Aula 04 - Inicio de PID

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Controle e automação digital
Controlador
Controlador
Atuador
Sensor
Entrada
Saída
Processo
Erro
O principal componente da malha de controle é, o controlador, que pode ser considerado um dispositivo eletrônico ou um computador.
 
O controlador automático é o instrumento que recebe o ponto de ajuste SP e a medição da variável de processo PV, e a partir da comparação entre ambos gera automaticamente um sinal de saída para atuar no processo, de modo a diminuir ou eliminar o erro entre os dois. 
Um controlador é um equipamento que não pensa, suas respostas devem estar previstas e embutidas em seus circuitos. 
Desvantagens
Quando se especifica a combinação errada dos modos de controle, pode-se ter um desempenho insatisfatório, um aumento da complexidade da sintonia, aumento desnecessário do custo, etc. 
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Oculto 
O controlador detecta os erros infinitesimais entre SP e PV e responde instantaneamente, de acordo com os modos de controle e seus ajustes. 
O sinal de saída é função matemática do erro.
Esta função inclui as três ações de controle: proporcional, integral e derivativa. 
A combinação dessas três ações com ajustes adequados é suficiente para o controle satisfatório e aceitável da maioria das aplicações práticas. 
Diagrama de Blocos
Diagrama de Blocos 
Diagrama de blocos de controle de temperatura do ar 
Para facilitar a visualização da interação entre os componentes de um sistema de controle, podem ser utilizados os diagramas de blocos.
Estes diagramas são uma forma de relacionar os verbos “medir”, “comparar” e “agir” com os elementos de um sistema. 
Considerando o exemplo do ar-condicionado, pode-se representar a situação do ponto de vista do controle de processos, através do diagrama em blocos:
Este diagrama resume de maneira visual apenas a relação entre causa-efeito das diversas partes envolvidas neste processo de controle de temperatura. 
Repare que Não há nenhuma informação aprofundada sobre:
	o modelo físico que relaciona a potência consumida do compressor com o fluxo de ar produzido;
	não há nenhuma informação sobre o tamanho, área ou volume do ambiente, etc. 
Neste diagrama estão sintetizadas as informações importantes para a análise do controle deste processo.
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Analisando este diagrama de blocos
O sinal de erro é gerado através da comparação entre a temperatura ambiente e a temperatura desejada; 
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Analisando este diagrama de blocos
O valor do erro é usado pelo controlador para definir a magnitude do sinal do atuador; 
Baseado no sinal de saída do controlador, o atuador envia uma quantidade de potência para o compressor; 
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Analisando este diagrama de blocos
O compressor então responde liberando mais ou menos ar frio, conforme a potência de entrada; 
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Analisando este diagrama de blocos
O sensor de temperatura percebe a variação de temperatura decorrente da variação do fluxo de ar resfriado e compara novamente este valor com a referência do sistema, reiniciando o ciclo. 
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Tipos de Sistema de Controle
Tipos de Sistema de Controle
Malha Aberta
Malha Fechada
Ação ou Modo de Controle
Ação Liga-Desliga
Ação Proporcional
Ação Integral
Ação Derivativa
Controlador
PID (P+I+D)
Ação Proporcional
Ação Proporcional
Vimos anteriormente que na ação liga-desliga o elemento final de controle realiza um movimento brusco de On para Off, provocando uma oscilação no resultado de controle. 
Para evitar esse tipo de movimento foi desenvolvido um tipo de ação no qual a ação corretiva produzida por este mecanismo é proporcional ao valor do desvio. 
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Ação Proporcional
A ação proporcional é a ação corretiva do controlador que é proporcional ao valor do desvio entre a medição e o ponto de ajuste (E = SP - PV).
É uma ação de controle contínua, analógica, uniforme.
Por causa da proporcionalidade, grandes perturbações do processo provocam grandes variações no sinal de saída do controlador, com o objetivo de eliminar estas perturbações.
No controle proporcional a válvula de controle pode assumir qualquer valor intermediário entre 0% e 100% de abertura. 
