Matemática Básica - Aula 3 ok

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MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
Exercícios 
1) O número 𝟑𝟒 𝟖 é representado na base 16 
por: 
a) 𝟏𝟕 𝟏𝟔 
b) 𝟔𝟒 𝟏𝟔 
c) 𝟏𝑪 𝟏𝟔 
d) 𝟐𝑭 𝟏𝟔 
e) 𝟐𝟐 𝟏𝟔 
 
Exercícios 
𝟑𝟒 𝟖 = 𝟑. 𝟖
𝟏 + 𝟒. 𝟖𝟎 = 𝟐𝟖 
 
𝟐𝟖 = 𝟏𝟔 + 𝟏𝟐 = 
 
= 𝟏. 𝟏𝟔𝟏 + 𝑪. 𝟏𝟔𝟎 = 
 
= 𝟏𝑪 𝟏𝟔 
 
Alternativa c) 
 
Exercícios 
2) Você quer comprar um produto em um site no 
valor de R$ 124,00, mas você só possui moedas 
digitais nos valores de R$7,00 e R$12,00, a 
quantidade mínima de moedas digitais que você 
irá usar é: 
a) 10 
b) 12 
c) 9 
d) 8 
e) 13 
 
Exercícios 
Temos uma equação Diofantina: 
 
𝟏𝟐𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟏𝟐𝟒 
 
𝟏𝟐𝟒 = 𝟏𝟎. 𝟏𝟐 + 𝟒 
 
𝟏𝟐𝟒 = 𝟗. 𝟏𝟐 + 𝟏𝟔 
 
𝟏𝟐𝟒 = 𝟖. 𝟏𝟐 + 𝟐𝟖 
 
 
 
Exercícios 
Vamos procurar outras soluções: 
 
 
𝒙 = 𝟖 − 𝟕𝒌
𝒚 = 𝟒 + 𝟏𝟐𝒌 
, 𝒌 ∈ 𝑵 
Para 𝒌 = 𝟎 ⇒ 𝐱 = 𝟖 𝐞 𝐲 = 𝟒 ⇒ 𝐱 + 𝐲 = 𝟏𝟐 
Para 𝒌 = 𝟏 ⇒ 𝐱 = 𝟏 𝐞 𝐲 = 𝟏𝟔 ⇒ 𝐱 + 𝐲 = 𝟏𝟕 
 
Alternativa b) 12 moedas digitais. 
 
 
 
Exercícios 
3) Considere as operações: 
 
𝟐 + 𝟒 = 𝟔
𝟐. 𝟒 = 𝟏𝟏
 
Determine, caso exista, uma base na qual 
ambas as operações sejam verdadeiras. 
 
Vamos começar pela adição, 𝟐 + 𝟒 = 𝟔 é 
vardadeiro para qualquer sistema com base 
maior que 6. 
 
Exercícios 
No caso do produto, queremos 𝟐. 𝟒 = 𝟏𝟏 
Como sabemos 
𝟐. 𝟒 = 𝟖 = 𝟏. 𝒙𝟏 + 𝟏. 𝒙𝟎 
em que 𝒙 representa a base do Sistema 
procurado. Logo 
𝒙 = 𝟖 − 𝟏 = 𝟕 
De fato 𝟖 = 𝟏. 𝟕𝟏 + 𝟏. 𝟕𝟎 = 𝟏𝟏 𝟕 
Logo as duas operações são verdadeiras no 
sistema de base 7 
 
Exercícios 
4) Dados os números 37 e 95, encontre um 
número natural 𝒙 tal que 𝟑𝟕 + 𝒙 = 𝟗𝟓. 
𝟑𝟕 = 𝟑. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟕. 𝟏𝟎𝟎 
𝟗𝟓 = 𝟗. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 
Vamos supor que 𝒙 = 𝒂. 𝟏𝟎𝟏 + 𝒃. 𝟏𝟎𝟎, então 
𝟑𝟕 + 𝒙 = 𝟑. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟕. 𝟏𝟎𝟎 + 𝒂. 𝟏𝟎𝟏 + 𝒃. 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟑 + 𝒂 . 𝟏𝟎𝟏 + 𝟕 + 𝒃 . 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟗𝟓 = 𝟗. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 
Assim temos o seguinte sistema na base 10: 
Exercícios 
 
𝟑 + 𝒂 = 𝟗
𝟕 + 𝒃 = 𝟓
 
Vamos começar pela unidade, 𝟕 + 𝒃 = 𝟓, como 
𝒃 é um algarismo entre 0 e 9 e 𝟕 > 𝟓 esta 
equação não teria solução, mas o algarismo 𝒃 
representa a unidade do número 95, logo 𝟕 + 𝒃 
pode ser um número cuja unidade é 5. 
Sendo 𝒃 um número entre 0 e 9, temos que a 
única possibilidade é 𝒃 = 𝟖, pois 𝟕 + 𝟖 = 𝟏𝟓 
Exercícios 
Dessa forma nossa soma ficaria: 
𝟑𝟕 + 𝒙 = 𝟑 + 𝒂 . 𝟏𝟎𝟏 + 𝟕 + 𝟖 . 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟑 + 𝒂 . 𝟏𝟎𝟏 + 𝟏𝟎. 𝟏𝟎𝟎 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟑 + 𝒂 𝟏𝟎𝟏 + 𝟏. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟑 + 𝒂 + 𝟏 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 = 𝟗. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 
e nosso sistema: 
 
𝟑 + 𝒂 + 𝟏 = 𝟗
𝟓 = 𝟓
⇒ 𝒂 = 𝟓 
Logo 𝒙 = 𝟓𝟖 
 
Exercícios 
5) Na soma abaixo, cada letra representa um 
algarismo e letras diferentes representam 
algarismos diferentes. Determine os números 
envolvidos nesta soma e em que base eles 
estão escritos, sabendo que é uma base menor 
que 10. 
D A C B 
B D 4 C 
 D A C D D 
Exercícios 
D A C B 
B D 4 C 
 D A C D D 
Como letras diferentes correspondem a 
algarismos diferentes e temos 4 letras 
distintas, A, B, C e D, e o algarismo 4, a base é 
maior ou igual a 5. 
Exercícios 
D A C B 
B D 4 C 
 D A C D D 
D só pode ser 1, pois os dois números que 
estamos somando possuem 4 algarismo e a 
soma possui 5 algarismos, dessa forma temos: 
1 A C B 
B 1 4 C 
 1 A C 1 1 
 
Exercícios 
1 A C B 
B 1 4 C 
 1 A C 1 1 
Seja 𝒙 a base, como 𝟏 + 𝑩 = 𝟏𝑨 𝒙, temos 𝑨 = 𝟎 
ou 𝑨 = 𝟏, o que não pode ocorrer pois 𝑫 = 𝟏. 
Assim temos 𝑨 = 𝟎 
Exercícios 
1 0 C B 
B 1 4 C 
 1 0 C 1 1 
Como 𝟎 + 𝟏 = 𝑪 e 𝑪 ≠ 𝟏, então 𝑪 + 𝟒 = 𝟏𝟏 𝒙, 
assim 𝑪 = 𝟎 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟐, logo temos: 
Exercícios 
1 0 2 B 
B 1 4 2 
 1 0 2 1 1 
Agora, 𝑩 + 𝟐 = 𝟏𝟏 𝒙 e 𝟏 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟏𝟏 𝒙, logo 
𝑩 + 𝟐 = 𝟕 ⟹ 𝑩 = 𝟓, dessa forma a base é 6 e: 
1 0 2 5 
5 1 4 2 
 1 0 2 1 1 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios