Lista 55 - Função do 2º grau

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Lista 55 
Função do 2º grau	
 
Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São 
Paulo: Atual editora, 2011. Pág. 54. 
 
 Um time de futebol feminino montou um campo de 100 m de comprimento por 
70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu cerca-lo, deixando entre o 
campo e a cerca uma pista com 3 m de largura. 
Qual é a área do terreno limitado pela cerca? 
 
 
 
 
 
 A área da região cercada é: 
 
(100 + 2 . 3)(70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8 056 m2 
 
 Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria: 
 
(100 + 2 . 4)(70 + 2 . 4) = 108 . 78 = 8 424 m2 
 
 Enfim, a cada largura x escolhida para a pista há uma área A(x) d região 
cercada. 
 
 
 
 O valor de A(x) é uma função de x. Procuremos a lei que expressa A(x) em 
função de x: 
 
A(x) + (100 + 2x)(70 + 2x) 
A(x) = 7 000 + 200x + 140x + 4x2 
A(x) = 4x2 + 340x + 7 000 
 
 Esse é um caso particular de função polinomial do 2º grau ou função 
quadrática. 
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Definição 
Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São 
Paulo: Atual editora, 2011. Págs. 54 e 55. 
 
 Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer 
função 𝑓	de ℝ em ℝ dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são 
números reais e a ≠ 0. 
 Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas. 
 
Exemplo 01: f(x) = 2x2 + 3x + 5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5. 
 
Exemplo 02: 3x2 – 4x + 1, sendo a = 3, b = -4 e c = 1. 
 
Exemplo 03: f(x) = x2 – 1, sendo a = 1, b = 0 e c = -1. 
 
Exemplo 04: f(x) = -x2 + 2x, sendo a = -1, b = 2 e c = 0. 
 
Exemplo 05: f(x) = -4x2, sendo a = -4, b = 0 e c = 0. 
 
Gráfico 
Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São 
Paulo: Atual editora, 2011. Pág. 55. 
 
 O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é 
uma curva chamada parábola. 
 Observe alguns exemplos. 
 
Exemplo 06: 
 Vamos construir o gráfico da função dada por y = x2 + x. 
 
 Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y para 
cada valor de x e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. 
 
x y = x2 + x 
-3 6 
-2 2 
-1	 0 
-	1
2
	 - 1
4
 
0	 0 
1	 2 
3
2	
15
4 
2	 6 
 
 
Exemplo 07: 
 Vamos construir o gráfico da função y = -x2 + 1. 
 Repetindo o procedimento usado no Exemplo 06, obtemos o gráfico seguinte: 
 
 
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Regra geral 
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notamos 
sempre que: 
• Se a > 0, parábola tem a concavidade voltada para cima; 
• Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 
 
Zeros e equação do 2º grauº 
Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São 
Paulo: Atual editora, 2011. Págs. 56-58. 
 
 Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau 
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0. 
 Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 
2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: 
 
x = -b ± b
2-	4ac
2a
 
 
 Assim, temos: 
 
f(x) = 0 ® ax2 + bx + c = 0 ® x = -b ± b
2-	4ac
2a
 
 
 Veja alguns exemplos. 
 
Exemplo 08: 
 Vamos obter os zeros da função f(x) = x2 – 5x + 6. 
 
 Temos a = 1, b = -5 e c = 6. 
 Então: 
 
x = 
-b ± b2-	4ac
2a
 = 5 ± 25 - 24
2
 
 
x = 5 ±	1	
2
 ® x = 3 e x = 2 
 
 e as raízes são 2 e 3. 
 
Exemplo 09: 
 Vamos calcular as raízes da função f(x) = 4x2 – 4x + 1. 
 
 Temos a = 4, b = -4 e c = 1. 
 Então: 
 
x = 
-b ± b2-	4ac
2a
 = 4 ± 16 - 16
8
 = 4
8
 = 1
2
 
 e as raízes são 1
2
 e 1
2
. 
 
Exemplo 10: 
 Vamos calcular os zeros da função f(x) = 2x2 + 3x + 4. 
 
 Temos a = 2, b = 3 e c = 4. 
 Então: 
 
x = 
-b ± b2-	4ac
2a
 = -3 ± 9 - 32
4
 
 
x = -3 ±	 -23		
4
 ∈ℝ	
 
 Portanto, essa função não tem zeros reais. 
 
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Regra geral 
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor 
obtido para o radicando D = b2 – 4ac, chamado discriminante: 
• Quando D é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
• Quando D é zero, há só uma raiz real (ou uma raiz dupla); 
• Quando D é negativo, não há raiz real. 
 
Exemplo 11: 
 Vejamos quais são as condições sobre m na função y = 3x2 – 2x + (m – 1) a fim de que: 
a. Não existam raízes reais; 
b. Haja uma raiz dupla; 
c. Existem duas raízes reais e distintas. 
 
