Lista 3 de Cálculo I (Derivadas)

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Ciências e Tecnologias Agroalimentar - CCTA
Unidade Acadêmica de Ciências e Tecnologia Ambiental - UACTA
Disciplina: Cálculo
Professor: Paulo Pamplona
Lista de Exerćıcios 03: Derivadas e Aplicações
Parte I: Derivadas
1. Derive as seguintes funções:
a) f(x) = 4x2 + 5x + 3
b) f(x) = x3 − x−2 + 1
x6
− 2
x−6
c) f(x) = x2/3 + 5x1/2 + 3x4/3
d) f(x) = 2
√
x− 3
√
x4 − 1
3
√
x5
e) f(x) =
√
3x3 + x2 − 2x + 1
f) f(x) = 4
√
(x3 + x2 − 2x)3
g) f(x) = (x3 − 5)(x4 − 2x)
h) f(x) =
2x2 − 5
x3 − 2x
i) f(x) = xe3x−1
j) f(x) = x2 ln(x + 2)
k) f(x) = sen(x2 + 3)
l) f(x) = ln(e
1
x )
m) f(x) = tan(x)
n) f(x) = cot(x)
o) f(x) = sec(x)
p) f(x) = csc(x)
q) f(x) = arc cos(x)
r) f(x) = arc cot(x)
s) f(x) = arc csc(x)
t) f(x) = arc tan(x2 + 2)
u) f(x) = e
1+x
2−x
v) f(x) = eln(x
−3)
x) f(x) = ln(ln(ln(x)))
y) f(x) = ln(1 + ln(1 + x))
z) f(x) =
√
1 +
√
1 + x.
2. Determine as equações da reta tangente e da reta normal à curva y = f(x) no ponto dado:
a) f(x) = x3, no ponto (2, 8)
b) f(x) = (x− 1)2, no ponto (2, 1)
c) f(x) = 5 ln(x), no ponto (2, 5 ln(2))
d) f(x) = 3sen(x) + 1, no ponto (π2 , 4)
3. Encontre os números cŕıticos das funções dadas abaixo:
a) f(x) = x3 + 7x2 − 5x
b) f(x) = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x
c) f(x) = (x2 − 4)
2
3
d) f(x) =
x
x2 − 9
4. Determine os extremos absolutos das funções em cada intervalo e esboce o gráfico das funções.
a) f(x) = 4− 3x; ]− 1, 2]
b) f(x) = x3 + 5x− 4; [−3,−1]
c) f(x) = x4 − 8x2 + 16; [−4, 0]
d) f(x) = x3 − 27x− 4; [−2, 4]
e) f(x) = x2/3; [−4, 0]
f) f(x) =
x
x + 2
; [−1, 2]
g) f(x) =
√
3 + x; [−3,+∞[
h) f(x) = |x− 4|+ 1; ]0, 6[
i) f(x) = 5− |x− 3|; [−3, 3]
j) f(x) = |x + 1| − |x− 2|; [−3, 4]
5. Em cada caso abaixo, determine: a) os números cŕıticos de f ; b) os máximos e mı́nimos relativos
de f ; c) os intervalos de crescimento e decrescimento de f ; d) os pontos de inflexão e intervalos de
concavidade para f ; e) esboce o gráfico de f .
a) f(x) = 2x3 − 6x + 1
b) f(x) = x3 + 5x2 + 3x− 4
c) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7
d) f(x) = x3 + 9x
e) f(x) = x4 − 8x3 + 24x2
f) f(x) = 2x3 − x2 + 3x− 1
g) f(x) = x5 − 5x3 − 20x− 2
h) f(x) = 3x2 − 2x + 1
i) f(x) =
x
x2 − 1
j) f(x) = 6x1/3 − x2/3
2
6. Determine a e b para que (1, 2) seja ponto de inflexão para f(x) = ax3 + bx2.
7. Determine a e b de modo que f(x) = x3 + ax2 + b tenha um extremo relativo no ponto (2, 3).
8. Usando diferenciação impĺıcita, determine a derivada de y em relação a x.
a) 2x3y + 3xy3 = 5; b) x3y + 3x2y2 − y3 + 2 = 0 d) xey + ln(xy) = 0.
