Metodos de integração 1

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Cálculo Integral
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique 
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti
Métodos de Integração I
5
• Cálculos de Integrais e Área
• Método da Integração – Regra da Substituição
 · Estamos estudando sobre Cálculo Integral, nesta unidade veremos a 
relação entre cálculo de integrais e de área e o método de integração por 
substituição.
 · Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de calcular a 
medida da área de uma região do plano cartesiano.
Estamos estudando sobre Cálculo Integral. A proposta desta unidade é o estudo de métodos 
para calcular integrais. Com relação aos conteúdos, dividimos em:
• Cálculo de integrais e Área
• Método da Integração – Regra da Substituição
Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de calcular a integral definida e a 
indefinida de uma função real por meio da regra da substituição.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos 
resolvidos, além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do 
conteúdo. Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e 
ao prazo para realização das mesmas. 
Bom estudo.
Métodos de Integração I
6
Unidade: Métodos de Integração I
Contextualização
Consideremos o gráfico da função f(x) = x2. 
Dizemos que esta função é par. Uma função é dita par quando, para todo elemento x 
pertencente ao domínio da função, temos: 
f(x) = f(-x), então x e o seu oposto -x possuem a mesma imagem.
Ao observarmos o gráfico desta função é possível notar que o eixo y é um eixo de simetria 
deste gráfico, ou seja, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, 
isto é, o lado direito do gráfico se espelha no lado esquerdo e vice-versa.
Imaginemos que queremos determinar a integral definida de uma função contínua em um 
intervalo simétrico, por exemplo [-a,a], e que ela seja uma função par: 
( )
a
a
f x dx
−
∫
Como podemos calcular esta integral definida?
Ao observar o gráfico de uma função par podemos perceber que a medida da área da 
região à esquerda do eixo y é igual à medida da área da região à direita. 
Desta forma, podemos simplificar o cálculo da integral.
Se a função é par, então
( ) ( )
0
2
a a
a
f x dx f x dx
−
=∫ ∫
2,5
2,5
-2,5
5
0-2,5-5 7,55
x
y
7
E observemos também o gráfico da função f(x) = x3.
Dizemos que esta função é ímpar. Uma função é dita ímpar quando, para todo elemento x 
pertencente ao domínio da função, temos:
f(x) = -f(-x), então x e o seu oposto -x possuem imagens opostas.
Ao observarmos o gráfico desta função é possível notar que a origem do plano cartesiano, 
o ponto (0,0), é um ponto de simetria deste gráfico, ou seja, o gráfico de uma função ímpar é 
simétrico em relação à origem.
Imaginemos que queremos determinar a integral definida de uma função contínua em um 
intervalo simétrico, por exemplo [-a,a], e que ela seja uma função ímpar: 
( )
a
a
f x dx
−
∫
Como podemos calcular esta integral definida?
Ao observar o gráfico de uma função ímpar podemos perceber que a medida da área 
da região à esquerda do eixo y é igual à medida da área da região à direita. Entretanto, as 
integrais nestes dois intervalos são opostas e sua soma resulta em zero.
Desta forma, podemos simplificar o cálculo da integral.
Se a função é ímpar, então
( ) 0
a
a
f x dx
−
=∫
2,5
2,5
-2,5
0-2,5-5 7,55
x
y
8
Unidade: Métodos de Integração I
Cálculos de Integrais e Área
Vejamos alguns exemplos que relacionam o conceito de integral definida e o de área de 
uma região.
1 Consideremos o gráfico da seguinte função f(x) = -3 + x .
Vamos determinar o valor da integral ( )
5
0
3 .− +∫ x dx
Sabemos que se temos a função ( ) 3= − +f x x , então a antiderivada é ( )
2
3
2
= − + +
xF x x c . 
Logo, o valor da integral é:
( ) ( ) ( )
5 2 2
0
5 03 5 0 3.5 3.0
2 2
   
