5 - enunciados quantificadores

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Novo Módulo de MD 2020 Unidade 1
Matemática Discreta
Tópicos da Linguagem e da Lógica Matemáticas
Texto da Semana 4, Parte 1
Enunciados Quantificados
Sumário
1 Introdução 1
2 Constantes e variáveis 3
2.1 Observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Propriedades 7
3.1 Observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Formação de enunciados por meio de quantificadores 10
4.1 Observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Exerćıcios Propostos 20
1 Introdução
Em Matemática, é comum nos depararmos com enunciados do tipo:
todos os números de 1 a 4 são positivos (1)
todos os números são positivos (2)
algum dos números de 1 a 4 é par (3)
algum número é par (4)
que se referem a uma totalidade de objetos fixada de antemão, nesse caso os números
naturais positivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .
Observe que o enunciado (1) afirma que cada um dos números 1, 2, 3 e 4 é
positivo, sem exceção. Assim, ele pode ser reescrito de maneira direta como uma
conjunção:
1 é positivo e 2 é positivo e 3 é positivo e 4 é positivo.
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Analogamente, o enunciado (3) afirma que ao menos um dos números 1, 2, 3 ou
4 é par, sem especificar exatamente qual. Assim, ele pode ser reescrito de maneira
direta como uma disjunção:
1 é par ou 2 é par ou 3 é par ou 4 é par.
De maneira análoga ao enunciado (1), o enunciado (2) afirma que cada um dos
números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . é positivo, sem exceção. Mas observe que estes
números são dados em uma quantidade infinita. Assim, não podemos reescrever (2)
de maneira direta como uma conjunção já que, neste caso, a conjunção deveria ser
infinita e não poderia ser escrita.
Também, de maneira análoga ao enunciado (3), o enunciado (4) afirma que
algum dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . é par, sem especificar exatamente qual.
E, novamente, como os números em questão são dados em quantidade infinita, não
podemos reescrever (4) de maneira direta como uma disjunção já que, neste caso, a
disjunção deveria ser infinita e não poderia ser escrita.
Observações análogas se aplicam a enunciados do tipo:
todas as pessoas merecem respeito (5)
algumas pessoas merecem confiança (6)
que, embora não mencionem uma quantidade infinita de objetos (pessoas, no caso),
mencionam objetos cuja quantidade exata, a prinćıpio, não pode ser determinada.
Em muitas situações, na Matemática ou no dia a dia, nos referimos a objetos da-
dos em quantidade infinita ou não especificada e necessitamos afirmar que todos eles
ou algum deles possui uma certa caracteŕıstica. Ou seja, em muitas situações, ne-
cessitamos escrever enunciados — como (2), (4), (5) e (6) — que se fossem reescritos
como conjunções ou disjunções teriam que possuir uma quantidade infinita de com-
ponentes ou não possuiriam um número finito e bem determinado de componentes
(o que nos impediria de reescrever estes enunciados).
Para contornar esta situação, a Lógica e a Linguagem Matemáticas fazem uso
das noções de domı́nio, variável e quantificador lógico. Como veremos:
(1) um domı́nio é empregado para especificarmos de quais objetos estamos falando;
(2) uma variável é usada para fazermos referência indireta a cada objeto deste
domı́nio;
(3) e um quantificador lógico é usado para afirmarmos que uma certa propriedade
vale para todos ou para ao menos um dos objetos do domı́nio.
É sempre bom ter em mente que a Lógica e a Linguagem Matemáticas não são
idênticas à lógica e a linguagem do dia a dia. Esta diferença se manifesta em al-
guns usos dos conectivos lógicos, que são empregados na Lógica e na Linguagem
Matemáticas de maneira bem diferente da maneira que part́ıculas análogas são em-
pregadas no dia a dia. E é no uso de variáveis e quantificadores que as diferenças
entre a Lógica e a Linguagem matemáticas e a lógica e a linguagem do dia a dia se
fazem mais pronunciadas.
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Ler enunciados que possuem ocorrências de quantificadores, entender
suas estruturas e seus significados e manipulá-los adequadamente são
habilidades básicas que todo estudante de Matemática deve possuir.
Nas aulas de Linguagem e Lógica Matemáticas, vamos estudar em detalhes o uso
de variáveis e quantificadores na simbolização e avaliação de enunciados. Por esta
razão, você deve estudar os conceitos e resultados apresentados neste texto com a
máxima atenção, até absorver todos estes conteúdos.
