Matematica-AULAS-7-e-8-Breviario

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BREVIÁRIO 
Competências 1, 3 e 7
Habilidades 3, 4, 12 e 28
Aulas 7 e 8
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A representação gráfica fornece uma visão de conjunto mais rápida que a observação dos dados numéricos. Por 
isso, os meios de comunicação oferecem com frequência a informação estatística por meio de gráficos.
Consideremos uma situação em que, na votação para representante e vice-representante da primeira série 
do ensino médio, um aluno anota os votos com um “x” ao lado do nome do candidato enquanto seus colegas 
votam. Ao terminar a votação, pode-se observar este “desenho”.
Adriano x x x x x x x x x x x x x
Letícia x x x x x x x
Luciana x x x x x x x x x x
Marino x x x x x x
Magda x x x x
Não precisamos contar os votos para saber quem foi eleito. Pela quantidade de marcações, notamos que 
Adriano foi escolhido para representante e Luciana, para vice.
Com uma simples olhada, obtemos a informação que necessitamos. Essa é uma característica importante 
dos gráficos estatísticos.
Gráfico de segmentos
Esta tabela mostra a venda de livros em uma livraria no segundo semestre de determinado ano:
Meses Livros vendidos
Julho 350
Agosto 300
Setembro 400
Outubro 400
Novembro 450
Dezembro 500
A situação do exemplo estabelece uma correspondência que pode ser expressa por pares ordenados (julho, 350), 
(agosto, 300) etc. Aplicando eixos cartesianos, localizamos os pares ordenados e construímos um gráfico de segmentos.
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Os gráficos de segmentos são utilizados principalmente para mostrar a evolução das frequências dos valores 
de uma variável durante certo período.
A posição de cada segmento indica crescimento, decréscimo ou estabilidade. A inclinação do segmento, por 
sua vez, sinaliza a intensidade do crescimento ou do decréscimo.
Por esse gráfico, observamos que:
 de julho para agosto, as vendas caíram;
 de setembro para outubro, as vendas permaneceram estáveis;
 o crescimento de agosto para setembro foi maior que o de outubro para novembro;
 o mês com maior número de vendas foi dezembro; e
 no mês de outubro, foram vendidos 400 livros.
Gráfico de barras
A partir do “desempenho em Química” demonstrado pelos alunos de uma classe, um professor elaborou a seguinte 
tabela:
Desempenho em Química FA FR
Insuficiente 6 15%
Regular 10 25%
Bom 14 35%
Ótimo 10 25%
Total 40 100%
275
Com os dados da tabela, é possível construir o gráfico de barras:
Gráfico de setores
Em um shopping center há três salas de cinema. O número de espectadores em cada uma delas, num determinado 
dia da semana, foi de 300 na sala A, 200 na B e 500 na C.
276
Situação representada em uma tabela de frequência e, depois, em gráficos de setores.
Sala FA FR
A 300 300 ____ 
1000
 = 3 ___ 
10
 30%
B 200 200 ___ 
1000
 = 1 __ 
5
 20%
C 500 500 ___ 
1000
 = 1 __ 
2
 50%
Em cada gráfico de setores, o círculo todo indica o total (1000 espectadores ou 100%) e cada setor indica 
a ocupação de uma sala. No traçado do gráfico de setores determina-se o ângulo correspondente a cada setor por 
regra de três. Veja o caso da sala A.
Ao aplicar a frequência absoluta, obtemos:
 300 ____ 
1000
 = x ____ 
360°
 ä 1000x = 108000º ä x = 108º
Ao aplicar a frequência relativa (em %), obtemos:
 30 ____ 
1000
 = x ____ 
360°
 ä 100x = 10800º ä x = 108º
Teoria na prática
 Este gráfico mostra a distribuição da população brasileira por regiões de acordo com o PNAD 2007.
Considerando que a população total do Brasil registrada foi de aproximadamente 184 milhões de habitantes 
e que no gráfico o ângulo da região Centro-Oeste é de 25º, calcule a população da região Centro-Oeste em 
porcentagem e em número de habitantes.
