detalhamento Lajes 1, 2, 9 e 11 (Armaduras positivas). ................................... 101 
Figura 57 – Detalhamento Lajes 3 e 10 (Armaduras positivas). ........................................... 101 
Figura 58 – Detalhamento Lajes 4, 5, 7 e 8 (Armaduras positivas). ..................................... 102 
Figura 59 – Detalhamento Laje 6 (Armaduras positivas). ..................................................... 103 
Figura 60 – Detalhamento Laje 6 (Armaduras negativas). .................................................... 104 
Figura 61 – Detalhamento continuidade das Lajes 1, 2 e 3 (e similares). ............................. 104 
Figura 62 – Detalhamento continuidade das Lajes 4 e 5 (e similares). ................................. 105 
Figura 63 – Detalhamento continuidade das Lajes 1 e 4 e Lajes 3 e 4 (e similares). ............ 106 
Figura 64 – Detalhamento continuidades envolvendo a Laje 6. ........................................... 106 
Figura 65 – Esquema estático da Viga 1 (Ftool). .................................................................. 108 
Figura 66 – Diagrama de esforço cortante característico da Viga 1 (Ftool). ......................... 109 
Figura 67 – Diagrama de momentos fletores característicos da Viga 1 (Ftool). .................... 109 
Figura 68 – Diagrama de momentos fletores característicos de engastamento perfeito da Viga 
1 (Ftool). .............................................................................................................................. 109 
Figura 69 – Esquema estático da Viga 3 (Ftool). .................................................................. 113 
 
 
Figura 70 – Diagrama de esforço cortante característico da Viga 3 (Ftool). ......................... 113 
Figura 71 – Diagrama de momentos fletores característicos da Viga 3 (Ftool). .................... 113 
Figura 72 – Esquema estático da Viga 18 (Ftool). ................................................................ 115 
Figura 73 – Diagrama de esforço cortante característico da Viga 18 (Ftool). ....................... 116 
Figura 74 – Diagrama de momentos fletores característicos da Viga 18 (Ftool). .................. 116 
Figura 75 – Diagrama de momentos fletores característicos de engastamento perfeito da Viga 
18 (Ftool). ............................................................................................................................ 116 
Figura 76 – Esquema estático da Viga 4 (Ftool). .................................................................. 120 
Figura 77 – Diagrama de esforço cortante característico da Viga 4 (Ftool). ......................... 120 
Figura 78 – Diagrama de momentos fletores característicos da Viga 4 (Ftool). .................... 121 
Figura 79 – Diagrama de momentos fletores característicos de engastamento perfeito da Viga 
4 (Ftool). .............................................................................................................................. 121 
Figura 80 – Detalhamento Viga 1 (Cálculo manual). ............................................................ 125 
Figura 81 – Detalhamento Viga 3 (Cálculo manual). ............................................................ 127 
Figura 82 – Detalhamento Viga 4 (Cálculo manual). ............................................................ 128 
Figura 83 – Modelo 3D do edifício (Eberick)......................................................................... 129 
Figura 84 – “Croqui” do pavimento em estudo (Eberick). ..................................................... 130 
Figura 85 – Orientação dos momentos solicitantes para as lajes (Eberick). ......................... 131 
Figura 86 – Análise grelhas Lajes 1, 2, 9 e 11 (Eberick). ..................................................... 132 
Figura 87 – Análise grelhas Lajes 3 e 10 (Eberick). ............................................................. 133 
Figura 88 – Análise grelhas Lajes 4, 5, 7 e 8 (Eberick). ....................................................... 133 
Figura 89 – Análise grelhas Laje 6 (Eberick). ....................................................................... 134 
Figura 90 – Momentos positivos de cálculo nas lajes (Comb. 1,4G1+1,4G2+1,4Q) (Eberick).
............................................................................................................................................. 134 
Figura 91 – Momentos negativos de cálculo nas lajes (Comb. 1,4G1+1,4G2+1,4Q) (Eberick).
............................................................................................................................................. 135 
Figura 92 – Deslocamentos no pavimento (Comb. G1+G2+0.6Q) (Eberick). ....................... 135 
Figura 93 – Detalhamento: armaduras da Laje 1. ................................................................ 138 
Figura 94 – Detalhamento: armaduras da Laje 3. ................................................................ 139 
Figura 95 – Detalhamento: armaduras da Laje 4. ................................................................ 139 
Figura 96 – Detalhamento: armaduras da Laje 6. ................................................................ 140 
Figura 97 – Detalhamento: armaduras de continuidade Laje 3 com as Lajes 1 e 2. ............. 140 
Figura 98 – Detalhamento: armaduras de continuidade Laje 4 com a Laje 5. ...................... 141 
Figura 99 – Detalhamento: armaduras de continuidade da Laje 4 com as Lajes 1 e 3. ........ 141 
Figura 100 – Detalhamento: armaduras de continuidade envolvendo a Laje 6. .................... 142 
Figura 101 – Carregamento da Viga 1 [Unidades: kN/m;cm] (Eberick). ................................ 144 
 
 
Figura 102 – Esforço cortante de cálculo da Viga 1 [Unidades: kN;cm] (Eberick). ............... 144 
Figura 103 – Momentos fletores de cálculo da Viga 1 [Unidades: kN.m;cm] (Eberick). ........ 145 
Figura 104 – Carregamento da Viga 3 [Unidades: kN/m;cm] (Eberick). ................................ 146 
Figura 105 – Esforço cortante de cálculo da Viga 3 [Unidades: kN;cm] (Eberick). ............... 146 
Figura 106 – Momentos fletores de cálculo da Vigas 3 [Unidades: kN.m;cm] (Eberick). ...... 147 
Figura 107 – Carregamento da Viga 18 [Unidades: kN/m;cm] (Eberick). .............................. 148 
Figura 108 – Esforço cortante de cálculo da Viga 18 [Unidades: kN;cm] (Eberick). ............. 148 
Figura 109 – Momentos fletores de cálculo da Viga 18 [Unidades: kN.m;cm] (Eberick). ...... 148 
Figura 110 – Carregamento da Viga 4 [Unidades: kN/m;cm] (Eberick). ................................ 150 
Figura 111 – Esforço cortante de cálculo da Viga 4 [Unidades: kN;cm] (Eberick). ............... 150 
Figura 112 – Momentos fletoresde cálculo das Vigas 4 e 10 [Unidades: kN.m;cm] (Eberick).
............................................................................................................................................. 150 
Figura 113 – Momentos torsores de cálculo da Viga 4 [Unidades: kN.m;cm] (Eberick). ....... 150 
Figura 114 – Detalhamento Viga 1 (Eberick). ....................................................................... 153 
Figura 115 – Detalhamento Viga 3 (Eberick). ....................................................................... 154 
Figura 116 – Detalhamento Viga 4 (Eberick). ....................................................................... 155 
Figura 117 – Variação dos momentos das lajes em estudo. ................................................ 158 
Figura 118 – Esquema estático da Viga 1 no Ftool e Eberick, respectivamente. .................. 161 
Figura 119 – Esquema estático da Viga 3 no Ftool e Eberick, respectivamente. .................. 162 
Figura 120 – Esquema estático da Viga 18 no Ftool e Eberick, respectivamente. ................ 163 
Figura 121 – Esquema estático da Viga 4 no Ftool e Eberick, respectivamente. .................. 165 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE QUADROS 
Quadro 1 – Bitolas comerciais para os aços .......................................................................... 23 
Quadro 1 – Valores mínimos para cargas de uso em projetos de edificações. ....................... 24 
Quadro 2 – Coeficiente 𝛾𝑓 = 𝛾𝑓1 ∙ 𝛾𝑓3 ...................................................................................... 27 
Quadro 3 – Valores do coeficiente 𝛾𝑓2.................................................................................... 27 
Quadro 4 – Combinações últimas de ações. .......................................................................... 28 
Quadro 5 – Combinações de serviço ..................................................................................... 30 
Quadro 6 – Classes de agressividade ambiental (CAA). ........................................................ 33 
Quadro 7 – Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do concreto. .... 33 
Quadro 8 – Correspondência entre a CAA e o cobrimento nominal. ...................................... 34 
Quadro 9 – Valores do coeficiente adicional 𝛾𝑛 para pilares e pilares-paredes ...................... 37 
Quadro 10 – Características dos domínios. ........................................................................... 44 
Quadro 11 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas. ............................................ 53 
Quadro 12 – Critérios de vinculação para casos específicos. ................................................ 63 
Quadro 13 – Elementos estruturais equivalentes. .................................................................. 84 
Quadro 14 – Dados das Lajes 1, 2, 9 e 11. ............................................................................ 90 
Quadro 15 – Dados das Lajes 3 e 10. .................................................................................... 92 
Quadro 16 – Dados das Lajes 4, 5, 7 e 8. .............................................................................. 93 
Quadro 17 – Dados da Laje 6. ............................................................................................... 94 
Quadro 18 – Dados das Vigas 1, 2, 12 e 13. ........................................................................ 108 
Quadro 19 – Dados das Vigas 3 e 11................................................................................... 112 
Quadro 20 – Dados das Vigas 17, 18, 22 e 23. .................................................................... 115 
Quadro 21 – Dados das Vigas 4 e 10................................................................................... 119 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1 – Determinação da seção de pré-dimensionamento dos pilares. ............................. 85 
Tabela 2 – Resultado do pré-dimensionamento das vigas. .................................................... 86 
Tabela 3 – Resultado do pré-dimensionamento das lajes. ..................................................... 87 
Tabela 4 – Carregamentos das Lajes 1, 2, 9 e 11. ................................................................. 90 
Tabela 5 – Esforços nas Lajes 1, 2, 9 e 11 (apoio na direção “x”). ......................................... 91 
Tabela 6 – Esforços nas Lajes 1, 2, 9 e 11 (engaste na direção “x”). ..................................... 91 
Tabela 7 – Carregamentos das Lajes 3 e 10. ......................................................................... 92 
Tabela 8 – Esforços nas Lajes 3 e 10. ................................................................................... 93 
Tabela 9 – Carregamentos das Lajes 4, 5, 7 e 8. ................................................................... 93 
Tabela 10 – Esforços nas Lajes 4, 5, 7 e 8. ........................................................................... 94 
Tabela 11 – Carregamentos da Laje 6. .................................................................................. 95 
Tabela 12 – Esforços na Laje 6. ............................................................................................. 95 
Tabela 13 – Dimensionamento das armaduras para o ELU das lajes em estudo. .................. 98 
Tabela 14 – Verificação ao cisalhamento das lajes em estudo. ........................................... 100 
Tabela 15 – Quadro de armadura das lajes em estudo (Cálculo manual). ........................... 107 
Tabela 16 – Resumo de aço das lajes em estudo (Cálculo manual). ................................... 107 
Tabela 17 – Carregamentos da Viga 1. ................................................................................ 108 
Tabela 18 – Cálculo dos momentos característicos de extremidade da Viga V1. ................. 110 
Tabela 19 – Carregamentos das Vigas 3 e 11. .................................................................... 112 
Tabela 20 – Carregamentos da Viga 18. .............................................................................. 115 
Tabela 21 – Cálculo dos momentos característicos de extremidade da Viga V18. ............... 117 
Tabela 22 – Carregamentos da Viga 4. ................................................................................ 120 
Tabela 23 – Cálculo dos momentos característicos de extremidade da Viga V4. ................. 122 
Tabela 24 – Quadro de armadura da Viga 1 (Cálculo manual). ............................................ 126 
Tabela 25 – Resumo de aço da Viga 1 (Cálculo manual). .................................................... 126 
Tabela 26 – Quadro de armadura da Viga 3 (Cálculo manual). ............................................ 127 
Tabela 27 – Resumo de aço da Viga 3 (Cálculo manual). .................................................... 127 
Tabela 28 – Quadro de armadura da Viga 4 (Cálculo manual). ............................................ 128 
Tabela 29 – Resumo de aço da Viga 4 (Cálculo manual). .................................................... 128 
Tabela 30 – Dados de entrada das lajes (Eberick). .............................................................. 132 
Tabela 31 – Resultados das armaduras positivas das lajes em estudo (Eberick). ................ 136 
Tabela 32 – Resultados das armaduras de continuidade das lajes em estudo (Eberick). .... 137 
Tabela 33 – Quadro de armadura das lajes em estudo (Eberick). ........................................ 143 
Tabela 34 – Resumo de aço das lajes em estudo (Eberick). ................................................ 143 
Tabela 35 – Dimensionamento das armaduras positivas das Vigas 1, 2, 12 e 13 (Eberick). 145 
 