Este texto sobre enunciados quantificados complementa a Parte 1 do Texto da
Semana 2, sobre enunciados com conectivos.
Especificamente, neste texto, abordamos os conceitos de constante e variável
(Seção 2); propriedade (Seção 3); e quantificador lógico (Seção 4). Além disso, es-
tudamos a formação de enunciados por meio dos quantificadores lógicos aplicados
a propriedades reescritas com o aux́ılio de variáveis (Seção 4). Depois de estudar-
mos este texto, vamos ser capazes de classificar certos termos como constantes ou
variáveis (Exerćıcios 1 e 2); reescrever propriedades como enunciados com o aux́ılio
de variáveis (Exerćıcios 3 e 4); e reescrever enunciados de uma maneira mais ade-
quada por meio dos quantificadores lógicos (Exerćıcios 5 e 6).
2 Constantes e variáveis
Na linguagem do dia a dia, usualmente, empregamos os nomes para nos referir-
mos a objetos determinados (concretos ou abstratos), em um dado contexto.
Exemplo 1 São exemplos de nomes:
Marly
passado
saudade
etc.
Por outro lado, para nos referirmos a objetos indeterminados (também concretos
ou abstratos) em um dado contexto, usualmente, empregamos os pronomes pessoais.
Exemplo 2 Os pronomes pessoais são:
eu
ele
nós
etc.
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Em Lógica e em Matemática, os termos que são usados como nomes são chamados
de constantes.
Uma constante é um termo que denota um objeto fixo e bem determinado,
em um dado contexto, mas não deve denotar nenhum outro objeto naquele
mesmo contexto.
Exemplo 3 (a) O enunciado
1 é um número natural
possui ocorrência do termo
1
que denota um número espećıfico e bem determinado. Portanto, nesse contexto,
1
é uma constante.
(b) O enunciado
o eixo 0x é perpendicular ao eixo 0y
possui ocorrência dos termos
o eixo 0x
e
o eixo 0y
que denotam retas orientadas espećıficas e bem determinadas. Portanto, nesse con-
texto,
o eixo 0x
e
o eixo 0y
são constantes.
Já os termos que são usados como pronomes pessoais são chamados de variáveis.
Uma variável é um termo que denota um objeto fixo e indeterminado, em um
dado contexto, mas pode denotar qualquer objeto (usualmente, do mesmo tipo
que o objeto já denotado), naquele mesmo contexto.
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Exemplo 4 (a) O enunciado
se x é par, então x2 é par
possui ocorrência dos termos
x
e
x2
que denotam números.
Como o valor de x — e, consequentemente, o de x2 — não está determinado,
nesse contexto, os termos
x
e
x2
são variáveis.
(b) O enunciado
o triângulo ABC é isósceles
possui ocorrência do termo
o triângulo ABC
que denota uma figura.
Como os valores de A, B e C — e, consequentemente o de o triângulo ABC —
não estão determinados, os termos
A
B
C
e
o triângulo ABC
são variáveis.
2.1 Observação
Observação 1 Em geral, nos estudos das disciplinas Matemáticas, devemos estar
sempre atentos às convenções adotadas, pois elas podem variar de texto para texto.
Em particular, não existe um consenso universal sobre quais termos da Linguagem
Matemática devem ser adotados como constantes ou variáveis.
De fato, alguns termos,como
o triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5
e √
2
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são universalmente empregadas como constantes; enquanto que outros, como
x
e
a função f(x)
são universalmente empregadas como variáveis.
Porém, existem termos como
e
e
φ
cujo emprego como constante ou variável depende de certas convenções que podem
mudar de texto para texto.
2.2 Exerćıcios
Exerćıcio 1 Classifique cada termo abaixo como constante ou variável.
(i) 22
2
(ii) x+ 1
(iii) Pelé (iv) um amigo de Pelé
(v) (x, y) (vi) o quadrado de vértices (0, 0),
(1, 0), (1, 1) e (0, 1)
(vii) 2× x
2
(viii) (1 + 2)3
(ix) algum aluno de MD (x) ela e ele
Exerćıcio 2 Classifique como constante ou variável:
(i) o número x que somado com 1 é par
(ii) o triângulo ABC de lados 3, 4 e 5
Antes de ler as resoluções, tente resolver os exerćıcios usando os
conceitos estudados.