Resolução:
360º – 100% x = 7%
25º – x 7% de 184 000 000 = 13 000 000
Logo, a população da região Centro-Oeste para 2007 corresponde a, aproximadamente, 7% da população do 
Brasil, ou seja, 13 000 000 de habitantes.
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Histograma
Se uma variável tiver seus valores indicados por classes (intervalos), é comum o uso de um tipo de gráfico conhe-
cido por histograma.
 Consideremos a “altura” (em centímetros) dos alunos de uma classe, agrupada em intervalos. A seguir os 
gráficos correspondentes às frequências absolutas e relativas:
Altura (cm) FA FR
140 150 6 15%
150 160 10 26%
160 170 12 30%
170 180 8 20%
180 190 4 10%
 Histograma com as classes (intervalos) relacionadas às frequências absolutas.
 Histograma com as classes relacionadas às frequências relativas (em porcentagem):
É frequente o uso como representante de cada classe o valor médio correspondente (por exemplo, 155 
representa a classe 150 160).
278
Os segmentos que ligam em sequência os pontos médios das classes superiores formam um gráfico de 
segmentos conhecido como polígono de histograma.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média aritmética (MA)
Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que:
MA = 22 + 20 + 21 + 24 + 20 ___________________ 
5
 = 107 ___ 
5
 = 21,4
A média aritmética, ou simplesmente a média de idade do grupo, é de 21,4 anos.
Se, ao medir de hora em hora a temperatura em determinado local, registraram-se 14 ºC às 6h; 15 ºC, às 
7h; 15 ºC, às 8h; 18 ºC, às 9h; 20 ºC, às 10h; e 23 ºC, às 11h. Observamos que:
MA = 14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23 _______________________ 
6
 = 105 ___ 
6
 = 17,5
No período das 6h às 11h, a temperatura média foi de 17,5 ºC.
Generalizando, assim, podemos afirmar que, dados os n valores x1, x2, x3, ..., xn de uma variável, a média 
aritmética é o número obtido da seguinte forma:
MA = 
x1 + x2 + x3 +...+ xn _______________ n = 
 ∑ 
i = 1
 
n 
 xi 
n
Média aritmética ponderada
Um aluno que fez vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, com graus de importância diferentes, se no decorrer 
do bimestre obteve 6,5 na prova (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no trabalho de 
equipe (peso 2), a média dele, que neste caso é chamada média aritmética ponderada, será:
MP = 2 · 6,5 + 3 · 7,0 + 1 · 6,0 + 2 · 7,0 __________________________ 
2 + 3 + 1 + 2
 ä 13 + 21 + 6 + 14 ______________ 
8
 = 54 ___ 
8
 = 6,75
279
Moda (Mo)
Em Estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais frequente de um grupo de valores 
observados.
No grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é 2 anos (Mo = 2) e demonstra mais 
eficiência para caracterizar o grupo que a média aritmética.
Se a temperatura medida de hora em hora, das 6h às 11h, apresentou os resultados 14 ºC, 15 ºC, 18 ºC, 
20 ºC e 25 ºC, dizemos que nesse período a moda foi 15º C, ou seja, Mo = 15º C.
Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0; e 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e que a 
distribuição é bimodal.
Observação
Se não houver repetição de números, como 7, 9, 4, 5 e 8, não haverá moda.
Mediana (Me)
A mediana é outra medida de tendência central.
Dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será:
 o número que ocupar a posição central se n for ímpar; e
 a média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par.
Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 7, 0, 5, 2, 3, 4 e 7.
Em ordem crescente temos:
0,0,1,2,2,2,3 3, 3,4,4,5,5,7,7
 ç 
7 valores Me valores
 As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos.
Para determinar a mediana desses valores, dispomos inicialmente na ordem crescente (ou decrescente).
