Prova Final Cálculo 1 GABARITO

Prévia do material em texto

1 
 
UFES - CCE- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
Prova Final de Cálculo I – MAT09570 – Equipe – Tarde – 2018/2 
GABARITO - Data: 10/12/2018. 
 
 
1) [2,0] Dada a função 
 
 
, determine: 
(a) O domínio de e assíntotas do gráfico de . 
(b) Intervalos de crescimento e decrescimento, e, valores máximos e mínimos 
de . 
(c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão do gráfico de valos de . 
(d) Um esboço do gráfico de , usando as informações obtidas nos itens 
anteriores. 
 
Solução: Temos: 
(a) . 
Interseções com os eixos: 
 
Não há interseção com o eixo . 
Assíntotas Verticais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assíntotas Horizontais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos que , se e somente se, . Também, não existe nos pontos 
 , porém, este não pertencem a . 
Portanto, é o único ponto crítico de . 
Intervalo 
 crescente 
 crescente 
 decrescente 
 decrescente 
Assim, a função é crescente nos intervalos e e é decrescente nos 
intervalos e . 
Consequentemente, o ponto é ponto de máximo local da função .. 
2 
 
(c) Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos que , se e somente se, (impossível!). Logo, não existe 
tal que . 
Portanto, não existe ponto de inflexão para a função . 
 
Intervalo 
 Côncava para cima 
 Côncava para baixo 
 Côncava para cima 
Assim, a função é côncava para cima nos intervalos e e é côncava 
para baixo no intervalo . 
 
(d) Esboço do Gráfico de : 
 y 
 
 
 f(x)=1/(x2-1) 
 
 -1 0 1 x 
 -1 
 
 
 
 
2) [2,0] Um copo de papel tem a forma de um cone com de altura e de 
raio (topo). Se for colocada água dentro do copo a uma taxa de , com 
que rapidez o nível da água se elevará quando ela tiver de profundidade? 
 
Solução: Temos: 
 
 r 
 
 h 
 
 
 
 
Sabemos que o volume de um cone regular é dado por: 
 
 
 
 
Como temos somente dados de duas grandezas, volume e altura , vamos 
expressar o raio em função de . 
Temos a relação do triângulo retângulo (Dados: , ): 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados do problema: 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A taxa na qual o nível da água se elevará quando ela tiver de 
profundidade será de . 
 
3) [3,0] Considere a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas 
e . 
(a) Calcule a área da região . 
(b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo . 
 
Solução: Temos: 
(a) Interseção entre as curvas: 
 . 
Como queremos somente a área da região no primeiro quadrante, as interseções a 
serem consideradas são e . 
 
 y 
 
 y=x3 
 
 
 y=2x-x2 
 
 0 1 x 
 
Assim temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Por Fatias: 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
Por Cascas Cilíndricas: 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando separadamente a integral : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) [3,0] Calcule: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Temos: 
(a) Integração por partes: 
Faça: ; . Daí, e . Então: 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo separadamente a integral : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
Verificação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verificação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Considere a função 
 
 
 
 
que é contínua para todo . 
Logo, pela 1ª Parte do Teorema Fundamental do Cálculo, é diferenciável e 
 . 
Mas, por definição, 
 
 
 
 
 
 
Tomando , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
e então, 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado, 
 
De (1) e (2), segue que: