74817955-Apostila-Fundamentos-de-Algebra-2ºsemestre

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Professor Cícero José – Uniban 2011 
 
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CAPÍTULO I 
Equações Diofantinas 
 
1. Um pouco de História 
 
 A teoria das Equações Diofantinas é o ramo da teoria dos números que investiga as soluções 
inteiras ou racionais de equações polinomiais, como, 2x + 4y = 5, y² – x³ = –2 ou x² + y² = z². O nome 
Equações Diofantinas é uma homenagem a um dos maiores algebristas da Grécia antiga, Diophantus 
de Alexandria, grego do século III D.C., que formulou e resolveu muitas dessas equações. 
 Diofante foi um grande matemático que se dedicou à resolução de problemas. Sua mais 
importante obra foi a Aritmética, uma coleção de 13 livros nos quais o autor reuniu cerca de 150 
problemas resolvidos através de operações numéricas, nas quais demonstra seu alto grau de habilidade 
e engenho. Também chamado de “pai da álgebra”, devido a sua contribuição na introdução de notações 
algébricas, Diofante utilizou abreviações para a subtração, a igualdade e a incógnita. 
 Bastante curioso é o epitáfio de Diofante, matemático grego da Antiguidade, que viveu 200 anos 
a.C. Encontramos na Antologia Grega um problema que é apresentado sob a forma de epitáfio: 
 
 Eis o túmulo que encerra Diofante, maravilha de contemplar. Com um artifício aritmético a 
pedra ensina a sua idade. Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um 
duodécimo na adolescência; um sétimo em seguida foi passado num casamento estéril. 
Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas este filho desgraçado e, no 
entanto, bem amado! apenas tinha atingido a metade da idade que viveu seu pai, morreu. Quatro 
anos ainda, mitigando sua própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofante, 
antes de chegar ao termo de sua existência. 
 
 Em linguagem algébrica o epigrama da Antologia seria traduzido pela equação: 
x x x x
 + + + 5 + + 4 = x
6 12 7 2
, na qual x representa o número de anos que viveu Diofante. 
 Resolvendo essa equação, achamos x = 84. Trata-se, afinal, de uma equação muito simples do 1º 
grau com uma incógnita. 
 
 A obra de Diophantus serviu como fonte de inspiração para muitos matemáticos entre eles o 
matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665). 
 Pierre de Fermat era um Conselheiro da Câmara de Requerimentos de Toulouse, na França de 
1631. Sua responsabilidade estava ligada à condenação de pessoas à morte na fogueira e por isso não 
podia ter muitas amizades. Em seu tempo livre dedicava-se à Matemática e ficou conhecido como o 
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"Príncipe dos Amadores" por ter descoberto as leis da probabilidade, os fundamentos do Cálculo 
Diferencial antes de Newton e Leibniz, desenvolvido a Geometria Analítica antes de Descartes e 
teoremas difíceis e elegantes sobre Números Inteiros. Entretanto Fermat se interessou pelo assunto 
após ter lido a edição de 1621 da obra de Bachet: “Arithmetica de Diophantus”, obra que consistia do 
material que restou do trabalho de Diophantus. Fermat deu início a várias áreas da Teoria dos Números 
moderna, inclusive à Análise Diofantina, e formulou o problema mais famoso da Teoria dos Números 
e da Matemática que desafiou gerações de matemáticos. Essa batalha durou cerca de 350 anos e 
influenciou praticamente toda a Matemática. Fermat simplesmente afirmou que possuía uma 
demonstração para a seguinte generalização das Ternas Pitagóricas: 
 
 se n � 3, a equação x� + y� = z� não admite soluções inteiras não-nulas. 
 
 Mas a demonstração “não cabia na margem de sua cópia da Arithmetica de Diophantus” 
onde Fermat deixou registrada essa afirmação. Descobrir a “demonstração de Fermat” tornou-se o 
desafio mais famoso da Matemática e ficou conhecido como o “Último Teorema de Fermat”. Parecia 
tão simples, porém os grandes matemáticos dos últimos quatro séculos não puderam resolvê-lo antes 
de 1994. Fermat possuía um prazer especial em provocar embaraços aos matemáticos da sua época, em 
particular aos ingleses. Quis o destino que um inglês, Andrew Wiles, fosse o escolhido para colocar um 
fim a tais provocações. A mais terrível delas, o "Último Teorema de Fermat", foi demonstrada em 
1994, pelo matemático inglês Andrew Wiles. Um importante matemático, professor em Cambridge, 
Inglaterra, chamado John Coates, que foi o orientador da tese de doutoramento de Andrew Wiles, 
comparou esse fato à descoberta de que o átomo é divisível e à descoberta da estrutura do DNA. Para 
Andrew Wiles o problema tornou-se uma obsessão desde seus 10 anos quando conheceu o livro de 
Eric Temple Bell, “O Último Problema”. Wiles achou que tinha que ser ele a resolvê-lo. A história dos 
detalhes de como a afirmação de Fermat se tornou a mais terrível provocação é magistralmente contada 
por Simon Singh em seu livro “O Último Teorema de Fermat” lançada pela editora Record aqui no 
Brasil. Esse livro foi o mais vendido no mundo sobre o “Último Teorema de Fermat”, pois narra de 
maneira brilhante episódios divertidos, dramáticos e até trágicos, da História da Matemática, para 
descrever ao grande público a conquista mais famosa da Matemática. 
 Uma das aplicações interessantes da Matemática no nosso cotidiano são as equações 
diofantinas. Estas equações, de primeiro grau, nos levam às diversas soluções inteiras que podem 
resolver tais equações. Aplicando-se restrições a uma solução geral, de forma parametrizada, podemos 
obter uma ou mais soluções que atendam ao que se deseja. Vejamos como resolver o exemplo que 
problema que fizemos durante a aula usando os métodos de solução. 
 
 
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2. Definição de equação diofantina 
 
 Equação diofantina linear é uma equação da forma ax + by = c em que a, b, c, são números 
inteiros. Uma solução de uma equação diofantina linear é um par de inteiros (xo, yo) que satisfaz a 
equação. 
 
Exemplo 1: A equação 3x + 6y = 18 tem como soluções os pares (4, 1); (–6, 6); (10, –2); etc. 
Exemplo 2: A equação 2x + 4y = 7 não tem solução, pois o primeiro membro será sempre par e o 
segundo membro é ímpar. 
 
3. Condição de Existência de Solução 
 
 A equação diofantina linear ax + by = c tem solução se, e somente se, d = mdc (a, b) divide c. 
 
 
4. Soluções da Equação ax + by = c 
 
Teorema: Se d = mdc (a, b) divide c (d | c), e se o par de inteiros (x0, y0) ∈ Z x Z é uma solução 
particular da equação diofantina linear ax + by = c, então todas as outras soluções desta equação são 
dadas pela fórmula: x = x0 + 
b
d
� �
� �
� �
t e y = y0 – 
a
d
� �
� �
� �
t, onde t é um inteiro arbitrário. 
 
Corolário: Se o mdc (a, b) = 1 e se (x0, y0) � Z x Z é uma solução particular da equação diofantina 
ax + by = c, então todas as outras soluções desta equação são dadas pelas fórmulas: x = x0 + bt e 
y = y0 – at, onde t é um inteiro arbitrário. 
 
Teorema de Bezout 
 Se d = mdc (a,b) então existem números inteiros x0 e y0 tais que ax0 + by0 = d. 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: Determine todas as soluções inteiras da equação diofantina 56x + 72y = 40. 
Resolução: 
 O mdc (56, 72) = 8 e 8 �40, portanto a equação 56x + 72y = 40 possui soluções inteiras. De 
acordo com o Teorema de Bezout, existe um par ordenado (x0, y0) tal que 56x0 + 72y0 = 8. 
 Usando o algoritmo da divisão temos: 
 
 72 = 56 . 1 + 16 � 72 – 56 . 1 = 16 
 56 = 16 . 3 + 8 � 56 – 16 . 3 = 8 
 
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 Escrevendo o 8 como combinação linear de 56 e 72 vem: 
 
 56 – 16 . 3 = 8 
 56 – (72 – 56 . 1) . 3 = 8 
 56 – 72 . 3 + 56 . 3 = 8 
 56 . 4 + 72 . (–3) = 8 
 
 Como queremos resolver a equação 56x + 72y = 40, multipliquemos a última igualdade por 5. 
 
 56 . 20 + 72 . (–15) = 40 
 
 Logo x0 = 20e y0 = –15 é uma solução particular da equação 56x + 72y = 40. A solução geral é: 
 
 
72
x = 20 + t
8
56
y = 15 t 
8
� � �
� ��
� � �
	
� �� − − � �� � �
 
x = 20 + 9t
, com t Z
y = 15 7t 
�
∈	 − −
 
 
Observação: Para encontrar outras soluções particulares, basta atribuir valores inteiros para t. Por 
exemplo: 
 Para t = –1 � x = 20 + 9 . (–1) = 20 – 9 = 11 e y = –15 – 7 . (–1) = –15 + 7 = –8 
 Para t = 1 � x = 20 + 9 . 1 = 20 + 9 = 29 e y = –15 – 7 . 1 = –15 – 7 = –22 
 Para t = 2 � x = 20 + 9 . 2 = 20 + 18 = 38 e y = –15 – 7 . 2 = –15 – 14 = –29 
 
Exemplo 2: Determine todas as soluções inteiras da equação diofantina 11x + 30y = 31. 
Resolução: 
 O mdc (11, 30) = 1 e 1 �31, portanto a equação 11x + 30y = 31 possui soluções inteiras. De 
acordo com o Teorema de Bezout, existe um par ordenado (xo, yo) tal que 11xo + 30yo = 31. 
 Usando o algoritmo da divisão temos: 
 
 30 = 11 . 2 + 8 � 30 – 11 . 2 = 8 
 11 = 8 . 1 + 3 � 11 – 8 . 1 = 3 
 8 = 3 . 2 + 2 � 8 – 3 . 2 = 2 
 3 = 2 . 1 + 1 � 3 – 2 . 1 = 1 
 
 Escrevendo o 1 como combinação linear de 11 e 30 vem: 
 
 3 – 2 . 1 = 1 
 3 – (8 – 3 . 2) . 1 = 1 
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 3 – 8 . 1 + 3 . 2 = 1 
 3 . 3 – 8 . 1 = 1 
 (11 – 8 . 1) . 3 – 8 . 1 = 1 
 11 . 3 – 8 . 3 – 8 . 1 = 1 
 11 . 3 – 8 . 4 = 1 
 11 . 3 – (30 – 11 . 2) . 4 = 1 
 11 . 3 – 30 . 4 + 11 . 8 = 1 
 11 . 11 + 30 . (–4) = 1 
 
 Como queremos resolver a equação 11x + 30y = 31, multipliquemos a última igualdade por 31. 
 