Matematicamente, a saída do controlador proporcional puro, com apenas a ação de controle proporcional, vale:
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Ação Proporcional
Matematicamente, a saída do controlador proporcional puro, com apenas a ação de controle proporcional, vale:
S = S0+ KC.e
S = é a saída do controlador 
S0 = é a saída do controlador quando o erro for zero 
Kc = é o valor do ganho proporcional 
e = é o erro entre SP e PV (ponto de ajuste e medição)
O ponto de ajuste do controlador proporcional é estabelecido para uma determinada carga do processo. 
Quando o processo varia sua carga, o PV irá se desviar do ponto de ajuste, provocando um erro. 
O controlador irá produzir um sinal de correção, proporcional ao erro entre a medição e o ponto de ajuste. 
Como o processo não responde instantaneamente as suas variações de carga, como a correção é proporcional ao erro, a correção nunca será satisfatória e como resultado, para a nova carga do processo, haverá um desvio permanente entre a medição e o ponto de ajuste. 
É muito comum ajustarmos o controlador para que S0 corresponda à metade da faixa de saída do controlador. 
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Offset
Quando ocorre uma variação da carga do processo, a medição se afasta do ponto de ajuste. 
O controlador sente o erro e produz um sinal de correção que irá aproximar a medição nova do antigo ponto de ajuste. 
Porém, por características próprias da ação proporcional, a nova medição nunca será igual ao ponto de ajuste, pois as condições do processo foram alteradas. 
Há um desvio permanente ao qual se dá o nome de off-set. 
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Offset
O controlador com ação proporcional é aplicado nos processos com pequena variação da carga e em processos onde pode haver pequenos desvios da medição em relação ao ponto de ajuste. 
O controlador proporcional é aplicado no controle de processos onde a estabilidade é mais importante que a igualdade da medição com o ponto de ajuste. 
O nível é a variável que é tipicamente controlada apenas com a ação proporcional. 
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Offset
O off-set pode ser removido manual ou automaticamente.
Na instrumentação eletrônica tradicional, o reset manual usa um potenciômetro para deslocar eletricamente a faixa de atuação do controlador.
A quantidade do desvio deve ser dado pelo operador em pequenos incrementos durante um período de tempo, até que a saída do controlador satisfaça a demanda do processo no ponto de ajuste. 
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Ação Integral 
Ao utilizar o controle proporcional, conseguimos eliminar o problema das oscilações provocadas pela ação On-Off e este seria o controle aceitável na maioria das aplicações se não houvesse o inconveniente da não eliminação do erro de off-set sem a intervenção do operador. 
Esta intervenção em pequenos processos é aceitável, porém em grandes plantas industriais, isto se torna impraticável. 
Para resolver este problema desenvolveu-se uma nova ação de controle denominada ação integral. 
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Ação Integral 
A ação integral é proporcional à soma ao longo do tempo do erro entre a medição e o ponto de ajuste. 
Ou
É a ação corretiva proporcional à duração do erro existente entre a medição e o ponto de ajuste. 
O seu propósito é o de prover a ação de controle adequada, mesmo que aconteçam variações da demanda ou do suprimento do processo. 
Como estas variações de carga do processo implicavam na existência do off-set, o objetivo da ação integral é o de eliminar o off-set.
Por esta razão, a ação integral é chamada de ação de reset ou de reajuste. 
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Ação Integral 
A ação integral discrimina o erro entre a medição e o ponto de ajuste pela sua duração: o erro que dura muito tempo para ser eliminado produz uma grande ação corretiva, o erro de curta duração gera uma pequena ação integral de correção. 
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Ação Integral 
Apesar de eliminar o off-set, ela não elimina o pico do erro (overshoot) uma vez que o pico ocorre antes que a ação integral começa a atuar. 
A ação integral começa atuar depois da ação proporcional; 
22Ação Integral 
A expressão matemática da ação integral é dada por: 
onde: 
Ki = é o ganho associado à ação integral. Alguns fabricantes adotam o termo 1/Ti, que é equivalente a Ki. 
e*dt = representa a operação matemática integral do erro. Pode ser aproximado por uma somatória do erro: 
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O que acontece se aumentarmos a ação integral?