 
Tabela 36 – Dimensionamento das armaduras negativas das Vigas 1, 2, 12 e 13 (Eberick).145 
Tabela 37 – Verificação das diagonais comprimidas das Vigas 1, 2, 12 e13 (Eberick). ....... 145 
Tabela 38 – Dimensionamento ao cisalhamento das Vigas 1, 2, 12 e 13 (Eberick). ............. 146 
Tabela 39 – Dimensionamento das armaduras positivas das Vigas 3 e 11 (Eberick). .......... 147 
Tabela 40 – Dimensionamento das armaduras negativas das Vigas 3 e 11 (Eberick). ......... 147 
Tabela 41 – Verificação da biela comprimida e da torção das Vigas 3 e 11 (Eberick). ......... 147 
Tabela 42 – Dimensionamento ao cisalhamento das Vigas 3 e 11 (Eberick)........................ 147 
Tabela 43 – Dimensionamento das armaduras positivas das Vigas 17, 18, 22 e 23 (Eberick).
............................................................................................................................................. 149 
Tabela 44 – Dimensionamento das armaduras negativas das Vigas 17, 18, 22 e 23 (Eberick).
............................................................................................................................................. 149 
Tabela 45 – Verificação da biela comprimida e da torção das Vigas 17, 18, 22 e 23 (Eberick).
............................................................................................................................................. 149 
Tabela 46 – Dimensionamento ao cisalhamento das Vigas 17, 18, 22 e 23 (Eberick). ......... 149 
Tabela 47 – Dimensionamento das armaduras positivas das Vigas 4 e 10 (Eberick). .......... 151 
Tabela 48 – Dimensionamento das armaduras negativas das Vigas 4 e 10 (Eberick). ......... 151 
Tabela 49 – Verificação das bielas comprimidas das Vigas 4 e 10 (Eberick). ...................... 152 
Tabela 50 – Dimensionamento ao cisalhamento das Vigas 4 e 10 (Eberick)........................ 152 
Tabela 51 – Quadro de armadura da Viga 1 (Eberick). ........................................................ 153 
Tabela 52 – Resumo de aço da Viga 1 (Eberick). ................................................................ 153 
Tabela 53 – Quadro de armadura da Viga 3 (Eberick). ........................................................ 154 
Tabela 54 – Resumo de aço da Viga 3 (Eberick). ................................................................ 154 
Tabela 55 – Quadro de armadura da Viga 4 (Eberick). ........................................................ 155 
Tabela 56 – Resumo de aço da Viga 4 (Eberick). ................................................................ 155 
Tabela 57 – Comparativo de momentos positivos das lajes em estudo. ............................... 156 
Tabela 58 – Comparativo de momentos negativos das lajes em estudo. ............................. 157 
Tabela 59 – Comparativo de áreas de aço para os momentos positivos das lajes. .............. 159 
Tabela 60 – Comparativo de áreas de aço para os momentos negativos das lajes. ............. 160 
Tabela 61 – Comparativo resumo de aço das lajes. ............................................................. 161 
Tabela 62 – Cálculo das lajes segundo Czerny (ROCHA, 1987 apud DUMÊT, 2018). ......... 172 
Tabela 63 – Flexão simples em seção retangular – armadura simples (PINHEIRO1, 1993). 177 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 14 
1.1 OBJETIVOS ............................................................................................................... 15 
1.2 JUSTIFICATIVAS ..................................................................................................... 15 
1.3 METODOLOGIA ........................................................................................................ 15 
1.4 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO ...................................................................... 16 
2 FUNDAMENTOS DO DIMENSIONAMENTO EM CONCRETO ARMADO ............ 17 
2.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CONCRETO ARMADO ........................... 17 
2.1.1 PROPRIEDADES DO CONCRETO ............................................................... 17 
2.1.2 PROPRIEDADES DO AÇO ............................................................................. 21 
2.2 CARGAS DE PROJETO .......................................................................................... 24 
2.3 METODO DOS ESTADOS LIMITES ..................................................................... 25 
2.3.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO ............................................................................... 26 
2.3.2 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO ...................................................................... 29 
2.4 CRITÉRIOS DE PROJETO ..................................................................................... 30 
2.4.1 COMBINAÇÃO DE AÇÕES............................................................................. 31 
2.4.2 AÇÕES E SOLICITAÇÕES ............................................................................. 31 
2.4.3 CRITÉRIOS DE DURABILIDADE DO CONCRETO ................................... 32 
2.5 PRINCÍPIOS GERAIS DA ANÁLISE ESTRUTURAL ........................................ 34 
2.5.1 APROXIMAÇÕES PERMITIDAS PARA VIGAS CONTÍNUAS ................. 35 
2.6 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS ................................................ 36 
2.6.1 PILARES ............................................................................................................. 36 
2.6.2 VIGAS .................................................................................................................. 38 
2.6.3 LAJES .................................................................................................................. 39 
2.7 EQUAÇÕES DE DIMENSIONAMENTO E CRITÉRIOS DE DETALHAMENTO 
PARA VIGAS ........................................................................................................................ 40 
2.7.1 HIPÓTESES BÁSICAS DO DIMENSIONAMENTO .................................... 40 
2.7.2 DOMÍNIOS DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO ................................................... 42 
2.7.3 EQUAÇÕES DE EQUÍLIBRIO......................................................................... 45 
2.7.4 EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE ............................................................. 46 
2.7.5 SEÇÕES SIMPLESMENTE ARMADAS ........................................................ 47 
2.7.6 SEÇÕES DUPLAMENTE ARMADA .............................................................. 48 
2.7.7 SEÇÃO T ............................................................................................................. 49 
 