 11 . 341 + 30 . (–124) = 31 
 
 Logo xo = 314 e yo = –124 é uma solução particular da equação 11x + 30y = 31. A solução geral 
é: 
 
 
30
x = 341 + t
1
11
y = 124 t 
1
� � �
� ��
� � �
	
� �� − − � �� � �
 
x = 341 + 30t
, com t Z
y = 124 11t 
�
∈	 − −
 
 
Exemplo 3: Determine todas as soluções inteiras da equação diofantina 2x + 4y = 7. 
Resolução: 
 O mdc (2, 4) = 2 e 2 7, portanto a equação 2x + 4y = 7 não possui soluções inteiras. 
 
Exemplo 4: Fernando recebeu R$ 50,00 para comprar dois tipos de lanches para um piquenique com 
sues colegas. Depois de pesquisar, conseguiu o preço de R$ 4,00 por hambúrguer e de R$ 6,00 por 
mini-pizza. De quantas maneiras ele pode comprar o lanche para o piquenique? 
Resolução: 
 Para resolvermos este problema devemos ter em mente que a solução precisa envolver números 
inteiros, pois o Fernando não pode comprar fração do hambúrguer, nem fração da mini-pizza. É, 
portanto típico de uma equação diofantina. Façamos x como sendo a quantidade de hambúrguer e y 
como sendo a quantidade de mini-pizzas. Então, podemos escrever uma equação do tipo ax + by = c, 
onde a representa o custo do hamburger e b o custo da mini-pizza temos que: 
 
 4x + 6y = 50, ou melhor, ainda 2x + 3y = 25 
 
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 Como o mdc (2, 3) = 1 e 1 divide 25, logo é possível termos soluções inteiras. De acordo com o 
Teorema de Bezout, existe um par ordenado (xo, yo) tal que 2xo + 3yo =25. 
 Usando o algoritmo da divisão temos: 
 
 3 = 2 . 1 + 1 
 
 Escrevendo o 1 como combinação linear de 2 e 3 vem: 
 
 3 – 2 . 1 = 1 
 –2 . 1 + 3 . 1 = 1 
 2. (–1) + 3 . 1 = 1 
 
 Como queremos resolver a equação 2x + 3y = 25, multipliquemos a última igualdade por 25. 
 
 2 . (–25) + 3 . 25 = 25 
 
 Logo xo = –25 e yo = 25 é uma solução particular da equação 2x + 3y = 25. A solução geral é: 
 
 
3
x = 25 + t
1
2
y = 25 t 
1
� � �− � ��
� � �
	
� �� − � �� � �
 
x = 25 + 3t
, com t Z
y = 25 2t 
−�
∈	 −
 
 
 Como x > 0 e y > 0 temos que –25 + 3t > 0 e 25 – 2t > 0. Resolvendo cada uma delas temos: 
 
 3t > 25 –2t > –25 
 t > 8,3 t < 12,5 
 
 Os valores inteiros de t que se encontram no intervalo são: 9, 10, 11 e 12. 
 Logo, as soluções possíveis são: 
 
 Quando t = 9, temos x = –25 + 27 = 2 e y = 25 – 18 = 7. 
 Quando t = 10, temos x = –25 + 30 = 5 e y = 25 – 20 = 5. 
 Quando t = 11, temos x = –25 + 33 = 8 e y = 25 – 22 = 3. 
 Quando t = 12, temos x = –25 + 36 = 11 e y = 25 – 24 = 1. 
 
 Ou seja, o Fernando poderia comprar com os R$ 50,00: 
 
 2 hambúrguer e 7 mini-pizzas ou 
 5 hamburguês e 5 mini-pizzas ou 
 8 hamburguês e 3 mini-pizzas ou 
 11 hamburguês e 1 mini-pizza 
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Exercícios 
 
1) Dados a = 134 e b = 55, calcule d = mdc (a, b) e determine os valores de r e s tais que 
134r + 55s = d. 
 
2) Determinar todos os múltiplos positivos de 11 e de 9 cuja soma seja 270. 
 
3) Resolva as seguintes equações diofantinas: 
 a) 2x + 3y =9 
 b) 3x + 5y = 47 
 c) 8x + 40y = 20 
 d) 3x + 4y = 20 
 e) 5x – 2y = 2 
 f) 18x – 20y = 8 
 g) 24x + 18y = 18 
 
4) Encontre as soluções inteiras positivas de: 
 a) 2x + y = 2 b) 6x + 15y = 51 
 
5) Encontre as soluções inteiras negativas de: 
 a) 2x + y = 2 b) 6x + 15y = 51 
 
6) Decomponha o número 100 em duas parcelas positivas tais que uma é múltiplo de 7 e a outra de 11. 
(problema do matemático L. Euler [1707 – 1783].) 
 
7) Ache todos os inteiros estritamente positivos com a seguinte propriedade: fornecem resto 6 quando 
divididos por 11 e resto 3 quando divididos por 7. 
 
8) O valor da entrada de um cinema é R$ 8,00 e da meia entrada R$ 5,00. Qual é o menor número de 
pessoas que pode assistir a uma sessão de maneira que a bilheteria seja de R$ 500,00? 
 
9) Um parque de diversões cobra R$ 1,00 a entrada de crianças e R$ 3,00 a de adultos. Para que a 
arrecadação de um dia seja R$ 200,00, qual o menor número de pessoas, entre adultos e crianças, que 
poderiam frequentar o parque nesse dia? Quantas crianças? Quantos adultos? 
 
10) Determine o menor inteiro positivo que deixa restos 16 e 27 quando dividido por 39 e 56, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO II 
Congruências Módulo m 
 
1. Introdução 
 
 O conceito de congruência, bem como a notação através da qual se torna um dos instrumentos 
mais fortes da teoria dos números, foi introduzido por Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) em sua 
Disquisitiones Arithmeticae de 1801. 
 Mesmo no dia a dia nem sempre as contas dão como resultado aquilo que “reza” a Aritmética. 
Por exemplo, quando é que 13 + 18 dá 7? Quando estamos falando de horas. Se forem 13 horas ou 1 
hora da tarde, ao adicionarmos 18 horas teremos 7 horas da manhã. Mas isto não é privilégio só das 
horas, qualquer fenômeno cíclico vai produzir uma Aritmética semelhante a esta. E é esta Aritmética 
dos fenômenos cíclicos que é conhecida como Aritmética dos Restos ou Congruência. 
 Consideremos a seguinte situação: se hoje é sábado, daqui a 152 dias, que dia da semana será? E 
há 152 dias, que dia semana foi? 
 Consideremos a seguinte correspondência biunívoca entre a sucessão dos dias e o conjunto dos 
números inteiros: ao dia de hoje (sábado) associamos o número 0, ao dia de amanhã o 1, e assim por 
diante; ao dia de ontem (sexta-feira) associamos o –1, ao de anteontem o –2, etc. Observemos o 
quadro: 
 
Sábado Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 
–14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 
0 1 2 3 4 5 6 
7 8 9 10 11 12 13 
14 15 1617 18 19 20 
 
 Sua primeira coluna representa sábados: abaixo da linha do 0, posteriores a hoje; acima, 
anteriores. A segunda representa domingos, e assim por diante. Notemos que dois inteiros representam 
o mesmo dia da semana se, e somente se, sua diferença é um múltiplo de 7. 
 Mas na primeira coluna estão os números da forma 7k, na segunda os da forma 7k + 1, na terceira 
os da forma 7k + 3, etc., onde k = 0, ± 1, ±2, … . Como 152 = 7 . 21 + 5, então 152 está na coluna do 
5, ou seja, das quintas-feiras. Logo a resposta à primeira pergunta é quinta-feira. 
 E como –152 = 7 . (–22) + 2, então –152 está na coluna do 2. Assim, a resposta à segunda 
pergunta é segunda-feira. 
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 Outro campo de aplicação da teoria é o da periodicidade da natureza, o tempo por exemplo. Os 
nossos relógios registram as horas em módulo 12. Após 12 horas voltam ao zero, começando 
novamente a contagem do tempo. Neste caso, é preciso levar em conta que 1 hora são 60 minutos se 
quisermos estabelecer um sistema completo de resíduos. No caso do relógio de ponteiros trabalhamos 
com congruência (mod 12), isto é, indicamos no relógio o resto da divisão euclidiana, das horas 
consideradas, por 12. Quando falamos 21 horas, por exemplo, não vemos este número marcado no 
relógio, o que vemos é o resto da divisão de 21 por 12 que é igual a 9. Encontramos congruências em 
todos os cantos. Como dissemos, os relógios trabalham com módulos 12 ou 24 para as horas e módulo 
60 para os minutos e segundos. Calendários usam módulo 7 para os dias da semana e módulo 12 para 
os meses. 
 Vejamos outros exemplos: 
 
Exemplo 1: Queremos determinar o horário que chegaremos a um certo destino, sabendo que essa 
viagem dura, com paradas e pernoites, 73 horas e que o horário de partida é às 17:00 h. Para isso, basta 
obter o resto da divisão de 73 + 17 = 90 por 24, já que o dia tem 24 horas: 90 = 24 . 3 + 18. Assim, o 
horário de chegada será às 18:00 horas. 
 
Exemplo 2: Comprei um carro e vou pagá-lo em 107 prestações mensais. Se estamos em março, em 
qual mês terminarei de pagá-lo? Aqui a repetição se dá de 12 em 12 meses. Considerando a numeração 
usual dos meses, temos que março corresponde a 3. Somando 3 a 107, obtemos 110, que corresponde a 
fevereiro, pois 110 = 9 . 12 + 2. 
 
2. Definição 
 
 Sejam a, b e m números inteiros, m > 0. Dizemos que a é côngruo a b, módulo m, se m/(a – b). 
Notação: a � b (mod. m). 
 Se m não divide a diferença a – b, então diz-se que a é incongruente a b módulo m. 
 Note que dois números inteiros quaisquer são congruentes módulo 1, enquanto dois números 
inteiros são congruentes módulo 2 se ambos são pares ou se ambos são ímpares. 
 Em particular a � 0 (mod m) se e somente se o módulo m divide a. 
 
RESUMO: Seja m um número inteiro maior que zero. Dizemos que dois números inteiros a e b são 
congruentes módulo m se os restos da sua divisão euclidiana por m são iguais. Representamos a � b 
(mod m). 
 
 
 
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 Vejamos dois exemplos: 
 
Exemplo 1: 
 
 21 � 13 (mod 2), pois os restos da divisão euclidiana de 21 e de 13 por 2 são iguais a 1. 
 
Exemplo 2: 
 
 15 � 4 (mod 11), pois os restos da divisão euclidiana de 15 e de 4 por 11 são iguais a 4. 
 