Resolução do Exerćıcio 1: (i) Constante. Denota um número determinado. (ii) Variável. De-
nota um número indeterminado. (iii) Constante. Denota uma pessoa determinada. (iv) Variável.
Denota uma pessoa indeterminada. (v) Variável. Denota um par ordenado de objetos indeter-
minados. (vi) Constante. Denota uma figura determinada. (vii) Variável. Denota um número
indeterminado. (viii) Constante. Denota um número determinado. (ix) Variável. Denota uma
pessoa indeterminada. (x) Variável. Denota um par de pessoas indeterminadas. Resolução do
Exerćıcio 2: (i) Variável. Denota um número não espećıfico. (ii) Constante. Denota uma figura
espećıfica.
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3 Propriedades
O uso de variáveis fornece uma grande flexibilidade à Linguagem Matemática.
Por exemplo, por seu intermérdio, podemos reescrever as propriedades como enun-
ciados.
Uma propriedade é uma caracteŕıstica que pode ser atribúıda aos objetos de
um determinado tipo, sendo atribúıda a um objeto de cada vez.
Exemplo 5 As seguintes caracteŕısticas são propriedades:
ser homem,
ser positivo,
ser carioca,
ser quadrado perfeito.
De fato, elas podem ser atribúıdas, por exemplo, a pessoas, números reais, mo-
radores da cidade do Rio de janeiro, e números naturais, respectivamente.
Usando as variáveis de maneira adequada, podemos reescrever as propriedades
como enunciados.
Exemplo 6 Usando as variáveis x, y, u e n, podemos escrever as propriedades do
Exemplo 5 do seguinte modo:
x é homem,
y é positivo,
u é carioca,
n é quadrado perfeito,
respectivamente.
Quando reescritas como enunciados, as propriedades podem ser combinadas por
meio de conectivos lógicos na formação de propriedades mais complexas. Ou, visto
de outra forma, com o uso de variáveis, certas propriedades que podem ser vistas
como formadas a partir de outras propriedades por aplicações dos conectivos lógicos
podem ser reescritas como enunciados que possuem ocorrências destes mesmos co-
nectivos.
Exemplo 7 As frases
ser infinito,
ser homem feliz,
ser número ou figura,
ser racional, se animal,
ser matriz é o mesmo que ser tabela de números.
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envolvem as propriedades:
ser finito,
ser homem
ser feliz,
ser número
ser figura,
ser racional
ser animal,
ser matriz
ser tabela de números.
Agora, usando as variáveis x, y, z, u e v, estas propriedades podem ser reescritas
como:
x é finito,
y é homem
y é feliz,
z é número
z é figura,
u é racional
u é animal,
v é matriz
v é tabela de números,
respectivamente.
Finalmente, aplicando conectivos lógicos a essas propriedades reescritas, as frases
originais podem ser reescritas como os seguintes enunciados:
não (x é finito)
(y é homem) e (y é feliz)
(z é número) ou (z é figura)
se (u é animal), então (u é racional)
(v é matriz) se, e somente, se (v é tabela de números)
respectivamente
3.1 Observação
Observação 2 Na reescrita de propriedades como enunciados, qualquer letra pre-
viamente especificada para este fim pode ser usada como uma variável.
Assim, por exemplo, para a propriedade
ser batráquio
podemos escrever tanto
x é batráquio
quanto
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b é batráquio
(e outras) desde que esteja claro que as letras x e b (e as outras) estão sendo usadas
como variáveis.
Por outro lado, em Matemática, em cada disciplina espećıfica, certas letras são
quase que universalmente adotadas como variáveis para objetos de certos tipos es-
pećıficos.
Por exemplo:
Disciplina Variáveis Denotam
Álgebra linear M , N , O, P , Q Matrizes
Aritmética a, b, c, m, n Números naturais
Cálculo x, y, z, u, v Números reais
Cálculo f , g, h, F , G Funções
Geometria P , Q, R, S, T Pontos
Geometria r, s, t, u, v Retas
Geometria α, β, γ, δ, θ Planos
Mas, como dissemos — exceto pelo uso bastante difundido das letras x, y, z, u,
v e w, como variáveis — não há convenções aceitas universalmente.