 Calculando o discriminante (D), temos: 
 
D = (-2)2 – 4 . 3 . (m – 1) = 4 – 12m + 12 = 16 – 2m 
 
 Devemos ter: 
a. D < 0 ® 16 – 12m < 0 ® m > 4
3
 
b. D = 0 ® 16 – 12m = 0 ® m = 4
3
 
c. D > 0 ® 16 – 12m > 0 ® m < 4
3
 
 
 Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, vamos calcular x1 + x2 e 
x1 . x2. 
 
x1 + x2 = 
-b - ∆
2a
 + -b + ∆
2a
 = - 2b
2a
 = -	b
a
 
 
x1 . x2 = 
-b - ∆
2a
 . -b + ∆
2a
 = b
2 – ( ∆)
2
(2a)2
 = b
2 – (b2-	4ac)
4a2
 = c
a
 
 
Exemplo 12: 
 Vamos determinar k a fim de que uma das raízes da equação x2 – 5x + (k + 3) = 0 seja igual 
ao quádruplo da outra. 
 
 Utilizando os resultados obtidos acima, temos: 
 
x1 + x2 = -	
b
a
 = 5 (I) e x1 . x2 = 
c
a
 = k + 3 (II) 
 
 Do enunciado, vem x1 = 4x2 (III). 
 Substituindo (III) em (I), temos: 
 
4x2 + x2 = 5 ® x2 = 1 ® x1 4 
 
 De (II) vem: 
 
1 . 4 = k + 3 ® k = 1 
 
 Vamos mostrar que, se a função quadrática y = ax2 + bx + c tem zeros x1 e x2, 
então ela pode ser escrita na forma y = a(x – x1)(x – x2). 
 De fato: 
 
y = ax2 + bx + c = a x2	+ b
a
x	+ c
a
 
 
y = a[x2 – (x1 + x2)x + x1x2] 
 
y = a[x2 – x1x – x2x + x1x2] 
 
y = a[x(x – x1) – x2(x – x1)] 
 
y = a(x – x1)(x – x2) 
 
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 Essa última forma de indicar a lei de uma função quadrática é chamada forma 
fatorada. 
 
Coordenadas do vértice da parábola 
Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São 
Paulo: Atual editora, 2011. Págs. 59 e 60. 
 
 Nosso objetivo é obter as coordenadas do ponto V, chamado vértice da 
parábola. 
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de 
mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto 
de máximo V. 
 
• Quando a > 0 
 
 
 
• Quando a < 0 
 
 
 Vamos retomar a fórmula da função quadrática e escrevê-la de outra forma: 
 
 y = ax2 +bx + c = a x2	+ b
a
x	+ c
a
 
 
y = a x2 + b
a
x + c
a
- b
2
4a2
	+ c
a
 
 
y = a x2 + b
a
x + c
a
- b
2
4a2
 - c
a
 
 
y = a x	+ b
2a
2
- b
2-	4ac
4a2
 
 
y = x	+ b
2a
2
- ∆
4a2
 
 Observando essa última forma, podemos notar que a, b
2a
 e ∆
4a2
 são constantes. 
Apenas x é variável. Daí: 
 
• Se a > 0, então o valor mínimo de y ocorre quando ocorrer o valor mínimo 
para x	+ b
2a
2
- ∆
4a2
; como x	+ b
2a
2
 é sempre maior ou igual a zero, seu 
valor mínimo ocorre quando x	+ b
2a
 = 0, ou seja, quando x = -	 b
2a
. Nessa 
situação, o valor mínimo de y é y = a 0 - ∆
4a2
 = - ∆
4a
; 
• Se a < 0, por meio de raciocínio semelhante concluímos que o valor máximo 
de y ocorre quando x = -	 b
2a
. Nessa situação, o valor máximo de y é: 
 
y = a 0 - ∆
4a2
 = - ∆
4a
 
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Concluindo: 
 
Em ambos os casos as coordenadas de V são: 
V - b
2a
, - ∆
4a
 
 
Observe alguns exemplos. 
 
Exemplo 13: 
 Qual é o menor valor que assume a função y = x2 – 12x +30? 
 
 Como a > 0, a função admite ponto de mínimo. O valor mínimo correspondente é: 
 
yv = -
∆
4a
 = - 144 - 120
4
 = - 24
4
 = -6. 
 
Exemplo 14: 
 Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = -3x2 + 60x (sendo 
x e y medidos em metros). 
 Vamos determinar: 
a. A altura máxima atingida pela bala; 
b. O alcance do disparo. 
 
 Temos: 
a. Como a = -3 < 0, a parábola tem um ponto de máximo. O valor máximo é dado por: 
 
yv = -
∆
4a
 = - 3 600
-12
 = 300 
 
b. A bala toca o solo quando y = 0, isto é: 
 
-3x2 + 60x = 0 
 
x = 0 ou x = 20 
 
Observe que x = 0 representa o ponto inicial do disparo; então, o alcance do disparo é 
20 m. 
 
IMagem 
Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São 
Paulo: Atual editora, 2011. Pág. 61. 
 
 O conjunto imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a ¹ 0 é o conjunto dos 
valores que y pode assumir. 
Há duas possibilidades: 
 
• Quando a > 0 
 
Im = y∈R| y ≥	yv= -
∆
4a
 
 
 
 
• Quando a < 0 
 
Im = y∈R| y ≤	yv= -
∆
4a
 
 
 
 
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Construção da Parábola 
Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São 
Paulo: Atual editora, 2011. Págs. 62 e 63. 
 