− + = − = − + + − − + +      ∫ x dx F F c c
( )
5
0
3 15 12,5 2,5− + = − + = −∫ x dx
2,5
2,5
-2,5
-5
-7,5
5
0-2,5-5 7,5 10 12,5 155
x
y
9
Tínhamos visto uma relação entre integral definida e área, mas este exemplo apresenta um 
valor negativo para a integral definida. Qual a diferença, então, entre estes dois conceitos? 
Quando estudamos integral definida, vimos exemplos de funções que eram positivas nos 
intervalos de integração, ou seja, o gráfico das funções estavam acima do eixo x, eixo das 
abscissas, nos intervalos de integração.
E esta situação não temos neste exemplo, o gráfico da função f está uma parte abaixo do 
eixo x e outra parte acima do eixo x. Podemos reescrever a integral como a soma de duas 
integrais.
( ) ( ) ( )
5 3 5
0 0 3
3 3 3− + = − + + − +∫ ∫ ∫x dx x dx x dx
Vamos primeiramente calcular a integral da função no intervalo que possui o gráfico abaixo 
do eixo x e, depois, calcular a integral da função no intervalo que possui o gráfico acima do 
eixo x.
( ) ( ) ( )
3 2 2
0
3 03 3 0 3.3 3.0
2 2
   
− + = − = − + + − − + +      ∫ x dx F F c c
( )
3
0
3 9 4,5 4,5− + = − + = −∫ x dx
Podemos perceber que o valor é negativo da integral definida da função no intervalo que 
possui o gráfico abaixo do eixo x. 
2,5
2,5
-2,5
-5
-7,5
5
0-2,5-5 7,5 10 12,5 155
x
y
2,52,52,5
A1
10
Unidade: Métodos de Integração I
Por outro lado, é possível calcular a área desta região por meio da fórmula da área de um 
triângulo. 
A1 =
3 3 4,5
2
×
=
Verificamos que o valor absoluto da integral definida é o mesmo da medida da área da 
região que está abaixo do eixo x, no intervalo [0,3]. Assim, podemos perceber que o valor 
em módulo da integral definida de uma função é a medida da área da região delimitada pelo 
gráfico da função em determinado intervalo [a,b] e o eixo x, se o gráfico da função estiver 
abaixo do eixo x, ou seja, que a função seja negativa no intervalo de integração.
Vejamos, agora, a integral da função no intervalo que possui o gráfico acima do eixo x.
( ) ( ) ( )
5 2 2
3
5 33 5 3 3.5 3.3
2 2
   