 
2.7.8 DETALHAMENTO DE VIGAS ......................................................................... 52 
2.7.9 ESFORÇO CORTANTE EM VIGAS ............................................................... 56 
2.8 EQUAÇÕES DE DIMENSIONAMENTO E CRITÉRIOS DE DETALHAMENTO 
PARA LAJES MACIÇAS .................................................................................................... 60 
2.8.1 CLASSIFICAÇÃO E VINCULAÇÃO DAS LAJES....................................... 60 
2.8.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA LAJE ....................................................... 63 
2.8.3 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS .................................................. 65 
2.8.4 ABERTURA EM LAJES ................................................................................... 68 
2.8.5 VERIFICAÇÃO DAS LAJES AO ESFORÇO CORTANTE ........................ 69 
2.9 ANCORAGEM DAS BARRAS ............................................................................... 70 
2.9.1 ADERÊNCIA ENTRE AÇO E CONCRETO .................................................. 71 
2.9.2 MODOS DE RUPTURA POR ADERÊNCIA ................................................. 72 
2.9.3 COMPRIMENTOS DE ANCORAGEM ........................................................... 73 
3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SOFTWARE EBERICK ........................................... 78 
3.1 PÓRTICO ESPACIAL .............................................................................................. 78 
3.2PROCESSO DE ANALOGIA DE GRELHA ......................................................... 79 
4 CÁLCULO MANUAL DA EDIFICAÇÃO ...................................................................... 81 
4.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO .................................................................................... 84 
4.1.1 PILARES ............................................................................................................. 84 
4.1.2 VIGAS .................................................................................................................. 85 
4.1.3 LAJES .................................................................................................................. 87 
4.2 DEFINIÇÃO DOS MATERIAIS ............................................................................... 89 
4.2.1 CONCRETO ........................................................................................................ 89 
4.2.2 AÇO ...................................................................................................................... 89 
4.3 CALCULO DOS ESFORÇOS NAS LAJES ......................................................... 89 
4.4 MOMENTOS E REAÇÕES NAS LAJES .............................................................. 95 
4.5 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES ...................................................................... 98 
4.6 VERIFICAÇÃO AO CISALHAMENTO DAS LAJES .......................................... 99 
4.7 DETALHAMENTO DAS LAJES ........................................................................... 100 
4.8 ESFORÇOS E DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS ......................................... 107 
4.9 DETALHAMENTO DAS VIGAS ........................................................................... 125 
5 CÁLCULO DA EDIFICAÇÃO UTILIZANDO O SOFTWARE EBERICK .............. 129 
5.1 RESULTADO DAS LAJES ................................................................................... 131 
 
 
5.2 DETALHAMENTO DAS LAJES ........................................................................... 138 
5.3 RESULTADO DAS VIGAS .................................................................................... 143 
5.4 DETALHAMENTO DAS VIGAS ........................................................................... 152 
6 ESTUDO COMPARATIVO ENTRE OS RESULTADOS ......................................... 156 
6.1 LAJES ....................................................................................................................... 156 
6.2 VIGAS ....................................................................................................................... 161 
6.2.1 V1, V2, V12 E V13 ........................................................................................... 161 
6.2.2 V3 E V11 ............................................................................................................ 162 
6.2.3 V17, V18, V22 E V23 ....................................................................................... 163 
6.2.4 V4 E V10 ............................................................................................................ 165 
6.3 TAXAS DE AÇO PARA AS VIGAS ..................................................................... 167 
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................... 169 
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................... 170 
ANEXOS .................................................................................................................................. 172 
 
 
 
 
 
 
 
14 
1 INTRODUÇÃO 
 
O cálculo estrutural trata do dimensionamento das estruturas que irão sustentar 
a edificação e transmitir seus esforços para o solo. 
A associação entre o aço e o concreto é uma técnica de construção bastante 
difundida nas estruturas, sendo seu dimensionamento e detalhamento realizados com 
base em cálculos estruturais apresentados através de um memorial com as 
considerações do calculista, seguindo os princípios das teorias desenvolvidas acerca 
do assunto. 
Com o passar dos anos, os avanços tecnológicos foram extremamente 
importantes para a Engenharia de Estruturas, influenciando de forma significativa e 
direta na concepção das estruturas. 
Segundo Kimura (2018), é difícil imaginar cálculos estruturais de grande 
complexidade sendo elaborados de forma totalmente manual nos dias de hoje. Para 
a construção de um edifício, por exemplo, existem várias etapas que, feitas de forma 
manual, podem levar semanas e comprometer o cronograma do projeto. Por outro 
lado, é importante salientar que a informatização não veio para substituir os conceitos 
do cálculo estrutural e sim para auxiliá-los. 
O estudo que segue, desenvolve o dimensionamento de elementos de um 
pavimento em concreto armado, de forma manual e computacional a fim de confrontar 
os resultados obtidos em cada situação. Utilizou-se na determinação dos esforços 
manuais, as tabelas de Czerny para as lajes e o Ftool para as vigas. Para o 
dimensionamento das lajes, foi adotada a Tabela 63 – Flexão simples em seções 
retangulares, proposta por Pinheiro1 (1993) apud Dumêt (2018) e, disponível nos 
anexos. As vigas foram dimensionadas por meio da solução das equações de 
equilíbrio e compatibilidade, propriamente ditas, para o concreto armado. O 
dimensionamento computacional se deu através do software Eberick. Este programa 
trabalha por meio de um modelo de pórticos espaciais de barras e grelhas para o 
dimensionamento dos elementos. 
 
 
1 PINHEIRO, L. M. (1993). Concreto Armado: tabelas e ábacos. São Carlos: EESC-USP, 
1993. 
 
 
 
15 
1.1 OBJETIVOS 
 
 Este presente trabalho tem como objetivo a comparação de resultados entre o 
dimensionamento manual e o dimensionamento com auxílio de software para vigas e 
lajes de concreto armado, buscando dar suporte aos estudantes em seu primeiros 
contato com projetos estruturais. 
 
1.2 JUSTIFICATIVAS 
 
Os softwares foram desenvolvidos para automatizar a análise de estruturas e 
seu dimensionamento, poupando o tempo de dedicação do projetista ao trabalho 
“braçal” de detalhamentos e quantificações, além de evitar falhas humanas. Dessa 
forma, o engenheiro ganha mais tempo para estudar a melhor solução estrutural para 
o cliente. 
O fato é que, com a introdução de ferramentas computacionais no universo do 
cálculo estrutural, cria-se espaço para dúvidas e comparações em relação ao trabalho 
manual, principalmente se os resultados obtidos pelos programas computacionais se 
mostram fiéis aos métodos manuais, ou vice-versa, visto que as Norma Técnicas não 
especificam a ferramenta a ser utilizada no dimensionamento. 
 
1.3 METODOLOGIA 
 
Este trabalho consiste em três partes distintas. Inicialmente foi feita uma revisão 
bibliográfica, na qual foram abordados critérios de dimensionamento de lajes maciças 
e vigas de concreto armado. 
Posteriormente, foi realizado um estudo comparativo entre o dimensionamento 
manual e o dimensionamento com auxílio do software AltoQi Eberick 2020 next pro 
de vigas e lajes do pavimento estudado na disciplina ENG118 – Estruturas de 
Concreto Armado I. 
A terceira etapa consistiu em comparar os resultados obtidos, tais como, 
esforços, áreas de aço e considerações do modelo estrutural. 
 
 
 
 
 
16 
1.4 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO 
 
No Capítulo 1 é apresentado uma breve introdução com objetivos, justificativas 
e metodologia. 
O Capítulo 2 trata dos assuntos estudados para a elaboração deste trabalho, 
dentre eles os fundamentos para o dimensionamento e detalhamento de lajes maciças 
e vigas de concreto armado, e o pré-dimensionamento de elementos estruturais. 
O Capitulo 3 aborda considerações acerca do software AltoQi Eberick 2020 next 
pro, utilizado como ferramenta computacional no dimensionamento dos elementos em 
estudo. 
No Capítulo4 é apresentado um memorial de cálculo manual das lajes e vigas 
da edificação, seus resultados e detalhamento. 
No Capítulo 5 é apresentado os resultados do dimensionamento das lajes e 
vigas de concreto armado com auxílio do software. 
No Capítulo 6 é abordado um estudo comparativo entre os resultados, com 
análises e ponderações do autor. 
E por fim, o Capítulo 7 apresenta as conclusões obtidas e as considerações finais 
deste presente trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
2 FUNDAMENTOS DO DIMENSIONAMENTO EM CONCRETO ARMADO 
Este capítulo introduzirá os conceitos dos principais assuntos a serem 
abordados no trabalho, dando ênfase no que tange o essencial para a dissertação do 
mesmo. São eles: conceitos fundamentais do concreto armado, suas equações de 
dimensionamento e a apresentação do software AltoQi Eberick 2020 next pro utilizado 
no dimensionamento computacional. 
 