3.2 Exerćıcios
Exerćıcio 3 Reescrever as seguintes propriedades como enunciados, com o aux́ılio
de variáveis:
(i) ser aluno (ii) estudar muito
(iii) tirar boas notas (iv) ser função
(v) ser cont́ınua (vi) ser derivável
(vii) ser ćırculo (viii) ter centro
(ix) ter diâmetro (x) ser figura
Exerćıcio 4 Reescrever as seguintes frases como enunciados, com o aux́ılio de
variáveis:
(i) estar insatisfeito (ii) ser aluno matriculado
(iii) gostar de bolo ou de sorvete (iv) ficar feliz quando está estudando
(v) estar alerta quando, e somente
quando, acordado
Antes de ler as resoluções, tente resolver os exerćıcios usando os
conceitos estudados.
Resolução do Exerćıcio 3: (i) x é aluno. (ii) y estuda muito. (iii) z tira boas notas. (iv) u
é função. (v) v é cont́ınua. (vi) w é derivável. (vii) x é ćırculo. (viii) y tem centro. (ix) z tem
diâmetro. (x) u é figura. Resolução do Exerćıcio 4: (i) não (x está satisfeito). (ii) (y é aluno) e
(y está matriculado). (iii) (z gosta de bolo) ou (z gosta de sorvete). (iv) se (u estuda), então (u fica
feliz). (v) (v está alerta) se, e somente se, (v está acordado).
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4 Formação de enunciados por meio de quantifi-
cadores
As variáveis que ocorrem nas propriedades reescritas podem ser vistas como
“lacunas” que quando preenchidas com constantes (nomes de objetos espećıficos)
ou outras variáveis (que denotam objetos não espećıficos) permitem a formação de
novos enunciados.
Exemplo 8 (a) Reescrevendo a propriedade
ser professora
como o enunciado
x é professora
podemos formar os enunciados
Eliane é professora
Kátia é professora
Maŕılia é professora
e muitos outros, obtidos pela substituição da variável
x
por nomes próprios de pessoas (ou constantes) adequados; e também, os enunciados
ela é professora
y é professora
a irmã de z é professora
e muitos outros, obtidos pela substituição da variável
x
por pronomes pessoais (ou variáveis) adequados.
(b) Reescrevendo a propriedade
ser função invert́ıvel
como o enunciado
y é função e y é invert́ıvel
podemos formar os enunciados
h : (0,∞) −→ R tal que h(x) = ln x é função e h : (0,∞) −→ R, tal que
h(x) = ln x é invert́ıvel
g(x) = x+ 3 é função e g(x) = x+ 3 é invert́ıvel
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ζ(s) é função e ζ(s) é invert́ıvel
f é função e f é invert́ıvel
e muitos outros, obtidos pela substituição da variável
y
por nomes de funções (e.g. g(x) = x + 3), constantes que denominam funções (e.g.
ζ(s)), ou variáveis que tomam funções como valores (e.g. f).
Agora, se queremos afirmar que todos os objetos ou alguns objetos de um de-
terminado tipo possuem uma certa propriedade, sem especificar nenhum objeto em
particular, podemos recorrer ao uso dos quantificadores lógicos.
Seja ϕ(v) um enunciado que possui ocorrência(s) de propriedade(s) expressa(s)
com o aux́ılio da variável v.
Seja D um domı́nio de objetos onde v toma valores.
Quantificar v, em ϕ(v) sobre D, consiste em prefixar ϕ(v) com uma das
expressões
para todo v
ou
existeao menos um v
que são lidas como se referindo aos objetos em D.
Para eliminar ambiguidades, podemos usar parênteses (chaves, colchetes, etc)
escrevendo para todo v[ϕ(v)] ou existe ao menos um v[ϕ(v)], etc.
Exemplo 9 (a) A partir do enunciado
n é par
e considerando o domı́nio
D : números naturais
formado pelos números 0, 1, 2, 3, . . ., podemos formar os enunciados
para todo n (n é par)
existe ao menos um n (n é par)
obtidos pela quantificação da variável n sobre D.
Observe que, de acordo com o domı́nio fixado, estes enunciados significam:
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todos os números naturais são pares
existe ao menos um número natural que é par
e são F e V , respectivamente.
(b) A partir do enunciado
y é b́ıpede
e considerando o domı́nio
D : pessoas vivas
podemos formar os enunciados
para todo y (y é b́ıpede)
existe ao menos um y (y é b́ıpede)
obtidos pela quantificação da variável y em relação a D.