12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17
 
 As duas
 posições
 centrais
Uma vez que temos um número par de valores (8), calculamos a média aritmética entre os dois centrais, que 
são o quarto e o quinto termos.
Logo, a mediana é dada por:
Me = 14 + 16 _______ 
2
 = 30 ___ 
2
 = 15
Simbolicamente, Me = 15 anos.
280
MEDIDAS DE DISPERSÃOVariância (V)
A ideia básica de variância é tomar os desvios dos valores x1 em relação à média aritmética (x – MA). Mas a soma 
desses desvios é igual a 0 (graças a uma propriedade da média). Uma opção possível é considerar o total dos qua-
drados dos desvios ∑ 
i = 1
 
n 
 (xi – MA)2 e expressar a variância (V) como a medida dos quadrados dos desvios, ou seja:
n
 ∑ 
i = 1
 
n 
 (xi – MA)
2 
Exemplo
Descobrir a variância nos grupos A, B.
 grupo A (20; 20; 20; 20; 20; 20)
MA = 20
Desvios: 20 – 20 = 0; todos iguais a 0.
V = 0
Se todos os valores forem iguais, dizemos que não houve dispersão; por isso a variância é 0.
 grupo B (22; 23; 18; 19; 20; 18)
Ma = 20
Desvios: 22 – 20 = 2; 23 – 20 = 3;
18 – 20 = –2; 19 – 20 = –1;
20 – 20 = 0; 18 – 20 = –2
V = 2
2 + 32 + (–2)2 + (–1)2 + 02 + (–2)2 ___________________________ 
6
 = 4 +9 + 4 + 1 + 0 + 4 _________________ 
6
 = 22 ___ 
6
 3,6
Desvio padrão (DP)
O desvio padrão (DP) é a raiz quadrada da variância. Ele facilita a interpretação dos dados, uma vez que é expresso 
na mesma unidade dos valores observados (conjunto de dados). No exemplo que estamos analisando, temos:
 grupo A: DP = √
__
 0 = 0
 grupo B: DP = √
___
 3,6 1,9
Resumindo: se x1, x2, x3, ..., xn são os n valores de uma variável quantidade x, temos:
 a média aritmética dos valores de x: MA = 
n
 ∑ 
i – 1
 
n 
 xi 
 a variação de x: V = 
n
 ∑ 
i = 1
 
n 
 (xi – MA)
2 
 o desvio padrão de x: DP = √
__
 V 
281
Observações
1. Se todos os valores da variável forem iguais, o desvio padrão será 0.
2. Quanto mais próximo de 0 for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores da variável.
3. O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável.
Teoria na prática
1. Num treinamento de salto em altura, os atletas realizam 4 saltos cada um. Veja as marcas obtidas por três 
atletas:
Atleta A: 148 cm, 170 cm, 155 cm e 131 cm;
Atleta B: 145 cm, 151 cm, 150 cm e 152 cm;
Atleta C: 146 cm, 151 cm, 143 cm e 160 cm.
Com base nesses dados, responda aos seguintes itens:
a) Qual deles obteve melhor média?
Resolução:
Ao calcular a média de cada atleta, obtemos:
Atleta A
MA = 148 + 170 + 155 + 131 ___________________ 
4
 = 604 ___ 
4
 = 151 cm
Atleta B
MA = 145 + 151 + 150 + 152 ___________________ 
4
 = 598 ___ 
4
 = 149,5 cm
Atleta C
MA = 146 + 151 + 143 + 160 ___________________ 
4
 = 600 ___ 
4
 = 150 cm
Logo, o atleta A obteve a maior média, 151 cm.
b) Qual deles foi mais regular?
Resolução:
A maior regularidade será verificada a partir do desvio padrão.
Atleta A
V = (148 – 151)
2 + (170 – 151)2 + (155 – 151)2 + (131 – 151)2 ____________________________________________ 
4
 = 
= 9 + 361 + 16 + 400 ________________ 
4
 = 786 ___ 
4
 = 196,5
DP = √
_____
 196,5 = 14 cm
Atleta B
V = (–4,5)
2 + (1,5)2 + (0,5)2 + (2,5)2 ________________________ 
4
 = 20,25 + 2,25 + 0,25 + 6,25 _____________________ 
4
 = 29 ___ 
4
 = 7,25
DP = √
_____
 7,25 = 2,7 cm 
Atleta C
V = (–4)
2 + 12 + (–7)2 + 102 __________________ 
4
 = 16 + 1 + 49 + 100 _______________ 
4
 = 166 ___ 
4
 = 41,5
DP = √
____
 41,5 = 6,4 cm 
Logo, o atleta B foi o mais regular, uma vez que seu desvio padrão é o menor, aproximadamente 2,7 cm.
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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
A estatística também é usada para estimar a probabilidade de ocorrência de um evento, principalmente se ela 
não puder ser calculada teoricamente pela razão P = evento ____________ espaço amostral . Se, como se diz, a probabilidade de ocorrer 
um acidente de avião é de um em um milhão, é porque a frequência relativa de ocorrência de acidentes é de um 
acidente a cada um milhão de decolagens. Ao longo dos anos ocorrerão mais decolagens, o que pode mudar essa 
probabilidade. Dos anos 1960 para cá, a frequência relativa de acidentes aéreos no mundo diminuiu cerca de 15 
vezes. Isso significa que a probabilidade de ocorrer um acidente nos anos 1960 era 15 vezes maior do que agora.
Quanto maior for a quantidade de experimentos, melhor será a estimativa da probabilidade ao empregar a 
frequência relativa. Ao jogar uma moeda duas vezes, é possível que ocorra duas vezes cara. Seria absurdo afirmar que 
a probabilidade de ocorrer cara é de 100%, uma vez que a quantidade de experimentos é muito pequena, insuficiente 
para que se faça tal afirmação. Entretanto, ao jogar uma moeda 200 vezes, é possível observar algo como 94 caras e 
106 coroas; se jogada 2.000 vezes, 1.034 caras e 966 coroas; 20.000 vezes, 10.091 caras e 9.909 coroas.
Nesta tabela, percebe-se que a frequência relativa tende ao valor teórico de 50% para a probabilidade de 
ocorrer cara e coroa, o que é chamado lei dos grandes números.
Previsões do tempo, resultados eleitorais, mortalidade causada por doenças, entre outras, são probabilida-
des calculadas por frequências relativas de pesquisas estatísticas. Nesses casos, quanto maior for o histórico de 
dados a ser analisado melhor será a previsão.
Número de jogadas FA (cara) FR (cara)
2 2 100%
200 94 47%
2.000 1.034 51,7%
20.000 10.091 50,45%
PORCENTAGEM
A porcentagem é uma forma usada para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer representação 
equivalente a ela.
Exemplos:
 50% é o mesmo que 50 ___ 
100
 ou 1 __ 
2
 ou 0,50 ou 0,5 (metade);
 75% é o mesmo que 75 ___ 
100
 ou 3 __ 
4
 ou 0,75;
 9% é o mesmo que 9 ___ 
100
 ou 0,09;
 0,4 é o mesmo que 0,40 ou 40 ___ 
100
 ou 40%;
Algumas porcentagens de uso constante devem ter seus valores bem conhecidos.
 100%: (total)
 20%: 1 __ 
5
 ou 0,2
 25%: 1 __ 
4
 ou 0,25 (quarta parte)
 75%: 3 __ 
4
 ou 0,75
 1%: 1 ___ 
100
 ou 0,01
283
 50%: 1 __ 
2
 ou 0,5 (metade)
 200%: o dobro
 10%: 1 ___ 
10
 ou 0,1
Porcentagem de uma quantia
Basicamente, as situações com porcentagem são resolvidas usando-se os três problemas exemplificados a seguir. 
Cada um deles pode ser resolvido de várias formas.
Procure entender cada uma delas.
 Qual o valor de 45% de 60?
45% de 60 = x
Método 1: utilizando a forma fracionária da taxa:
45% = 45 ___ 
100
 = 9 ___ 
20
 
 9 ___ 
20
 · 60 = x ä x = 27
Método 2: utilizando a forma decimal da taxa:
45% = 0,45
0,45 · 60 = x ä x = 27
Método 3: utilizando a proporção na qual 60 corresponde a 100% (inteiro) e a parte x corresponde a 45%:
 60 ___ 
100
 = x ___ 
45
 ä 100x = 2700 ä x = 27
Portanto, 45% de 60 é 27.
Observação:
Para calcular 10% ( 1 ___ 10 ) ou 1% ( 1 ___ 100 ) de um número, basta andar com a vírgula uma ou duas casas para a 
esquerda, respectivamente.
Exemplos:
 10% de 450 = 45,0 ou 45
 10% de R$ 38,00 = R$ 3,80
 1% de 450 = 4,50 ou 4,5
 1% de R$ 20 000,00 = R$ 200,00
AUMENTOS E DESCONTOS
Na comparação de dois valores diferentes de uma mesma grandeza, f > 1 significa aumento (ou acréscimo de valor) 
e f < 1 significa desconto (ou perda de valor), pois o valor da grandeza variou no tempo e o valor mais antigo é a 
base de comparação. O fator f = 1 significa que não houve variação.
f = valor novo _________ 
valor antigo
 
f > 1 é aumento, ganho, acréscimo
f < 1 é desconto, queda, perda, decréscimo
f = 1 é não houve variação
284
Aumentos e descontos sucessivos
Para compor vários aumentos e/ou descontos, basta multiplicar os vários fatores individuais e, assim, obter o fato 
“acumulado”, que nada mais é do que o fator de atualização entre o primeiro e o último valor considerado, inde-
pendentemente dos valores intermediários.
facumulado = f1 · f2 · f3 · f4 ...
O fator acumulado é também um fator de atualização e deve ser interpretado como tal.
Juros simples
Um capital aplicado a um regime de juros simples (também chamado de regime de capitalização simples) 
possui seus juros calculados sempre em relação à quantia inicial. Ou seja, os juros gerados em cada período são 
sempre iguais.
Se um capital C é aplicadoem regime de juros simples à taxa de juros i, temos:
Após 1 período de tempo: J1 = C · i
Após 2 períodos de tempo: J2 = C · i
...
Após t períodos de tempo: Jt = C · i
Somando todos os juros acumulados, temos:
J = C · i + C · i + ... + C · i = C · i · t
Portanto, a quantidade de juros acumulados em t períodos é:
J = C · i · t
Logo, o montante após t períodos pode ser calculado somando o capital com os juros:
M = C + C · i · t = C(1 + i · t)
Teoria na prática
Um capital no valor de R$2.000,00 foi aplicado a juros simples de 0,5% ao dia. Qual o montante gerado em 
dois meses?
Resolução:
Como se passaram dois meses, temos que t = 60 dias. Logo, os juros gerados foram de:
J = 0,5% · 60 · 2.000 = 600,00.
Portanto, o montante total é de M = 2.000 + 600 = 2.600,00 reais.
Juros compostos
O regime de capitalização mais utilizado atualmente é o de juros compostos. Nela, os juros são aplicados sempre 
ao montante do período imediatamente anterior. Assim, os juros gerados em cada período são cada vez maiores.
Se um capital C é aplicado a juros compostos à taxa de juros i, temos:
Montante após 1 período: M1 = C(1 + i)
Montante após 2 períodos: M2 = M1 · (1 + i) = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)
2
Montante após 3 períodos: M3 = M2 · (1 + i) = C(1 + i)²(1 + i) = C(1 + i)³
...
Montante após t períodos: Mt = C(1 + i)
t
t vezes
285
Portanto, se um capital C é aplicado a juros compostos à taxa de juros i por t períodos de tempo, o montante 
M final será de:
M = C(1 + i)t
Teoria na prática
Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de 
R$ 6000,00 a taxa de 1% ao mês?