 É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela 
de pares (x,y), mas seguindo apenas o roteiro de observações seguinte: 
 
• O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola. 
• As raízes (ou zeros) definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo 
x. 
• O vértice V - b
2a
, - ∆
4a
 indica o ponto de mínimo (se a > 0) ou de máximo 
(a < 0). 
• A reta que passa por V e é paralela ao eixo y é o eixo de simetria da 
parábola. 
• Para x = 0, temos y = a . 02 + b . 0 + c = c, então (0,c) é o ponto em que a 
parábola corta o eixo y. 
 
 Veja os exemplos abaixo. 
 
Exemplo 15: 
 Façamos o esboço do gráfico da função y = 2x2 – 5x + 2. 
 
 Características: 
 
• Concavidade voltada para cima, 
pois a = 2 > 0; 
• Raízes: 2x2 – 5x + 2 = 0 ® x = 1
2
 ou 
x = 2; 
• Vértice: V = - b
2a
, - ∆
4a
 = 5
4
, - 9
8
; 
• Interseção com o eixo y: (0,c) = 
(0,2). 
 
 Note que Im = y∈R| y ≥ - 9
8
. 
 
 
 
Exemplo 16: 
 Vamos construir o gráfico da função y = x2 – 2x + 1. 
 
 Características: 
 
• Concavidade voltara para cima, 
pois a = 1 > 0 ; 
• Raízes: x2 – 2x + 1 = 0 ® x = 1 (raiz 
dupla); 
• Vértice: V = - b
2a
, - ∆
4a
 = (1,0); 
• Interseção com o eixo y: (0,c) = 
(0,1). 
 
 Note que Im = y∈R| y ≥ 0 . 
 
 
Exemplo 17: 
 Vamos construir o gráfico da função y = -x2 – x – 3. 
 
 Características: 
 
• Concavidade voltada para baixo, 
pois a = -1 < 0; 
• Zeros: -x2 – x – 3 = 0 ® ∄	x real, 
pois D	< 0; 
• Vértice: V = - b
2a
, - ∆
4a
 = - 1
2
, - 11
4
; 
• Interseção com o eixo y: (0,c) = (0,-
3). 
 
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	 8 
 Como temos apenas dois pontos, podemos opcionalmente calcular mais alguns, como por 
exemplo: 
 
x = 1 ® y = -5; x = -1 ® y = -3; etc. 
 
 Note que Im = y∈R| y ≤ - 11
4
. 
 
 
 
Exemplo 18: 
 Qual é a lei da função quadrática cujo gráfico está representado abaixo? 
 
 
 
 As raízes da função quadrática são -3 e 0; então sua lei, na forma fatorada, é: 
 
y = a(x + 3)(x – 0) 
 
 Para x = -1 temos y = 2, então: 
 
2 = a(-1 + 3)(-1 – 0) ® 2 = -2a ® a = -1 
 
e daí: 
 
y = -1(x + 3)x ® y = -x2 – 3x 
 
Sinal 
Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São 
Paulo: Atual editora, 2011. Págs. 64 e 65. 
 
 Consideremos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos 
os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivo. 
 Observe alguns exemplos. 
 
Exemplo 19: 
 Vamos estudar o sinal de y = x2 – 5x + 6 
 
 Temos: 
a = 1 > 0 ® parábola com concavidade voltada para cima 
D = b2 – 4ac = 25 – 24 = 1 > 0 ® dois zeros reais distintos 
 
x = -b ± ∆
2a
 = 5 ±	1
2
 ® x1 = 2 e x2 = 3 
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	 9 
 
 
 
 
Resposta: y > 0 Û (x < 2 ou x >3) 
 y < 0 Û 2 < x < 
Exemplo 20: 
 Vamos estudar o sinal de y = -x2 + 6x – 9. 
 
 Temos: 
a = -1 < 0 ® parábola com concavidade voltada para baixo 
D = b2 – 4ac = 36 - 36 = 0 ® dois zeros reais iguais 
 
x = -b ± ∆
2a
 = -6 ±	0
-2
 ® x = 3 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: y < 0, " x ¹ 3 
∄	x tal que y > 0 
 
 
Exemplo 21: 
 Vamos estudar o sinal de y = 3x2 – 2x + 5. 
 
 Temos: 
a = 3 > 0 ® parábola com concavidade voltada para cima 
D = b2 – 4ac = 4 - 60 = -56 ® não há zeros reais 
 
 
 
 
 
Resposta: y > 0, " x 
∄	x tal que y < 0
 
 
 
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Exercícios 
 
1. Os gráficos das funções seguintes são parábolas. Classifique como C a parábola 
que tem concavidade voltada para cima e B a parábola que tem concavidade 
voltada para baixo: 
a. y = 3x2 – 5x + 1 
b. y = 2 – x2 + 3x 
c. y = -x2 – 2x + 1 
d. y = 4x2 
e. y = 4x + 3x2 
f. y = (x – 1)2 – (2x – 1)2 
 
2. Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções reais: 
a. y = -x2 
b. y = 2x2 
c. y = x2 – 2x 
d. y = -x2 + 3x 
e. y = x2 – 2x + 4 
 
3. Determine as raízes (zeros) reais de cada uma das funções seguintes: 
a. y = 2x2 – 3x + 1 
b. y = 4x – x2 
c. y = -x2 + 2x + 15 
d. y = 9x2 – 1 
e. y = -x2 + 6x – 9 
f. y = 3x2 
g. y = x2 – 5x + 9 
h. y = -x2 + 2 
i. y = x2 – x – 6 
 
4. Resolva as equações biquadradas: 
a. x4 – 5x2 + 4 = 0 
b. –x4 + 8x2 – 15 = 0 
c. x4 – 6x2 – 27 = 0 
 
5. A função seguinte mostra o desempenho de um estudante nos simulados 
realizados no cursinho pré-vestibular ao longo do ano: 
 
f(t) = 7
36
 . t2 - 23
12
 . t + 59
9
 
 
sendo f(t) a nota obtida pelo estudante no simulado realizado no mês t 
(t = 2, 3, ..., 11). 
a. Qual a nota obtida pelo estudante nos simulados realizados em fevereiro 
(primeiro) e em novembro (último), respectivamente? 
b. Em que mês o estudante obteve nota 2,0? 
 
6. Um retângulo tem as dimensões (em cm) expressas por x + 3 e 3x – 1. 
a. Encontre a expressão que define sua área em função de x. 
b. Para que valor de x a área do retângulo é 77 cm2? 
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	 11 
7. Determine os valores de p a fim de que f(x) = x2 – 2x + p admita duas raízes reais 
e iguais. 
 
8. Estabeleça os valores de m para os quais f(x) = 5x2 – 4x + m admita duas raízes 
reais e distintas. 
 
9. Qual é o menor número inteiro p para o qual a função f(x) = 4x2 + 3x + (p + 2) não 
admite raízes reais? 
 
10. Para cada função seguinte, discuta, em função de m (m∈ℝ), a quantidade de 
raízes: 
a. y = x2 – 4x + (m + 3) b. y = -2x2 – 3x + m 
 
11. O gráfico da função y = x2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) intercepta o eixo x em um 
único ponto. 
a. Quais os possíveis valores de m? 
b. Para cada valor encontrado no item a, determine qual é a raiz que a função 
possui. 
 
12. Calcule a soma (S) e o produto (P) das raízes das seguintes equações de 2º grau: 
a. 3x2 – x – 5 = 0 
b. –x2 + 6x – 5 = 0 
c. 2x2 – 7 = 0 
d. x(x – 3) = 2 
 
13. Uma das raízes da equação x2 – 25x + 2p = 0 excede a outra em 3 unidade. 
Encontre as raízes da equação e o valor de p. 
 
14. As raízes da equação 3x2 – 10x + c = 0 são recíprocas (inversas). Qual é a maior 
raiz dessa equação? 
 
15. Uma das raízes da equação 2x2 + mx – 3 = 0 é igual a -3. 
a. Qual é o valor de m? 
b. Qual é a outra raiz que a equação possui? 
 
16. Uma das raízes da equação x2 – 3x + a = 0 (a ¹ 0) é também raiz da equação 
x2 + x + 5a = 0. 
a. Qual é o valor de a? 
b. Qual é a raiz comum? 
 
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17. Obtenha as coordenadas do vértice de cada uma das parábolas representativas 
das funções seguintes. Especifique também se o vértice é um ponto de máximo 
ou de mínimo: 
a. y = x2 – 6x + 4 
b. y = -2x2 – x + 3 
c. y = x2 – 9 
d. y = (2 – x)2 
e. y = -4x2 
 
18. Determine o valor mínimo (ou máximo) que cada uma das funções seguintes 
assume: 
a. y = -2x2 + 60x 
b. y = x2 – 4x + 8 
c. y = -x2 + 2x – 5 
d. y = 3x2 + 2 
 
19. A lei seguinte representa o número de quilômetros de congestionamento, em 
função da hora do dia (a partir das 12 horas), registrado em uma cidade: 
 
f(t) = -t2 + 12t + 20 
 
em que: 
• f(t) é o número de quilômetros; 
• t é a hora dada pela seguinte convenção: t = 0 corresponde às 12 horas, t = 1 
corresponde às 13 horas, e assim por diante, até t = 8 (20 horas). 
a. Em que horário o número de quilômetros de congestionamento é máximo? 
b. Qual é esse valor? 
 
20. Uma bola, lançada verticalmente para cima, a partir do solo, tem sua altura h (em 
metros) expressa em função do tempo t (em segundos) decorrido após o 
lançamento pela lei: 
 
h(t) = 40t – 5t2 
 
Determine: 
a. A altura em que a bola se encontra 1 s após o lançamento; 
b. O(s) instante(s) em que a bola se encontra a 75 m do solo; 
c. A altura máxima atingida pela bola; 
d. O instante em que a bola retorna ao solo. 
 