− + = − = − + + − − + +      ∫ x dx F F c c
( )
5
3
3 15 12,5 9 4,5 2− + = − + + − =∫ x dx
Podemos perceber que o valor é positivo da integral definida da função no intervalo que 
possui o gráfico acima do eixo x.
2,5
2,5
-2,5
-5
-7,5
5
0-2,5-5 7,5 10 12,5 155
x
y
A2
11
Por outro lado, é possível calcular a área desta região por meio da fórmula da área de um 
triângulo.
A2 =
2 2 2
2
×
=
Verificamos que o valor da integral definida é o mesmo da medida da área da região que 
está acima do eixo x, no intervalo [3,5]. Assim, podemos perceber que o valor da integral 
definida de uma função é a medida da área da região delimitada pelo gráfico da função em 
determinado intervalo [a,b] e o eixo x, se o gráfico da função estiver acima do eixo x, ou seja, 
que a função seja positiva no intervalo de integração.
Voltemos ao cálculo da integral definida da função no intervalo [0,5].
( ) ( ) ( )
5 3 5
0 0 3
3 3 3− + = − + + − +∫ ∫ ∫x dx x dx x dx
( )
5
1 2
0
3 4,5 2 2,5− + = − + = − + = −∫ x dx A A
Portanto, o valor da integral definida é:
( )
5
0
3 2,5− + = −∫ x dx .
E este é o valor encontrado para a integral definida no intervalo dado, utilizando o Teorema 
Fundamental do Cálculo.
12
Unidade: Métodos de Integração I
2 Vejamos outro exemplo. Seja o gráfico da seguinte função g(x) = x3 - x2 -9x + 9 .
Vamos determinar o valor da integral ( )
4
3 2
2
9x 9 .
−
− − +∫ x x dx
Sabemos que se temos a função g(x) = x3 - x2 -9x + 9, então a antiderivada é 
( )
4 3 29 9
4 3 2
= − − + +
x x xG x x c . Logo, o valor da integral é:
( ) ( ) ( )
4
3 2
2
9x 9 4 2
−
− − + = − − =∫ x x dx G G
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 24 3 2 2 2 9. 24 4 9.4 9.4 9. 2
4 3 2 4 3 2
 − − − 
= − − + + − − − + − + =     
c c
64 864 72 36 4 18 18 60 24 36
3 3
   = − − + + − + − − + = − =      
c c
Portanto, vamos guardar que:
( )
4
3 2
2
9x 9 36
−
− − + =∫ x x dx .
Também não temos nesteexemplo todo o gráfico da função acima do eixo x no intervalo 
de integração [-2,4].
O gráfico da função g está uma parte abaixo do eixo x e outra parte acima do eixo x. Podemos 
reescrever a integral como a soma de três integrais, considerando os intervalos que possuem o 
gráfico da função acima do eixo x e o intervalo que possui o gráfico abaixo do eixo x.
2,50
8
-8
16
-16
24
32
-2,5-5 5
x
y
88
2,52,52,5
x = -2 x = 1 x = 3 x = 4
13
( ) ( )
4 1
3 2 3 2
2 2
9x 9 9x 9
− −
− − + = − − + +∫ ∫x x dx x x dx ( ) ( )
3 4
3 2 3 2
1 3
9x 9 9x 9+ − − + + − − +∫ ∫x x dx x x dx
Vamos calcular cada uma dessas integrais da função. Vejamos a integral definida da função 
no intervalo [-2,1].
( ) ( ) ( )
1
3 2
2
9x 9 1 2
−
− − + = − − =∫ x x dx G G
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 24 3 2 2 2 9. 21 1 9.1 9.1 9. 2
4 3 2 4 3 2
 − − − 
= − − + + − − − + − + =     
c c
1 1 9 8 1359 4 18 18
4 3 2 3 4
   = − − + + − + − − + =      
c c
Vejamos agora a integral definida da função no intervalo [1,3].
( ) ( ) ( )
3
3 2
1
9x 9 3 1− − + = − =∫ x x dx G G
4 3 2 4 3 23 3 9.3 1 1 9.19.3 9.1
4 3 2 4 3 2
   
= − − + + − − − + + =      
c c
81 81 1 1 9 209 27 9
4 2 4 3 2 3
   = − − + + − − − + + = −      
c c
E a integral definida da função no intervalo [3,4].
( ) ( ) ( )
4
3 2
3
9x 9 4 3− − + = − =∫ x x dx G G
4 3 2 4 3 24 4 9.4 3 3 9.39.4 9.3
4 3 2 4 3 2
   
= − − + + − − − + + =      
c c
64 81 81 10764 72 36 9 27
3 4 2 12
   = − − + + − − − + + =      
c c .
Portanto, para calcular a integral definida da função no intervalo [-2,4], basta somar os 
resultados das três integrais.
( )
4
3 2
2
135 20 1079x 9 36
4 3 12−
− − + = − + =∫ x x dx .
Pudemos verificar que obtivemos o mesmo resultado quando utilizamos o Teorema 
Fundamental do Cálculo e quando separamos o cálculo da integral em outras integrais, 
definidas em três subintervalos. Logo, 
( )
4
3 2
2
9x 9 36
−
− − + =∫ x x dx .
14
Unidade: Métodos de Integração I
Método da Integração – Regra da Substituição
A utilização de antiderivadas para calcular integrais não resolve muitos dos problemas que 
surgem, por isso existem alguns outros métodos que resolvem alguns destes problemas. Nesta 
unidade estudaremos a regra da substituição. Esta regra consiste em realizar uma mudança de 
variável de maneira a obter uma integral que sabemos calcular e, depois de calculada, fazer a 
mudança de variável inversa. 
Enunciemos a regra da substituição.
Regra da Substituição
Se u = g(x) for uma função diferenciável, cuja variação é um intervalo 
]a,b[ e f é uma função contínua neste mesmo intervalo, então temos:
( )( ) ( ) ( ). ' =∫ ∫f g x g x dx f u du .
Se temos F’ = f, ou seja, F é uma antiderivada de f, então podemos escrever que:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ). ' ' . ' = = +∫ ∫f g x g x dx F g x g x dx F g x c .
Pois sabemos que a derivada da função composta F(g(x)) é F’(g(x)).g’(x), pela regra da cadeia.
Se fizermos a seguinte mudança de variável, ou melhor, a substituição u = g(x), então temos que:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' . ' '= + = + =∫ ∫F g x g x dx F g x c F u c F u du .
E considerando F’ = f, temos:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ). ' ' . ' = = + = +∫ ∫f g x g x dx F g x g x dx F g x c F u c .
E como temos:
( ) ( ) ( ) '+ = =∫ ∫F u c F u du f u du .
Portanto, temos que:
du = g’(x)dx

