Geometria Analítica: Operações entre vetores e ângulos diretores

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Geometria Analítica
Aula de revisão 02
Operações entre vetores, ângulos diretores, 
equações da reta
Exemplo 1
Sejam os vetores 𝑢 = 𝑚, 5 , Ԧ𝑣 = 6, 𝑛 𝑒 𝑤 = 12, 8 . O valor de m e n, 
respectivamente, tal que 4𝑢 + 2 Ԧ𝑣 = 𝑤 são iguais a:
a) 0 e -6
b) 4 e -6
c) 4 e 6
d) 0 e 6
e) -4 e -6
Exemplo 1 - solução
Substituindo os vetores 𝑢 = 𝑚, 5 , Ԧ𝑣 = 6, 𝑛 𝑒 𝑤 = 12, 8 na equação 
4𝑢 + 2 Ԧ𝑣 = 𝑤 temos:
4𝑢 + 2 Ԧ𝑣 = 𝑤
4. 𝑚, 5 + 2. 6, 𝑛 = 12, 8
4𝑚, 20 + 12, 2𝑛 = 12, 8
4𝑚 + 12, 20 + 2𝑛 = (12, 8)
Exemplo 1 - solução
Pela igualdade de vetores montam-se duas equações:
E resolvendo o sistema temos:
Resposta: Alternativa a. 



=+
=+
8220
12124
n
m
0
4
0
041212412124 =→=→=→−=→=+ mmmmm
6
2
12
12220828220 −=→
−
=→−=→−=→=+ nnnnn
Exemplo 2
Sejam os ângulos diretores de um vetor iguais a 30°, 60° e 𝛾. Então 
o valor de 𝛾 é:
a) 0°
b) 45°
c) 90°
d) 120°
e) 150°
Exemplo 2 - solução
Substituindo os ângulos diretores na equação abaixo, demonstrada na
página 90 do livro texto, obtemos:
1coscoscos 222 =++ 
1cosº60cos30cos 222 =++ 
1cos
2
1
2
3 2
22
=+





+









1cos
4
1
4
3 2 =++ 
Exemplo 2 - solução
Assim,
Resposta: alternativa c.
4
1
4
3
1cos2 −−=
4
134
cos2
−−
=
0cos 2 =
0cos =
== 900arccos