Capítulo 05 - Dinâmica da vorticidade

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Capítulo 05: Dinâmica da 
Vorticidade
1
Introdução
• O movimento em linhas de corrente circulares é
chamado de movimento em vórtices.
• A presença de linhas de corrente fechadas não
significa necessariamente que as partículas de fluido
estejam rotacionando em relação aos seus centroides.
• Pode-se ter vórtices rotacionais ou irrotacionais
dependendo das partículas de fluido terem ou não
vorticidade.
2
Introdução
• Dois escoamentos em vórtice básicos são:
– A rotação de corpo rígido
– E o vórtice irrotacional
– A velocidade angular na rotação de corpo rígido pode ser
denotada por ω0 = ω/2.
3
ru ωθ 2
1
= (1)
r
u
π
θ 2
Γ
= (2)
Introdução
• A vorticidade de um elemento é igual a ω em todos os
pontos para a rotação de um corpo rígido
representado pela Eq. (1), de modo que a circulação
ao redor de qualquer contorno é ω multiplicada pela
área delimitada pelo contorno.
• Em contraste, o escoamento representado pela Eq. (2)
é irrotacional em todos os pontos exceto pela origem,
onde a vorticidade é infinita. Toda a vorticidade do
escoamento é concentrada em uma linha coincidente
com o eixo de vórtices.
4
Introdução
• A circulação ao redor de qualquer circuito que não
inclua a origem é nula e, caso inclua a origem é Γ.
• Um vórtice irrotacional é chamado de linha de
vórtices.
5
Linhas e tubos de vórtices
• Uma linha de vórtices é uma curva em um fluido tal
que sua tangente em qualquer ponto forneça a direção
da vorticidade local.
• Uma linha de vórtices está relacionada ao vetor
vorticidade da mesma forma que uma linha de
corrente está relacionada ao vetor velocidade.
• Se ωx, ωy e ωz são as componentes cartesianas do
vetor vorticidade ω, então a orientação da linha de
vórtices satisfaz as equações:
6zyx
dzdydx
ωωω
== (3)
Linhas e tubos de vórtices
• que são análogas à Eq. (3.7) para uma linha de
corrente.
• Em um vórtice irrotacional, a única linha de vórtices
no campo de escoamento é o eixo de vórtices.
• Em uma rotação de corpo rígido, todas as linhas
perpendiculares ao plano de escoamento são linhas de
vórtices.
• Linhas de vórtices que passam através de qualquer
curva fechada formam uma superfície tubular,
chamada tubo de vórtices.
7
Linhas e tubos de vórtices
• Assim como linhas de corrente delimitam um tubo de
corrente, linhas de vórtices delimitam um tubo de
vórtices.
8
Linhas e tubos de vórtices
• A circulação ao redor de um pequeno tubo de vórtices
é , que é similar à expressão da taxa de
escoamento através de um pequeno tubo
de corrente.
• A intensidade de um tubo de vórtices é definida como
a circulação ao redor de uma curva fechada tomada
na superfície do tubo que o circunde uma única vez.
• Do Teorema de Stokes, tem-se que a intensidade de
um tubo de vórtices é igual à vorticidade média
multiplicada pela área de um corte transversal ao
tubo.
9
Aω dd ⋅=Γ
Au ddQ ⋅=
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
• Assume-se escoamento de fluido incompressível para
analisar a viscosidade em dois tipos básicos de
escoamento em vórtices: rotação de corpo rígido e
vórtice irrotacional.
• Rotação de corpo rígido
– Elementos de fluido em uma rotação de corpo rígido não se
deformam. Como as tensões viscosas são proporcionais à
taxa de deformação, elas são nulas nesse tipo de
escoamento. Usando a expressão para tensões viscosas em
coordenadas polares:
10
0
1
=











∂
∂
+
∂
∂
=
r
u
r
u
r
r
r
θ
θ
θθ
µσ
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– tendo-se substituído uθ = ωr/2 e ur = 0. Aplicando-se,
então, as Equações de Euler, que em coordenadas polares
são simplificadas a
– A diferença de pressão entre dois pontos vizinhos é
11
g
z
p
r
p
r
u
ρ
ρ θ
−
∂
∂
−=
∂
∂
−=−
0
2
(4)
dzgdrrdz
z
p
dr
r
p
dp ρωρ −=
∂
∂
+
∂
∂
= 2
4
1
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– tendo-se empregado uθ = ωr/2. Integrando-se a expressão
entre dois pontos quaisquer 1 e 2, tem-se
– Superfícies de pressão constante são dadas por
– Que representa um paraboloide de revolução.
