ESTAT_EX_10_GAB_SLIDES

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ESTATÍSTICA
EXERCÍCIO-10
REGRESSÃO
.
01- Suponhamos que uma cadeia de supermercados tenha
financiado um estudo dos gastos com mercadoria para famílias
de quatro pessoas. A investigação se limitou a famílias com
renda líquida anual entre 8.000 e 20.000. Obteve-se a partir dos
dados observados a seguinte equação: Y = -200 + 0,10X, onde:
Y - despesa anual estimada com mercadorias
X - renda líquida anual
Suponha que a equação proporcione um ajustamento
razoavelmente bom e que os dados tenham sido obtidos por
métodos de amostragem aleatória.
a) Estime a despesa de uma família de quatro pessoas com
renda anual de 15.000.
Temos:
Y = -200 + 0,10X, substituindo X por 15.000 vem:
Y = -200 + 0,10X = -200 + 0,10 × 15.000 = -200+1500 = 1.300
.
01- Suponhamos que uma cadeia de supermercados tenha
financiado um estudo dos gastos com mercadoria para famílias
de quatro pessoas. A investigação se limitou a famílias com
renda líquida anual entre 8.000 e 20.000. Obteve-se a partir dos
dados observados a seguinte equação: Y = -200 + 0,10X, onde:
Y - despesa anual estimada com mercadorias
X - renda líquida anual
Suponha que a equação proporcione um ajustamento
razoavelmente bom e que os dados tenham sido obtidos por
métodos de amostragem aleatória.
b) Um dos vice-presidentes da firma ficou intrigado com o fato
de a equação aparentemente sugerir que uma família com 2.000
de renda média anual não gaste nada em mercadorias. Qual a
explicação ?
Y = -200 + 0,10X
X = 2.000
Y = -200 + 0,10 × 2000
Y = -200 + 200 = 0 !!!!
A PESQUISA É PARA FAMÍLIAS COM
RENDA ENTRE 8.000 E 20.000
.
01- Suponhamos que uma cadeia de supermercados tenha
financiado um estudo dos gastos com mercadoria para famílias
de quatro pessoas. A investigação se limitou a famílias com
renda líquida anual entre 8.000 e 20.000. Obteve-se a partir dos
dados observados a seguinte equação: Y = -200 + 0,10X.
Explique rapidamente porque a equação não poderia ser usada nos
casos seguintes:
c) Estimação de despesas com mercadorias com família de 5 cinco
pessoas.
A PESQUISA É PARA FAMÍLIA DE 4 PESSOAS !
d) Estimação das despesas com mercadorias para famílias com renda
líquida de 20.000 a 35.000.
A PESQUISA É PARA FAMÍLIAS COM RENDA ENTRE 8.000 E 20.000
.
02- Seja Y a variável que representa a despesa familiar mensal
com alimentação e X a variável renda familiar líquida anual dos
habitantes de um determinado município. Um modelo de
regressão linear forneceu a seguinte equação: Y = -250 + 0,1X. A
despesa familiar mensal estimada para uma família com renda
familiar líquida anual de R$ 19.000,00 será:
Y = -250 + 0,1 X
Y = -250 + 0,1 × 19.000
Y = -250 + 1.900
Y = 1.650
a) R$ 1.630,00
b) R$ 1.390,00
c) R$ 1.400,00
d) R$ 980,00
e) R$ 1.650,00
Y = -250 + 0,1 X
Substituindo na equação X por 19.000 temos:
GABARITO - E
03- A tabela abaixo mostra os valores de duas variáveis, X e Y.
X Y
4 4,5
4 5,0
3 5,0
2 5,5
Sabe-se que:
ΣX = 13; ΣY = 20; ΣXY = 64 ΣX2= 45; (ΣX)2 = 169
O valor de b na regressão simples Y = a + bX é:
a) - 4/11
b) 11/5
c) - 3/8
d) - 4/17
e) - 11/65
ESTATÍSTICA
EXERCÍCIO_10 - GABARITO - SLIDES PDF 1 MANUEL
03- A tabela abaixo mostra os valores de duas variáveis, X e Y.