21. Faça o gráfico das funções seguintes, com domínio em ℝ, destacando o conjunto 
imagem e os intervalos em que a função é crescente ou decrescente: 
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	 13 
a. y = x2 – 6x + 8 
b. y = -2x2 + 4x 
c. y = x2 – 4x + 4 
d. y = -x2 + 1
4
 
e. y = x2 + 2x + 5 
 
22. Determine a lei da função que cada gráfico a seguir representa: 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
 
23. O gráfico seguinte representa a função f(x) = 25x2 + mx + n. Sabendo que 
f(1) = 9, obtenha os valores de m e n. 
 
 
 
24. A reta y = -x + 4 e a parábola y = kx2 interceptam-se em dois pontos P(a,b) e 
Q(1,c). Determine: 
a. Os valores de a, b e c; 
b. A área do triângulo determinado pela reta e pelos eixos coordenados. 
 
25. Faça o estudo de sinal de cada uma das funções seguintes: 
a. y = -3x2 – 8x + 3 
b. y = 4x2 + x – 5 
c. y = 9x2 – 6x + 1 
d. y = 2 – x2 
e. y = -x2 + 2x – 1 
f. y = 3x2 – x + 4 
 
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	 14 
26. Faça o estudo de sinal de cada função cujo gráfico está representado a seguir: 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
27. (UFRRJ) Durante o tempo em que um balão de gás está sendo aquecido, a 
temperatura interna (T) varia de acordo com a função T(t) = -t2 + 4t + 2, sendo t o 
tempo em minutos. A temperatura atinge o valor máximo em: 
A 5 minutos 
B 4 minutos 
C 3 minutos 
D 2 minutos 
E 1 minuto 
 
28. (PUC/RJ) As duas soluções de uma equação do 2º grau são -1 e 1
3
. Então a 
equação é: 
A 3x2 – x – 1 = 0 
B 3x2 + x – 1 = 0 
C 3x2 +2x – 1 = 0 
D 3x2 – 2x – 1 = 0 
E 3x2 – x + 1 = 0 
 
29. (PUC/PR) O gráfico a seguir é de um trinômio do 2º grau: 
 
 
 
Assinale a alternativa que melhor representa o trinômio: 
A y = -x2 + 2x + 5 
B y = -x2 + 2x + 2 
C y = -x2 + 2x + 6 
D y = -x2 + 3x + 2 
E y = -x2 + 2x + 3
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	 15 
30. (FATEC/SP) A função 𝑓	do 2º grau, definida por f(x) = 3x2 + mx + 1, não admite 
raízes reais se, e somente se, o número real m for tal que: 
A -12 < m < 12 
B -3 2 < m < 3 2 
C -2 3 < m < 2 3 
D m < -3 2 ou m > 3 2 
E m < -2 3 ou m > 2 3 
 
31. (FAAP) Uma indústria produz, por dia, x unidades de um determinado produto, e 
pode vender tudo o que produzir a um preço de R$ 100,00 a unidade. Se x 
unidades são produzidas a cada dia, o custo total, em reais, da produção diária é 
igual a x2 + 20x + 700. Portanto, para que a indústria tenha um lucro diário de 
R$ 900,00 o número de unidades produzidas (e vendidas) por dia, deve ser igual 
a: 
A 40 B 50 C 60 D 70 E 80 
 
32. (UFV) Uma empresa produz e vende um determinado produto. A quantidade que 
ela consegue vender varia em função do preço segundo a relação: a um preço x 
ela consegue vender y unidades do produto, de acordo com a equação 
y = 100 – 2x. Sabendo que a receita obtida (quantidade vendida vezes o preço de 
venda) foi de R$ 1 250,00, a quantidade vendida é igual a: 
A 30 B 40 C 20 D 60 E 50 
 
33. (PUC/MG) Uma pedra é atirada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela 
função h(t) = at2 + 12t, em que t é medido em segundos. Se a pedra atingiu a 
altura máxima no instante t = 2, pode-se afirmar que o valor de a é: 
A -3 B -2 C 2 D 3 
 
34. (PUC/MG) O intervalo no qual a função f(x) = x2 – 6x + 5 é crescente é: 
A x < 5 B 1 < x < 5 C x > 1 D x > 3 
 
35. (FATEC/SP) Na figura abaixo tem-se um trecho do gráfico de uma função de 
variável real dada por f(x) = ax2 + bx + c. 
 
 
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	 16 
Usando as informações do gráfico, é possível determinar os coeficientes a, b e c. 
O valor de b é: 
A 0 B -1 C -2 D -3 E -4 
 
36. (FAAP) Uma companhia estima que pode vender mensalmente q milhares de 
unidades de seu produto ao preço de p reais por unidade. A receita mensal das 
vendas é igual ao produto do preço pela quantidade vendida. Supondo 
p = -0,5q + 10, quantos milhares de unidades deve vender mensalmente para que 
a receita seja a máxima possível? 
A 18 B 20 C 5 D 10 E 7 
 
37. (UEPI) Um agricultor tem 140 metros de cerca para construir dois currais: um 
deles, quadrado, e o outro, retangular, com comprimento igual ao triplo da largura. 
Se a soma das áreas dos currais deve ser a menor possível, qual a área do curral 
quadrado? 
A 225 m2 
B 230 m2 
C 235 m2 
D 240 m2 
E 245 m2 
 