 
3. Propriedades importantes 
 
 Se a, b, m e d são inteiros, m > 0 as seguintes sentenças são verdadeiras: 
 
a) a � a (mod m). (reflexiva) 
 
b) se a � b (mod m), então b � a (mod m). (simétrica) 
 
c) se a � b (mod m) e b � d (mod m), então a � c (mod m). (transitiva) 
 
 Estas propriedades, reflexiva, simétrica e transitiva, respectivamente, tornam a congruência uma 
relação de equivalência. 
 
d) se a � b (mod m) e 0 � b < m, então b é resto da divisão euclidiana de a por m. Reciprocamente, se r 
é o resto da divisão de a por m, então a � r (mod m) 
 
 Se a, b, c e m (m > 0) são inteiros tais que a � b (mod m), então: 
 
e) a + c � b + c (mod m). 
 
f) a – c � b – c (mod m). 
 
g) a . c � b . c (mod m). 
 
 A última propriedade pode ser generalizada, por indução, para r congruências: se a1 � b1 
(mod m), a2 � b2 (mod m), ..., ar � br (mod m), então: 
 
 a1 . a2 ... ar � b1 . b2 ... br (mod m) 
 
 Em particular, se a1 = a2 = ... = ar e b1 = b2 = ... = br, temos que: 
 
 ar � br (mod m) 
 
 
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 Vejamos mais exemplos: 
 
Exemplo 3: Calcule o resto da divisão de 2343 por 15. 
Resolução: Pela propriedade reflexiva temos que: 
 
 20 � 1 (mod 15) 
 21 � 2 (mod 15) 
 22 � 4 (mod 15) 
 23 � 8 (mod 15) 
 24 � 16 � 1 (mod 15) 
 (24)85 � 185 (mod 15), logo 2340 � 1 (mod 15). 
 Desta forma, 2340 . 23 � 23 (mod 15). 
 
Resposta: 2343 � 8 (mod 15), isto é, o resto da divisão de 2343 por 15 é 8. 
 
Exemplo 4: Determine o resto de 325 por 19. 
Resolução: Pela propriedade reflexiva temos que: 
 
 30 � 1 (mod 19) 
 31 � 3 (mod 19) 
 32 � 9 (mod 19) 
 33 � 9 . 3 � 27 � 8 (mod 19) 
 (33)2 � 82 � 64 � 7 (mod 19), logo 36 � 7 (mod 19) 
 (36)2 � 72 � 49 � 11 (mod 19), logo 312 � 11 � –8 (mod 19) 
 (312)2 � (–8)2 � 64 � 7 (mod 19), logo 324 � 7 
 Desta forma, 324 . 3 � 7 . 3 (mod 19), então, 325 � 21 � 2 (mod 19) 
 
Resposta: 325 � 2 (mod 19), isto é, o resto da divisão de 325 por 19 é 2. 
 
Exemplo 5: Qual o resto da divisão de 245 por 7? 
Resolução: Pela propriedade simétrica temos que: 
 
 2 � 2 (mod 7) 
 23 � 8 � 1 (mod 7) 
 (23)15 � 115 (mod 7) 
 Logo, 245 � 1 (mod 7) 
 
Resposta: 245 � 1 (mod 7), isto é, o resto da divisão de 245 por 7 é 1. 
 
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12 
Exemplo 6: Mostre que 10200 – 1 é divisível por 11. 
 
 10 � –1 (mod. 11) 
 10200 � 1 (mod. 11) 
 10200 – 1 � 0 (mod. 11) 
 
 ∴11 | (10200 – 1) 
 
Exemplo 7: Calcular 1017 + 2876 (mod 7). 
Resolução: Reduzindo as parcelas da soma temos 
 1017 � 2 (mod 7) e 2876 � 6 (mod 7) 
 Logo: 1017 + 2876 � 2 + 6 = 8 (mod 7): 
 
 A título de curiosidade, vejamos mais dois exemplos um pouco mais elaborados. 
 
Exemplo 8: Ache o algarismo das unidades do número 
7(7 )7 . 
 
 7 � 7 (mod 10) 
 72 � 49 � 9 (mod 10) 
 73 � 63 � 3 (mod 10) 
 74 � 21 � 1 (mod 10) 
 Então, 7r � 7, 9, 3 ou 1 (mod. 10) conforme, respectivamente, r � 1, 2, 3 ou 0 (mod 4). Mas 7 � 3 
(mod 4), 72 � 21 � 1 (mod 4), 73 � 7 � 3 (mod 4), 74 � 21 � 1 (mod 4), ... Ou seja, 7s � 3 ou 1 (mod 4) 
conforme s seja ímpar ou par. Como 77 é ímpar, então 77 � 3 (mod 4). Logo 
7(7 )7 � 73 � 3 (mod 10). 
Assim, o algarismo das unidades do número dado é 3. 
 
Exemplo 9: Ache o algarismo das unidades do número 
9(9 )9 . 
 
 9 � 9 (mod 10) 
 92 � 81 � 1 (mod 10) 
 93 � 9 (mod 10) 
 94 � 81 � 1 (mod 10) 
 Então, 9r � 9 ou 1 (mod 10) conforme, respectivamente, r � 1, 2, 3 ou 0 (mod 4). Mas 9 � 5 � 1 
(mod 4), 92 � 1 (mod 4), 93 � 1 (mod 4), 94 � 1 (mod 4), ... Ou seja, 9s � 1 (mod 4) ∀ s ∈ N. Então, 
9(9 )9 � 91 � 9 (mod 10). Assim, o algarismo das unidades do número dado é 9. 
 
 
 
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13 
Exercícios 
 
11) Ache os restos nas seguintes divisões: 
 a) 1110 por 100 
 b) 310 . 425 + 68 por 5 
 c) 52 . 4841 + 285 por 3 
 d) 1169 por 3 
 e) 2512 por 5 
 f) 2334 por 23 
 
12) Mostre que 220 – 1 é divisível por 41. 
 
13) Mostrar que, qualquer que seja o inteiro ímpar a, o resto da divisão de a2 por 8 é 1. 
 
14) Determine todos os inteiros x tais que: 
 a) 0 � x � 100 e x � 5 (mod 8) b) 100 � x � 200 e x � –1 (mod 7) 
 
15) Se 402 � 654 (mod m), determine todos os possíveis valores de m. 
 
16) Use as congruências para verificar que: 
 a) 89 | (244– 1) b) 97 | (248 – 1) c) 23 | (211 – 1) 
 
17) Determine duas frações positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e cuja soma seja igual a 
305
221
. 
 
18) Determine duas frações cujos denominadores sejam 12 e 16 e cuja soma seja 
10
48
. 
 
19) Calcule x sabendo que 7x � 4 (mod 10). 
 
20) Um teatro vende ingressos e cobra R$ 18,00 por adulto e R$ 7,50 por criança. Numa noite, 
arrecada R$ 900,00. Quantos adultos e crianças assistiram ao espetáculo, sabendo que eram mais 
adultos do que criança? 
 
21) Determine os restos da divisão de 250 por 7. 
 
22) Determine os restos da divisão de 398 por 11. 
 
23) Prove que: 
 a) 22n � 1 (mod 3) b) 24m � 1 (mod 15) c) 23n � 1 (mod 7) 
 
24) Verifique se são côngruos (mod 5) os inteiros: 
 a) 18 e –22 b) –38 e 29 
 
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14 
4. Congruência linear 
 
 Retomaremos agora o estudo de equações diofantinas lineares, considerando sistemas de tais 
equações. 
 Chama-se congruência linear toda equação da forma ax � b (mod m), onde a e b são inteiros 
quaisquer e m um inteiro positivo. Todo inteiro x0 tal que ax0 � b (mod m) diz-se uma solução da 
congruência linear. 
 Se x0 é uma solução da congruência linear ax � b (mod m), então todos os inteiros x0 + km, onde 
k é um inteiro arbitrário, também são soluções da congruência linear. 
 
5. Condição de Existência de Soluções 
 
 A congruência linear ax � b (mod m) tem solução se, e somente se, d divide b, sendo 
d = mdc (a, m). Logo ax0 – by = my0 ou ax0 – my0 = b. 
 
6. Soluções da Congruência ax � b (mod m) 
 
 Se d divide b, sendo d = mdc(a, m), então a congruência linear ax � b (mod m) tem precisamente 
d soluções mutuamente incongruentes módulo m, dada pela fórmula: 
 
 x = x0 +
m
d
� �
� �
� �
t, com 0 � t � d – 1 
 
 Se o mdc (a, m) = 1, então a congruência linear ax � b (mod m) tem uma única solução. 
 
7. Resolução de uma congruência linear 
 
 Uma equação diofantina linear é uma equação da forma ax + by = c em que a, b, c, são números 
inteiros. A equação diofantina linear ax + by = c tem solução se, e somente se, d = mdc (a, b) divide c. 
Uma solução de uma equação diofantina linear é um par de inteiros x0, y0 que satisfaz a equação, 
então: 
 
 ax0 + by0 = c 
 
o que implica: ax0 � b (mod m). 
 
 Assim sendo, para obter uma solução particular da equação diofantina linear, basta determinar 
uma solução qualquer x = x0 da congruência linear ax � c (mod b), e substituir este valor x0 de x na 
equação ax + by = c afim de encontrar o valor correspondente y0 de y, isto é, tal que ax0 + by0 = c. 
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15 
Obviamente, também se pode obter uma solução particular da equação diofantina linear, determinando 
uma solução qualquer y = y0 da congruência linear bx � c (mod a). 
 Por exemplo, 4 é solução de 2x � 3 (mod 5), então todos os elementos de {4 + 5t / t ∈ Z} = 
{4, –1, 9, –6, ...} são apenas representações da mesma solução. 
 Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: Resolva a congruência linear 2x � 1 (mod 17). 
Resolução: O mdc (2, 17) = 1 e 1 | 1, logo a congruência possui uma solução. 
 2x � 1 e 1 � 2 . 9 (mod 17), então: 
 2x � 2.9 (mod 17) 
 x � 9 (mod 17) 
 
Exemplo 2: Resolva a congruência linear 3x � 1 (mod 17). 
Resolução: O mdc (3, 17) = 1 e 1 | 1, logo a congruência possui uma solução. 
 3x � 1 (mod 17) e 1 � 3 . 6 (mod 17), então: 
 3x � 3.6 (mod 17) 
 x � 6 (mod 17) 
 
Exemplo 3: Resolva a congruência 3x � 6 (mod 18). 
Resolução: O mdc (3, 18) = 3, e 3 | 6, logo a congruência possui três soluções. Dividindo por 3 a 
congruência dada, obtemos: 
 
 x � 2 (mod 6) 
 
 Assim a solução geral é x = 2 + 6t, t = 0, 1 e 2 dando x = 2, x = 8 e x = 14 
 
8. Teorema Chinês do Resto 
 
 O nome dado ao teorema se deve ao fato de que este resultado já era conhecido, na Antiguidade, 
pelos matemáticos chineses. 
 No século um, o matemático chinês chamado Sun-Tsu se perguntou? Que número ser esse de 
forma que quando dividido por 3, o resto é 2; quando dividido por 5, o resto é 3, e quando 
dividido por 7, o resto é 2? A pergunta é: Qual é a solução para o seguinte sistema de 
congruências? 
 
 
x 2 (mod 3)
x 3 (mod 5)
x 2 (mod 7)
≡�
� ≡	
� ≡
 
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16 
Definição: Um sistema de congruências lineares é um sistema da forma abaixo: 
 
1 1 1
2 2 2
r r r
A x B (mod m )
A x B (mod m )
.................................
A x B (mod m )
≡�
� ≡�
	
�
� ≡
 
 
 Arx � Br (mod mr) onde Ai, i = 1,2, ..., r são inteiros supostamente não nulos. Uma solução do 
sistema é um inteiro x0 que é solução de cada uma das congruências que dele fazem partes. Exemplo: 
3x � 1 (mod 5) 2x � 3 (mod 9). 
 