X Y
4 4,5
4 5,0
3 5,0
2 5,5
Sabe-se que:
ΣX = 13; ΣY = 20; ΣXY = 64 ΣX2= 45; (ΣX)2 = 169
n = 4
2
,
X
YX
S
S
b =
Y = a + bx ⇒ MODELO LINEAR DE REGRESSÃO
YX
n
XY
S YX −=
∑
,
VARIÂNCIA DE (X)
2
2
2
x
n
x
S
i
X
−=
∑
COVARIÂNCIA DE (X)
03- A tabela abaixo mostra os valores de duas variáveis, X e Y.
X Y
4 4,5
4 5,0
3 5,0
2 5,5
Sabe-se que:
ΣX = 13; ΣY = 20; ΣXY = 64 ΣX2= 45; (ΣX)2 = 169
n = 4
2
,
X
YX
S
S
b =
YX
n
XY
S YX −=
∑
,
25,0
4
20
4
13
4
64
, −=×−=YXS
CÁLCULO DA COVARIÂNCIA DE (X)
25,3
4
13
===
∑
n
X
X 5
4
20
===
∑
n
Y
Y
03- A tabela abaixo mostra os valores de duas variáveis, X e Y.
X Y
4 4,5
4 5,0
3 5,0
2 5,5
Sabe-se que:
ΣX = 13; ΣY = 20; ΣXY = 64 ΣX2= 45; (ΣX)2 = 169
n = 4
CÁLCULO DA VARIÂNCIA DE (X)
2
2
2
x
n
x
S
i
X −=
∑ 6875,025,3
4
45 22
=−=XS
2
,
X
YX
S
S
b = 3636,0
6875,0
25,0
−=
−
=b
CÁLCULO DO b
-0,3636 = -4/11
25,3
4
13
===
∑
n
X
X
GABARITO - A
04- Seja Y a variável que representa a receita mensal de
uma empresa e X a variável que representa o valor gasto
com propaganda. Um modelo de regressão linear
forneceu a seguinte equação: Y = 2000 + 0,2X. O
volume de vendas mensal estimada para um gasto com
propaganda de R$ 1000,00 será de:
a) 2.200,00
b) 3.200,00
c) 2.400,00
d) 1.200,00
e) 1.800,00
Temos:
Y = 2.000 + 0,20X, substituindo X por 1000 vem:
Y = 2.000 + 0,20X = 2000+ 0,20 × 1000 = 2000+200 = 2.200
GABARITO - A
05- Sabendo-se que: ∑X = 10; ∑Y = 36; ∑XY = 100;
∑X2 =30 e n = 4, a reta de regressão para esses valores será:
a. Y = -4X + 2
b. Y = -4X – 2
c. Y = 2X + 4
d. Y = 4X + 2
e. Y = -2X - 4
bXaY +=ˆ
b
S
S
XY
X
=
2
XbYa −=
PRECISAMOS CALCULAR A COVARIÂNCIA ENTRE X E Y E A
VARIÂNCIA DE X!
YX
n
XY
S YX −=
∑
,
CÁLCULO DA COVARIÂNCIA 
∑X = 10; ∑Y = 36; ∑XY = 100; ∑X2 =30 n = 4
4
36
4
10
4
100
, ×−=YXS
5,2, =YXS
2
2
2 x
n
x
S
i
X −=
∑
CÁLCULO DA VARIÂNCIA DE X
2
2
4
10
4
30






−=XS 25,1
2
=XS
b
S
S
XY
X
=
2
25,1
5,2
=b 2=b
XbYa −=
4
10
2
4
36
×−=a 4=a
bXaY +=ˆ XY 24ˆ += GABARITO - C
ESTATÍSTICA
EXERCÍCIO_10 - GABARITO - SLIDES PDF 2 MANUEL
06- Dada a tabela abaixo, estimar a reta de regressão:
X Y
1 1
2 2
3 4
4 5
5 8
bXaY +=ˆ
b
S
S
XY
X
=
2
XbYa −=
a. Y = -1,1 + 1,7X
b. Y = -1,7 + 1,1X
c. Y = -1,1 - 1,7X
d. Y = -1,7 - 1,7X
n = 5
X Y X2 Y2 XY
1 1 1 1 1
2 2 4 4 4
3 4 9 16 12
4 5 16 25 20
5 8 25 64 40
15 20 55 110 77
bXaY +=ˆ
b
S
S
XY
X
=
2
XbYa −=
YX
n
XY
S YX −=
∑
,
5
20
5
15
5
77
,
×−=YXS 4,3, =YXS
2
2
5
15
5
55






−=XS 911
2
−=XS 2
2
=XS
2
4,3
=b 7,1=b
5
15
7,1
5
20
×−=a 1,1−=a
XY 7,11,1ˆ +−= GABARITO - A
O enunciado seguinte deverá ser usado para responder as
questões de 07 a 14.