Observe que, de acordo com o domı́nio fixado, estes enunciados significam:
todas as pessoas são b́ıpedes
existe ao menos uma pessoa que é b́ıpede
e são V e V , respectivamente.
As part́ıculas
para todos e existe ao menos um
são chamadas de quantificadores lógicos, quando são usadas na formação
de enunciados da maneira que vamos especificar a seguir.
Do ponto de vista sintático, os quantificadores lógicos se comportam como o ¬, ou
seja, são aplicados a um enunciado dado na formação de um novo enunciado. Mas,
para que a aplicação do quantificador faça sentido, o enunciado dado deve possuir
a ocorrência de pelo menos um pronome pessoal ou variável ao qual o quantificador
é aplicado.
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Generalizações
Uma generalização é um enunciado obtido pela aplicação da part́ıcula
para todos
ou uma de suas variantes:
todo , toda , todos , todas , para todo , etc
a um único enunciado que possui ocorrência(s) de propriedade(s) expressa(s)
com o aux́ılio de pronome(s) pessoal(is) ou variável(is).
Em Lógica e Linguagem Matemáticas todas estas part́ıculas são consideradas
sinônimas.
Exemplo 10 (a) A generalização do enunciado
ele é sapo
é o enunciado
todos são sapos.
Usando a variável x, o enunciado pode ser reescrito como
x é um sapo
e sua generalização como
para todo x (x é sapo).
(b) A generalização do enunciado
M é matriz invert́ıvel
é o enunciado
todas são matrizes invert́ıveis.
Usando a variável y, o enunciado pode ser reescrito como
(y é matriz) e (y é invert́ıvel)
e sua generalização como
para todo y [ (y é matriz) e (y é invert́ıvel) ].
Como veremos na Observação 5, esta generalização não pode ser reescrita como
todas as matrizes são invert́ıveis
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ou seja,
para todo y [ se (y é matriz), então (y é invert́ıvel) ].
(c) A generalização do enunciado
se ele é homem, então é mortal
é o enunciado
todos os homens são mortais.
Usando a variável z, o enunciado pode ser reescrito como
se z é homem, então z é mortal
e sua generalização como
para todo z [ se (z é homem), então (z é mortal) ].
Como veremos, na Observação 5, esta generalização não pode ser reescrita como
todos são homens e mortais
ou seja,
para todo z [ (z é homem) e (z é mortal) ].
Existencializações
Uma existencialização é um enunciado obtido pela aplicação da part́ıcula
existe ao menos um
ou uma de suas variantes
há , existe , existem , existe ao menos uma , etc
a um único enunciado que possui ocorrência(s) de propriedade(s) expressa(s)
com o aux́ılio de pronome(s) pessoal(is) ou variável(is).
Em Lógica e Linguagem Matemáticas todas estas part́ıculas são consideradas
sinônimas.
Exemplo 11 (a) A existencialização do enunciado
ele é um pŕıncipe
é o enunciado
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existem pŕıncipes.
Usando a variável x, o enunciado pode ser reescrito como
x é pŕıncipe
e sua existencialização como
existe x (x é pŕıncipe).
(b) A existencialização do enunciado
T é transformação injetiva
é o enunciado
existem transformações injetivas.
Usando a variável y, o enunciado pode ser reescrito como
(y é transformação) e (y é injetiva)
e sua existencialização como
existe y [ (y é transformação) e (y é injetiva) ].
Como veremos, na Observação 7, esta existencialização não pode ser reescrita
como
existem as que, se transformações, são injetivas
ou seja,
existe y [ se (y é transformação), então (y é injetiva) ].
(c) A existencialização do enunciado
ele toma uma atitude, quando é forçado
é o enunciado
existem os que, se forçados, tomam uma atitude.
Usando a variável z, o enunciado pode ser reescrito como
se (z é forçado), então (z toma uma atitude)
e sua existencialização como
existe z [ se (z é forçado), então (z toma uma atitude) ].
Como veremos, na Observação 7, esta existencialização não pode ser reescrita
como
existem os que são forçados e tomam uma atitude
ou seja,
existe z [ (z é forçado) e (z toma uma atitude) ].