12
( ) ( )122122212 8
1
zzgrrpp −−−=− ρωρ (5)
( )2122
2
12 8
1
rr
g
zz −=−
ω
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– Um ponto importante a notar é que as tensões viscosas
estão ausentes desse escoamento (no entanto, as tensões
viscosas são importantes no período transiente durante a
inicialização do movimento do fluido).
13
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– Em termos da velocidade, a Eq. (5) pode ser escrita como
– que mostra que a função de Bernoulli
– não é constante para pontos de diferentes linhas de
corrente. Isso é esperado para escoamentos invíscidos
rotacionais.
14
1
2
112
2
22 2
1
2
1
zgupzgup ρρρρ θθ +−=+−
ρ
θ pzg
u
B ++=
2
2
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
• Vórtice irrotacional
– Em um vórtice irrotacional representado por
– a tensão viscosa é
– que é não nula em todos os pontos. Isto se deve ao fato de
os elementos de fluido se deformam nesse escoamento.
15
r
u
π
θ 2
Γ
=
2
1
rr
u
r
r
u
r
r
r
π
µ
θ
µσ θθ
Γ
−=











∂
∂
+
∂
∂
=
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– Observa-se, no entanto, que a força viscosa líquida sobre
um elemento é nula, assim como no caso do escoamento de
corpo rígido. Em um escoamento incompressível, a força
viscosa resultante por unidade de volume relacionada à
vorticidade é
– que é nula para escoamentos irrotacionais. As forças
viscosas sobre as superfícies de um elemento se cancelam,
originando uma resultante nula.
16
( )i
j
ij
x
ω×∇−=
∂
∂
µ
σ
(6)
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– As equações do movimento se reduzem a Equações de
Euler, embora as tensões viscosas sejam não nulas em
todos os pontos. A distribuição de pressão pode então ser
obtida da Eq. (4), originando
– A integração entre dois pontos fornece:
17
dzgdr
r
dp ρ
π
ρ
−
Γ
=
32
2
4
( ) ( )12212212 2 zzguupp −−−−=− ρ
ρ
θθ
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– o que implica em
– Nota-se que a Equação de Bernoulli é aplicável entre dois
pontos quaisquer do campo de escoamento e não
necessariamente ao longo de uma mesma linha de corrente,
o que é esperado para escoamentos irrotacionais invíscidos.
– Superfícies de pressão constante são dadas por
18
2
2
22
1
2
11
22
zg
up
zg
up
++=++ θθ
ρρ








−
Γ
=−=−
2
2
2
1
2
22
2
2
1
12
11
822 rrgg
u
g
u
zz
π
θθ
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– que são hipérboles de revolução de segundo grau. O
escoamento é singular na origem, onde há uma
descontinuidade (velocidade infinita).
19
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– Consequentemente, em um vórtice real como o encontrado
na atmosfera, há necessariamente um núcleo rotacional (de
raio R) no centro em que a distribuição de velocidades
possa ser idealizada por . Fora do núcleo o
escoamento é quase irrotacional e a distribuição de
velocidade . Nesse caso, foi escolhido um
valor de circulação tal que uθ é contínuo em r = R.
– A intensidade do vórtice é tal que
20
2ru ωθ =
rRu 22ωθ =
( )( ) 2núcleodoáreaevorticidad Rωπ==Γ
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– Uma forma de gerar um vórtice irrotacional é rotacionar
um cilindro sólido circular em um corpo infinito de fluido
viscoso. A solução em regime permanente das equações de
Navier-Stokes satisfazendo a condição de não-
deslizamento, em r = R, é
– sendo R o raio do cilindro e ω/2 sua velocidade angular
(constante). Tal escoamento não possui singularidades e é
irrotacional em todos os pontos.
21
Rr
r
R
u ≥= ,
2
2ω
θ
2Ru ωθ =
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– As tensões viscosas estão presentes, e a dissipação viscosa
da energia cinética é compensada pelo trabalho realizado nasuperfície do cilindro.
– No entanto, não há força viscosa resultante em qualquer
ponto no regime permanente.
• Discussão
– Os exemplos fornecidos nesta seção sugerem que a
irrotacionalidade não implica em ausência de tensões
viscosas. De fato, elas estão sempre presentes em fluidos
reais pois os elementos de fluido deformam em tal
escoamento.
22
Papel da viscosidade em vórtices 
rotacionais e irrotacionais
– No entanto, tem-se que a força viscosa resultante é nula se
a vorticidade ω = 0.
– Observa-se, também, que para a rotação de corpo rígido, há
vorticidade uniforme e nenhuma tensão viscosa. Entretanto,
este é o único exemplo de rotação que ocorre sem efeitos
viscosos pois a Eq. (6) implica que a força resultante é nula
em um escoamento rotacional se ω é uniforme em todos os
pontos.
– Exceto por esse exemplo, a rotação de um fluido é
acompanhada por efeitos viscosos.
23
Teorema da Circulação de Kelvin
• Vários teoremas do movimento em vórtices em um
fluido invíscido foram publicados por Helmoltz em
1858.
• Inspirado em tais trabalhos, Kelvin em 1868
introduziu a ideia de circulação e provou o seguinte
teorema: “Em um escoamento invíscido barotrópico
com forças de corpo conservativas, a circulação ao
redor de uma curva movendo-se com o fluido
permanece constante com o tempo” se o movimento
for observado de um referencial não rotacional.
24
Teorema da Circulação de Kelvin
• O teorema pode ser enunciado em termos simples da
seguinte forma: Em um instante de tempo, toma-se
um contorno fechado C e localiza-se a nova posição
de C seguindo-se todos o movimento de todos seus
elementos de fluido. O Teorema da Circulação de
Kelvin prediz que a circulação em ambas as
localizações de C são iguais. Assim:
25
0=
Γ
Dt
D
(7)
Teorema da Circulação de Kelvin
• Para provar o Teorema de Kelvin, a taxa de variação
da circulação é dada por
• onde dx é a separação entre dois pontos de C.
26
( )∫∫∫ +==
Γ
C
ii
C
i
i
C
ii dx
Dt
D
udx
Dt
Du
dxu
Dt
D
Dt
D
(8)
Teorema da Circulação de Kelvin
• Empregando-se a equação da conservação da
quantidade de movimento
• sendo σij o tensor de tensões deviatórico, Eq. (4.33). A
primeira integral da Eq. (8) se torna
27
jiji
i
i g
x
p
Dt
Du
,
11
σ
ρρ
++
∂
∂
−=
∫∫∫
∫∫∫∫
++−=
++
∂
∂
−=
ijijii
ijijiii
i
i
i
dxdxg
dp
dxdxgdx
x
p
dx
Dt
Du
,
,
1
11
σ
ρρ
σ
ρρ
Teorema da Circulação de Kelvin
• tendo-se empregado que é a diferença na
pressão entre dois pontos vizinhos. A Eq. (8) se torna
• Deve-se, então, mostrar que cada termo da Eq. (9) é
igual a zero.
• Considerando-se forças de corpo conservativas, de
modo que , sendo Π o potencial de força ou
a energia potencial por unidade de massa.
28
xdpdp ⋅∇=
( ) ( )∫ ∫∫∫ +⋅⋅∇+−⋅=
Γ
C
ii
CC
dx
Dt
D
ud
dp
d
Dt
D
xσxg
ρρ
1
(9)
Π−∇=g
Teorema da Circulação de Kelvin
• A integral de linha de g ao longo de uma linha de
fluido AB é
• Como a integral é avaliada para uma linha de fluido
fechada, os pontos A e B coincidem e o primeiro
termo da Eq. (9) é nulo.
• Assumindo-se, então um escoamento barotrópico.
Neste caso, a densidade é função apenas da pressão.
29
BA
B
A
B
A
B
A
ddd Π−Π=Π−=⋅Π∇−=⋅ ∫∫∫ xxg
Teorema da Circulação de Kelvin
• Neste caso, pode-se escrever ρ‒1 em função de p;
adotando-se , tem-se que a integral de
dp/ρ entre dois pontos A e B podem ser avaliados
fornecendo-se
• A integral ao redor de um contorno fechado é então
nula. Se as tensões viscosas podem ser desprezadas
para as partículas que perfazem o contorno, a integral
do tensor de tensões deviatórico é nula.
30
dpdP≡−1ρ
AB
B
A
B
A
PPdp
dp
dPdp
−=−= ∫∫ ρ
Teorema da Circulação de Kelvin
• Notando-se que a velocidade um ponto x + dx em C é
dado por
• de modo que
• O último termo da Eq. (9) se torna então
31
( ) ( )xxxxuu d
Dt
D
Dt
D
d
Dt
D
d +=+=+
( )xu d
Dt
D
d =
( ) 0
2
1 2 =





== ∫∫∫ C iC iiC ii udduudxDt
D
u
Teorema da Circulação de Kelvin
• Completa-se, assim, a prova do Teorema de Kelvin.
• Três agentes podem criar ou destruir a vorticidade em
um escoamento:
– Forças de corpo não conservativas.
– Relações pressão-densidade não barotrópicas.
