expressoes enunciados

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Novo Módulo de MD 2014 Unidade 1
Matemática Discreta
Tópicos da Linguagem e da Lógica Matemáticas
Texto da Semana 2, Parte 1
Expressões e Enunciados
Sumário
1 Expressões e enunciados 9
1.1 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Exerćıcio resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Constantes e variáveis 10
2.1 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Exerćıcio resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Estendendo a noção de enunciado 12
3.1 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Neste texto, abordamos os conceitos de expressão, enunciado, constante e variá-
vel. Depois de estudá-lo, vamos ser capazes de:
– classificar certos śımbolos e/ou frases da Linguagem Matemática como ex-
pressão ou enunciado;
– classificar certas expressões como constantes ou variáveis;
– estender os conceitos acima para certos śımbolos e/ou frases da Ĺıngua Por-
tuguesa.
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1 Expressões e enunciados
Os śımbolos e/ou frases da Linguagem Matemática podem ser classificados como
expressões ou enunciados.
Uma expressão é um śımbolo e/ou frase que denota um objeto matemático,
em um dado contexto.
Um enunciado é um śımbolo e/ou frase que expressa uma propriedade de
um objeto matemático ou estabelece uma relação entre vários objetos ma-
temáticos, em um dado contexto.
Exemplo 1 Considerando as frases
2013 (1)
o triângulo ABC (2)
2013 é par (3)
o triângulo ABC é retângulo (4)
o maior lado do triângulo ABC é menor que 2013 (5)
em seus contextos usuais, temos que (1), (2) são expressões e que (3), (4), (5) são
enunciados.
1.1 Observações
Observação 1 Expressões também são chamadas de termos.
Expressões são usadas para referência a objetos matemáticos. Por isto, elas
atuam como sujeitos, nas afirmações matemáticas. Sendo assim, usualmente não
possuem ocorrências de verbos e, mesmo quando o fazem, não exprimem ações ou
estados, mas usam estas ações e estados para qualificar o objeto que está sendo
denotado.
Por exemplo, a frase
o menor número inteiro que é par e está entre 4 e 10, exclusive
é uma expressão, pois denota o número 6.
Observação 2 Enunciados também são chamados de sentenças ou proposições.
Enunciados são usados para descrever ações ou estados nos quais objetos mate-
máticos estão envolvidos. Por isto, eles atuam como frases declarativas, na Lin-
guagem Matemática. Sendo assim, usualmente, envolvem expressões e possuem
ocorrências de verbos.
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1.2 Exerćıcio resolvido
Exerćıcio 1 Classifique cada śımbolo e/ou frase abaixo como expressão ou enunci-
ado.
(i) 2 é primo (ii) o sucessor de 2012
(iii) x e y (iv) (x, y) está no primeiro quadrante
(v) 5× 4 = 21
Antes de ler a resolução, tente resolver o exerćıcio usando os con-
ceitos estudados.
Resolução do Exerćıcio 1: (i) Enunciado. A frase afirma que um objeto possui
uma propriedade. Possui ocorrência do verbo ‘ser’. (ii) Expressão. A frase é usada
para indicar um objeto. (iii) Expressão. A frase é usada para indicar um par
de objetos. (iv) Enunciado. A frase afirma que um par de objetos possui uma
propriedade. Possui ocorrência do verbo ‘estar’. (v) Enunciado. A frase afirma que
dois objetos estão relacionados (pela relação de igualdade). Possui ocorrência do
verbo ‘ser’.
2 Constantes e variáveis
As expressões podem ser classificadas em duas categorias, de acordo com a ma-
neira como elas denotam objetos.
(1) Dizemos que uma expressão é constante, em um dado contexto, se ela
denota um objeto fixo e bem determinado e não denota nenhum outro objeto
naquele mesmo contexto.
(2) Dizemos que uma expressão é variável se ela denota um objeto fixo e bem
determinado, em um dado contexto, mas poderia denotar qualquer objeto (do
mesmo tipo que o objeto já denotado), naquele mesmo contexto.
Exemplo 2 Considerando os enunciados
1 é um número natural (6)
o triângulo ABC é isósceles (7)
se x é par, então x2 é par (8)
o eixo 0x é perpendicular ao eixo 0y (9)
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em seus contextos usuais, temos que
1 , o eixo 0x , o eixo 0y
são constantes, e que
o triângulo ABC , x , x2
são variáveis.