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4.1 Observação
Observação 3 Dada uma generalização
para todo v, ϕ(v)
de um enunciado ϕ(v) que possui ocorrência(s) de propriedade(s) expressa(s) com
o aux́ılio de uma variável v; e dado um domı́nio D onde v toma valores, o signifi-
cado da generalização é a “conjunção” de todos os enunciados obtidos de ϕ(v) pela
substituição de v pelo nome de cada objeto em D.
Por exemplo, se D é formado por todos os matemáticos que já existiram, o
significado de
para todo x, x é inteligente
é a “conjunção”
(Tales é inteligente) e (Pitágoras é inteligente) e
(Euclides é inteligente) e (Arquimedes é inteligente) e . . .
Observe que não é razoável esperar que alguém realmente escreva esta “con-
junção”.
É nestes casos que as variáveis, os domı́nios e os quantificadores mostram a sua
utilidade.
Observação 4 Analogamente, dada uma existencialização
existe ao menos um v, ϕ(v)
de um enunciado ϕ(v) que possui ocorrência(s) de propriedade(s) expressa(s) com o
aux́ılio de uma variável v; e dado um domı́nio D onde v toma valores, o significado
da existencialização é a “disjunção” de todos os enunciados obtidos de ϕ(v) pela
substituição de v pelo nome de cada objeto em D.
Por exemplo, se D é formado por todos os números complexos, o significado de
existe x, x2 = −1
é a “disjunção”
02 = −1 ou 12 = −1 ou (−1)2 = −1 ou i2 = −1 ou (1 + 2i)2 = −1 ou
(−1−
√
2i)2 = −1 ou π2 = −1 ou (1
2
+
π
7
i)2 = −1 ou . . .
Neste caso, realmente não é razoável esperar que alguém escreva esta “disjunção”.
Ainda bem que temos as variáveis, os domı́nios e os quantificadores!
Observação 5 Quando analisamos um enunciado como
todos são alunos com dúvidas (7)
é comum ficarmos em dúvida se ele corresponde a um enunciado do tipo
para todo v (ϕ ∧ ψ) (8)
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ou a um enunciado do tipo
para todo v (ϕ→ ψ). (9)
Uma dúvida similar ocorre com um enunciado como
todos os alunos têm dúvidas. (10)
A qual dos dois tipos de enunciados, (8) ou (9), ele corresponde?
Para entendermos melhor esses enunciados, basta observarmos uma diferença
crucial que ocorre quando (8) e (9) são avaliados sobre um domı́nio D no qual
nem todos os objetos possuem a propriedade ϕ, mas todos os objetos possuem a
propriedade ψ. Ou seja, basta considerarmos um domı́nio D no qual:
Propriedade Situação
ϕ nem todos a satisfazem
ψ todos a satisfazem
Em primeiro lugar, observe que (8) e (9) correspondem, cada um, a uma “con-
junção expressa pelo para todo”, cujos componentes são da forma ϕ ∧ ψ e ϕ → ψ,
respectivamente, um componente para cada valor que v assume em D.
Agora, como assumimos que nem todos os valores que v assume em D satisfazem
ϕ, temos que ϕ : F , para ao menos um valor que v assume em D. Assim, ϕ ∧ ψ :
F , para ao menos um valor que v assume em D, pois o primeirocomponente da
conjunção é F . Portanto,
para todo v, (ϕ ∧ ψ) : F,
pois ao menos um dos componentes da “conjunção expressa pelo para todo” é F .
Por outro lado, como assumimos que todos os valores que v assume em D sa-
tisfazem ψ, temos que ψ : V , para todos os valores que v assume em D. Assim,
ϕ → ψ : V , para todos os valores que v assume em D, pois o consequente da
implicação é V . Portanto,
para todo v, (ϕ→ ψ) : V,
pois todos os componentes da “conjunção expressa pelo para todo” são F .
Com isto em mente, voltemos aos enunciados (7) e (10).
Como vimos acima, (7) é F em um domı́nio no qual há não-alunos. Por ou-
tro lado, também como vimos, (10) é V em um tal domı́nio, desde que todos no
domı́nio possuam a propriedade ter dúvida — não é dif́ıcil imaginar um domı́nio
assim. Assim, (7) não pode corresponder a (9) e (10) não pode corresponder a (8).