9. Usando a regra de L’Hospital, calcule os limites:
a) lim
x→a
x− a
x3 − a3
b) lim
x→n
ln(x/n)
n− x
c) lim
x→3
x2 − 6x + 9
x2 − 5x + 6
d) lim
x→0
2x − 3x
x
e) lim
x→∞
x3
ex
f) lim
x→0
[ 1
sen(x)
− 1
x
]
g) lim
x→0
[1
x
− 1
ln(1 + x)
]
h) lim
x→0
ex − cos(x)
x2 + x
i) lim
x→0
1− cos(x2)
x
j) lim
x→0
sen[ sen(x)]
sen(x)
k) lim
x→0
[ x− sen(x2 + x)
2x− sen(x2 − x)
]
l) lim
x→0
ex
3 − cos(x2)
x3 + x2
.
10. Dada a função f(x) = |x + 2|, esboce o gráfico de f e verifique que f é cont́ınua em x = −2 mas
que não existe f ′(−2).
11. Dada a função f(x) =
{
2 + x, se x ≤ −4
−x− 6, se x > −4,
esboce o gráfico de f , verifique se f é ou não
cont́ınua em x = −4 e verifique se f é ou não diferenciável em x = −4.
12. Seja g uma função cont́ınua em a e f(x) = (x− a)g(x). Mostre que f ′(a) = g(a).
13. Sejam f, g, h funções diferenciáveis. Mostre que se F (x) = f(x)g(x)h(x), então
F ′(x) = f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x).
14. Dadas as funções f(x) = x3 e g(x) = f(x2), encontre f ′(x2) e g′(x).
15. Sejam f e g funções tais que f ′(x) =
1
x
e f(g(x)) = x. Se existe g′(x), mostre que g′(x) = g(x).
16. Verifique se as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas para as funções dadas em cada inter-
valo abaixo e encontre um valor para c que satisfaça a conclusão deste teorema.
a) f(x) = x2 − 4x + 3; [1, 3] b) f(x) = x3 − 2x2 − x + 2; [−1, 2].
17. Verifique se as hipóteses do teorema do valor médio são satisfeitas em cada caso abaixo e encontre
um valor para c que satisfaça a conclusão deste teorema.
a) f(x) = x2 + 2x− 1; [0, 1] b) f(x) = x
2
3 ; [0, 1].
18. Encontre c ∈]0, 1[ que verifique o teorema do valor médio para a função f(x) = x2 + x.
3
Questões Extras
19. Seja f(x) = ax +
b
x2
, onde a e b são números reais. Sabendo-se que x = 1 é ponto de máximo
relativo para f e que f(1)f(−1) = −3, determine a + b.
20. Seja f(x) = ax2 + 5x +
b
x
, onde a e b são números reais. Sabendo-se que x = 1 é ponto cŕıtico de
f e que x = 2 é ponto de inflexão de f , determine a + b. Resp.: −32
21. Dada f(x) = (x + e)
√
x+1, determine f ′(0).
22. Se f : R → R é uma função tal que f(0) = 0 e lim
x→0
f(x)
x2
= 5, determine f ′(0).
23. Seja g : R → R uma função derivável e f(x) = g(x3 − 2x). Sabendo-se que g′(−4) = 3, determine
f ′(−2). Resp.: 30
24. Seja g : R → R uma função derivável tal que g(−3) = 2 e g′(−3) = 1. Se f : R → R é uma função
definida por f(x) = x2g(x3 − 4x2), determine f ′(1). Resp.: −1
25. Dada f(x) = xsen(x), determine f ′(π).
26. Seja f uma função diferenciável tal que lim
x→1
xf(x)− 1
x− 1
= 1. Determine a equação da reta tangente
ao gráfico de f no ponto (1, 1).
27. Dada f(x) = xln(x), determine f ′(e).
28. Dada f(x) =
x3ex
x + 3x4
, determine f ′(1). Resp.: 3e16
29. Dada f(x) = sen2(x2), determine f ′(
√
π
2 ). Resp.:
√
π
30. Dada f(x) = x3
√
x, determine f ′(1). Resp.: 3
31. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x) =
4x2 + x + 1
2− x
no
ponto (1, 6). Resp.: 15
32. Seja f(x) = x3 + ex e g a função inversa de f . Determine g′(1 + e). Resp.: 11+e
33. Seja f(x) = x3 + 2x + 1 e g a função inversa de f . Determine g′(1).
34. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = ln[x2 + sen(3x) + 1] no ponto
(0, 0). Resp.: y = 3x
35. Determine o máximo absoluto da função f(x) =
x + 1
x + 2
no intervalo [2, 3]. Resp.: 45
36. Se y é função de x dada implicitamente pela equação ln(x + y) = xey, determine y′(0).
37. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = tg(x). Sabendo-se que f ′(a) =
1
4
, determine g′(a).