A reta de mínimos quadrados para um conjunto de pontos é .
xy 23ˆ +=
07- Em relação a covariância pode-se afirmar que:
a. é positiva pois o coeficiente angular é negativo
b. é positiva pois o coeficiente angular é positivo
c. é negativa pois o coeficiente angular é negativo
d. é negativa pois o coeficiente angular é positivo
e. é igual a zero pois o coeficiente angular é nulo
0
2
>⇒= XY
X
XY S
S
S
b
xy 23ˆ += 3=a 2=b
bXaY +=ˆ
GABARITO - B
0.
2
≥XSObs
Coeficiente Linear ⇒ a
Coeficiente Angular ⇒ b
xy 23ˆ += 3=a
2=b
GABARITO - C
08- Em relação ao coeficiente de correlação da reta do exercício 
anterior pode-se afirmar que:
a. r = 1 b. r = -1 c. 0 < r < 1 d. -1 < r < 0
r
S
S S
X Y
X Y
=
×
,
0
2
>⇒= XY
X
XY S
S
S
b 02 ≥XSpois
Como SX ≥ 0 e SY ≥ 0 o sinal de r é o mesmo sinal de SXY!
Logo ⇒ 0 < r < 1
2=b
09- O coeficiente angular da reta vale:
a. 3 b. -2 c. 0 d. 2
10- O coeficiente linear (intercept) da reta vale:
a. 2 b. 0 c. 3 d. -3
xy 23ˆ += 3=a 2=b
GABARITO - D
Coeficiente Linear ⇒ a
Coeficiente Angular ⇒ b
GABARITO - C
X
bXaY +=ˆ
θθθθ
a a ⇒⇒⇒⇒ COEFICIENTE LINEAR (INTERCEPT)
b ⇒ COEFICIENTE ANGULAR = tg(θθθθ)
Ŷ
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• ⇒ Y OBSERVADO
RETA DE REGRESSÃO
ESTATÍSTICA
EXERCÍCIO_10 - GABARITO - SLIDES PDF 3 MANUEL
xy 23ˆ +=
GABARITO - A
11- O valor estimado de y para x = -1,5 é:
a. 0 b. 3 c. 2 d. -1,5
12- A reta corta o eixo dos x no ponto:
a. 3 b. -1,5 c. 1,5 d. 2
)5,1(23ˆ −×+=y 33ˆ −=y 0ˆ =y
13- O valor estimado corresponde a um valor da variável 
independente de:
a. 1 b. -2 c. -1 d. 0
xy 23ˆ += 0ˆ =y x230 += 32 −=x 5,1−=x
GABARITO - B
1ˆ =y
1ˆ =y x231 += 312 −=x 22 −=x 1−=x
GABARITO - C
PRECISAVA FAZER A CONTA ?
14- Qual a variação esperada na variável dependente (y) por
unidade de variação da variável independente (x)?
�� = 3 + 2�
SOLUÇÃO
� = 1
Vamos usar dois valores de x consecutivos, por exemplo x = 1 e
x = 2 e avaliar qual a variação no valor do ��	.
		�� = 3 + 2� 		��(�) = 3 + 2 × � 		��(�) =�
� = 2 		�� = 3 + 2� 		��(�) = 3 + 2 × � 		��(�) = �
A variação no valor do ��		foi 		�� � − �� � = � − � = �	
Existe outra maneira de achar esse valor?
14- Qual a variação esperada na variável dependente (y) por
unidade de variação da variável independente (x)?
�� = 3 + 2�
Existe outra maneira de achar esse valor?
�� = 3 + 2�
���
��
= 2
Variação esperada na variável dependente (y) por unidade de variação da
variável independente (x) = DERIVADA DE Y EM RELAÇÃO A X !
Ninguém se emociona?
Jamais o sol vê a sombra !
LEONARDO DA VINCI 
Anchiano -Toscana/Itália (1452) / Amboise-França (1519)
A simplicidade é o último grau da
sofisticação.
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EXERCÍCIO_10 - GABARITO - SLIDES PDF 4 MANUEL