Para ver que (7) corresponde a (8), basta observarmos — agora que entendemos
um pouco melhor como as generalizações são avaliadas — que quando (7) é V em
um domı́nio, todos no domı́nio devem possuir as propriedades ser aluno e ter dúvidas.
E isso é exatamente o que (8) representa. Finalmente, para ver que (10) corresponde
a (9), basta observarmos que quando (10) é F em um domı́nio, existe ao menos um
no domı́nio que possui a propriedade ser aluno mas não possui a propriedade ter
dúvidas. E isso é exatamente o que (9) representa.
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Observação 6 Talvez a distinção mostrada na Observação 5 fique ainda mais clara,
se observamos o que acontece quando os enunciados (8) e (9) são avaliados sobre
um domı́nio D no qual nenhum objeto satisfaz a propriedade ϕ.
Neste caso, temos que ϕ : F , qualquer que seja o valor que v assume em D.
Assim, ϕ ∧ ψ : F , qualquer que seja o valor que v assume em D. E, portanto,
para todo v, (ϕ ∧ ψ) : F.
Por outro lado, novamente, temos que ϕ : F , qualquer que seja o valor que v
assume em D. Assim, ϕ→ ψ : V , qualquer que seja o valor que v assume em D. E,
portanto,
para todo v, (ϕ→ ψ) : V.
embora nenhum objeto satisfaça o antecedente da implicação!
Assim, por exemplo, de maneira surpreendente,
para todo n [ (n é negativo) → (n é positivo) ]
é V , quando se referindo ao domı́nio dos números naturais.
Observação 7 Questões análogas as levantadas na Observação 5 ocorrem quando
analisamos enunciados como
existem alunos com dúvidas (11)
e
existem os que, se alunos, têm dúvidas. (12)
e nos perguntamos de que maneira eles correspondem a enunciados do tipo
existe v (ϕ ∧ ψ) (13)
e
existe v (ϕ→ ψ). (14)
Para entendermos melhor estes enunciados, basta observarmos o que acontece
quando (13) e (14) são avaliados sobre um domı́nio D no qual:
Propriedade Situação
ϕ nenhum a possui
ψ todos a possuem
Em primeiro lugar, observe que (13) e (14) correspondem, cada um, a uma
“disjunção expressa pelo existe ao menos um”, cujos componentes são da forma
ϕ ∧ ψ e ϕ → ψ, respectivamente, um componente para cada valor que v assume
em D.
Agora, como assumimos nenhum dos valores que v assume em D satisfaz ϕ,
temos que ϕ : F , para todos os valores que v assume em D. Assim, ϕ ∧ ψ : F , para
todos os valores que v assume em D. E, portanto,
existe v, (ϕ ∧ ψ) : F,
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pois todos dos componentes da “disjunção expressa pelo existe ao menos um” são F .
Por outro lado, como assumimos que todos os valores que v assume em D sa-
tisfazem ψ, temos que ψ : V , para todos os valores que v assume em D. Assim,
ϕ → ψ : V , para todos os valores que v assume em D, pois o consequente da
implicação é V . Portanto,
existe v, (ϕ→ ψ) : V,
pois todos os componentes da “disjunção expressa pelo existe ao menos um” são V .
Com isto em mente, voltemos aos enunciados (11) e (12).
Como vimos acima, (11) é F em um domı́nio no qual ninguém é aluno. Por
outro lado, também vimos que (12) é V em um tal domı́nio, desde que todos no
domı́nio possuam a propriedade ter dúvida — não é dif́ıcil imaginar um domı́nio
assim. Assim, (11) não pode corresponder a (14) e (12) não pode corresponder
a (13).
Para ver que (11) corresponde a (13), basta observarmos — agora que entende-
mos um pouco melhor como as existencializações são avaliadas — que (11) é V em
um domı́nio se, e somente se, há no domı́nio quem possui ambas as propriedades
ser aluno e ter dúvidas. E isso é exatamente o que (13) representa. Finalmente, para
ver que (12) corresponde a (14), basta observarmos que (12) é V em um domı́nio
se, e somente se, existe ao menos um no domı́nio cuja propriedade ter dúvidas está
condicionada à propriedade ser aluno. E isso é exatamente o que (14) representa.
Observação 8 De maneira análoga à Observação 6, tavez a distinção mostrada
na Observação 7 fique ainda mais clara, se observamos o que acontece quando os
enunciados (13) e (14) são avaliados sobre um domı́nio D no qual nenhum objeto
satisfaz a propriedade ϕ.