4
Parte II: Problemas Envolvendo Derivadas
OTIMIZAÇÃO
01) Um estudo de eficiência realizado em uma fábrica durante o turno da manhã mostra que um
operário que começa trabalhar às 8 horas terá produzido, em média, Q(t) = −t3 + 9t2 + 12t unidades
t horas mais tarde. Supondo que o turno da manhã vá de 8 horas ao meio-dia, em que hora da manhã
os operários são mais produtivos.
02) Uma projeção válida para 5 anos, revela que daqui a t anos a população de um certo bairro será
P (t) = −t3 + 9t2 + 48t + 50 mil habitantes. Determine em que instante, dentro do peŕıodo de 5 anos,
a taxa de crescimento da população será máxima e em que instante será mı́nima?
03) O departamento de estradas de rodagem pretende construir uma área de piquinique para mo-
toristas à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000
metros quadrados, e ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento
da cerca necessária para a obra?
04) Um fazendeiro tem 2400 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de
um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem
maior área?
05) Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio com 900 metros de
largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000 metros rio abaixo. O custo para estender
o cabo pelo rio é de 5 reais o metro e o custo para estender o cabo por terra é de 4 reais o metro.
Qual o percurso mais econômico para estender o cabo.
06) Um homem está de pé na margem de um rio com 1 km de largura e quer chegar a uma cidade
situada na margem oposta, 1 km rio acima. Para isso, pretende remar em linha reta até um ponto P
namargem oposta do rio e caminhar até a cidade. Qual deve ser a localização do ponto P para que
o percurso seja coberto no menor tempo posśıvel, sabendo que o homem é capaz de remar a 4km/h e
andar a 5km/h?
07) Duas cidades A e B devem receber suprimentos de água de um reservatório a ser localizado às
margens de um rio em linha reta que está a 20km de A e a 10km de B. Se a distância entre A e B
é de 20km e A e B estão do mesmo lado do rio, a que distância de A e de B deve estar localizado o
reservatório para que se gaste o mı́nimo de tubulação.
08) Um agente da poĺıcia se encontra ao meio-dia dirigindo um jipe na areia do deserto, no pequeno
principado de Alta Loma. O agente se encontra a 32 km do ponto mais próximo de uma estrada
pavimentada retiĺınea. A uma distância de 16 km, nesta mesma estrada, existe uma usina de energia
elétrica abandonada na qual um grupo de bandidos está mantendo refém o chefe do agente. Se o
agente não chegar com o resgate até as 12h50min, os bandidos irão executar o refém. O jipe pode
viajar a 48 km/h na areia do deserto e a 80km/h na estrada pavimentada. O agente conseguirá chegar
a tempo?
5
09) Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com largura de 3 km, e
deseja atingir tão rápido quanto posśıvel um ponto B na outra margem, 8 km rio abaixo. Ele pode
dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir andando para B, ou remar ATÉ um
ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/h E andar a 8 km/h, onde ele
deveria aportar para atingir B o mais rápido posśıvel? (Estamos supondo que a velocidade da água é
despreźıvel comparada com a velocidade na qual o homem rema.)
10) Um espião é deixado por um submarino para ser embarcado em um bote a 2 km de um ponto P
numa praia reta com direção Norte-Sul. Ele precisa chegar a uma casa na praia a 6km ao Norte de P.
Remando ele percorre 3km/h e andando 5km/h. Sua intenção é remar a um certo ponto ao Norte de
P e depois andar o resto do caminho. Pergunta-se:
a) A que distância ao Norte de P ele deve desembarcar para chegar à casa no menor tempo posśıvel?
b) Qual a duração da viagem?
c) Se remar até P e de P até a casa, quanto tempo a mais ele gastará?
d) Se a casa tiver a 8km de P, a resposta de a) será a mesma?
e) Se o bote estiver munido de um motor que desenvolve uma velocidade de 5km/h, qual seria a
distância ao Norte de P para se chegar no menor tempo posśıvel?
f) Qual a menor velocidade em que tal rota continua sendo a mais rápida?