( )( ) ( ) ( ). ' =∫ ∫f g x g x dx f u du .

u = g(x)
∫ ∫(∫ ∫( )∫ ∫)∫ ∫f g x g x dx f u du∫ ∫(∫ ∫(f g x g x dx f u du(∫ ∫( )∫ ∫)f g x g x dx f u du)∫ ∫). ' ∫ ∫. ' f g x g x dx f u du. ' ∫ ∫. ' (. ' (∫ ∫(. ' (f g x g x dx f u du(. ' (∫ ∫(. ' ( ). ' )∫ ∫). ' )f g x g x dx f u du). ' )∫ ∫). ' )∫ ∫(∫ ∫( )∫ ∫))∫ ∫)∫ ∫f g x g x dx f u du∫ ∫(∫ ∫(f g x g x dx f u du(∫ ∫( )∫ ∫)f g x g x dx f u du)∫ ∫))∫ ∫)f g x g x dx f u du)∫ ∫)
15
Vejamos alguns exemplos
1 Seja a função ( ) cos= =
sen xf x tg x
x
e determinemos:
 
cos
=∫ ∫
sen xtg x dx dx
x
.
Já vimos como determinar a derivada da função tangente, mas sua integral indefinida ainda 
não tínhamos estudado. Para isso, vamos fazer a seguinte mudança de variável.
Consideremos,
u = cos x.
E determinemos os diferenciais,
1du = -sen x dx.
Vamos substituir a variável u na expressão da integral indefinida que queremos determinar.
Substituir por du 

 1 1 . 
cos cos
= = = −∫ ∫ ∫ ∫
sen xtg x dx dx sen x dx du
x x u .