2.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CONCRETO ARMADO 
O concreto é um material composto de cimento, água e agregados. Associando 
esses materiais, tem-se como produto: 
• Pasta: cimento + água 
• Argamassa: cimento + água + agregados miúdos 
• Concreto: cimento + água + agregados miúdos + agregados graúdos 
Para a utilização estrutural, o concreto sozinho não é adequado, pois apesar de 
ter uma boa resistência à compressão, pouco resiste à tração (cerca de 10% da sua 
capacidade à compressão). Em grande parte dos elementos é possível encontrar 
ambos os esforços numa mesma seção transversal (tensões solicitantes de 
compressão e tensões solicitantes de tração), daí a importância da associação do 
concreto com um material resistente à tração, como por exemplo o aço, que possui 
boa resistência aos esforços de tração. 
Em resumo, é possível definir o concreto armado como “a união do concreto 
simples e de um material resistente à tração (aço) envolvido pelo concreto de tal modo 
que ambos resistam solidariamente aos esforços solicitantes” (BASTOS, 2006). 
 
2.1.1 PROPRIEDADES DO CONCRETO 
As diversas características que o concreto endurecido deve apresentar para que 
possa ser utilizado dependem fundamentalmente do planejamento e dos cuidados na 
sua execução. O planejamento consiste em definir as propriedades desejadas do 
concreto, analisar e escolher os materiais existentes ou disponíveis, estabelecer uma 
metodologia para definir o traço (proporção entre os componentes), os equipamentos 
para mistura, o transporte, o adensamento e a cura. 
 
 
 
18 
A principal característica do concreto é sua resistência à compressão, a qual é 
determinada pelo ensaio de corpos de prova submetidos à compressão centrada. 
Esse ensaio também permite a obtenção de outras características, tal como o módulo 
de deformação longitudinal ou módulo de elasticidade. A resistência à compressão, 
obtida por ensaio é dada por: 
𝑓𝑐𝑗 =
𝑁𝑟𝑢𝑝
𝐴
 
Em que: 
𝑓𝑐𝑗 → resistência à compressão do corpo de prova de concreto na idade de (j) 
dias; 
𝑁𝑟𝑢𝑝 → carga de ruptura do corpo de prova; 
𝐴 → área da seção transversal do corpo de prova. 
Para se avaliar a resistência de um concreto à compressão, é necessário realizar 
um certo número de ensaios de corpos de prova e, a partir destes valores, adota-se 
como valor representativo a média aritmética 𝑓𝑐𝑚. Entretanto, esse valor não reflete a 
verdadeira qualidade do concreto na obra, pois não considera a dispersão dos 
resultados, por isso, tem sido adotado o conceito de resistência característica, uma 
medida estatística que leva em consideração não só o valor da média aritmética das 
cargas de ruptura nos ensaios com corpos de prova, mas também o desvio da série 
de valores por meio do coeficiente de variação δ. 
Segundo a NBR 6118 (2014), os valores característicos 𝑓𝑘 das resistências são 
os que, em um lote de material, têm uma determinada probabilidade de serem 
ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança. Usualmente, é de interesse 
a resistência característica inferior, admitida como o valor que tem apenas 5% de 
probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material. 
Portanto, define-se como resistência característica do concreto à compressão 𝑓𝑐𝑘, o 
valor que apresenta um grau de confiança de 95%. De acordo com essa definição, e 
admitindo-se distribuição estatística normal dos resultados (Figura 1), têm-se: 
𝑓𝑐𝑘 = 𝑓𝑐𝑚 − 1,645 ∙ 𝑠 
Sendo 𝑠 = 𝑓𝑐𝑚 ∙ 𝛿 
 
 
 
19 
Figura 1 – Distribuição normal das resistências à compressão dos corpos de prova. 
 
 Fonte: CARVALHO (2016) 
No que tange a resistência do concreto á tração, existem três tipos de ensaio 
para se obter a resistência à tração: de flexo-tração, de compressão diametral e tração 
pura (direta), conforme apresentadas na Figura 2. 
Figura 2 – Modos de ensaios de resistência do concreto à tração. 
 
 Fonte: CARVALHO (2016) 
 
De acordo com Carvalho (2016), a resistência pura é 85% da resistência à tração 
por compressão diametral e 60% da resistência obtida pelo ensaio de flexo-tração. A 
resistência à tração direta 𝑓𝑐𝑡,𝑠𝑝 e a resistência à tração na flexão 𝑓𝑐𝑡,𝑓 devem ser 
obtidas em ensaios, na falta deles pode ser avaliado o seu valor médio ou 
característico por meio das seguintes equações: 
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘
2/3
 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 
 
 
 
20 
Com 𝑓𝑐𝑡,𝑚 𝑒 𝑓𝑐𝑘 expressos em MPa. 
O diagrama Tensão versus Deformação mostra as deformações específicas do 
concreto na compressão. Ele é obtido por ensaios dos corpos de prova à compressão 
centrada, e apresenta uma parte final parabólica e outra inicial levemente retilínea, 
conforme Figura 3. 
Figura 3 – Diagrama parábola-retângulo Tensão versus Deformação. 
 
Fonte: O autor (2019) 
O diagrama Tensão versus Deformação é descrito pelas seguintes expressões: 
𝜎𝑐 = 0,85𝑓𝑐𝑑 [1 − (1 −
𝜀𝑐
𝜀0
)
𝑛
], se 𝜀𝑐 ≤ 𝜀0 
𝜎𝑐 = 0,85𝑓𝑐𝑑, se 𝜀0 ≤ 𝜀𝑐 ≤ 𝜀𝑢 
𝜎𝑐 = 0, se 𝜀𝑐 > 𝜀𝑢 
𝑓𝑐𝑑 → tensão de ruptura do concreto igual a 𝑓𝑐𝑘/1,4 
No qual, 𝜀𝑐 é a deformação de compressão e 𝜎𝑐 é a tensão correspondente. Para 
𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎, 𝜀0 = 2,0‰ e 𝜀𝑢 = 3,5‰ (NBR 6118, 2014). 
Oberva-se que a máxima tensão de compressão admitida corresponde a 85% 
do 𝑓𝑐𝑑, em virtude de três fatores de correção em relação aos valores obtidos nos 
ensaios, segundo Dumêt (2018), são eles: o tamanho do corpo de prova, a velocidade 
de carregamento, e a idade do concreto. 
O módulo de elasticidade 𝐸𝑐 tem seu valor variável em cada ponto e é obtido 
pela inclinação da reta que une a origem a esse ponto, ou seja: 
𝐸𝑐 =
𝜎𝑐
𝜀𝑐⁄ 
Em que 𝜎𝑐 é a tensão aplicada e 𝜀𝑐, a deformação específica resultante. 
 
 
 
21 
Segundo a NBR 6118 (2014) quando não forem realizados ensaios, pode-se 
estimar o valor do módulo de elasticidade inicial usando as expressões a seguir para 
concretos com 𝑓𝑐𝑘 entre 20 a 50MPa: 
𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝐸 ∙ 5600√𝑓𝑐𝑘 (MPa) 
Sendo: 
𝛼𝐸 = 1,2 para basalto e diabásio 
𝛼𝐸 = 1,0 para granito e gnaisse 
𝛼𝐸 = 0,9 para calcário 
𝛼𝐸 = 0,7 para arenito 
O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de 
projeto, especialmente para verificar os estados limite de serviço, deve ser calculado 
pela equação a seguir, com valores expressos em MPa. 
𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 ∙ 𝐸𝑐𝑖 
𝛼𝑖 = 0,8 + 0,2 ×
𝑓𝑐𝑘
80
 ≤ 1,0 
De acordo com a NBR 6118 (2014), para tensões de compressão menores que 
0,5 𝑓𝑐 e tensões de tração menores que 𝑓𝑐𝑡, o coeficiente de Poisson 𝜈 pode ser 
tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade transversal 𝐺𝑐 como 𝐸𝑐𝑠/2,4. 
Segundo a NBR 6118 (2014), se a massa específica real não for conhecida, para 
efeito de cálculo, pode-se adotar para o concreto simples o valor 24kN/m³ e para o 
concreto armado, 25 kN/m³. 
 