38. (FGV/SP) O custo médio, Cm, de produção de q unidades de um artigo, é obtido 
dividindo-se o custo C pela quantidade q, ou seja, Cm = 
C
q
. Sendo C = 2q2 – 3q + 20 
o custo, em milhares de reais, para a produção de q milhares de unidades de 
garrafas plásticas, considere as seguintes afirmações: 
I. A função custo médio será dada por Cm = 2q – 3 + 
20
q
. 
II. O custo total para a produção de 5 000 garrafas plásticas é R$ 55 000,00. 
III. Quando 10 000 garrafas plásticas são produzidas, o custo por unidade é 
R$ 19,00. 
 Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se: 
A V, V, V 
B V, V, F 
C V, F, F 
D F, V, V 
E V, F, V 
 
39. (UFMA) Os zeros da função f(x) = x2 –Kx – K2 (K∈ℝ) são x1 = a e x2 = b. Então 
(a4b2 + a2b4) vale: 
A –K6 B 3K2 C 3K4 D 3K6 E –K2 
 
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	 17 
40. (UEL) Para um certo produto comercializado, a função receita (R) e a função 
custo (C) estão representadas a seguir em um mesmo sistema de eixos, onde q 
indica a quantidade desse produto. 
 
 
 
Com base nessas informações e considerando que a função lucro pode ser obtida 
por L(q) = R(q) – C(q), assinale a alternativa que indica essa função lucro. 
A L(q) = -2q2 + 800q – 35 000 
B L(q) = -2q2 + 1 000q – 35 000 
C L(q) = -2q2 + 1 200 q – 35 000 
D L(q) = 200q + 35 000 
E L(q) = 200q – 35 000 
 
41. (IBMEC/RJ) A figura mostra uma parábola, de vértice em V. 
 
 
 
Podemos afirmar que a área do triângulo AVB é igual a: 
A 4 B 5 C 6 D 7 E 8 
 
42. (PUC/Campinas) Suponha que, certo dia, em que o preço unitário de venda de 
um sorvete era x reais, foram vendidas 20 – x unidades, 0 < x < 20. Se, nesse dia, 
o custo da fabricação de cada unidade desse sorvete era de 2 reais, quantas 
unidades teriam que ser vendidas para que o lucro do fabricante fosse o maior 
possível? 
A 9 B 11 C 13 D 15 E 17
 
43. (CEFET/MG) A função f(x) = ax2 – 2x + a tem um valor máximo e admite duas 
raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a: 
A -4 B -1 C 1 D 16
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	 18 
44. (ENEM 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a 
R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto 
que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no 
dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. 
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e 
V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão 
que relaciona V e x é: 
A V = 10.000 + 50x – x2 
B V = 10.000 + 50x + x2 
C V = 15.000 - 50x – x2 
D V = 15.000 + 50x – x2 
E V = 15.000 - 50x + x2 
 
45. (ENEM 2010) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é 
necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em 
muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, 
para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. 
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura 
ao longo do tempo de acordo com a função 
 
T(t) = 
7
5
	t	+	20, para 0 ≤	t <100
2
125
t2	- 16
5
t	+	320, para t ≥	100 
 
 
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o 
tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. 
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 ºC e 
retirada quando a temperatura for 200 ºC. 
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a: 
A 100 B 108 C 128 D 130 E 150
 
46. (ENEM 2012) Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, 
que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro 
elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da 
corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua 
vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho. 
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	 19 
Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir 
representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a 
corrente elétrica (i) que circula por ele? 
A 
 
B 
 
C 
 
D 
 
E 
 
 
47. (ENEM PPL 2012) O apresentador de um programa de auditório propôs aos 
participantes de uma competição a seguinte tarefa: cada participante teria 10 
minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente em um terreno 
destinado à realização da competição. A pontuação dos competidores seria 
calculada ao final do tempo destino a cada um dos participantes, no qual as 
moedas coletadas por eles seriam contadas e a pontuação de cada um seria 
calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de valor 
igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que 
coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: 
pontuação = 60 – 36 (60% de 60) = 24. O vencedor da prova seria o participante 
que alcançasse a maior pontuação. 
Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa 
prova? 
A 0 B 25 C 50 D 75 E 100 
 
48. (ENEM 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma 
parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. 
 
 
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	 20 
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela 
lei f(x) = 3
2
 x2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em 
centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, 
localizado sobre o eixo x. 
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é: 
A 1 B 2 C 4 D 5 E 6
 
49. (ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida 
por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo 
com a expressão T(t) = - t
2
4
 + 400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a 
trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 
39 ºC. 
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que 
a porta possa ser aberta? 
A 19,0 B 19,8 C 20,0 D 38,0 E 39,0 
 
50. (ENEM PPL 2013) O quadrado ABCD, de centro O e lado 2 cm, corresponde à 
trajetória de uma partícula P que partiu de M, ponto médio de AB, seguindo pelos 
lados do quadrado e passando por B, C, D, A até retornar ao ponto M. 
 