Diminui-se o off-set, mas a malha se torna mais oscilatória. 
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O que acontece se diminuirmos a ação integral?
Aparece uma oscilação com um período maior que o período natural do processo, podendo levar o sistema até à instabilidade. 
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Ação Derivativa 
Vimos até agora que o controlador proporcional tem sua ação proporcional ao erro 
Vimos que o controlador integral tem sua ação proporcional ao erro versus tempo.
Em resumo, eles só atuam na presença do erro. 
A Ação derivativa atua fornecendo uma correção antecipada do erro, no instante em que o erro tende a acontecer ela fornece uma correção de forma a prevenir o sistema quanto ao aumento do erro, diminuindo assim o tempo de resposta. 
Para uma variação repentina, ainda que de pequena amplitude, a ação derivativa provê um grande sinal de correção; 
Os erros lentos, por outro lado, provocam uma pequena ação derivativa de correção; 
Erros constantes, não afetam a ação derivativa, 
portanto, esta é incapaz de eliminar off-set. 
Detalhe
Não se necessita usar a ação derivativa em processo rápido, pois sua resposta já é rápida e o uso da ação derivativa provocaria oscilação no sistema.
Não se deve usar ação derivativa em processo com ruído, pois ela amplifica o ruído. 
O valor da ação derivativa é função da quantidade de ruído. 
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A expressão matemática da ação derivativa é dada por:
A ação derivativa é usada para apressar a ação corretiva do controlador. 
No entanto, a sua inclusão complica e dificulta a sintonia do controlador, por causa das interações com as outras ações.
Td é o ganho associado à ação derivativa
∆ e/ ∆ t = expressa a taxa de variação do erro
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Oculto
Erradamente se acha que toda variável lenta necessita da ação derivativa. 
A lentidão da variável é uma condição necessária, mas não suficiente, para justificar a aplicação da ação derivativa. É também necessário que haja variação rápida da carga do processo lento para que a aplicação da ação derivativa se justifique. O processo lento que sofre uma variação também lenta da carga não necessita da ação derivativa. Aliás, a ação derivativa praticamente não responde a pequenas rampas de erro. 
Não se necessita usar a ação derivativa em processo rápido, pois sua resposta já é rápida e o uso da ação derivativa provocaria certamente oscilação no sistema. Não se deve usar ação derivativa em processo com ruído, pois ela amplifica o ruído. O valor da ação derivativa é função da quantidade de ruído. Processos com pequenas constantes de tempo característicos (rápidos) tendem a possuir mais ruído, desde que a atenuação do ruído pelo filtro é inversamente proporcional a constante do tempo característico. 
Controlador PID (P+I+D) 
O controlador PID utiliza as vantagens das diferentes ações de controle combinadas em uma única ação.
A ação proporcional elimina as oscilações, 
A ação integral elimina o desvio de off-set, 
A ação derivativa fornece ao sistema uma ação antecipativa evitando previamente que o desvio se torne maior 
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A expressão matemática do PID.
 
=
+
+
Como este controle é feito pela associação das três ações de controle
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Ações de controle combinadas 
Na tabela são apresentadas as respostas das ações de controle sozinhas ou combinadas, após a ocorrência de distúrbios em degrau, pulso, rampa e senoidal. 
Estas curvas são referentes à entrada do controlador (erro) e a saída do controlador (sinal ou ação de controle). 
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Ações de controle combinadas 
Na tabela são apresentadas as respostas das ações de controle sozinhas ou combinadas, após a ocorrência de distúrbios em degrau, pulso, rampa e senoidal. 
Estas curvas são referentes à entrada do controlador (erro) e a saída do controlador (sinal ou ação de controle). 
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Modelagem de sistemas contínuos e discretos
Para a análise quantitativa de um sistema, é necessário a atribuição de valores bem definidos à características de desempenho deste sistema.
Tal atribuição de valores resulta em um modelo. 