2.1.2 PROPRIEDADES DO AÇO 
Segundo Carvalho (2016), as características mecânicas mais importantes paraa definição de um aço, obtidas em ensaios de tração, são: resistência característica 
de escoamento, limite de resistência e alongamento na ruptura. 
A resistência característica de escoamento do aço à tração (𝑓𝑦𝑘) é a máxima 
tensão que a barra deve suportar, pois, a partir dela, o aço passa a sofrer deformações 
permanentes. Esse é o caso dos aços que apresentam patamar definido (CA-25 e CA-
 
 
 
22 
50). O aço CA-60 não tem patamar definido, e o valor de 𝑓𝑦𝑘 é o da tensão 
correspondente a uma deformação específica permanente de 0,002 ou 2‰. 
A sigla CA indica que se refere ao concreto armado, e o número, a resistência 
de escoamento mínima em kN/cm². 
O limite de resistência (𝑓𝑠𝑡𝑘) é a força máxima suportada pelo material, e com a 
qual ele se rompe, ou seja, é o ponto máximo de resistência da barra. A tensão 
máxima é determinada pela relação entre a força de ruptura e a área da seção 
transversal inicial da amostra. 
O alongamento na ruptura é o aumento do comprimento do corpo de prova 
correspondente à ruptura, expresso em porcentagem, ou seja, 
𝜀𝑠 =
𝑙1 − 𝑙0
𝑙0
∙ 100 
Em que 𝑙0 e 𝑙1 são os comprimentos inicial e final, respectivamente, de um trecho 
(normalmente central) do corpo de prova. De acordo com Carvalho (2016), para o 
peso específico do aço pode ser tomado o valor de 78,5 kN/m³. 
Segundo Carvalho (2016), os aços que apresentam patamar de escoamento 
definido ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4), a deformação específica de cálculo (𝜀𝑦𝑑), que é a correspondente ao 
início do patamar, é pode ser calculado pela expressão a seguir: 
𝜀𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
 
Em que: 
 
 
 
23 
𝐸𝑠 → módulo de elasticidade do aço, admitido igual a 210.000 MPa; 
𝑓𝑦𝑑 → tensão de escoamento de cálculo do aço igual a 𝑓𝑦𝑘/1,15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Diagrama simplificado da tensão versus deformação dos aços. 
 
 Fonte: O autor (2019) 
Segundo Araújo (2014), é possível considerar idêntico comportamento do aço 
em tração e compressão. As relações Tensão versus Deformação para os aços são 
as seguintes: 
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠𝜀𝑠, se 𝜀𝑠 ≤ 𝜀𝑦𝑑 
𝜎𝑠 = 𝑓𝑦𝑑, se 𝜀𝑠 > 𝜀𝑦𝑑 
Admite-se para o dimensionamento, que o aço atinge o limite de deformação 
exessiva quando a armadura mais tracionada atingir o valor de 10‰, a fim de se evitar 
a deformação e a fissuração excessiva da peça de concreto. 
O Quadro 1 apresenta as bitolas disponíveis no mercado. 
Quadro 1 – Bitolas comerciais para os aços. 
Barras 
(Ømm) 
As. (cm²) Massa Linear (Kg/m) 
5 0,196 0,16 
6,3 0,312 0,25 
 
 
 
24 
8 0,503 0,4 
10 0,785 0,63 
12,5 1,227 1 
16 2,011 1,6 
20 3,142 2,5 
 Fonte: O autor (2019) 
2.2 CARGAS DE PROJETO 
A NBR 6120 (1980) tem como objetivo fixar condições exigíveis para 
determinação dos valores de cargas que devem ser considerados no projeto de 
estrutura de edificações. Desta forma, a mesma estabelece cargas mínimas para o 
cálculo de estruturas (Quadro 2), além de fornecer os pesos específicos de materiais 
empregados na construção. 
Quadro 2 – Valores mínimos para cargas de uso em projetos de edificações. 
 
 
 
25 
 
 Fonte: NBR 6120 (1980) 
 
2.3 METODO DOS ESTADOS LIMITES 
Diz-se que uma estrutura atinge um estado limite quando ela apresenta 
desempenho inadequado às finalidades da construção, não mais preenchendo 
requisitos de estabilidade, conforto e durabilidade para o seu funcionamento (DUMÊT, 
 
 
 
26 
2018). Assim sendo, segundo Sales2 et al. (1993) apud Dumêt (2018), pode-se dizer 
que a segurança de uma estrutura é a capacidade que ela apresenta de suportar às 
diversas ações que vierem a solicitá-la durante sua vida útil, sem atingir qualquer 
estado limite. 
Os estados limites podem ser classificados em duas categorias, são eles os 
Estados Limites Últimos (ELU) e os Estados Limites de Serviço (ELS). 
 
2.3.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
Segundo a NBR 8681 (2003), Estados Limites Últimos são aqueles que pela sua 
simples ocorrência, determinam a paralisação, no todo ou em parte, do uso da 
construção, e correspondem ao esgotamento da capacidade portante da estrutura, 
estando relacionado com o seu colapso, em parte ou no todo. De acordo com a NBR 
6118 (2014), no projeto, usualmente devem ser considerados os estados limites 
últimos caracterizados por: 
a) Perda de equilíbrio da estrutura, admitida a estrutura como um corpo rígido; 
b) Esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, 
devido às solicitações normais e tangenciais, admitindo-se a redistribuição 
de esforços internos, desde que seja respeitada a capacidade de adaptação 
plástica e admitindo-se em geral, em geral, as verificações separadas das 
solicitações normais e tangenciais; 
c) Esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, 
considerando os efeitos de segunda ordem; 
d) Esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, 
considerando exposição ao fogo; 
e) Esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, 
considerando ações sísmicas; 
f) Outros estados-limites últimos que possam eventualmente ocorrer em casos 
especiais. 
 
2 SALES, J. J.; GONÇALVES, R. M.; MALITE, M. – SET – 403 – Sistemas estruturais; 
Segurança nas estruturas. Notas de aulas, EESC-USP, 1993. 
 
 
 
27 
Os coeficientes de ponderação das ações no ELU (Quadro 3 e Quadro 4) são 
apresentados a seguir. 
Quadro 3 – Coeficiente 𝛾𝑓 = 𝛾𝑓1 ∙ 𝛾𝑓3 
Combinações 
de ações 
Ações 
Permanentes 
(g) 
Variáveis (q) Protensão (p) 
Recalques 
de apoio e 
retração 
D F G T D F D F 
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 
Especiais ou 
de construção 
1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0,0 1,2 0,9 0 0 
 Onde 
D é desfavorável, F é favorável, G representa as cargas variáveis em geral e T 
é a temperatura. 
 
ª Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das 
estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido 
para 1,3. 
 Fonte: Adaptado da NBR 6118 (2014) 
 
Quadro 4 – Valores do coeficiente 𝛾𝑓2 
 
 Fonte: Adaptado da NBR 6118 (2014) 
 Em que, 𝜓0 é o coeficiente de redução dos valores das ações no ELU, que 
considera a baixa probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos 
 
 
 
28 
de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes. As combinações últimas 
usuais estão disponíveis no Quadro 5: 
Quadro 5 – Combinações últimas de ações. 
Combinações 
últimas (ELU) 
Descrição Cálculo das solicitações 
Normais 
Esgotamento da 
capacidade 
resistente para 
elementos 
estruturais de 
concreto 
armado a 
 Fd=γgFgk+γεgFεgk+γq(Fq1k+∑ψ0jFqjk)+γεqψ0εFεqk 
Perda do 
equilíbrio como 
corpo rígido 
S(Fsd)≥S(Fnd) 
Fsd=γgsGsk+Rd 
Fnd=γgnGnk+γqQnk-γqsQs,mín, onde:Qnk=Q1k+∑ψ0jQjk 
Especiais ou 
de construção 
Fd=γgFgk+γεgFεgk+γq(Fq1k+∑ψ0jFqjk) + γεqψ0εFεqk 
Excepcionais b Fd=γgFgk+γεgFεgk+𝐹𝑞1𝑒𝑥𝑐+𝛾𝑞∑ψ0jFqjk + γεqψ0εFεqk 
Onde, 
 
𝐹𝑑→ é o valor de cálculo das ações para combinação última; 
𝐹𝑔𝑘→ representa as ações permanentes diretas; 
𝐹𝜀𝑘→ representa as ações indiretas permanentes como a retração 𝐹𝜀𝑔𝑘 e variáveis como a 
temperatura; 
𝐹𝑞𝑘→ representa as ações variáveis; 
γ𝑔, 𝛾𝜀𝑔, 𝛾𝑞 , 𝛾𝜀𝑞→ ver Tabela 11.1; 
ψ0𝑗 , ψ0𝜀→ ver Tabela 11.2; 
𝐹𝑠𝑑→ representa as ações estabilizantes; 
𝐹𝑛𝑑→ representa as ações não estabilizantes; 
𝐺𝑠𝑘→ é o valor característico da ação permanente estabilizante; 
𝑅𝑑→ é o esforço resistente considerado estabilizante, quando houver; 
𝐺𝑛𝑘→ é o valor característico da ação permanente instabilizante; 
𝑄𝑛𝑘 = 𝑄1𝑘 +∑Ψ0𝑗𝑄𝑗𝑘
𝑚
𝑗=2
 
𝑄𝑛𝑘→ é o valor característico das ações variáveis instabilizantes; 
𝑄1𝑘→ é o valor característico da ação variável instabilizante considerada principal; 
Ψ0𝑗 e 𝑄𝑗𝑘→ são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor reduzido;𝑄𝑠,𝑚í𝑛→ é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha 
obrigatoriamente uma ação variável instabilizante; 
 
a No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das 
cargas permanentes seja reduzido pela consideração de 𝛾𝑔 = 1,0. No caso de estruturas usuais 
de edifícios, essas combinações que consideram 𝛾𝑔 reduzido (1,0) não precisam ser 
consideradas. 
b Quando 𝐹𝑞1𝑘 ou 𝐹𝑞1𝑒𝑥𝑐 atuarem em tempo muito pequeno ou tiverem probabilidade de 
ocorrência muito baixa, Ψ0𝑗 pode ser substituído por Ψ2𝑗. Este pode ser o caso para ações 
sísmicas e situação de incêndio. 
 Fonte: Adaptado da NBR 6118 (2014) 
 
 
 
 
29 
2.3.2 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO 
 
Segundo a NBR 8681 (2003), Estados Limites de Serviço são estados que, por 
sua ocorrência, repetição ou duração, causam efeitos estruturais que não respeitam 
as condições especificadas para uso normal da construção, ou que são indícios de 
comprometimento da durabilidade da estrutura. Quando não representar situação de 
risco a vidas humanas, como no caso dos estados limites últimos, uma maior 
probabilidade de ocorrência desses estados limites é tolerada. 
São considerados estados limites de serviço, ainda de acordo com a NBR 8681 
(2003), situações ocorridas no período de vida da estrutura, caracterizados por: 
a) Danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto estético da 
construção ou a durabilidade da estrutura (fissuração) 
b) Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou seu 
aspecto estético (flechas em lajes ou vigas); 
c) Vibração excessiva ou desconfortável. 
Os coeficientes de ponderação das ações nos Estados Limites de Serviço foram 
mencionados no Quadro 3Quadro 3 – Coeficiente 𝛾𝑓 = 𝛾𝑓1 ∙ 𝛾𝑓3 que ilustra a Tabela 11.2 
da NBR 6118 (2014), no qual 𝛾𝑓 = 𝛾𝑓2 em que: 
𝛾𝑓2 = 1 para combinações raras; 
𝛾𝑓2 = 𝜓1 para combinações frequentes; 
𝛾𝑓2 = 𝜓2 para combinações quase permanentes. 
As combinações usuais de serviço estão disponíveis no Quadro 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
Quadro 6 – Combinações de serviço. 
Combinações de 
Serviço (ELS) 
Decrição Cálculo das solicitações 
Combinações 
quase 
permanentes de 
serviço (CQP) 
Nas combinações quase 
permanentes de serviço, todas 
as ações variáveis são 
consideradas com seus valores 
quase permanentes Ψ2𝐹𝑞𝑘 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = ∑𝐹𝑔𝑖,𝑘 + ∑Ψ2𝑗𝐹𝑞𝑗,𝑘 
Combinações 
frequentes de 
serviço (CF) 
Nas combinações frequentes de 
serviço a ação variável principal 
𝐹𝑞1 é tomada com seu valor 
frequente Ψ1𝐹𝑞1𝑘 e todas as 
demais ações variáveis são 
tomadas com seus valores 
quase permanentes Ψ2𝐹𝑞𝑘 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = ∑𝐹𝑔𝑖𝑘 +Ψ1𝐹𝑞1𝑘 + ∑Ψ2𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘 
Combinações 
raras de serviço 
(CR) 
Nas combinações raras de 
serviço, a ação variável principal 
𝐹𝑞1 é tomada com seu valor 
característico e todas as demais 
são tomadas com seus valores 
frequentes Ψ1𝐹𝑞𝑘 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = ∑𝐹𝑔𝑖𝑘 + 𝐹𝑞1𝑘 + ∑Ψ1𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘 
 
Onde 
 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 → é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço; 
𝐹𝑞1𝑘 → é o valor característico das ações variáveis principais direta; 
Ψ1 → é o fator de redução da combinação frequente para ELS; 
Ψ2 → é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS. 
 
 Fonte: Adaptado da NBR 6118 (2014) 
 
 
2.4 CRITÉRIOS DE PROJETO 
 
Neste tópico serão apresentadas premissas normativas que levam em 
consideração as características apresentadas pela utilização e localização da 
estrutura a ser executada buscando atender à vida útil de projeto, além da segurança 
e do conforto do usuário. De acordo com a NBR 6118 (2014) entende-se como vida 
útil de projeto o período de tempo durante o qual se mantêm as características das 
estruturas de concreto, sem intervenções significativas, desde que atendidos os 
requisitos de uso e manutenção prescritos pelo projetista e pelo construtor. 
 
 
 
 
31 
2.4.1 COMBINAÇÃO DE AÇÕES 
 
O carregamento imposto a um elemento estrutural é decorrente de uma série 
de combinações de ações, com probabilidades não desprezíveis de atuarem em 
certos períodos. Tal combinação deve ser feita de forma que se possa conciliar tanto 
a verificação dos efeitos desfavoráveis da estrutura quanto a segurança total da peça 
analisada. Em todas essas combinações, as ações permanentes devem ser adotadas 
em sua totalidade, enquanto as variáveis devem ser tidas como parcela da carga 
decorrente que produzem efeitos negativos para a segurança. 
As ações, sejam elas em quaisquer combinações em que estejam agrupadas, 
deverão ter seus valores multiplicados por coeficientes de ponderação. Essas 
combinações serão divididas em combinações referentes ao estado limite último, ou 
de serviço, estando essas listadas na NBR 6118 (2014) para as diversas 
possibilidades. 
 
2.4.2 AÇÕES E SOLICITAÇÕES 
 
A NBR 6118 (2014) elenca as solicitações de cálculo obtidos das ações 
consideradas. Essas ações são classificadas de acordo com suas variabilidades no 
tempo em ações permanentes, variáveis ou excepcionais. 
a) Ações permanentes: São divididas em ações diretas ou indiretas. Ações 
diretas estão associadas ao peso próprio dos elementos construtivos fixos, 
instalações permanentes e empuxos permanentes. Ações indiretas são 
oriundas das ações diretas que podem ser controladas, porém inevitáveis. 
São elas: deformações e esforços impostos pela retração e fluência do 
concreto, deslocamento de apoio, imperfeições geométricas e protensão 
das armaduras. 
b) As ações variáveis: São consideradas as cargas acidentais, assim como 
os efeitos não controlados como o vento, variação de temperatura, pressões 
hidrostáticas ou hidrodinâmicas. Sua classificação interna é dada em função 
da probabilidade de incidência, podendo ser: diretas ou indiretas. Assim, as 
ações variáveis diretas, são cargas acidentais, previstas para o uso, 
 
 
 
32 
construção, ação do vento ou da água. Estas ações são de inclusão 
obrigatória no projeto estrutural pelo fato de possuir probabilidade suficiente 
de ocorrência. Já as ações variáveis indiretas demandam certa 
especificidade própria do ambiente em que a estrutura está inserida, são 
elas: ações sísmicas ou de outra natureza especial, variação de 
temperatura e insolação, de forma que sua inclusão deve ser tida como 
variável para efeito de cálculo, e compor valores recomendados pela NBR 
6118 (2014). 
c) Ações de efeitos excepcionais: São representados como de ainda menor 
probabilidade de ocorrência, mas que não devem ser negligenciadas, são 
exemplos: choque de veículo na estrutura, incêndio, enchente, dentre 
outros que demandam certa prudência do projetista em suas 
considerações. A NBR 6118 (2014) cita que para os casos de incêndio, 
poderá ser levado em conta a redução da resistência dos materiais ao invés 
da sua excepcionalidade. 
As solicitações e as resistências de cálculo devem ser majoradas e reduzidas, 
respectivamente, a partir dos seus valores característicos calculados, multiplicando-
os por seus respectivos coeficientes de majoração e de segurança estipulados na 
NBR 6118 (2014). 
 
2.4.3 CRITÉRIOS DE DURABILIDADE DO CONCRETO 
 
Segundo a NBR 6118 (2014), a agressividade do meio ambiente está 
relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, 
independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem 
térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas. 
Nos projetos das estruturas de concreto correntes, a agressividade ambiental deve 
ser classificada de acordo com a Tabela 6.1 da NBR 6118 (2014), simplificada, 
segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes, apresentada no 
Quadro 7. 
 
 
 
 
 
33 
Quadro 7 – Classes de agressividade ambiental (CAA). 
 
 Fonte: Adaptado da NBR 6118 (2014) 
 
 A durabilidade das estruturas dependede alguns fatores, dentre eles, a 
espessura e a qualidade do concreto no cobrimento das armaduras. Na falta de 
estudos comprobatórios de desempenho da durabilidade das estruturas frente ao tipo 
de classe de agressividade ambiental, existe uma forte correspondência entre a 
relação água/cimento e a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade 
conforme expresso na Tabela 7.1 da NBR 6118 (2014), apresentada no Quadro 8. 
 
Quadro 8 – Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do concreto. 
 
 Fonte: Adaptado da NBR 6118 (2014) 
 
 
 
34 
 O item 7.4.7.6 na NBR 6118 (2014) determina que a máxima dimensão do 
agregado graúdo no concreto não seja superior em 20% a espessura nominal do 
cobrimento. A Tabela 7.2 da referida norma remete à correspondência entre a classe 
de agressividade ambiental e o cobrimento nominal dos elementos estruturais 
conforme apresentada no Quadro 9. 
Quadro 9 – Correspondência entre a CAA e o cobrimento nominal. 
 