Resolução:
C: 6000
t: 1 semestre = 6 meses
i: 1% (0,01) ao mês
M = 6000 (1,01)6 = 6369,120904
Consideramos M = 6369,12 e j = 6369,12 – 6000,00 = 369,12
Logo, a pessoa receberá R$ 369,12 de juros.
1 + 0,01
TERMOS DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA
População e amostra
Chamemos de U o universo estatístico e de A uma amostra:
A , U
Variável
Uma indústria automobilística que pretende lançar um novo modelo de carro faz uma pesquisa para sondar a 
preferência dos consumidores sobre tipo de combustível, número de portas, potência do motor, preço, cor, tamanho 
etc. Cada uma dessas características é uma variável da pesquisa.
Na variável “tipo de combustível”, a escolha pode ser entre álcool e gasolina. Esses são valores ou realiza-
ções da variável “tipo de combustível”.
Variável qualitativa
Numa pesquisa com pessoas, as variáveis consideradas podem ser sexo, cor de cabelo, esporte favorito ou grau de 
instrução, por exemplo. Nesse caso as variáveis são qualitativas, apresentam, ou seja, como possíveis valores uma 
qualidade (ou atributo) dos indivíduos pesquisadores.
As variáveis qualitativas também podem ser ordinais, se existirem uma ordem nesses valores, ou nominais, 
se não ocorrer essa ordem.
 “Grau de instrução” é uma variável qualitativa ordinal, uma vez que seus valores podem ser ordenados 
(fundamental, médio, superior etc.).
286
Variável quantitativa
As variáveis de uma pesquisa, como altura, peso, idade em anos e números de irmãos, são quantitativas, uma vez 
que seus possíveis valores são númericos.
As variáveis quantitativas podem ser discretas, se tratar-se de contagem (números inteiros), ou contínuas, se 
se tratar de medida (números reais).
 “Número de irmãos” é uma variável quantitativa discreta que pode ser contada (0, 1, 2 etc.).
 “Altura” é uma variável quantitativa contínua, que pode ser medida (1,55 m, 1,80 m, 1,73 m etc.).
Resumo dos tipos de variável de uma pesquisa:
Frequência absoluta e frequência relativa
Suponha que entre um grupo de turistas em excursão tenha sido feita uma pesquisa sobre a nacionalidade de cada 
um e que o resultado dela tenha sido o seguinte.
Pedro: brasileiro; Ana: brasileira; Ramón: espanhol; Laura: espanhola; Cláudia: brasileira; Sérgio: brasileiro; 
Raul: argentino; Nelson: brasileiro; Silvia: brasileira; Pablo: espanhol.
O número de vezes que um valor variável é citado representa a frequência absoluta daquele valor.
Nesse exemplo, a variável é “nacionalidade” e a frequência absoluta de cada um de seus valores é: brasi-
leira: 6; espanhola: 3; e argentina: 1.
Há também a frequência relativa, que registra a frequência absoluta em relação ao total de citações.
Nesse exemplo temos:
 frequência relativa da nacionalidade brasileira: 6 em 10 ou 6 ___ 
10
 ou 3 __ 
5
 ou 0,6 ou 60%;
 frequência relativa da nacionalidade espanhola: 3 em 10 ou 3 ___ 
10
 ou 0,3 ou 30%; e
 frequência relativa da nacionalidade argentina: 1 em 10 ou 1 ___ 
10
 ou 0,1 ou 10%.
Podemos associar a frequência relativa de um evento à probabilidade de que ele ocorra. Se o número total 
de citações for suficientemente grande, a frequência relativa estabiliza-se em torno de um número que expresse a 
probabilidade de ocorrência desse evento.
Tabela de frequências
A tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), com as frequências absoluta (FA) e relativa (FR), é 
chamada tabela de frequências.
Nacionalidade FA FR
brasileira 6 60%
espanhola 3 30%
argentina 1 10%
Total 10 100%