Teorema 1: Um sistema x � a1 (mod m1); x � a2 (mod m2) admite solução se, e somente se, a1 – a2 é 
divisível por d = mdc (m1, m2). Neste caso, se x0 é uma solução particular do sistema e se 
m = mmc (m1, m2) então x = x0 (mod m) é sua solução geral. 
 
Teorema 2 (do Resto Chinês): Sejam m1, m2, ..., mr números inteiros maiores que zero e tais que mdc 
(mi, mj) = 1, i � j. Façamos m = m1m2...mr e sejam b1, b2, ..., br, respectivamente, soluções das 
congruências lineares 
j
m
m
y � 1 (mod mj). Então o sistema x � a1 (mod m1); x � a2 (mod m2); ... ; x � ar 
(mod mr) admite soluções para quaisquer a1, a2, ... , ar � Z e sua solução geral é dada por: 
 
 1 1 2 2 r r
1 2 r
M M M
x = a b + a b + ... + a b (mod m)
m m m
� � � � � � ��
	 � � � � � �
� � � � � � �
 
 
 Este algoritmo, utilizado para resolver sistemas de congruências lineares, é muito antigo e foi 
inventado, independentemente, pelos chineses e pelos gregos, para resolver problemas de astronomia. 
O algoritmo chinês do resto tem este nome porque um dos primeiros lugares em que apareceu foi no 
livro Manual de aritmética do mestre Sun-Tsu, escrito entre 287 d.C. e 473 d.C. 
 Vejamos alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
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17 
Exemplo 4: Resolva o sistema de congruência linear x � 1 (mod 2) e x � 1 (mod 3). 
Resolução: Como o mdc (2, 3) = 1 o sistema possui solução. 
 A solução geral da 1ª é x = 1 + 2a. Substituindo este valor na 2ª, obtemos: 
 
 1 + 2a � 1 (mod 3) 
 2a � 0 (mod 3) 
 a � 0 (mod 3) 
 
 Logo a = 3b. Substituindo este valor em x = 1 + 2a, temos: 
 
 x = 1 + 2(3b), dando x = 1 + 6b 
 
que é solução geral do sistema, ou x � 1 (mod 6). 
 
Exemplo 5: Resolva o sistema de congruência linear x � 5 (mod 12) e x � 7 (mod 19). 
Resolução: Como o mdc (12, 19) = 1 o sistema possui solução. 
 A solução geral da 1ª é x = 5 + 12a. Substituindo este valor na 2ª, obtemos: 
 
 5 + 12a � 7 (mod 19) 
 12a � 2 (mod 19) 
 6a � 1 (mod 19) 
 
 Temos que 1 � 6 . 16 (mod 19), então: 
 
 6a � 6 . 16 (mod 19), então temos que a � 16 (mod 19) 
 
 Logo a = 16 + 19b. Substituindo este valor em x = 5 + 12a, temos: 
 
 x = 5 + 12(16 + 19b) = 5 + 192 + 228b = 197 + 228b 
 
que é solução geral do sistema, ou x � 197 (mod 228). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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18 
CAPÍTULO III 
Números racionais 
 
1. Introdução 
 
 Antes do estudo de números racionais precisamos retomar alguns conceitos já estudados este ano 
e introduzir outros novos que nos auxiliarão em nossos estudos desse semestre. 
 
2. Produto Cartesiano 
 
Definição 1: Dados dois conjuntos E e F não vazios, chama-se produto cartesiano de E por F o 
conjuntoformado por todos os pares ordenados (x, y), com x em E e y em F. 
 O conceito de par ordenado é tomado como conceito primitivo, postulando-se que (x, y) = (u, v) 
se, e somente se, x = u e y = v. 
Notação: E x F = {(x, y) � x ∈ E e y ∈ F} 
 
3. Relação Binária 
 
 Já conhecemos algumas relações entre números inteiros, como maior, menor, divide e 
congruente módulo m. 
 Para outro exemplo, consideremos E = {0, 1, 2, 3, ...} e F = {..., –3, –2, –1,}. Então, é uma 
relação entre elementos de E e F: x + y = 0, em que x representa um elemento de E e y um elemento de 
F. 
 De situações como essa, decorre que uma relação é um conjunto constituído de: 
 
• um conjunto E chamado de partida; 
• um conjunto F chamado de chegada; 
• uma sentença aberta P(x, y), em que x é uma variável em E e y uma variável em F, sentença essa 
que, para todo par ordenado (a, b) ∈∈∈∈ E X F, a proposição P(a, b) é verdadeira ou falsa. 
 
 Quando P(a, b) é verdadeira, dizemos que “a está relacionado com b através de R” e escrevemos 
aRb. 
 Se P(a, b) é falsa, dizemos que “a não está relacionado com b através de R” e escrevemos a Rb . 
 Por exemplo, se R indica a relação em que o conjunto de partida e o conjunto de chegada são 
iguais a P e a função proposicional é x2 + y = 0, então: 
 
 1R(–1), (–3)R(–9) e 0R0, já 0 R 1 , 1R ( 4)− e 3 R 6 . 
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19 
 O conjunto dos elementos a ∈∈∈∈ E tais que aRb, para pelo menos um elemento b � F, é chamado 
domínio da relação (D(R)), e o conjunto dos elementos b � F tais que, para pelo menos um elemento 
a � E, verifica-se aRb, é chamado conjunto imagem (Im(R)). 
 
Definição 2: Chama-se relação binária de E em F todo subconjunto R de E x F. Logo, (R é relação de 
E em F) se, e somente se, R ∈ E x F. 
 De acordo com essa definição, R é um conjunto de pares ordenados (a, b) pertencentes a E x F. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: Se E = {0, 1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}, então: 
 
 E x F = {(0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}. 
 
Qualquer subconjunto de E x F é uma relação de E em F, por exemplo: 
 
 ∅ 
 R1 = {(0, 4), (0, 5), (0, 6)} 
 R2 = {(0, 4), (1, 4), (1, 5), (2, 6)} 
 R3 = {(2, 5), (3, 6)}. 
 
Exemplo 2: Se E = F = Z, então E x F é o conjunto formado por todos os pares ordenados de números 
inteiros. Um exemplo de relação de Z em Z é: 
 R = {(x, y) ∈ Z x Z�x = –y} = {..., (–n, n), ..., (–2, 2), (–1, 1), (0, 0), (1, –1), ..., (n, –n), ...} 
 
Exemplo 3: Se E = F = R, então E x F é o conjunto formado por todos os pares ordenados de números 
reais. Um exemplo de relação de R em R é: 
 R = {(x, y) ∈ R x R�x � 0 e y � 0} 
 
4. Inversa de uma relação 
 
Definição 3: Seja R uma relação de E em F. Chama-se relação inversa de R, e indica-se por R–1, a 
seguinte relação de F em E: 
 R–1 = {(y, x) ∈ F x E�(x, y) ∈ R} 
 
Exemplo 4: Dados os conjuntos E = {0, 1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}, seja a relação R = {(0, 4), (0, 5), 
(0, 6)}, então: R–1 = {(4, 0), (5, 0), (6, 0)} 
 
Exemplo 5: Sejam os conjuntos E = R, F = R e R{(x, y) ∈R2� y = 2x}, então: 
 R–1 = {(y, x) ∈ R2�y = 2x} = {(x, y) ∈ R2 � x = 2y} 
 
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20 
Exemplo 6: Sejam os conjuntos E = R, F = R e R{(x, y) ∈ R2�y = x2}, então: 
 R–1 = {(y, x) ∈ R2� y = x2} = {(x, y) ∈ R2� x = y2} 
 
Exercícios 
 
25) Sejam E = {1, 3, 5, 7, 9} e F = {0, 2, 4, 6}. 
 a) Enumere os elementos das seguintes relações de E em F: 
 R1 = {(x, y)�y = x – 1} R2 = {(x, y)�x < y} R3 = {(x, y)�y = 3x} 
 
 b) Estabeleça o domínio e a imagem de cada uma. 
 
26) Seja R a relação sobre o conjunto N* definida pela sentença x + 3y = 10. Pede-se: 
 a) Os elementos de R 
 b) O domínio de R 
 c) A imagem de R 
 d) Os elementos de R–1 
 
27) Sejam E e F dois conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente. Qual é o número de 
elementos de E x F? 
 
5. Relação sobre um conjunto 
 
Definição 4: Quando E = F e R é uma relação de E em F, dizemos que R é uma relação sobre E ou, 
ainda, R é uma relação em E. 
 
 Veremos algumas propriedades que as relações em E podem apresentar e, a seguir, estudaremos 
dois tipos de relações sobre E: as relações de equivalência e as relações de ordem. 
 Neste estudo o diagrama de flechas pode ser útil quando trabalhamos com poucos exemplos. 
Observe o seguinte exemplo: a relação R = {(a ,a), (a, b) (b, c), (c, a)} sobre E = {a, b, c} 
 
 
 
Propriedades: 
 
 
 
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21 
5.1. Reflexiva 
 
Definição 5: Dizemos que R é reflexiva quando todo elemento de E se relaciona consigo mesmo. Ou 
seja, quando, para todo x ∈ E, vale xRx. 
Exemplo: a relação R = {(a, a), (b, b), (a, b) (b, a), (c, c)} sobre E = {a, b, c} é reflexiva, pois aRa, bRb 
e cRc. 
 Note que a relação R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (b, c)} sobre E = {a, b, c} não é reflexiva, pois 
c R c 
 
Diagrama de flechas: 
 Em cada ponto do diagrama deve haver um laço. 
 
 Exemplo Contraexemplo 
 
 
5.2. Simétrica 
 
Definição 6: Dizemos que R é simétrica se vale yRx sempre que vale xRy. Ou seja, se xRy, então yRx. 
Exemplo: a relação R = {(a, a), (a, b) (b, a), (c, c)} sobre E = {a, b, c} é simétrica, pois aRb e bRa. 
 