Substituir por
1
u
Agora temos uma integral que sabemos determinar:
1 ln− = − +∫ du u cu .
Obtida a integral indefinida, fazemos novamente a mudança de variável, considerando que 
u = cos x:
 1 ln ln cos
cos
= = − = − + = − +∫ ∫ ∫
sen xtg x dx dx du u c x c
x u
.
Portanto, temos que:
 ln cos= − +∫tg x dx x c.
Vejamos outro exemplo que utiliza a regra da substituição.
∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
∫ ∫ ∫ ∫tg x dx dx sen x dx du∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
∫ ∫ ∫ ∫
 1 1tg x dx dx sen x dx du 1 1∫ ∫ ∫ ∫
 1 1 . ∫ ∫ ∫ ∫ . tg x dx dx sen x dx du . ∫ ∫ ∫ ∫ . = = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −tg x dx dx sen x dx du= = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −
 1 1
cos cos∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
cos cos∫ ∫ ∫ ∫cos cos∫ ∫ ∫ ∫tg x dx dx sen x dx du∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
∫ ∫ ∫ ∫
 1 1tg x dx dx sen x dx du 1 1∫ ∫ ∫ ∫
 1 1 . ∫ ∫ ∫ ∫ . tg x dx dx sen x dx du . ∫ ∫ ∫ ∫ . = = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −tg x dx dx sen x dx du= = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −= = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −tg x dx dx sen x dx du= = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −x x ucos cosx x ucos cos∫ ∫ ∫ ∫x x u∫ ∫ ∫ ∫cos cos∫ ∫ ∫ ∫cos cosx x ucos cos∫ ∫ ∫ ∫cos cos
16
Unidade: Métodos de Integração I
2 Determinemos a seguinte integral indefinida:
2 1 +∫ x dx.
Sabemos determinar a integral da função ( ) =f x x e da função ( ) 2 1= +g x x , mas a 
da composta destas funções, da função ( )( ) 2 1= +f g x x ainda não tínhamos estudado. 
Estudamos na unidade de Cálculo Diferencial a determinar a derivada da função composta, 
conhecida como regra da cadeia e para determinar a integral de uma função composta, 
normalmente, utilizamos a regra da substituição.
Consideremos a seguinte mudança de variável:
2 1= +u x .
E determinemos os diferenciais,
1 2=du dx,
1
2
=du dx .
Vamos substituir a variável na expressão da integral indefinida que queremos determinar.
1 1 12 1 . . 
2 2 2
+ = = =∫ ∫ ∫ ∫x dx u du u du u du .
E sabemos como determinar esta integral:
3
1 32
2 2 3 3
2
= = + = +∫ ∫
u uu du u du c c.
Voltando a mudar a variável de u para x, teremos:
( )33 3 2 11 1 22 1 . .
2 2 3 3 3
+
+ = = + = + = +∫ ∫
xu ux dx u du c c c
Portanto, temos que:
( )32 1
 2 1 
3
+
+ = +∫
x
x dx c .
17
3 Determinemos a seguinte integral indefinida:
3xe dx∫
Sabemos determinar a integral da função f(x)=ex e da função g(x) = 3x, mas a integral da 
composta destas funções, da função f(g(x)) = e3x, ainda não tínhamos estudado.
Consideremos a seguinte mudança de variável:
u = 3x.
E determinemos os diferenciais:
1du = 3dx.
1
3
=du dx .
Vamos substituir a variável na expressão da integral indefinida que queremos determinar.
3 1 1
3 3
= = +∫ ∫x u ue dx e du e c .
Realizando novamente a mudança de variável, agora de u para x, temos que:
3 31 1
3 3
= + = +∫ x u xe dx e c e c .
Portanto, temos que:
3 31
3
= +∫ x xe dx e c .
 
4 Determinemos a seguinte integral:
cos
∫
x dx
x
.
Neste caso, iremos também utilizar a regra da substituição para determinarmos esta integral indefinida.
Precisamos determinar quais as funções que estão compostas, identificando a função mais 
externa e a função mais interna. Pois, para efetuarmos a mudança de variável, normalmente, 
é a função mais interna que deve ser substituída por outra variável. 
Consideremos:
=u x.
E determinemos os diferenciais,
1
2
=du dx
x
.
12 =du dx
x
.
18
Unidade: Métodos de Integração I
Então, substituindo na expressão da integral indefinida, temos que:
=u x .

cos 2 cos 2 = = +∫ ∫
x dx udu senu c
x
.

12 =du dx
x
Portanto, realizando a mudança de variável, agora de u para x, temos que:
cos 2= +∫
x dx sen x c
x
.
Observação:
Como temosas operações de integração e de derivação como operações inversas, 
então podemos verificar se determinamos corretamente a integral indefinida de 
uma função, derivando a integral obtida e verificando se é igual à função integrada 
inicialmente. Vejamos um caso com este último exemplo.
Temos a função ( ) cos= xf x
x
 e determinamos que ( ) 2= +F x sen x c . Como sabemos 
que F’ = f, então vamos derivar a função F fazendo uso da regra da cadeia:
( ) 2= +F x sen x c,
( ) ( )1 cos' 2cos .
2
= = =
xF x x f x
x x .
Portanto, verificamos que determinamos corretamente a integral indefinida da função f.
5 Vejamos agora um exemplo de como determinar uma integral definida:
1
ln
∫
e x dx
x
.
Podemos determinar esta integral definida por duas maneiras. Uma delas consiste em 
utilizar a regra da substituição como estamos utilizando para integral indefinida e, depois, 
como resultado obtido, utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Consideremos:
ln=u x.
E determinemos os diferenciais,
1
=du dx
x
.
∫ ∫∫ ∫
x
∫ ∫
x
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫x∫ ∫x∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫dx udu senu c∫ ∫
19
Assim, substituindo na expressão da integral indefinida, temos que:
ln=u x

2 2ln (ln )
2 2
= = + = +∫ ∫
x u xdx udu c c
x
.