Além disso, 1 , x e x2 são do tipo número e o triângulo ABC ,
o eixo 0x e o eixo 0y são do tipo figura.
2.1 Observações
Observação 3 Constantes desempenham, na Linguagem Matemática, um papel
similar àquele que os nomes desempenham na Ĺıngua Portuguesa. Já as variáveis
desempenham um papel similar aos dos pronomes pessoais.
Observação 4 Não existe um consenso universal sobre quais śımbolos e/ou sequên-
cias de śımbolos da Linguagem Matemática devem ser adotados como constantes ou
variáveis. De fato, algumas expressões, como
√
2 , o triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5
são universalmente empregadas como constantes; enquanto que outras, como
x , a função f(x)
são universalmente empregadas como variáveis; mas também existem expressões
como
e , φ
cujo emprego como constante ou variável depende de certas convenções que podem
mudar de texto para texto.
Para classificar uma expressão como constante ou variável, a melhor coisa a fazer
é prestar bastante atenção no texto em análise e tentar identificar o uso que está
sendo feito de cada śımbolo e/ou sequência de śımbolos, de acordo com as noções
apresentadas acima.
Observação 5 Usualmente, as variáveis são classificadas de acordo com o tipo de
objeto que elas podem denotar.
Por exemplo, na Aritmética é usual considerarmos m e n como variáveis para
números naturais e x e y como variáveis para números reais. Já em Geometria é
usual considerarmos P , Q e R como variv́eis para pontos, r, s e t como variáveis
para retas e α, β e γ como variáveis para planos.
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2.2 Exerćıcio resolvido
Exerćıcio 2 Classifique cada expressão abaixo como constante ou variável.
(i) 22
2
(ii) x+ 1
(iii) (1 + 2)3 (iv) 2× x
2
(v) (x, y)
Antes de ler a resolução, tente resolver o exerćıcio, usando os con-
ceitos estudados.
Resolução do Exerćıcio 1: (i) Constante. Denota um número espećıfico. (ii)
Variável. Denota um número não espećıfico. (iii) Constante. Denota um número
espećıfico. (iv) Variável. Denota um número não espećıfico. (v) Variável. Denota
um par ordenado não espećıfico de números.
3 Estendendo a noção de enunciado
Sob o ponto de vista da Linguagem e da Lógica Matemáticas, três caracteŕısticas
dos enunciados são as mais relevantes:
1. cada enunciado pode ser classificado como verdadeiro ou falso, de
maneira exclusiva, em um dado contexto; isto é, dado um enunciado
qualquer e o contexto no qual ele está inserido, ou ele é verdadeiro ou
ele é falso, mas não é simultaneamente verdadeiro e falso;
2. cada enunciado pode ser classificado de maneira exclusiva como atômico
ou molecular, apenas pela maneira como ele está escrito e não pelo seu
significado;
3. enunciados podem ser combinados entre si para formar enunciados mais
complexos, por meio de certas part́ıculas da Linguagem Matemática.
A seguir, vamos estudar detalhadamente estas caracteŕısticas dos enunciados.
Mas, antes, temos algumas observações importantes que estendem a noção de enun-
ciado, da Linguagem Matemática para a Ĺıngua Portuguesa.
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3.1 Observações
Observação 6 A parte da Linguagem Matemática que estamos estudando pode
ser vista como uma parte da Ĺıngua Portuguesa, modificada pela reinterpretação de
certos vocábulos e pelo acréscimo de algumas palavras e śımbolos. Por esta razão,
em nossos estudos, além de enunciados sobre conteúdos matemáticos,como
√
2 não é um número racional
vamos considerar também enunciados sobre outros conteúdos, como
Sócrates é homem
Luiza e Mariana são irmãs
se ela é carioca, então ela é brasileira
todo homem é mortal
Estritamente falando, enunciados deste tipo não fazem parte da Linguagem
Matemática, mas considerando enunciados neste contexto mais amplo, além de efe-
tuarmos a análise lógica de enunciados matemáticos, também estaremos aptos a
aplicar os métodos que estamos estudando a certos racioćınios do senso comum.
Observação 7 No enunciado
um é diferente de dois
as expressões
um , dois
são constantes. De maneira similar, no enunciado
João é casado com Maria
as expressões
João , Maria
são constantes.
Nos enunciados
x é diferente de dois , um é diferente de y , x é diferente de y
as expressões
um , dois
são constantes e as expressões
x , y
são variáveis.