De fato, neste caso, temos que ϕ : F , qualquer que seja o valor que v assume em
D. Assim, ϕ ∧ ψ : F , qualquer que seja o valor que v assuma em D. E, portanto,
existe v, (ϕ ∧ ψ) : F
Por outro lado, neste mesmo caso, como ϕ : F , qualquer que seja o valor que v
assume em D temos que ϕ→ ψ : V , qualquer que seja o valor que v assume em D.
E, portanto,
existe v, (ϕ→ ψ) : V
embora nenhum objeto satisfaça o antecedente da implicação!
Assim, por exemplo, de maneira surpreendente,
existe n [ (n é negativo) → (n é positivo) ]
é V , quando se referindo ao domı́nio dos números naturais.
4.2 Exerćıcios
Exerćıcio 5 Reescreva cada enunciado abaixo como uma generalização, usando
variáveis e conectivos de maneira adequada:
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(i) todos são inteligentes
(ii) todos são indefinidos
(iii) todos são figuras planas
(iv) todos são preguiçosos ou vagabundos
(v) todas as figuras são triângulos
(vi) para cada um, ter direitos é o mesmo
que ter deveres
Exerćıcio 6 Reescreva cada enunciado abaixo como uma existencialização, usando
variáveis e conectivos de maneira adequada:
(i) existem indiferentes
(ii) há infelizes
(iii) alguns são ricos e poderosos
(iv) há circulares ou quadrangulares
(v) existem os que ficam felizes quando se
sentem poderosos
(vi) para ao menos um, ter direitos é o mesmo
que ter deveres
Antes de ler as resoluções, tente resolver os exerćıcios usando os
conceitos estudados.
Resolução do Exerćıcio 5: (i) para todo x (x é inteligente). (ii) para todo y não (y é definido).
(iii) para todo z [ (z é figura) e (z é plana) ]. (iv) para todo u [ (u é preguiçoso) ou (u é vagabundo)
]. (v) para todo v [ se (v é figura), então (v é triângulo) ]. (vi) para todo w [ (w tem direitos) se,
e somente se, (w tem deveres) ]. Resolução do Exerćıcio 6: (i) existe x (x é indiferente). (ii)
existe y não (y é feliz). (iii) existe z [ (z é rico) e (z é poderoso) ]. (iv) existe u [ (u é circular) ou (u
é quadrangular) ]. (v) existe v [ se (v se sente poderoso), então (v fica feliz) ]. (vi) existe w [ (w tem
direitos) se, e somente se, (w tem deveres) ].
5 Exerćıcios Propostos
Após resolver cada exerćıcio proposto, verifique se alguma resolução para ele já foi postada
na Sala de MD. Se não, poste a sua resolução. Se sim, caso haja discordância, comente a
resolução que já foi postada, dialogando com os colegas.
Exerćıcio Proposto 1 Considere o texto a seguir, sobre os números naturais, no qual algumas
frases estão sublinhadas. Classifique as frases sublinhados como “enunciados sem ocorrência de
quantificador” ou “enunciado com ocorrência de quantificador”. No segundo caso, determine se o
quantificador é o para todo ou o existe.
Uma classe números muito importante é a classe dos números primos.
Um número natural é primo se é maior do que um e qualquer divisor dele é igual a um
ou igual a ele mesmo.
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Observe que, de acordo com esta definição,cada número classificado como primo deve
ser um número natural.
Junto com a classe dos primos vem a classe dos números compostos.
Um número natural maior do que um é composto se ele não é primo.
Assim, um número natural é composto se é maior do que um e há ao menos um divisor
dele que é diferente de um e dele mesmo.
Você deve estar pensando que todo número natural é primo ou composto
Porém, alguns números naturais não são nem primos nem compostos. Quais são eles?
Exerćıcio Proposto 2 Reescreva cada enunciado abaixo, usando quantificadores, variáveis e co-
nectivos de maneira adequada:
(a) Todo número primo é maior do que um.
(b) Existem números compostos que são primos.
(c) Cada número natural é primo ou composto.
(d) Existe ao menos um número primo par.
c© 2020 Márcia Cerioli e Petrucio Viana
Coordenação da Disciplina MD/CEDERJ-UAB
Atualizado em 30 de agosto de 2020.
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