11) João mora na margem de um rio de 1 km de largura, sem correnteza e com margens retiĺıneas e
paralelas. Sua escola fica na outra margem, 2 km adiante, conforme a figura. Para chegar à escola,
João deve tomar um barco que navega a 3 km/h em linha reta, da porta de sua casa até algum ponto
na outra margem. O restante do caminho é percorrido a pé, a uma velocidade de 5 km/h. Qual o
tempo mı́nimo necessário para João ir de casa à escola?
12) Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000cm3. O material da tampa
da base custa 3 reais por cada cent́ımetro quadrado e o material para o lado da caixa custa 1,5 reais
por cada cent́ımetro quadrado. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo do material
seja o menor posśıvel.
13) Deseja-se fabricar uma caixa d’água sem tampa, de fundo quadrado, de maneira que o seu volume
seja de 108 m3. Determine o lado da base quadrada que minimiza a quantidade de material utilizado
na confecção da caixa. Resp.: 6m.
6
14) Uma lata ciĺındrica deve conter um certo volume de ĺıquido. O custo do material usado para o
fundo e para a tampa da lata é de 3 centavos por cent́ımetros quadrado e o custo do material usado
para o lado da lata é de 2 centavos por cent́ımetros quadrados. Obtenha uma relação simples entre o
raio e a altura da lata de modo que o custo do material seja o menor posśıvel.
15) Determine as dimensões do retângulo de maior área inscrito num ćırculo de raio R.
16) Determine as dimensões do retângulo de maior área inscrito na eĺıpse de eixos a e b.
17) Determine as dimensões que deve ter uma lata na forma de um cilindro reto de um litro de volume,
de modo que o material usado na sua fabricação seja mı́nimo.
18) Determine as dimensões do cilindro reto de maior volume que pode ser inserido num cone reto de
base circular com raio r e altura h.
TAXAS RELACIONADAS
19) O lados de um triângulo estão crescendo com velocidades 3m/s e 4m/s. Determine com que
velocidade cresce a área do triângulo quando os lados medem 4 e 5 metros, respectivamente.
20) O volume de um cubo cresce a 10cm3/min. Determine com que velocidade cresce seus lados
quando possuem 5cm de comprimento.
21) Um cateto de um triângulo retângulo cresce com velocidade igual ao dobro do outro. A que
velocidade cresce a hipotenusa quando os catetos são iguais a b.
22) Uma escada de 5cm de comprimento se encontra apoiada numa parede e sobre um plano hor-
izontal. Se o lado inferior da escada é arrastado com velocidade de 2m/s quando ela está a 4m de
distância da parede, determine com que velocidade o outro extremo da escada está descendo.
23) Considere no exemplo anterior que a escada está apoiada sobre um plano inclinado que faz um
ângulo de 30 graus com a horizontal.
24) O volume de uma região esférica cresce a uma taxa de 3cm3/s. A que taxa cresce o raio quando
r = 1?
25) Dois corpos se movimentam em trajetórias paralelas com uma separação de 10 metros e em
direções opostas. Se um corpo se movimenta a 10 m/s e o outro a 5m/s, encontre a velocidade com
que estes corpos se acercam quando a distância horizontal entre eles é de 5m.
26) Dois carros estão viajando em direção ao cruzamento de duas rodovias. O primeiro vai dirigindo
à taxa de 72km/h na direção a Oeste-Leste e o outro vai dirigindo à taxa de 54km/h na direção a
Norte-Sul. A que taxa os carros se aproximam um do outro no instante em que o primeiro estiver a
400 metros e o segundo a 300 metros do cruzamento?
27) Um tanque tem a forma de um cone invertido tendo uma altura de 5 metros e raio da base igual
a 1 metro. O tanque se enche de água à uma taxa de 2m3/min. com que velocidade o ńıvel da água
sobe quando ele está a 3 metros de profundidade?
28) (VELOCIDADE INSTANTÂNEA) Um objeto move-se ao longo de uma reta de acordo com a
equação do movimento s(t) =
√
4t2 + 3 com t ≥ 0. Determine os valores de t para os quais a medida
da velocidade instantânea é: a) v=0; b) v=1; c) v=2.
Respostas: a) t = 0; b) t =
1
2
; c) não existe t ∈ R.
7
Respostas:
Questão 1: a) 8x + 5; b) 3x2 + 2
x3
− 6
x7
− 12x5; c) 2
3 3
√
x
+
5
2
√
x
+ 4 3
√
x; d)
1√
x
− 4
3
3
√
x +
5
3
√
x8
;
e)
9x2 + 2x− 2
2
√
3x2 + x2 − 2x + 1
; f)
3(3x2 + 2x− 2)
4 4
√
x3 + x2 − 2x
; g) 7x6 − 28x3 + 10; h) −2x
4 + 11x2 − 10
(x3 − 2x)2
;
i) (1 + 3x)e3x−1; j) 2x ln(x + 2) +
x2
x + 2
; k) 2x cos(x2 + 3); l) − 1
x2
; m) sec2(x);
n) − csc2(x); o) sec(x) tan(x); p) − csc(x) cot(x); q) − 1√
1− x2
; r) − 1
1 + x2
; s) − 1
x
√
x2 − 1
;
t)
2x
x2 + 4x + 5
; u)
3e
1+x
2−x
(2− x)2
; v)− 3
x4
; x)
1
x ln(x) ln(ln(x))
; y)
1
(1 + x)(1 + ln(1 + x))
; z)
1
2
√
(1 + x)(1 +
√
1 + x)
;
Questão 2: a) RT: y = 12x− 16 RN: y = − 112x +
49
6 ; b) RT: y = 4x− 7 RN: y = −
1
4x +
3
2 ; c) RT:
y = 52x + 5 ln(2)− 5 RN: y = −
2
5x + 5 ln(2) +
4
3 ; d) RT: y = 4 RN: x =
π
2 .
Questão 3: a) x = 13 e x = −5; b) x = ±1 e x = −3; c) x = ±2 e x = 0; d) nenhum.
Questão 4: a) f(2) = −2 mı́n.; b) f(−3) = −46 mı́n. e f(−1) = −10 máx.; c) f(−2) = 0 mı́n. e
f(−4) = 144 máx.; d) f(3) = −58 mı́n. e f(4) = 48 máx.
e) f(0) = 0 mı́n. e f(−2) = 3
√
4 máx. ; f) f(−1) = −1 mı́n. e f(2) = 12 máx. ; g) f(−3) = 0 mı́n. ;
h) f(4) = 1 mı́n.; i) f(−3) = −1 mı́n. e f(3) = 5 máx.; j) f(−1) = −3 mı́n. e f(2) = 3 máx.;
Questão 5: a) f(−1) = 5 é máx. rel.; f(1) = −3 é mı́n. rel.; (0, 1), ponto de inflexão;f cresce em
(−∞,−1] e [1,+∞); f decresce em [−1, 1]; côncavo para baixo para x < 0; côncavo para cima para
x > 0; b)f(−3) = 5 é máx. rel.; f(−13) = −
121
27 é mı́n. rel.; (−
5
3 ,
7
27) é ponto de inflexão; f cresce em
]−∞,−3] e [−13 ,+∞[; f decresce em [−3,−
1
3 ]; côncavo para baixo para x < −
5
3 ; côncavo para cima
para x > −53 ; c)f(1) = −14 é min. rel.; f(−2) = 13 é máx. rel.; (−1/2, f(−1/2)) é ponto de inflexão;
f cresce em ] −∞,−2] e [1,+∞[; f decresce em [−2, 1]; côncavo para baixo para x < −12 ; côncavo
para cima para x > −12 ; h) f(
1
3) =
2
3 min. rel. j) f(27) = 9 máx. rel.
Questão 6: a = −1 e b = 3.
Questão 7: a = −3 e b = 7.
Questão 9: a)
1
3a2
; b) − 1
n
; c) 0; d) ln(
2
3
); e) 0; f) 0; g) −1
2
; h) 1; i) 0; j) 1; k) 0; l) 0.
Questão 14: a) f ′(x) = 3x4 e g′(x) = 6x5.
Questão 15: a) c = 2; b) c = 13(2 +
√
7) ou c = 13(2−
√
7).
Questão 16: a) c = 12 ; b) c =
8
27 .
Questão 17: c =
1
2
;