Fonte: Adaptado da NBR 6118 (2014) 
 
2.5 PRINCÍPIOS GERAIS DA ANÁLISE ESTRUTURAL 
Segundo a NBR6118 (2014), o objetivo da análise estrutural é determinar os 
efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações dos 
estados-limites últimos e de serviço. O modelo estrutural deve ser idealizado como a 
composição dos elementos estruturais básicos, formando sistemas estruturais 
resistentes que possam representar de maneira clara todos os caminhos percorridos 
pelas ações até os apoios da estrutura. 
 
 
 
 
35 
2.5.1 APROXIMAÇÕES PERMITIDAS PARA VIGAS CONTÍNUAS 
A NBR 6118 (2014), no item 14.6.6.1 permite a utilização do modelo clássico 
de vigas simplesmente apoiada nos pilares para o estudo de cargas verticais, desde 
que sejam processadas as seguintes correções: 
a) Não podem ser considerados momentos positivos menores que os que 
se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios 
internos; 
b) Quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio, 
medida na direção do eixo da viga, for maior do que a quarta parte da 
altura do pilar, não pode ser considerado o momento negativo de valor 
absoluto menor do que o engastamento perfeito nesse apoio; 
c) Quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade 
dos pilares com a viga, deve ser considerado, nos apoios extremos, 
momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado 
pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes relações: 
Na viga, 
𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑣𝑖𝑔 + 𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝
 
 No tramo superior do pilar, 
𝑟𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑣𝑖𝑔 + 𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝
 
 No tamo inferior do pilar, 
𝑟𝑖𝑛𝑓
𝑟𝑣𝑖𝑔 + 𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝
 
 Em que, 
𝑟𝑖 =
𝐼𝑖
𝑙𝑖
 
 𝑟𝑖 → Rigidez do elemento i no nó considerado; 
 𝐼𝑖 → Momento de inércia do elemento i na direção considerada; 
 𝑙𝑖 → Vão efetivo do elemento na direção considerada. 
 
 
 
36 
A Figura 5 representa um esquema sugerido pela NBR 6118 (2014) para o 
modelo de viga contínua, considerando a solidariedade dos pilares com a viga. 
Figura 5 – Esquema estrutural para obtenção de coeficientes. 
 
 Fonte: NBR 6118 (2014) 
 
2.6 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS 
Antes de realizar o dimensionamento estrutural, é necessário realizar um pré-
dimensionamento dos elementos, pois os cálculos iniciais se apoiam nas dimensões 
primárias adotadas pelo projetista. Dessa maneira, este tópico abordará o pré-
dimensionamento dos elementos. 
 
2.6.1 PILARES 
Para o pré-dimensionamento de pilares, um dos procedimentos mais comuns 
é o Método das Áreas de Influência. Como o próprio nome já diz, o método consiste 
em dividir o pavimento em áreas que serão apoiadas pelos pilares. Esse método tem 
a intenção de, apenas, dar uma ideia da carga nos pilares, ou da sua ordem de 
grandeza, para que possa ser feita uma estimativa das suas dimensões e das cargas 
nas fundações. O dimensionamento final dos pilares deve ser feito de acordo com os 
carregamentos reais calculados, levando-se em conta as considerações de 
estabilidade global da estrutura. 
 Uma vez determinada as áreas de influência, essas são multiplicadas pelas 
cargas médias de pré-dimensionamento, fornecendo, então, as cargas nos pilares. 
 
 
 
37 
Para edificações usuais, costuma-se utilizar as seguintes cargas médias, que são 
baseadas na experiência dos projetistas. 
• Carga média do pavimento tipo: 10 a 15kN/m² 
• Carga média da cobertura: 75% da carga do pavimento ripo 
• Carga média de garagem: 150% da carga do pavimento tipo 
De posse da carga no pilar (𝑁𝑘) e da resistência característica do concreto à 
compressão, determinados por meio dos critérios de projeto, pode-se fazer o pré-
dimensionamento da seção de concreto do pilar. A área de concreto do pilar será de: 
𝐴𝑃𝑖𝑙𝑎𝑟 =
𝑁𝑘
𝜎𝑐
 
𝜎𝐶 =
𝑓𝑐𝑘
𝛽
 
Em que 𝛽: 
• 1,4 → para pilares solicitados praticamente à compressão simples; 
• 1,5 → para pilares submetidos à flexo-compressão normal; 
• 1,6 → para pilares submetidos à flexo-compressão oblíqua. 
Existem dimensões mínimas para os pilares, estabelecida pela NBR 6118 
(2014), que são 19 cm de cada lado, podendo essas medidas ainda serem reduzidas 
até 14 cm em um dos sentidos. Para tanto se faz necessário a adoção de coeficientes 
de ajustamento dos esforços solicitantes de acordo com a Tabela 13.1 da NBR 6118 
(2014), apresentada no Quadro 10. 
Quadro 10 – Valores do coeficiente adicional 𝛾𝑛 para pilares e pilares-paredes 
 
 Fonte: NBR 6118 (2014) 
 
 
 
38 
2.6.2 VIGAS 
Em estruturas de edifícios, as vigas têm a finalidade de servir de apoio para as 
lajes, suportar as paredes ou ações de outras vigas, absorvendo esses carregamentos 
e distribuindo-os aos pilares. Além disso, as vigas podem formar pórticos rígidos 
juntamente com os pilares, garantindo a segurança pela ação do vento, assegurando 
a estabilidade global (CUNHA, 2014) 
Segundo a NBR 6118 (2014), a seção transversal das vigas não pode apresentar 
largura menor que 12 cm. Cunha (2014) sugere os seguintes valores para a largura 
de vigas: 
• 𝑏𝑤 = 12 cm (vão ≤ 4 m); 
• 𝑏𝑤 = 20 cm (4 m < vão ≤ 8 m); 
No entanto, sempre que possível, as vigas contínuas devem manter a mesma 
seção transversal nos vários tramos, sempre que possível. 
O método estudado para o pré-dimensionamento, foi o “Método do Prático” 
recomendado pela Norma Portuguesa e citado nas notas de aula de Dumêt (2018), 
em que leva em consideração a posição dos tramos da viga no projeto estrutural (α), 
bem como se ela serve de apoio a outras vigas, propondo uma fórmula com altura da 
viga (h) baseada no seu vão teórico (lx) e o coeficiente (β) que é definido a partir do 
grau de precisão necessário ao pré-dimensionamento. 
Valores de “α” segundo o Método Prático citado em Dumêt (2018): 
• 2,4 → para vão em balanço; 
• 1,0 → para vão biapoiado; 
• 0,8 → para vão mono-engastado; 
• 0,7 → para vão biengastado. 
Os valores propostos para o coeficiente “β” são: 
• 8 → para, nos casos correntes, se ter uma menor probabilidade de mudar 
a altura nos cálculos; 
• 10 → para, nos casos correntes, adotar um valor médio inicialmente; 
 
 
 
39 
• 12 → Adotado nos casos em que se busca reduzir ao máximo a seção 
inicial; 
A equação a seguir, apresentada por Dumêt (2018) é utilizada para encontrar a 
altura de pré-dimensionamento das vigas. 
ℎ ≥
𝛼. 𝑙𝑥
𝛽
≥ 30𝑐𝑚 
A altura mínima determinada pela NBR 6118 (2014) é de 30 cm. 
 
2.6.3 LAJES 
Para as lajes maciças armadas em cruz com vãos menores do que 6m, sugere-
se adotar também o “Método Prático” recomendado pela Norma Portuguesa, que 
apresenta a seguinte a equação: 
ℎ ≥
𝛼. 𝑙𝑥
𝛽
≥ ℎ𝑚í𝑛 
Em que: lx é o menor vão teórico ou balanço. 
Os valores de “α” segundo o Método Prático citado por Dumêt (2018) são: 
• 2,4 → para vão em balanço; 
• 1,0 → para vão biapoiado; 
• 0,8 → para vão mono-engastado;• 0,7 → para vão biengastado. 
Os valores propostos para o coeficiente “β” são: 
• 30 → para, nos casos correntes, reduzir a probabilidade de se ter que 
aumentar a altura posteriormente; 
• 35 → Adotado nos casos em que se busca reduzir ao máximo a seção 
inicial; 
Segundo a NBR 6118 (2014) os valores mínimos para altura das lajes são: 
 
hmín ≥ 
7cm → Para cobertura; 
8cm → Para piso e balanço; 
12cm → Para pisos de passagem de veículos. 
 
 
 
 
40 
2.7 EQUAÇÕES DE DIMENSIONAMENTO E CRITÉRIOS DE DETALHAMENTO 
PARA VIGAS 
Este tópico abordará as equações de dimensionamento para o concreto armado 
e critérios para detalhamento de vigas. 
 