De maneira similar, nos enunciados
ele é casado com Maria , Alfredo é casado com ela , ele é casado com ela
as expressões
Alfredo , Maria
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são constantes e as expressões
ele , ela
são variáveis.
Como estes exemplos sugerem, em certos enunciados, os nomes próprios são usa-
dos como constantes e os pronomes pessoais são usados como variáveis. Levando
esta sugestão adiante,
em geral, vamos classificar os nomes próprios como constantes e os pronomes
pessoais como variáveis.
3.2 Exerćıcios resolvidos
Exerćıcio 3 Classifique cada expressão abaixo como constante ou variável.
(i) eu (ii) Zezé de Camargo e Luciano
(iii) o irmão mais velho de Luciano (iv) o Campeão Brasileiro de 2009
(v) um amigo
Exerćıcio 4 Classifique cada frase abaixo como expressão ou enunciado.
(i) 2 está entre 1 e 3 (ii) o marido de Angélica
(iii) 3! não é um número par (iv) (−1, 1) está sobre o eixo 0x
(v)
√
sen2(x) + cos2(x)
x2
Exerćıcio 5 Mostre que a frase
A frase (10) é falsa. (10)
— que se refere a ela mesma — não pode ser classificada nem como verdadeira
nem como falsa. E, portanto, apesar de ter sujeito, verbo e predicado, não é um
enunciado.
Antes de ler as resoluções, tente resolver os exerćıcios usando os
conceitos estudados.
Resolução do Exerćıcio 3: (i) Variável. (ii) Constante. (iii) Constante. (iv)
Constante. (v) Variável.
Resolução do Exerćıcio 4: (i) Enunciado. A frase afirma que três objetos estão
relacionados. Possui ocorrência do verbo ‘estar’. (ii) Expressão. A frase é usada
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para indicar um objeto. (iii) Enunciado. A frase afirma que um objeto não possui
uma propriedade. Possui ocorrência do verbo ‘ser’. (iv) Enunciado. A frase afirma
que um par de objetos está relacionado com um outro objeto. Possui ocorrência do
verbo ‘estar’. (v) Expressão. A frase é usada para indicar um objeto.
Resolução do Exerćıcio 5: Observe que a frase possui ocorrência de verbo e,
portanto, parece ser um enunciado. Mas, para ser classificada como tal, além do
verbo, a frase também deve poder ser classificada como verdadeira ou falsa, de
maneira exclusiva, em um dado contexto. Vamos mostrar, agora, que este não é o
caso.
Para isto, vamos aplicar um racioćınio bastante comum em Matemática que,
neste caso, pode ser resumido do seguinte modo:
(a) Primeiro, vamos considerar que a frase (10) é um enunciado.
(b) Depois, vamos apresentar duas possibilidades excludentes e complementares
para ela: ou vale uma, ou vale a outra, mas não valem ambas.
(c) Depois vamos mostrar que cada uma destas possibilidades não pode acontecer.
(d) Finalmente, vamos concluir que a frase não é um enunciado, pois quando as-
sumimos que ela é, as duas únicas alternativas posśıveis não podem acontecer.
Vamos lá:
(a) Suponhamos que a frase (10) é um enunciado.
(b) Temos, então, as duas seguintes possibilidades excludentes e complementares:
a frase (10) é verdadeira
ou
a frase (10) é falsa.
(c) Vamos, agora, analisar cada uma destas possibilidades:
(c1) Se supomos que a frase (10) é verdadeira, temos que concluir que o que ela
afirma acontece. Mas ela afirma que a frase (10) — ou seja, ela mesma — é
falsa. Assim, temos que concluir que a frase (10) é falsa, uma contradição com
a suposição de que ela é verdadeira.
(c2) Se supomos que a frase (10) é falsa, temos que concluir que o que ela afirma
não acontece. Mas ela afirma que a frase (10), ou seja, ela mesma, é falsa.
Como estamos assumindo que isto não acontece, temos que concluir que a
frase (10) é verdadeira, uma contradição com a suposição de que ela é falsa.
(d) Como a suposição de que a frase (10) é um enunciado nos leva a duas alternativas
posśıveis e cada uma delas não pode acontecer, temos que concluir que a nossa
suposição está errada, ou seja, que a frase (10) não é um enunciado.
c© 2014 Márcia Cerioli e Petrucio Viana
Coordenação da Disciplina MD/CEDERJ-UAB
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