 
 
Seja F(x) a função que representa a distância da partícula P ao centro O do 
quadrado, a cada instante de sua trajetória, sendo x (em cm) o comprimento do 
percurso percorrido por tal partícula. Qual o gráfico que representa F(x)? 
A 
 
B 
 
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	 21 
C 
 
D 
 
E 
 
 
51. (ENEM PPL 2013) Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com 
quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão 
L(x) = -x2 + 12x – 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. 
A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo lucro 
máximo. 
Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade 
de bonés igual a: 
A 4 B 6 C 9 D 10 E 14 
 
52. (ENEM PPL 2013) O proprietário de uma casa de espetáculos observou que, 
colocando o valor da entrada a R$ 10,00, sempre contava com 1 000 pessoas a 
cada apresentação, faturando R$ 10 000,00 com a venda de ingressos. Entretanto, 
percebeu também que, a partir de R$ 10,00, a cada R$ 2,00 que ele aumentava 
no valor da entrada, recebia para os espetáculos 40 pessoas a menor. 
Nessas condições, considerando P o número de pessoas presentes em um 
determinado dia e F o faturamento com a venda dos ingressos, a expressão que 
relaciona o faturamento em função do número de pessoas é dada por: 
A F = -P
2
20
 + 60P 
B F = P
2
20
 - 60P 
C F = - P2 + 1 200P 
D F = - -P
2
20
 + 60P 
E F = P2 – 1 200P 
 
53. (ENEM 2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu 
que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma 
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	 22 
função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para 
notas y = f(x), da seguinte maneira: 
• A nota zero permanece zero. 
• A nota 10 permanece 10. 
• A nota 5 passa a ser 6. 
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é: 
A y = - 1
25
x2 + 7
5
x 
B y= - 1
10
x2 + 2x 
C y = 1
24
x2 + 7
12
x 
D y = 4
5
x + 2 
E y = x 
 
54. (ENEM 2015) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo 
de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenas as 
bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela 
expressão T(h) = -h2 + 22h – 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se 
que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua 
temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela 
associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito 
baixa, baixa, média, alta e muito alta. 
 
Intervalos de 
temperatura (ºC) 
Classificação 
T < 0 Muito baixa 
0 £ T £ 17 Baixa 
17 < T < 30 Média 
30 £ T 43 Alta 
T > 43 Muito alta 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura 
no interior da estufa está classificada como: 
A Muito baixa 
B Baixa 
C Média 
D Alta 
E Muito alta 
 
55. (ENEM 2016) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão 
sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam 
lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse 
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	 23 
alcançar sua altura máxima. Paraque isso aconteça, um dos projéteis descreverá 
uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória 
supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis 
em função do tempo, nas simulações realizadas. 
 
 
 
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria 
ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. 
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória 
de B deverá: 
A Diminuir em 2 unidades 
B Diminuir em 4 unidades 
C Aumentar em 2 unidades 
D Aumentar em 4 unidades 
E Aumentar em 8 unidades 
 
56. (ENEM 2016) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção 
transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola 
e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve 
calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no 
nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a 
seguinte equação para a parábola: 
 
y = 9 – x2, sendo x e y medidos em metros. 
 
Sabe-se que a área sob uma parábola como está é igual a 2
3
 da área do retângulo 
cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do 
túnel. Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado? 
A 18 B 20 C 36 D 45 E 54 
 
57. (ENEM PPL 2016) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma 
cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da 
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	 24 
dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função 
f(t) = -2t2 + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira 
infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. 
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no 
dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma 
segunda dedetização precisou acontecer. 
A segunda dedetização começou no: 
A 19º dia 
B 20º dia 
C 29º dia 
D 30º dia 
E 60º dia 
 
58. (ENEM PPL 2016) Dispondo de um grande terreno, uma empresa de 
entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, 
conforme a figura. 
 
 
 
A área para o público será cercada com dois tipos de materiais: 
• nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, 
cujo valor do metro linear é R$ 20,00; 
• nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro 
linear custa R$ 5,00. 
A empresa dispõe de R$ 5 000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de 
tal maneira que obtenha a maior área possível para o público. 
A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é: 
A 50,0 m da tela tipo A e 800,0 da tela tipo B 
B 62,5 m da tela tipo A e 250,0 da tela tipo B 
C 100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B 
D 125,0 m da tela tipo A e 500,0 da tela tipo B 
E 200,0 da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B
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	 25 
Lista 55 
Gabarito 
 
Exercícios 
 
1. 
a. C b. B c. B d. C e. C f. B 
2. 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
e. 
 