1
=du dx
x
Portanto, temos que:
2ln (ln )
2
= +∫
x xdx c
x
.
Com este resultado determinamos a integral definida utilizando o Teorema Fundamental do 
Cálculo. Consideremos ( )
2(ln )
2
= +
xF x c e lembremos que 1n e = 1 e 1n 1 = 0:
( ) ( )
1
ln 1= −∫
e x dx F e F
x ,
2 2
1
ln (ln ) (ln1)
2 2
   
= + − +      ∫
e x edx c c
x ,
( )
1
ln 1 10
2 2
 = + − + =  ∫
e x dx c c
x .
Outra maneira de determinar esta integral definida é mudando os limites de integração ao 
se realizar a mudança de variável.
Como consideramos
ln=u x.
Então, quando x = 1, teremos u = ln1 = 0 e quando x = e, teremos u = ln e = 1. Desta 
maneira, temos:
, 1= =x e u

1
1 0
ln
=∫ ∫
e x dx udu
x

1, 0= =x u
E considerando ( )
2
2
= +
uF u c temos que:
( ) ( )
1 2 2
0
1 0 11 0
2 2 2
   
= − = + − + =      ∫udu F F c c .
ln (ln )
∫ ∫∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )ln (ln )x u xln (ln )ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )x u xln (ln )
∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )x u xln (ln )
∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫dx udu c c∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )dx udu c cln (ln )∫ ∫
ln (ln )ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )x u xln (ln )
∫ ∫
ln (ln )dx udu c cln (ln )∫ ∫
ln (ln )x u xln (ln )
∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫x∫ ∫x∫ ∫
e
1 0
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Unidade: Métodos de Integração I
Portanto, 
1
ln 1
2
=∫
e x dx
x
.
Desse modo, percebemos que, quando utilizamos a regra da substituição para integrais 
definidas, podemos colocar tudo em termos da nova variável u, não somente x e dx, mas 
também os limites de integração.
Regra da Substituição 
para Integral Definida
Se temos uma função g que possui derivada contínua em um intervalo 
fechado e outra função f contínua na variação da função u = g(x), 
então podemos dizer que:
( )( ) ( )
( )
( )
( ). ' =∫ ∫
g bb
a g a
f g x g x dx f u du .
Vejamos um último exemplo, determinemos a integral definida:
/2
0
 .cos
π
∫ sen x xdx.
Consideremos,
sen=u x.
Determinemos os diferenciais,
cos=du xdx.
E identifiquemos os limites de integração,
0 0 0= → = =x u sen .
 1
2 2
π π
= → = =x u sen .
Então, substituindo na expressão da integral definida, temos que:
/2 1
0 0
 .cos 
π
=∫ ∫sen x xdx u du .
Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo com a antiderivada ( )
2
2
= +
uF u c , temos:
( ) ( )
/2 1
0 0
1 .cos 1 0
2
π
= = − =∫ ∫sen x xdx u du F F .
21
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Unidade: Métodos de Integração I
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Integral, consulte o site e as referências a seguir.
Sites:
http://www.somatematica.com.br/superior.php
http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php
http://www.omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html 
https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus/integration-techniques/u_substitution/v/u-substitution
Livros:
ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
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Referências
Referências Básicas:
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
STEWART, J. Cálculo, volume I. 4a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo, volume 1. São Paulo: McGraw-
Hill, 2006.
Referências Complementares:
FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, integração. 
5a. Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. Ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
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Unidade: Métodos de Integração I
Anotações