2.7.1 HIPÓTESES BÁSICAS DO DIMENSIONAMENTO 
As hipóteses básicas para o dimensionamento de peças fletidas estão 
apresentadas a seguir. 
a) Hipótese das seções planas 
Segundo Araújo (2014), admite-se que uma seção transversal ao eixo do 
elemento estrutural indeformado, que inicialmente era plana e normal a esse eixo, 
permaneça nessa condição após as deformações do elemento. Essa hipótese 
permite-se distribuir linearmente as deformações ao longo da seção transversal de 
uma peça, desta forma, ainda de acordo com Araújo (2014), a deformação de uma 
fibra genérica da seção é diretamente proporcional à sua distância até a linha neutra. 
b) Aderência perfeita 
Admite-se a existência de uma aderência perfeita entre o aço e o concreto, ou 
seja, nenhum escorregamento da armadura é considerado. Com isso, as armaduras 
vão estar sujeitas às mesmas deformações do concreto que as envolve. Logo, a 
deformação em um ponto da seção transversal será calculada de acordo com a 
hipótese (a) independentemente deste ponto corresponder ao aço ou ao concreto. 
(ARAÚJO, 2014) 
c) Concreto em tração 
A tração do concreto é desprezada pelo fato da sua baixa resistência à 
solicitações desse tipo. Segundo Araújo (2014), no estado limite último, para o qual 
se faz o dimensionamento, o concreto tracionado dá uma colaboração muito pequena 
para a resistência. 
d) Diagrama de tensões simplificadas para o concreto 
Segundo Dumêt, (2018) para o dimensionamento é possível substituir o 
diagrama de tensões do concreto parábola-retângulo por um retângulo de altura 80% 
da altura anterior, como mostra a Figura 6, e a tensão do concreto constante de: 
 
 
 
41 
• 0,85𝑓𝑐𝑑 no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, 
a partir desta para a borda comprimida. 
• 0,80𝑓𝑐𝑑 no caso contrário. 
 
Figura 6 – Diagrama retangular simplificado para o concreto. 
 
Fonte: DUMÊT (2018) 
 
e) Diagrama de tensões do aço 
A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas de Tensão 
versus Deformação do aço; 
Figura 7 – Diagrama simplificado Tensão versus Deformação para o aço tipo A. 
 
 Fonte: DUMÊT (2018) 
f) Domínios 
Essa hipótese está mais detalhada a seguir. 
 
 
 
42 
 
2.7.2 DOMÍNIOS DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
De acordo com Araújo (2014), um estado limite último correspondente à ruína 
de uma seção transversal, pode ocorrer por ruptura do concreto ou por uma 
deformação excessiva da armadura. Admite-se a ocorrência da ruína, quando a 
distribuição das deformações ao longo da altura de uma seção transversal se 
enquadrar em um dos domínios de deformação apresentados na Figura 8. 
 
Figura 8 – Domínios de Estado Limite Último. 
 
 Fonte: DUMÊT (2018) 
 Segundo Araújo (2014), os domínios se caracterizam pelos seguintes tipos de 
ruína: 
a) Deformação excessiva da armadura: quando a deformação na armadura mais 
tracionada atingir o valor de 10‰ (Domínios 1 e 2) 
b) Esmagamento do concreto em seções parcialmente comprimidas: quando a 
deformação na fibra mais comprimida atingir o valor de encurtamento máximo 𝜀𝑢 =
3,5‰ (Domínios 3, 4 e 4a) 
c) Esmagamento do concreto em seções totalmente comprimidas, quando a 
deformação da fibra situada a 
𝜀𝑐𝑢−𝜀0
𝜀𝑐𝑢
∙ ℎ atingir o valor 𝜀0, sendo h a altura da seção. 
Domínio 1 
Nesse domínio, a seção transversal encontra-se toda tracionada, como mostra 
a Figura 9. 
 
 
 
 
 
43 
Figura 9 – Seção transversal no Domínio 1. 
 
 Fonte: DUMÊT (2018) 
Domínio 2 
Nesse domínio, a seção transversal se encontra parte tracionada e parte 
comprimida, como mostra a Figura 10: 
Figura 10 – Seção transversal no Domínio 2. 
 
 Fonte: DUMÊT (2018) 
Domínio 3 
Nesse domínio, a seção transversal se encontra parte tracionada e parte 
comprimida, como mostra a Figura 11: 
Figura 11 – Seção transversal no Domínio 3. 
 
 Fonte: DUMÊT (2018) 
Domínio 4 (e 4a) 
Nesse domínio, a seção transversal se encontra parte tracionada e parte 
comprimida, como mostra a Figura 12: 
Figura 12 – Seção transversal no Domínio 4. 
 
 Fonte: DUMÊT (2018) 
 
 
 
44 
Domínio 5 
Nesse domínio, a seção transversal encontra-se totalmente comprimida, como 
ilustra a Figura 13: 
Figura 13 – Seção transversal no Domínio 5. 
 
 Fonte: DUMÊT (2018) 
 O Quadro 11 mostra resumidamente as características de cada domínio: 
 
Quadro 11 – Características dos domínios. 
 
 Fonte: DUMÊT (2018) 
Segundo Araújo (2014), em função do tipo de flexão simples, as peças de 
concreto armado podem ser classificadas como subarmadas, normalmente armadas 
e superarmadas. 
As peças subarmadas são aquelas que, por possuírem uma taxa de armadura 
baixa, rompem no Domínio 2 (Figura 14). Neste caso, a ruptura ocorre por deformação 
excessiva da armadura (ruptura convencional) sem haver o esmagamento do 
concreto. O tipo de ruptura é dúctil, também denominado de ruptura com aviso prévio, 
em virtude da intensa fissuração que precede a ruptura. 
 Nas peças normalmente armadas, a ruptura ocorre no Domínio 3 (Figura 14), 
com esmagamento do concreto e com escoamento do aço. O tipo de ruptura é 
semelhante ao das peças subarmadas e nesse domínio ocorre o melhor 
aproveitamento dos materiais (aço e concreto). 
 E por fim, as peças superarmadas são elementos cuja ruptura ocorre no 
Domínio 4 (Figura 14). Em virtude do excesso de armação, o aço não chega a escoar 
 
 
 
45 
e a ruptura ocorre por esmagamento do concreto. A ruptura é frágil e sem aviso prévio, 
deste modo, essas peças devem ser evitadas. No dimensionamento de vigas, 
consegue-se evitar esse tipo de situação com emprego de armadura dupla (uma 
armadura tracionada e outra comprimida). 
Figura 14 – Domínios possíveis em flexão simples. 
 
 Fonte: O autor (2019) 
 
2.7.3 EQUAÇÕES DE EQUÍLIBRIO 
Têm-se basicamente três equações de equilíbro: 1) De forças horizontais (𝐹ℎ); 
2) De forças verticais (𝐹𝑣); e 3) De Momentos fletores (𝑀) (Figura 15). 
Figura 15 – Seção transversal sob flexão. 
 
 Fonte: DUMÊT (2018) 
1) ∑𝐹ℎ = 0 ∴ 𝐶 = 𝑇 ∴ 0,85𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑦 = 𝜎𝑠𝑑 ∙ 𝐴𝑠 
𝑦
𝑑
= 𝜌
𝑓𝑦𝑑
0,85𝑓𝑐𝑑
 (Equação 1 do dimensionamento) 
 Sendo, 𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑤∙𝑑
 → taxa de armadura geométrica 
2) ∑𝐹𝑣 = 0 ∴ 0 = 0 
 
 
 
46 
3) ∑𝑀 = 0 ∴ 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 𝑀𝑒𝑥𝑡, 𝑀𝑒𝑥𝑡 = 𝑀𝑠𝑑 
𝑀𝑠𝑑 = 0,85𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑦 ∙ (𝑑 −
𝑦
2
) = 𝜎𝑠𝑑 ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑑 −
𝑦
2
) 
𝑀𝑠𝑑
0,85𝑓𝑐𝑑∙𝑏𝑤∙𝑑²
=
𝑦
𝑑
(1 − 0,5
𝑦
𝑑
) (Equação 2 do dimensionamento) 
 
2.7.4 EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE 
Além das equações de equilíbrio, tem-se uma equação de compatibilidade, 
apresentada a seguir, que é proveniente da Lei de Bernouille-Navier, conforme Figura 
16. (DUMÊT, 2018) 
 
Figura 16 – Diagrama de deformação da seção transversal sob flexão. 
 
 Fonte: DUMÊT (2018) 
 
𝑥
𝜀𝑐𝑑
=
(𝑑 − 𝑥)
𝜀𝑠𝑑
 ∴ 𝑦 = 0,8𝑥 
 Sendo assim, pode-se definir a Equação 3 do dimensionamento como, 
y
d
=
0,8
1 +
εsd
εcd
 
 A NBR 6114 (2018) estabelece que para peças de concreto armado com 𝑓𝑐𝑘 ≤
50𝑀𝑃𝑎, (
𝑦
𝑑⁄ )𝑙𝑖𝑚
≤ 0,36. Esses valores são inferiores ao valor de (
𝑦
𝑑⁄ ) no limite entre 
os Domínio 3 e 4 (Ponto A) conforme Figura 17: 
 
 
 
 
 
 
47 
Figura 17 –