3. 
a. x = 1
2
 e x = 1 
b. x = 0 e x = 4 
c. x = 5 e x = -3 
d. x = 1
3
 e x = - 1
3
 
e. x = 3 
f. x = 0 
g. Não existem 
raízes reais. 
h. x = - 2 e x = 2 
i. x = -2 e x = 3 
4. 
a. S = {-2, -1, 1, 2} 
b. S = {- 5, - 3, 5, 3} 
c. S = {-3, 3} 
5. 
a. O estudante obteve nota 3,5 no simulado realizado em fevereiro e nota 9 no 
simulado realizado em novembro. 
b. O estudante obteve nota 2,0 no simulado realizado no mês de abril. 
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	 26 
6. 
a. A área do retângulo pode ser definida pela expressão 3x2 + 8x – 3. 
b. A área do retângulo é 77 cm2 quando x = 4. 
7. p = 1 
8. m∈R| m< 4
5
 
9. p = -1 
10. 
a. m < 1 ® 2 raízes reais e 
distintas 
m = 1 ® 1 raiz real dupla 
m > 1 ® Nenhuma raiz real 
b. m > - 9
8
 ® 2 raízes reais e 
distintas 
m = - 9
8
 ® 1 raiz real dupla 
m < - 9
8
 ® Nenhuma raiz real 
11. 
a. m = -2 e m = 2
5
 
b. m = -2 ® raiz dupla é 2 
m = 2
5
 ® raiz dupla é - 8
5
 
12. 
a. S = 1
3
 e P = - 5
3
 
b. S = 6 e P = 5 
c. S = 0 e P = - 7
2
 
d. S = 3 e P = -2 
13. x = 11, x = 14 e p = 77 
14. A maior raiz dessa equação é 3. 
15. 
a. m = 5 
b. A outra raiz que a equação possui é 1
2
. 
16. 
a. a = -4 
b. A raiz comum entre as equações é 4. 
17. 
a. V(3, -5) ® Ponto de mínimo 
b. V - 1
4
, 25
8
 ® Ponto de máximo 
c. (0, -9) ® Ponto de mínimo 
d. (2, 0) ® Ponto de mínimo 
e. (0,0) ® Ponto de máximo 
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	 27 
18. 
a. O valor máximo desta função é 450. 
b. O valor mínimo desta função é 4. 
c. O valor máximo desta função é -4. 
d. O valor mínimo desta função é 2. 
19. 
a. O número de quilômetros de congestionamento é máximo às 18 horas. 
b. O número máximo de quilômetros de congestionamento é 56. 
20. 
a. A bola se encontra a 35 m de altura 1 s após o lançamento. 
b. A bola se encontra a 75 m do solo nos instantes 3 s e 5 s. 
c. A altura máxima atingida pela bola é 80 m. 
d. A bola retorna ao solo no instante 8 s. 
21. 
a. Im = y∈R| y ≥ -1 
𝑓	é crescente se x ≥ 3 
𝑓	é decrescente se x ≤	3	 
 
 
 
 
 
b. Im = y∈R| y ≤ 2 
𝑓	é crescente se x ≤ 1 
𝑓	é decrescente se x ≥ 1 
 
 
 
c. Im = y∈R| y ≥ 0 
𝑓	é crescente se x ≥ 2 
𝑓	é decrescente se x ≤	2 
 
 
 
 
d. Im = y∈R| y ≤ 1
4
 
𝑓	é crescente se x ≤ 0 
𝑓	é decrescente se x ≥	0 
 
 
 
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	 28 
e. Im = y∈R| y ≥ 4 
𝑓	é crescente se x ≥ -1 
𝑓	é decrescente se x ≤ -1 
 
 
 
22. 
a. y = -x2 + 2x + 15 
b. y = 2x2 + 2x – 4 
c. y = 4x2 – 12x + 5 
d. y = x2 – 6x + 9 
23. m = -80 e n = 64 ou m = -20 e n = 4 
24. 
a. a = - 4
3
, b = 16
3
 e c = 3 
b. O triângulo determinado pela reta e pelos eixos coordenados tem 8 unidades 
de área. 
25. 
a. x < -3 ou x > 1
3
 ® y < 0 
-3 < x < 1
3
 ® y > 0 
b. x < - 5
4
 ou x > 1 ® y > 0 
- 5
4
 < x < 1 ® y < 0 
c. x ¹ 1
3
 ® y > 0 
∄	x∈ℝ | y < 0 
d. x < - 2 ou x > 2 ® y < 0 
- 2 < x < 2 ® y > 0 
e. x ¹ 1 ® y < 0 
∄	x∈ℝ | y > 0 
f. " x∈ℝ ® y > 0 
26. 
a. x < 1 ou x > 5 ® y < 0 
1 < x < 5 ® y > 0 
b. x ¹ 0 ® y > 0 
∄	x∈ℝ | y < 0 
c. x ¹ 2 ® y > 0 
∄	x∈ℝ | y < 0 
d. " x∈ℝ ® y < 0 
 
27. D 
28. C 
29. E 
30. C 
31. A 
32. E 
33. A 
34. D 
35. A 
36. D 
37. A 
38. A 
39. D 
40. A 
41. E 
42. A 
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	 29 
43. B 
44. D 
45. D 
46. D 
47. B 
48. E 
49. D 
50. A 
51. B 
52. A 
53. A 
54. D 
55. C 
56. C 
57. B 
58. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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	 30 
Lista 55 
Bibliografia 
 
• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. 
Matemática – Volume único. 5ª edição. São Paulo: Atual editora, 2011. 
• http://portal.inep.gov.br/provas-e-gabaritos. Acesso em: 27 de outubro de 2017.