 Note que a relação R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, c)} sobre E = {a, b, c} não é simétrica, pois aRb e 
b R a . 
 
Diagrama de flechas: 
 Toda flecha tem duas pontas. 
 
 Exemplo Contraexemplo 
 
 
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22 
5.3. Transitiva 
 
Definição 7: Dizemos que R é transitiva se vale xRz sempre que vale xRy e yRz. Ou seja, se xRy e 
yRz, então xRz. 
Exemplo: a relação R = {(a, b), (b, b), (b, c) (a, c), (c, c)} sobre E = {a, b, c} é transitiva, pois aRb, 
bRc e aRc. 
 Note que a relação R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, c)} sobre E = {a, b, c} não é transitiva, pois aRb, 
bRc e a R c . 
 
Diagrama de flechas: 
 Para todo par de flechas consecutivas existe uma terceira flecha cuja origem é a origem da 
primeira e a extremidade, a da segunda. 
 
 Exemplo Contraexemplo
 
 
5.4. Antissimétrica 
 
Definição 8: Dizemos que R é antissimétrica se x = y, sempre que xRy e yRx. Ou seja, se xRy e yRx, 
então x = y. 
 É importante destacar que se x � y, então xRy ou yRx. 
 
Exemplo: a relação R sobre o conjunto � dos números reais dada por xRy se, e somente se, x � y é 
antissimétrica, pois, sendo x e y números reais quaisquer, se x � y e y � x, então x = y. 
 Note que uma relação R sobre E não é antissimétrica se existirem x e y em E tais que x � y e xRy 
e yRx. 
 Se R = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)} sobre E = {a, b, c} não é antissimétrica, pois b � c, bRc 
e cRb. 
 
Diagrama de flechas: 
 Não há flechas de duas pontas. 
 
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23 
 Exemplo Contraexemplo 
 
 
Exercícios 
 
28) Seja R a relação em E = {1, 2, 3, 4} tal que xRy se, e somente se, x + y é múltiplo de 2. 
 a) Quais são os elementos de R? 
 b) Faça o diagrama de flechas para R. 
 c) R é reflexiva? R é simétrica? R é transitiva? R é antissimétrica? 
 
29) R é uma relação sobre E = {a, b, c, d} dada pelo esquema de flechas abaixo. Que propriedade R 
apresenta? 
 
 
30) Que propriedade apresenta a relação S dada pelo esquema abaixo? 
 
 
31) Seja E = {1, 2, 3}. Considerem-se as seguintes relações em E: 
 a) R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} 
 b) R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} 
 c) R3 = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} 
 
Que propriedades cada relaçãoacima apresentam? 
 
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24 
6. Relação de Equivalência 
 
Definição 9: Uma relação binária R num conjunto A diz-se uma relação de equivalência se ela é 
reflexiva, simétrica e transitiva. Usando o símbolo � para indicar uma relação de equivalência, 
podemos escrever: 
 
 Uma relação binária num conjunto A, diz-se uma relação de equivalência se, para 
quaisquer a, b, c em A, tem-se: 
 
 (i) a � a (reflexiva) 
 (ii) a � b implica b � a (simétrica) 
 (iii) a � b e b � c implica a � c (transitiva) 
 
7. Relação de Ordem 
 
Definição 10: Uma relação R sobre um conjunto E não vazio é chamada relação de ordem parcial 
sobre E se, e somente se, R é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Ou seja, R deve cumprir 
respectivamente as seguintes propriedades: 
 
 (i) Se x ∈ E, então xRx 
 (ii) Se x, y ∈ E, xRy e yRx, então x = y 
 (iii) Se x, y, z ∈ E, xRy e yRz, então xRz 
 
 Quando R é uma relação de ordem parcial sobre E, para exprimir que (a, b) ∈ R, usaremos a 
notação a � b (R) (a precede b na relação R ou b segue a na relação R). Para exprimir que (a, b) ∈ R e 
a � b usaremos a notação a < b (R) (a precede estritamente b na relação R ou b segue estritamente a na 
relação R). 
 
 
Definição 11: Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto sobre o qual se definiu uma certa 
relação de ordem parcial. 
 
Definição 12: Seja R uma relação de ordem parcial sobre E. Os elementos a, b � E se dizem 
comparáveis mediante R se a � b ou b � a. 
 
Definição 13: Se dois elementos quaisquer de E forem comparáveis mediante R, então R será chamada 
relação de ordem total sobre E. Nesse caso, o conjunto E é dito totalmente ordenado por R. 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
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25 
Exemplo 1: A relação R3 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)} é uma relação de ordem sobre E 
= {a, b, c}, conforme se pode notar no diagrama abaixo. O conjunto E é totalmente ordenado por R, 
uma vez que não há dois elementos distintos de E que não estejam ligados por uma flecha. 
 
 
 
 
Exemplo 2: A relação R sobre R definida por xRy se, e somente se, x � y é uma relação de ordem, 
denominada ordem habitual, pois: 
 
 (�x), x ∈ R � x � x 
 (�x, y ∈ R), x � y e y � x � x = y 
 (�x, y, z ∈ R), x � y e y � z � x � z 
 
Exemplo 3: A relação R sobre N definida por xRy se, e somente se, x | y é uma relação de ordem, pois: 
 
 (�x), x ∈ N � x | x 
 (�x, y ∈ N), x | y e y | x � x = y 
 (�x, y, z ∈N), x | y e y | z � x | z 
 
 O conjunto N é parcialmente ordenado por essa relação, já que há elementos de N não 
comparáveis por divisibilidade, por exemplo: 2 e 3. 
 
Exercícios 
 
32) Quais das relações abaixo são relações de equivalência: 
 a) R1 = {(a, a), (b, b), (a, b) (b, a), (c, c)} 
 b) R2 = {(a, a), (b, b), (a, b) (b, a), (b, c)} 
 c) R3 = {(a, a), (b, b), (a, b) (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)} 
 
 
 
 
 
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26 
33) Quais dos seguintes itens abaixo representam uma relação de equivalência? 
 a) relação divide 
 b) semelhança de triângulos 
 c) paralelismo 
 d) perpendicularismo 
 e) relação menor 
 f) congruência 
 
8. Construção de Q 
 
 Já sabemos que se a e b são números inteiros com b � 0 a equação bx = a nem sempre tem 
solução em Z, isso acontece se e somente se b | a. Por exemplo, a equação 2x = 6 tem solução x = 3 em 
Z, mas a equação 5x = 8 não tem solução em Z. 
 Essa limitação do conjunto dos números inteiros nos leva a construção de um novo conjunto de 
números em que toda a equação da forma acima tenha solução. Indicaremos essa solução por 
a
b
, ainda 
que esse número não seja um inteiro. É imediato que b . 
a
b
 = a. 
 Indicaremos por Z* o conjunto de todos os inteiros exceto o número 0 e começaremos por 
considerar o conjunto Z X Z* = {(a, b) | a ∈ Z, b ∈ Z*}, isto é, o conjunto de todos os pares ordenados 
de números inteiros com a segunda componente não nula. Neste conjunto introduzimos uma relação �, 
do seguinte modo: 
 
Definição: Dados dois elementos (a, b) e (c, d) do conjunto Z X Z*, diremos que (a, b) � (c, d) se e 
somente se ad � bc. 
Por exemplo: (3, 6) � (5, 10), pois 3 . 10 = 6 . 5 e da mesma forma, (5, 10) � (1, 2), já que 5 . 2 = 
10 . 1. 
 
Proposição: A relação acima é uma relação de equivalência. 
 
Demonstração: Precisamos demonstrar que a nossa relação verifica as três condições da definição: 
 
 
(i) Para todo par (a, b) ∈ Z X Z*, temos que (a, b) � (a, b), pois ad = bc 
 
(ii) Sejam (a, b), (c, d) pares tais que (a, b) � (c, d). Temos, então, que ad = bc, donde também cb = da. 
Da última igualdade e da definição acima, vem que (c, d) = (a, b). 
 
(iii) Sejam (a, b), (c, d) e (e, f) pares tais que (a, b) � (c, d) e (c, d) � (e, f). Então, temos que ad = bc e 
cf = de. Multiplicando a primeira igualdade por f e a segunda por b temos: adf = bcf e bcf = bde. Logo 
adf = bde. 
 
 Como d � 0, podemos cancelar e obter af = de, o que implica que (a, b) � (e, f). (c.q.d.) 
 
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27 
 Podemos agora considerar o conjunto quociente (Z X Z*)/�, isto é, o conjunto de todas as classes 
de equivalência. Para representar a classe do par (a, b), utilizaremos o símbolo a/b. Assim: 
 
 
a
b
 = {(x, y) ∈ Z X Z* | (x, y) � (a, b)} = {(x, y) ∈ Z X Z* | xb = ya)} 
 
 O símbolo 
a
b
 chama-se uma fração de numerador a e denominador b. 
 
 
Definição: O conjunto dos números racionais é definido como o conjunto de todas as frações a
b
 sendo 
que a ∈ Z e b ∈ Z, b � 0, isto é: 
 
 Q = 
a
 / a Z, b Z e b 0
b
� �∈ ∈ ≠	 �
 
 
 
 Conhecido o conjunto Q, passamos a definir as operações de adição e multiplicação nesse 
conjunto. 
 
 
a c ad + bc
 + = 
b d bd
 e 
a c ac
 . = 
b d bd
 
 
 Assim, temos: 
 
 
2 3 2 . 5 + 3 . 3 19
 + = = 
3 5 3 . 5 15
 e 
2 3 2 . 3 6
 . = = 
3 5 3 . 5 15
 
 
 Em Q os números não têm uma forma única para serem escritos. Por exemplo, 2
3
 = 
6
9
. 
 
 MAS ATENÇÃO: 2
3
 é solução da equação 3x = 2, ou seja, 3 . 
2
3
 = 2. Multiplicando os dois 
membros desta igualdade por 3, obtemos: 3 . 3 . 
2
3
 = 3 . 2, isto é, 9 . 
2
3
= 6 o que equivale a afirmar 
que 
2
3
 é solução de 9y = 6. Ocorre que a solução de 9y = 6 é 
6
9
. Assim: 
 
 
Teorema: As operações acima estão bem definidas em Q, isto é, o resultado não depende da particular 
forma dos operandos. Ao invés de demonstrar, vamos dar um exemplo. 
 
 
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28 
 Imagine que queremos somar e multiplicar 
1
3
 e 
3
5
. A soma é 
14
15
 e o produto 
3
15
. Acontece que, 
por exemplo, 
1
3
 = 
4
12
 e 
3
5
 = 
6
10
. Operando com esses valores obtemos a soma 
112
120
 e o produto 
24
120
, 
resultados iguais aos obtidos anteriormente. 
 