No processo de modelagem, é necessário, a definição ou identificação de variáveis mensuráveis, por exemplo, tensão elétrica em um dado circuito ou velocidade de certa peça.
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Variáveis mensuráveis
De entrada, 
Notação  u1(t)... un(t) com t0 ≤ t ≤ tf . 
De saída,
Notação  y1(t)... yn(t) com t0 ≤ t ≤ tf . 
de entrada = são variáveis que se é possível de manipular em um período temporal
De saída = são as que se pode medir frente a uma variação das variáveis de entrada em dado período de tempo. 
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Modelo matemático
.
.
.
Para finalizar a modelagem, podemos assumir que exista uma relação matemática ou física entre as variáveis de entrada e as de saída. 
Esta é a forma mais simples de se modelar. 
Podemos considerar que um sistema é “algo real”, enquanto que um modelo é uma “abstração” que geralmente e somente se aproxima do comportamento real do sistema. 
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Sistema e Modelo
Quanto maior a proximidade entre os comportamentos do sistema e do modelo, melhor é considerado o modelo. 
Quando o modelo é adequado a determinada análise, é comum utilizar o termo modelo como sinônimo de sistema. 
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Exemplo 1 (Sistema divisor de tensão) 
O circuito divisor de tensão apresenta cinco variáveis: a tensão de alimentação V, a corrente elétrica i, as resistências r e R e a tensão em R. 
O modelo mais simples que se pode construir é baseado na teoria de circuitos elétricos: 
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Exemplo 1 (Sistema divisor de tensão) 
Modelo 1 
Assumindo-se que se podemos ajustar V, com interesse na regulagem da tensão de saída v, podemos obter o seguinte modelo: 
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Exemplo 1 (Sistema divisor de tensão) 
Modelo 2 
Caso a tensão de alimentação seja fixa, e o ajuste se dê pela resistência r, então o modelo seria:
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Exemplo 1 (Sistema divisor de tensão) 
Modelo 3 
E poderíamos ter o modelo a seguir caso ambos V e r sejam ajustáveis e haja interesse na regulagem da corrente i: 
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Exemplo 2 (Sistema massa - mola) 
O sistema massa-mola sofre uma excitação no instante t=0, quando a massa é movimentada desde a posição de repouso até u(0) = u0 > 0 e então solta. 
O deslocamento da massa em qualquer instante de tempo t>0 é denominado y(t). 
Das leis da mecânica, sabe-se que o movimento da massa é definido por uma oscilação harmônica descrita pela seguinte equação diferencial de segunda ordem: 
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Exemplo 2 (Sistema massa - mola) 
Se o interesse é controlar o deslocamento inicial u(0) e observar a posição da massa no tempo, podemos propor um modelo com a seguinte variável de entrada u(t):
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Exemplo 2 (Sistema massa - mola) 
A saída y(t) é a solução da equação diferencial com k e m constantes
Na prática, o estudo desta classe de sistemas é realizado não no domínio temporal de t, 
recorre-se a transformações matemáticas que levam a uma mudança de domínio que facilite a análise. 
É o caso da mudança de domínio para o domínio da frequência ou para o domínio de Laplace. 
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Tipos de sistemas
Sistemas Estáticos e Dinâmicos
Define-se um sistema estático quando as saídas y(t) são independentes dos valores passados das entradas u(x), x<t para qualquer t.
são expressas por equações algébricas
Em um sistema dinâmico, as saídas geralmente dependem dos valores passados das entradas. 
por equações diferenciais. 
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Sistemas Dinâmicos
Invariantes no Tempo
Variantes no Tempo
Quando se expressa a relação entre entradas e saídas de um sistema pela equação y=g(u), e considera-se que esta relação é válida para todos os instantes de tempo, então o sistema é invariante no tempo ou estacionário. 
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Sistemas Dinâmicos
Invariantes no Tempo
y=g(u)
Variantes no Tempo
Quando expressamos a relaçãoentre entradas e saídas de um sistema pela equação y=g(u), e consideramos que esta relação é válida para todos os instantes de tempo. 
