Produtos Notáveis

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Produtos Notáveis 
 
Produtos Notáveis 
 
 São expressões algébricas em forma de multiplicações cujos produtos 
são polinômios. Essas expressões apresentam amplo uso na álgebra, por 
exemplo, em cálculos de equações de 2° grau e outras operações 
matemáticas. 
 
Principais Produtos Notáveis 
 Quadrado da soma; 
 Quadrado da diferença; 
 Produto da soma pela diferença; 
 Cubo da soma; 
 Cubo da diferença. 
 
Quadrado da soma 
 
 O quadrado da soma pode ser representado da seguinte forma: 
 
 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 
 
Realizando a multiplicação algébrica com uso da propriedade 
distributiva, tem-se: 
 
 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
Assim, a regra do quadrado da soma é: quadrado da soma de dois 
termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto 
do primeiro termo pelo segundo mais o quadrado do segundo termo, 
como mostrado a seguir: 
 
 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
Exemplos: 
 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 𝑥 + 3 2 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
 
Quadrado da diferença 
 
O quadrado da diferença pode ser representado da seguinte forma: 
 
 𝑥 − 𝑦 2 = 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 
 
Realizando a multiplicação algébrica com uso da propriedade 
distributiva, tem-se: 
 
 𝑥 − 𝑦 2 = 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
 Assim, a regra do quadrado da soma é: quadrado da diferença de dois 
termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o 
produto do primeiro termo pelo segundo mais o quadrado do segundo 
termo, como mostrado a seguir: 
 
 𝑥 − 𝑦 2 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
Exemplos: 
 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 𝑥 − 3 2 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 
 
Produto da Soma pela Diferença 
 
 O produto da soma pela diferença de dois termos pode ser representada 
dessa forma: 
 
 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 
 
Realizando a multiplicação algébrica com uso da propriedade 
distributiva, tem-se: 
 
 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑦2 
 
Assim, a regra do produto da soma pela diferença é: produto da soma 
pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo 
menos o quadrado do segundo termo, como mostrado a seguir: 
 
 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 
 
 Exemplos 
 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2 
 𝑥 + 3 𝑥 − 3 = 𝑥2 − 9 
 
Cubo da Soma 
 
O cubo da soma pode ser representado da seguinte forma: 
 
 𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 
 
Realizando a multiplicação algébrica com uso da propriedade 
distributiva, tem-se: 
 
 𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥 + 𝑦 2 𝑥 + 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑥 + 𝑦 
= 𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 2𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 𝑥𝑦2 + 𝑦3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3 
 
 Assim, a regra do quadrado da soma é: cubo da soma de dois termos 
é igual ao cubo do primeiro termo mais três vezes o produto do quadrado 
do primeiro termo pelo segundo mais três vezes o produto do primeiro 
termo pelo quadrado do segundo mais o cubo do segundo termo, como 
mostrado a seguir: 
 𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3 
 
Exemplos: 
 𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎2 + 3 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑏 + 3 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏2 + 𝑏3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
 𝑥 + 3 3 = 𝑥3 + 9𝑥2 + 27𝑥 + 27 
 
Cubo da diferença 
 
O cubo da diferença pode ser representado da seguinte forma: 
 
 𝑥 − 𝑦 3 = 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 
 
Realizando a multiplicação algébrica com uso da propriedade 
distributiva, tem-se: 
 
 𝑥 − 𝑦 3 = 𝑥 − 𝑦 2 𝑥 − 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑥 − 𝑦 
= 𝑥3 − 𝑥2𝑦 − 2𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 𝑥𝑦2 − 𝑦3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 − 𝑦3 
 
 Assim, a regra do quadrado da soma é: cubo da diferença de dois 
termos é igual ao cubo do primeiro termo menos três vezes o produto do 
quadrado do primeiro termo pelo segundo mais três vezes o produto do 
primeiro termo pelo quadrado do segundo menos o cubo do segundo 
termo, como mostrado a seguir: 
 
 𝑥 − 𝑦 3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 − 𝑦3 
 
Exemplos: 
 𝑎 − 𝑏 3 = 𝑎2 − 3 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑏 + 3 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏2 − 𝑏3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
 𝑥 − 3 3 = 𝑥3 − 9𝑥2 + 27𝑥 − 27 
 
Exercícios 
 
1 – Calcule: 
a) (x + 4)2 
b) (2a + 3b)2 
c) (3x – 2)2 
d) (4a – b)2 
e) (4x + 3y)(4x – 3y) 
f) (3a + 2b)(3a – 2b) 
g) (2x + 5)3 
h) (4a + 5b)3 
i) (3x – 2y)3 
j) (2a – b)3 
 
2 – Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) 
a) ( ) O resultado de (3x – 4y)2 é 9x2 + 16y2. 
b) ( ) Dividindo a2 – 25 por (a + 5), o resultado é a + 5. 
c) ( ) (m + 3n)2 = m2 + 6mn + 9n2. 
 
 
3 – Considere as seguintes afirmações: 
 
a + b = 7 
ab = 12 
a2 + b2 = ? 
 
Se as contas estiverem corretas, qual será o valor obtido de (a2 + b2)? 
a) 5 b) 25 c) 49 d) 19 e) 144 
 
4 – Considerando a expressão 2562 – 2532, qual é a soma dos algarismos do 
resultado? 
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 
 
5 – Simplificando a seguinte expressão: 
 
 𝑎 − 𝑏 3
𝑎2 − 𝑏2
+
4𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
 
 
O resultado final é: 
a) 1 b) 0 c) a – b d) a + b e) b – a 
 
Gabarito 
 
1 – a) x2 + 8x + 16. 
 b) 4a2 + 12ab + 9b2 
 c) 9x2 – 12x + 4 
 d) 16a2 – 8ab + b2 
 e) 16x2 – 9y2 
 f) 9a2 – 4b2 
 g) 8x3 + 60x2 + 150x + 125 
 h) 64a3 + 240a2b + 300ab2 + 125 
 i) 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3 
 j) 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 
 
2 – a) F, o resultado é 9x2 – 24xy + 16y2. 
 b) F, o resultado é a – 5. 
 c) V 
 
3 – B 
 
4 – C 
 
5 – D