8.1. Propriedades das operações em Q 
 
Teorema: O conjunto Q, com as operações + e . acima definidas, possui as seguintes propriedades: 
 
a) Propriedade Associativa: Para quaisquer a, b, c em Q tem-se que: 
 (a + b) + c = a + (b + c) e (ab)c = a(bc) 
 
b) Propriedade Comutativa: Para quaisquer a, b em Q tem-se que: 
 a + b = b + a e ab = ba 
 
c) Existência de elemento neutro: Para todo a ∈ Q: 
 existe 0 ∈ Q tal que a + 0 = a 
 existe 1 ∈ Q tal que a . 1 = a 
 
d) Existência de Inversos: Para cada a ∈ Q: 
 existe −a ∈ Q tal que a + (−a) = 0 
 com a � 0, existe a–1 ∈ Q tal que a . a–1 = 1 
 
e) Propriedade Distributiva: Para quaisquer a, b, c ∈ Q tem-se que: 
 a (b + c) = ab + ac 
 
 
Exercícios 
 
34) Mostre que: 
 a) 
1 515 15
 = 
3 33333
 a) 
131 131 13
 = 
999 999 99
 
 
35) Achar os valores do inteiro n para os quais a fração n + 2
n 1−
 represente um inteiro. 
 
36) Determine r ∈ Z de maneira que as seguintes frações ordinárias representem números inteiros: 
 a) 
10m
2m 1−
 b) 
33m
3m 1−
 
 
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29 
CAPÍTULO IV 
Operações 
 
1. Leis de Composição Interna 
 
 Considere a operação f: N x N � N tal que f(x, y) = x + y. A aplicação é conhecida como 
operação de adição sobre N. 
 Pense agora na aplicação g: R x R � R tal que g(x, y) = x . y, que é conhecida como operação de 
multiplicação sobre R. 
 
Definição 1: Sendo E um conjunto não vazio, toda aplicação f: E x E � E recebe o nome operação 
sobre E (ou em E) ou lei de composição interna sobre E (ou em E). 
 
 Em nossas considerações ma operação f sobre E associa a cada par (x, y) de E x E um elemento 
de E que será simbolizado por x*y. Assim, x*y é uma forma de indicar f(x, y). Dizemos também que E 
é um conjunto munido da operação *. 
 O elemento x*y é chamado composto de x e y pela operação *. O termo x e y são chamados, 
respectivamente, primeiro e segundo termos ou termo da direita e termo da esquerda. 
 Outras notações poderão ser usadas para indicar uma operação sobre E. 
 
a) Notação aditiva 
 O símbolo da operação é (+), a operação é chamada adição, o composto x + y é chamado soma, e 
os termos são as parcelas. 
 
b) Notação multiplicativa 
 O símbolo da operação é (.), a operação é chamada multiplicação, o composto x . y é chamado 
produto, e os termos são os fatores. 
 
c) Outros símbolos utilizados para operações genéricas são: 	, ⊗ , ⊕ , X, etc. 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
 
a) A aplicação f: N* x N* � N* tal que f(x, y) = xy é operação potenciação sobre N*. 
 
b) A aplicação f: Q* x Q* � Q* tal que f(x, y) = 
x
y
 é a operação de divisão sobre Q*. 
 
c) A aplicação f: Z x Z � Z tal que f(x, y) = x – y é a operação de subtração sobre Z. 
 
 
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30 
2. Propriedades das Operações 
 
 Seja * uma operação de composição interna em E. 
 
2.1. Propriedade associativa 
 
Definição 2: Dizemos que * goza da propriedade associativa se x * (y * z) = (x * y) * z, quaisquer que 
sejam x, y, z ∈ E. 
 
Exemplos: 
a) As adições em N, Z, Q e R são operações que gozam da propriedade associativa: 
 (x + y) + z = x + (y + z), � x, y, z 
 
b) As multiplicações em N, Z, Q e R são operações associativas: 
 (x . y) . z = x . (y . z), � x, y, z 
 
Contraexemplos: 
a) A potenciação em N* não é operação associativa, pois: 
 2 * (3 * 4) = ( )
432 = 281 e (2 * 3) * 4 = (23)4 = 212 
 
b) A divisão em R* não é operação associativa, pois: 
 24 * (4 * 2) = 24 : (4 : 2) = 24 : 2 = 12 e (24 * 4) * 2 = (24 : 4) : 2 = 6 : 2 = 3 
 
2.2. Propriedade comutativa 
 
Definição 3: Dizemos que * goza da propriedade comutativa se x * y = y * x, quaisquer que sejam 
x, y ∈E. 
 
Exemplos: 
a) As adições em N, Z, Q e R são operações que gozam da propriedade comutativa: 
 x + y = y + x, � x, y 
 
b) As multiplicações em N, Z, Q e R são operações associativas: 
 x . y = y . x, � x, y 
 
Contraexemplos: 
a) A potenciação em N* não é operação comutativa, pois: 
 23 = 8 e 32 = 9 
 
 
 
Professor Cícero José – Uniban 2011 
 
31 
b) A divisão em R* não é operação comutativa, pois: 
 3 : 6 = 
1
2
 e 6 : 3 = 2 
 
c) A subtração em Z não é operação comutativa, pois: 
 3 – 7 = –4 e 7 – 3 = 4 
 
2.3. Elemento Neutro 
 
Definição 4: Se existe e ∈ E tal que e * x = x para todo x ∈ E, dizemos que e é um elemento neutro à 
esquerda para *. 
 
 Se existe e ∈ E tal que x * e = x para todo x ∈ E, dizemos que e é um elemento neutro à direita 
para *. 
 Se e é um elemento neutro à direita e à esquerda para a operação *, dizemos simplesmente que e 
é um elemento neutro. 
 
Exemplos: 
a) O elemento neutro das adições em N, Z, Q e R é o número 0, pois: 
 x + 0 = 0 + x = x, � x, y 
 
b) O elemento neutro das multiplicações em N, Z, Q e R é o número 1, pois: 
 x . 1 = 1 . x = x, � x, y 
 
Contraexemplos: 
a) A subtração em Z admite 0 como elemento neutro à direita pois x – 0 = x, , � x ∈ Z, mas não 
admite neutro à esquerda, pois não existe e (fixo) tal que e – x = x, � x ∈ Z. 
 
b) A divisão em R* admite 1 como elemento neutro à direita, pois x : 1 = x , � x ∈ R*, mas não 
admite neutro à esquerda, pois não existe e (fixo) tal que e : x = x, � x ∈ R*. 
 
Proposição: Se a operação sobre E tem um elemento neutro e, então ele é único. 
 
 
2.4. Elementos simetrizáveis 
 
Definição 5: Seja * uma operação sobre E que tem elemento neutro e. Dizemos que x ∈ E é um 
elemento simetrizável para essa operação se existir x’ ∈ E tal que x’ * x = x * x’ = e. 
 
 
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32 
 O elemento x’ é chamado simétrico de x para a operação *. 
 Quando a operação é a adição, o simétrico de x é chamado oposto de x e indicado por – x. 
 Quando a operação é a multiplicação, o simétrico de x é chamado inverso de x e indicado por x–1. 
 
Exemplos: 
a) 3 é um elemento simetrizável para a adição em Z, e seu simétrico (ou oposto) é – 3, pois: 
 (–3) + 3 = 3 + (–3) = 0 
 
b) 3 é um elemento simetrizável para a multiplicação em Q, e seu simétrico (ou inverso) é 
1
3
, pois: 
 
1
3
. 3 = 3 . 
1
3
 = 1 
 
Proposição: Seja * uma operação sobre E que é associativa e tem elemento neutro e. 
 
a) Se um elemento x ∈ E é simetrizável, então o simétrico de x é único. 
 
b) Se x ∈ E é simetrizável, então seu simétrico x’ também é e (x’)’ = x. 
 
c) Se x, y ∈ E são simetrizáveis, então x * y é simetrizável e (x * y)’ = y’ * x’. 
 
2.5. Elementos regulares (Lei do Cancelamento) 
 
Definição 6: Seja * uma operação sobre E. Dizemos que a ∈ E é regular (ou simplificável ou que 
cumpre a lei do cancelamento) à esquerda em relação à operação * se, para quaisquer x, y ∈ E tais que 
a * x = a * y, vale x = y. 
 
 Dizemos que a ∈ E é regular (ou simplificável ou que cumpre a lei do cancelamento) à direita 
em relação à operação * se, para quaisquer x, y ∈ E tais que x * a = y * a, vale x = y. 
 Se a ∈ E é um elemento regular à direita e a esquerda em relação à operação *, dizemos 
simplesmente que a é regular para essa operação. 
 
Exemplos: 
a) 3 é regular para a adição em N, pois: 3 + x = 3 + y � x = y quaisquer que sejam x, y ∈ N. 
 
b) 3 é regular para a multiplicação em Z, pois: 3 . x = 3 . y � x = y quaisquer que sejam x, y ∈ Z. 
 
Contraexemplo: 
0 não é regular para multiplicação em Z, pois: 0 . 2 = 0 . 3 e 2 � 3 
 
 
 
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33 
2.6. Propriedade distributiva 
 
Definição 7: Sejam * e 	 duas operações sobre E. Dizemos que 	 é distributiva à esquerda 
relativamente a* se: x 	 (y * z) = (x 	 y) * (x 	 z), quaisquer que sejam x, y, z ∈ E. 
 Dizemos que 	 é distributiva à direita relativamente a* se: (y * z) 	 x = (y 	 x) * (z 	 x), 
quaisquer que sejam x, y, z ∈ E. 
 
 Quando 	 é distributiva à direita e à esquerda de *, dizemos simplesmente que 	 é distributiva 
relativamente a *. 
 
Exemplos e contraexemplo: 
a) A multiplicação em Z é distributiva em relação à adição em Z, pois: 
 x . (y + z) = (x . y) + (x . z), � x, y,z ∈ Z 
 
b) Em N*, a potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação, pois: 
 (x . y)z = xz . yz, � x, y,z ∈ N* 
 
 Entretanto a potenciação em N* não é distributiva à direita em relação a multiplicação, pois: 
 23 . 4 � 23 . 24 
 
Exercícios 
 
37) Em cada caso, verifique se a operação * sobre E é associativa, é comutativa, tem elemento neutro e 
se tem elementosimetrizável. 
 a) E = R e x * y = 
x + y
2
 
 b) E = R e x * y = x + y – 10 
 c) E = R+ e x * y = x2 + y2 
 d) E = R e x * y = 3 33 x + y
 
38) Em cada caso abaixo está definida uma operação sobre Z x Z. Verifique se ela é: associativa, 
comutativa, tem elemento neutro e se tem elemento simetrizável. 
 a) (a, b) * (c, d) = (ac, 0) 
 b) (a, b) 	 (c, d) = (a + c, b + d) 
 c) (a, b) x (c, d) = (ac, ad + bc) 
 d) (a, b) 
 (c, d) = (a + c, bd) 
 
 
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34 
3. Tábua de uma Operação 
 
 Seja E = {a1; a2; :::; an}; (com n > 1) um conjunto com n elementos. Toda operação sobre E é 
uma aplicação f: E x E � E que associa a cada par (ai; aj) o elemento ai * aj = aij. 
 Podemos representar o elemento aij, correspondente ao par (ai, aj), numa tabela de dupla entrada 
construída como se segue: 
 
1º) Marcamos na linha fundamental e na coluna fundamental os elementos do conjunto E. Chamamos 
de i-ésima linha aquela que começa com ai e de j-ésima coluna aquela que começa com aj. 
 