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Sistemas Dinâmicos
Invariantes no Tempo
y=g(u)
Variantes no Tempo
y=g(u,t)
Em alguns sistemas reais essa relação pode mudar com o tempo, Neste caso, o mais adequado é considerar que y=g(u,t), e denominar tais sistemas de variantes no tempo. 
Pode-se dizer no geral que o estado de um sistema em dado instante deve descrever seu comportamento de maneira mensurável naquele instante de tempo.
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Oculto
Estado de um Sistema
 “O estado de um sistema no instante t0 é o conjunto de informações necessário em t0 para que as saídas y(t), para todo t>t0, possam ser definidas por este conjunto de informações e por u(t), t≥t0.”
Assim como as entradas un(t) e as saídas yn(t), o estado é geralmente representado por variáveis denotadas por xn(t). Estas variáveis são denominadas variáveis de estado. 
Existe toda uma teoria de modelagem de sistemas baseada em estados, denominada modelagem por espaço de estados. Tal teoria consiste na determinação de relações matemáticas entre un(t), yn(t) e xn(t). 
Referimos a estas relações matemáticas por “dinâmica” de um sistema. 
Assim como na modelagem, existem também controladores e teorias de controle desenvolvidas com base no espaço de estados. 
Sistemas Lineares 
e 
Não-Lineares
Sistemas Lineares e Não-Lineares
Uma função é dita linear se e somente se:
Ou seja, se vale o princípio da superposição de duas respostas frente à superposição de dois estímulos. 
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Sistemas Contínuos e Discretos 
Em sistemas contínuos, o espaço de estados X é contínuo e consiste de valores reais (ou complexos). Normalmente utilizam-se equações diferenciais e técnicas associadas para a análise. 
Em sistemas discretos, o espaço de estados X é um conjunto discreto. As variáveis de estado, neste caso só podem “evoluir” ou “transitar” em pontos discretos no tempo, de um valor a outro. 
Naturalmente existem sistemas híbridos, onde algumas variáveis apresentam comportamento contínuo ao passo que outras, discreto.
 O comportamento dinâmico de um sistema discreto em geral é de simples entendimento quando o mecanismo de transições de estado é baseado em regras lógicas como esta “se alguma situação específica acontecer e o estado atual for x, então o próximo estado será x´”. Entretanto o formalismo matemático para expressar e resolver tais equações de estado pode ser tão ou mais complexo de que o baseado em equações diferenciais utilizadas em modelos contínuos. 
Em geral definimos para o modelo:
Variáveis de entrada; 
Variáveis de saída
que espelham as interações do sistema com o Universo
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Sistema X Modelo
Exemplo
Velocidades de indivíduos observados em uma calçada
Modelo
Comportamentos Normais ou anormais
Modelagem
Modelagem Física
Modelagem matemática
Toda modelagem é uma aproximação. 
A construção de modelos físicos e matemáticos sempre envolve simplificações e desconhecimentos que impedem que o sistema real seja reproduzido com perfeição total.
 A arte aqui consiste em obter as representações físicomatemáticas mais simples possíveis, mas que consigam se aproximar adequadamente da realidade
SOLUÇÃO DE COMPROMISSO ENTRE : SIMPLICIDADE E PRECISÃO BASEADO NO BOM SENSO DO ENGENHEIRO.
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Modelagem Física
Ex: suspensão de um carro representada por 1/4 do carro e elementos puros e lineares como massas, molas e amortecedores. 
Modelo físico: Criar um sistema imaginário que reproduza as características mais importantes do sistema real. 
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Modelagem matemática:
Todo e qualquer sistema dinâmico pode ser descrito por meio de equações diferenciais ou por meio de dados provenientes de ensaios. 
Vamos nos ater nesta disciplina aos sistemas dinâmicos que possam ser adequadamente descritos por EDO com coeficientes constantes (SLIT). 
Os modelos matemáticos podem ser obtidos através de leis físicas (teorema do Baricentro, teorema do Momento Angular, Leis de Kirchhoff, lei do balanço de massas, teorema da continuidade, lei de Lenz,, etc...)
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Fim