 
 
2º) Dado um elemento ai na coluna fundamental e um elemento aj na linha fundamental, na interseção 
da linha i com a coluna j; o elemento correspondente aij. 
 
 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
 
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35 
Exemplo 1: Tábua da multiplicação em E = {–1, 0, 1}. 
 
. –1 0 1 
–1 1 0 –1 
0 0 0 0 
1 –1 0 1 
 
Exemplo 2: Tábua operação * sobre E = {1, 3, 5, 15} tal que x * y = mdc (x, y). 
 
. 1 3 5 15 
1 1 1 1 1 
3 1 3 1 3 
5 1 1 1 5 
15 1 3 5 15 
 
Exercícios 
 
39) Em cada caso a seguir está definida uma operação sobre E. Faça a tábua da operação. 
 a) E = {1, 2, 3, 6} e x * y = mdc (x, y) 
 b) E = {1, 3, 9, 27} e x * y = mmc (x, y) 
 c) E = {0, 1, 2, 3, 4} e x * y = resto da divisão em Z de x + y por 4 
 d) E = {0, 1, 2, 3, 4} e x 	 y = resto da divisão em Z de x . y por 4 
 e) E = {0, 1, 2, 3, 4} e x ⊕ y = resto da divisão em Z de x + y por 5 
 f) E = {0, 1, 2, 3, 4} e x ⊗ y = resto da divisão em Z de x . y por 5 
 
40) A partir da tábua da operação 	 sobre E = {1, 2, 3, 4}, calcule os seguintes compostos: 
 
� 1 2 3 4 
1 1 1 1 1 
2 1 2 3 4 
3 1 3 4 2 
4 1 4 2 3 
 
 a) (3 	 4) 	 2 b) 3 	 (4 	 2) c) [4 	 (3 	 3)] 	 4 d) (4 	 3) 	 (3 	 4) e) [(4 	 3) 	 3] 	 4 
 
41) Consideremos as funções f2(x) : R � R e f3 : R* � R*, definidas por f2(x) = –x e f3(x) = 
1
x
. Sejam 
as funções f1(x) = f2 o f2 e f4(x) = f2 o f3. Construa uma tábua de composição {f1, f2, f3, f4}. 
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36 
CAPÍTULO V 
Estruturas Algébricas: Grupos 
 
1. Introdução 
 
Definição 1: Um sistema matemático constituído de um conjunto não vazio G e uma operação (x, y) 
� x * y sobre G é chamado grupo se essa operação satisfaz as seguintes condições: 
 
 a) Se a, b ∈ G, então a * b ∈ G (fechamento) 
 
 b) (a * b) * c = a * (b * c), �a, b, c ∈ G (associativa) 
 
 c) � e ∈ G / a * e = e * a = a, �a ∈ G (elemento neutro) 
 
 d) �a ∈ G, �a’ ∈ G / a * a’ = a’ * a = e (elemento simétrico) 
 
Notação: (G, *) 
 
 Se, além disso, ainda tivermos a * b = b * a, �a, b ∈ G (comutativa), o grupo é chamado de 
grupo comutativo, aditivo ou abeliano. 
 
 Ou seja, um grupo é um conjunto não vazio G munido de uma operação fechada que é 
associativa, admite elemento neutro e admite inverso para cada um de seus elementos. Se, além 
disso, se a operação for comutativa, dizemos que G é grupo abeliano, em homenagem ao matemático 
N. Abel (1802-1829). 
 
 Vejamos um exemplo: 
 
 Seja G = {2, 4, 6, 8} e consideremos a operação * determinada pela seguinte tábua: 
 
* 2 4 6 8 
2 4 8 2 6 
4 8 6 4 2 
6 2 4 6 8 
8 6 2 8 4 
 
 A operação * determinada pela tábua define uma estrutura de grupo comutativo sobre o conjunto 
G, pois: 
 
 a) Tem fechamento: Qualquer operação tem como resultado 2, 4, 6 e 8. 
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37 
 b) Tem elemento neutro: A 3ª coluna é igual à coluna fundamental e a 3ª linha é igual à linha 
fundamental; portanto, 6 é o elemento neutro para operação *. 
 
 c) É comutativa: A tábua é simétrica em relação à diagonal principal. 
 
 d) Tem elemento simetrizável: O elemento 6 aparece uma única vez em cada linha e cada coluna 
da tábua dada e, além disso, suas posições são simétricas em relação à diagonal principal; portanto, 
cada elemento de G é simetrizável para a operação *. Precisamente, os simétricos de 2, 4, 6 e 8 são, 
respectivamente, 8, 4, 6 e 2. 
 
 Falta verificar a propriedade associativa. Na prática temos que calcular e comparar todos os 
compostos (a * b) * c = a * (b * c), e assim temos que determinar 2n3 compostos de três termos cada 
um. 
 Notemos que se um destes elementos é igual ao elemento neutro 6, então a igualdade (a * b) * c = 
a * (b * c) é verdadeira. Portanto, restam 54 compostos (2 . 33) compostos de 3 termos cada um. 
Fazendo a verificação para alguns casos, ficará provado que G possui a propriedade associativa. 
 
2. Grupos finitos 
 
 Um grupo (G, *) em que o conjunto G é finito, chama-se grupo finito. Nesse caso, o número de 
elementos de G é chamado ordem do grupo (notação o(G)) e a tábua da operação * se denomina tábua 
do grupo. 
 
Exemplo: G = {–1, 1} é um grupo multiplicativo, sua ordem é 2 e sua tábua: 
 
. 1 –1 
1 1 –1 
–1 –1 1 
 
 
3. Alguns grupos importantes 
 
3.1. Grupo aditivo dos inteiros, dos racionais e dos reais 
 
 Formado pelo conjunto dos inteiros (racionais ou reais) e a operação de adição usual, gozando 
das propriedades: associativa, elemento neutro (o zero) e elemento simétrico (o oposto) dos inteiros 
(racionais ou reais). Também goza da propriedade comutativa. 
Notação: (Z, +), (Q, +), (R, +) 
 
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38 
3.2. Grupo multiplicativo dos racionais e dos reais 
 
 Formado pelo conjunto dos racionais (reais) não nulos e a multiplicação usual, gozando das 
propriedades: associativa, elemento neutro (o número 1) e elemento simétrico (oposto) dos 
racionais (ou reais). Também goza da propriedade comutativa. 
Notação: (Q*, .), (R*, .) 
 
Exercícios 
 
42) Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada? 
 a) Z– ; adição 
 b) Z+ ; multiplicação 
 c) A = {x ∈ Z / x é par}; adição 
 d) B = {x ∈ Z / x é ímpar}; multiplicação 
 e) C = {–2, –1, 0, 1, 2}; adição 
 f) D = {–1, 1}; multiplicação 
 
43) Mostre que R dotado da operação * tal que x * y = 3 33 x + y é um grupo abeliano. 
 
44) Mostre que R munido da operação 	 tal que x 	 y = x + y – 3 é um grupo comutativo. 
 
45) Verifique se Z x Z é grupo em relação a cada uma das seguintes leis de composição: 
 a) (a, b) 	 (c, d) = (a + c, b + d) 
 b) (a, b) * (c, d) = (a + c, bd) 
 
46) Mostre que cada uma das tábuas abaixo define uma operação que confere ao conjunto G 
= {e, a, b, c} uma estrutura de grupo. 
 
* e a b c 
e e a b c 
a a e c b 
b b c e a 
c c b a e 
 
 
47) Verifique se com a multiplicação usual X = {1, –1, i, –i} constitui um grupo abeliano. 
 
 
 
 
 
* e a b c 
e e a b c 
a a e c b 
b b c e a 
c c b e a 
 
Professor Cícero José – Uniban 2011 
 
39 
4. Semigrupos 
 
Definição 2: Dado um conjunto G e a operação *, com a propriedade: 
 
 a * (b * c) = (a * b) * c, �a, b, c ∈ G 
 
diremos que (G, *) é um semigrupo. 
 
 Por exemplo, (N, +) é semigrupo. 
 
 Além disso, se * é comutativa em G, diremos que (G, *) é um semigrupo comutativo. 
 
5. Monoide 
 
Definição 3: Dado um conjunto G e a operação *, com as propriedades: 
 
 a) (a * b) * c = a * (b * c), �a, b, c ∈ G (associativa) 
 
 b) � e ∈ G / a * e = e * a = a, �a ∈ G (elemento neutro) 
 
diremos, nestas condições que G é um monoide.Além disso, se * é comutativa em G, diremos que (G, *) é um monoide comutativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Cícero José – Uniban 2011 
 
40 
CAPÍTULO VI 
Estruturas Algébricas: Anel 
 
1. Introdução 
 
Definição: Seja A um conjunto munido de duas operações + (adição) e . (multiplicação). Diz-se que 
estas operações definem uma estrutura de anel sobre o conjunto A em relação às operações + e . se, 
e somente se, são válidas as seguintes condições: 
 
 a) + e . são leis de composição interna em A (fechamento) 
 Se a, b ∈ A � a + b ∈ A e a . b ∈ A. 
 
 b) (A, +) é grupo comutativo, �a, b, c ∈ A. 
 . Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) . Elemento Neutro: a + e = a = e + a 
 . Elemento Simetrizável: a’ + a = e = a + a’ . Comutativa: a + b = b + a 
 
 c) (A, .) é semigrupo 
 (a . b) . c = a . (b . c) (associativa) 
 
 d) A multiplicação é distribuída à direita (DD) e à esquerda (DE) em relação à adição. 
 �a, b, c ∈ A, a . (b + c) = (a . b) + (a . c) e (a + b) . c = (a . c) + (b . c) 
 
Notação: (A, +, .) 
 
2. Observações 
 
 a) O anel é comutativo se (A, .) é semigrupo comutativo. 
 
 c) O anel (A, +, .) tem unidade se (A, .) é monoide (associativa, elemento neutro). 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: (N, +, .) � não é anel porque (N, +) não tem elemento simétrico. 
 
Exemplo 2: (Z, +, .) � é anel (anel dos inteiros, com unidade e comutativa). 
 
Exemplo 3: (Q, +, .) � é anel (anel dos racionais, com comutativa e unidade). 
 
Exemplo 4: (R, +, .) � anel dos reais. 
 
Exemplo 5: (C, +, .) � anel dos complexos. 
 
Exemplo 6: Verifique que (2Z, +, .) é anel. 
 
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41 
Respostas dos exercícios 
 
CAPÍTULO I 
Equações Diofantinas 
 
 
1) d = 1, r = –16 e s = 39 
 
2) Quando t = 121, temos x = 9 e y = 19 e os múltiplos são 99 e 171. 
Quando t = 122, temos x = 18 e y = 8 e os múltiplos são 198 e 72. 
 
3a) x = –9 + 3t e y = 9 – 2t, t ∈ Z 
 b) x = 94 + 5t e y = –47 – 3t, t ∈ Z 
 c) Não tem soluções inteiras 
 d) x = –20 + 4t e y = 20 – 3t, t ∈ Z 
 e) x = 2 – 2t e y = 2 – 5t, t ∈ Z 
 f) x = –4 – 10t e y = –4 – 9t, t ∈ Z 
 g) x = 3 + 3t e y = –3 – 3t, t ∈ Z 
 
4a) Não tem soluções inteiras positivas b) x = 1 e y = 20 / x = 6 e y = 18 
 
5a) Não tem soluções inteiras negativas b) Não tem soluções inteiras negativas 
 
6) 44 e 56 7) 17, 94, 171, ..., 77x + 17, ... 
 
8) 60 pessoas pagando entrada e 4 pessoas pagando meia entrada 
 
9) 197 crianças e 1 adulto 10) 1147 
 
 
CAPÍTULO II 
Congruências módulo m 
 
11a) 1 b) 4 c) 0 d) 0 e) 1 f) 16 
 
12) 2 � 2 (mod. 41) 
 25 � 32 � –9 (mod. 41) 
 210 � 81 � 40 � –1 (mod. 41) 
 220 � 1 (mod. 41) 
 220 – 1 � 0 (mod. 41) 
 
 ∴41 | (220 – 1) 
 
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42 
13) Os restos possíveis da divisão de a por 8 são 1, 3, 5 ou 7. (se, por exemplo, o resto fosse 2, então a 
= 8q + 2 = 2(4q + 1) seria par, o que não é possível). Portanto: a � 1, 3, 5 ou 7 (mod 8). Então: a2 � 
1, 9, 25 ou 49 (mod 8). 
Mas 9 � 1 (mod 8), 25 � 1 (mod 8) e 49 � 1 (mod 8). Daí: a2 � 1, 1, 1 ou 1 (mod 8). 
 
14a) 5, 13, 21, 29, ..., 109 b) 104, 111, 118, ..., 198 
 
15) m > 1, m | 252 
 
16a) 2 � 2 (mod 89) 
 210 � 1024 � 45 (mod 89) 
 211 � 90 � 1 (mod 89) 
 244 � 1 (mod 89) 
 244 – 1 � 0 (mod 89) 
 
 ∴89 | (244 – 1) 
 
 b) 2 � 2 (mod 97) 
 27 � 128 � 31 (mod 97) 
 28 � 62 (mod 97) 
 29 � 124 � 27 (mod 97) 
 210 � 54 (mod 97) 
 211 � 108 � 11 (mod 97) 
 212 � 22 (mod 97) 
 224 � 484 � 96 � –1 (mod 97) 
 248 � 1 (mod 97) 
 248 – 1 � 0 (mod. 41) 
 
 ∴97 | (248 – 1) 
 
 
 c) 2 � 2 (mod 23) 
 25 � 32 � 9 (mod 23) 
 210 � 81 � 12 (mod 23) 
 211 � 24 � 1 (mod 23) 
 211 – 1 � 0 (mod. 41) 
 
 ∴23 | (211 – 1) 
 
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43 
17) 8
13
 e 
13
17
 18) 1
12
 e 
2
16
 19) x � 12 (mod 10) 
 
20) Este problema não tem uma única solução. As soluções possíveis são: x = 0 e y = 50 ou x = 12 e 
y = 45 ou x = 24 e y = 40. 
 
21) 4 22) 5 
 
23a) 2 � 2 (mod 3) 
 22 � 4 � 1 (mod 3) 
 24 � 1 (mod 3) 
 28 � 1 (mod 3) 
 216 � 1 (mod 3) 
 
 Generalizando: 22n � 1 (mod 3) 
 
 
 c) 2 � 2 (mod 7) 
 23 � 8 � 1 (mod 7) 
 29 � 1 (mod 7) 
 227 � 1 (mod 7) 
 
 Generalizando: 23n � 1 (mod 7) 
 
24a) São côngruos b) Não são côngruos 
 
 
CAPÍTULO III 
Números racionais 
 
 
25a) R1 = {(1, 0); (3, 2); (5, 4); (7, 6)} 
 R2 = {(1, 2); (1, 4); (1, 6); (3, 4); (3, 6); (5, 6)} 
 R3 = {(3, 0); (5, 2); (7, 4); (9, 6)} 
 b) R1 : D = {1, 3, 5, 6} e Im = {0, 2, 4, 6} 
 R2 : D = {1, 3} e Im = {2, 4, 6} 
 R3 : D = {3, 5, 7, 9} e Im = {0, 2, 4, 6} 
 
 
 
 
 
 
 b) 2 � 2 (mod 15) 
 24 � 16 � 1 (mod 15) 
 216 � 1 (mod 15) 
 264 � 1 (mod 15) 
 
 Generalizando: 24m � 1 (mod 15) 
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44 
26a) R = {(10, 0); (–20, 10); (–50, 20); (–80, 30); ..., (40 – 30m, –10 + 10m)}, com m ∈ N* 
 b) D = {10, –20, –50, –80, ..., 40 – 30m}, com m ∈ N* 
 c) Im = {0, 10, 20, 30, ..., 10 + 10m}, com m ∈ N* 
 d) R–1 = {(0, 10); (10, –20); (20, –50); (30, –80); ..., (–10 + 10m, 40 – 30m)}, com m ∈ N* 
 
27) m . n elementos 
 
28a) R = {(1, 1); (1, 3); (2, 2); (2, 4); (3, 1); (3, 3); (4, 2); (4, 4)} 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) É reflexiva. É simétrica. Não é transitiva. Não é antissimétrica. 
 
29) reflexiva, simétrica e transitiva 30) reflexiva, antissimétrica e transitiva 
 
31a) Reflexiva b) Reflexiva, Antissimétrica e Transitiva c) Reflexiva, Simétrica e Transitiva 
 
32a) Reflexiva e Simétrica 
 b) Reflexiva e Antissimétrica 
 c) Reflexiva, Antissimétrica e Transitiva 
 
33a) Não é simétrica e não é transitiva. Logo, não é uma relação de equivalência. 
 b) É reflexiva, é simétrica e é transitiva. Logo, é uma relação de equivalência. 
 c) É reflexiva, é simétrica e é transitiva. Logo, é uma relação de equivalência. 
 d) Não é reflexiva e não é transitiva. Logo, não é uma relação de equivalência. 
 e) Não é reflexiva, não é simétrica. Logo, não é uma relação de equivalência. 
 f) É reflexiva, é simétrica e é transitiva. Logo, é uma relação de equivalência. 
 
34a) 1 515 1 500 + 15 15 (100 + 1) 15 = = = 
3 333 3 300 + 33 33 (100 + 1) 33
 
 b) 
131 131 131 000 + 131 131 (1000 + 1) 131
 = = = 
999 999 999 000 + 999 999 (1000 + 1) 999
 
 
35) –2, 0, 2, 4 36a) m = –2, 0, 1 ou 3 b) m = 4 
 
1 2 
3 4 
� � 
� � 
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45 
 
CAPÍTULO IV 
Operações 
 
 
37a) Não é associativa, é comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizável. 
 b) É associativa, é comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizável. 
 c) Não é associativa, é comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizável. 
 d) É associativa, é comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizável. 
 
38a) É associativa, é comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizável. 
 b) É associativa, é comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizável. 
 c) É associativa, é comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizável. 
 d) É associativa, é comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizável. 
 
39a) 
* 1 2 3 6 
1 1 1 1 1 
2 1 2 1 2 
3 1 1 3 3 
6 1 2 3 6 
 
 
 b) 
* 1 3 9 27 
1 1 3 9 27 
3 3 3 9 27 
9 9 9 9 27 
27 27 27 27 27 
 
 c) 
* 0 1 2 3 4 
0 0 1 2 3 0 
1 1 1 2 3 0 
2 2 3 0 1 2 
3 3 0 1 2 3 
4 0 1 2 3 4 
 
 
 d) 
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46 
* 0 1 2 3 4 
0 0 0 0 0 0 
1 0 1 2 3 1 
2 0 2 1 2 0 
3 0 3 2 1 0 
4 0 0 0 0 0 
 
 
 e) 
* 0 1 2 3 4 
0 0 1 2 3 4 
1 1 2 3 4 0 
2 2 3 4 0 1 
3 3 4 0 1 2 
4 4 1 2 3 4 
 
 
 f) 
* 0 1 2 3 4 
0 0 0 0 0 0 
1 0 1 2 3 4 
2 0 2 4 1 3 
3 0 3 1 4 2 
4 0 4 1 2 1 
 
40a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 
 
41) 
* f1 f2 f3 f4 
f1 x –x 1/x –1/x 
f2 –x x –1/x 1/x 
f3 1/x –1/x x –x 
f4 –1/x 1/x –x x 
 
 
 
 
 
 
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47 
CAPÍTULO V 
Estruturas Algébricas: Grupos 
 
 
42a) não é grupo, pois não tem elemento simétrico 
 b) não é grupo, pois não tem elemento simétrico 
 c) é grupo 
 d) é grupo 
 e) não é grupo, pois não tem fechamento 
 f) é grupo 
 
45a) é grupo 
 b) é grupo 
 
47) É um grupo abeliano 
 
 
 
Bibliografia 
 
AVRIZER, Hamilton [et al]. Fundamentos de Álgebra. Universidade Federal de Minas Gerais. Belo 
Horizonte: 2004. 
 
DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Atual, 1991. 
 
MILIES, César Polcino e COELHO, Sônia Pitta. Números: Uma introdução à Matemática. 3. ed. São 
Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2001. 
 
SANTOS, José Plínio de Oliveira. Introdução à Teoria dos Números. s.e. Rio de Janeiro: SBM, 1998. 
 
Notas de aulas da Universidade do Estado do Pará – Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
Notas de aulas do Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros (Professor do Programa de Pós-graduação 
da Uniban) 
 
Notas de aulas da Prof. Dr. Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes (Professora do Programa de Pós-
graduação da Uniban)