– Tensões viscosas.
32
Teorema da Circulação de Kelvin
• Discussão sobre o Teorema de Kelvin:
– Como a circulação é a integral de superfície da vorticidade,
o Teorema de Kelvin essencialmente mostra que
escoamentos irrotacionais permanecem irrotacionais caso
quatro restrições sejam satisfeitas:
– Escoamento invíscido:
• Ao se obter o teorema, as equações de Euler foram utilizadas, mas
apenas ao longo do contorno C. Isto significa que a circulação é
preservada se não houver forças viscosas resultantes ao longo do
caminho percorrido por C. A presença de efeitos viscosos causa a
difusão da vorticidade, mudando a circulação.
33
Teorema da Circulação de Kelvin
– Forças de corpo conservativas:
• Forças de corpo conservativas como a gravidade atuam no centro
de massa de uma partícula de fluido e, assim, não tendem a
rotacioná-la.
– Escoamento barotrópico:
• A terceira restrição para a validade do Teorema de Kelvin é que a
densidade deve ser uma função apenas da pressão. Um líquido
homogêneo incompressível, no qual ρ é constante em todos os
pontos, e um escoamento isentrópico de um gás perfeito, no qual
p/ργ é constante, são exemplos de escoamentos barotrópicos.
• Escoamentos não barotrópicos são chamados de baroclínicos.
• Para um elemento barotrópico, linhas de p constante são paralelas a
linhas de ρ constante, de modo que forças de pressão resultantes
passam através do centro de passa do elemento.
34
Teorema da Circulação de Kelvin
• Para elementos baroclínicos, as linhas de p e de ρ constantes não
são paralelas. Assim, a força de pressão resultante não passa através
do centro de massa e o torque resultante modifica a vorticidade e a
circulação.
35
Teorema da Circulação de Kelvin
– Referencial sem rotação:
• O movimento observado com relação a um referencial em rotação
pode desenvolver vorticidade e circulação por mecanismos não
considerados na demonstração do Teorema de Kelvin.
– Sob as quatro restrições anteriores, o Teorema de Kelvin
essencialmente prediz que escoamentos irrotacionais
permanecem irrotacionais por todo o tempo.
• Teoremas de vórtices de Helmoltz:
– Sob as mesmas quatro restrições, Helmoltz provou os
seguintes teoremas para escoamentos em vórtices:
36
Teorema da Circulação de Kelvin
– Linhas de vórtices se movem com o fluido.
– A intensidade de um tubo de vórtices, que é a circulação, é
constante ao longo de seu comprimento.
– Um tubo de vórtices não acaba no interior de um fluido. O
tubo de vórtices ou acaba em um contorno sólido ou forma
um ciclo fechado (um “anel de vórtices”).
– A intensidade de um tubo de vórtices permanece constante
com o tempo.
37
Equação da vorticidade em um 
referencial sem rotação
• Consideram-se a densidade do fluido constante
(resultando em um escoamento barotrópico), bem
como efeitos viscosos.
• A vorticidade é definida como
• Como o divergente de um rotacional é nulo, a
vorticidade d qualquer escoamento deve satisfazer
38
uω ×∇≡
0=⋅∇ ω (10)
Equação da vorticidade em um 
referencial sem rotação
• Uma equação para a taxa de variação da vorticidade é
obtida tomando-se o rotacional da equação do
movimento. Será visto que a pressão e a gravidade
são eliminadas durante essa operação. Em forma
simbólica, deseja-se realizar a operação
• sendo Π o potencial de força de corpo.
39






∇+Π∇+∇−=∇⋅+
∂
∂
×∇ uuu
u 21 ν
ρ
p
t
(11)
Equação da vorticidade em um 
referencial sem rotação
• Usando-se a identidade vetorial
• Notando-se que o rotacional de um gradiente
desaparece, tem-se da Eq. (11) que
• tendo-se empregada também a identidade
40
( ) ( ) 2
2
1
2
1
q∇+×=⋅∇+××∇=∇⋅ uωuuuuuu
( ) ωuωω 2∇=××∇+
∂
∂
ν
t
(12)
( )uu ×∇∇=∇×∇ 22
Equação da vorticidade em um 
referencial sem rotação
• O segundo termo da Eq. (12) pode ser escrito como
• tendo-se empregada a identidadevetorial
• além dos fatos de que
41
( ) ( ) ( )uωωuuω ∇⋅−∇⋅=××∇
( ) ( ) ( )BAABABBABA ∇⋅−⋅∇−∇⋅+⋅∇=××∇
0=⋅∇ u
0=⋅∇ ω
Equação da vorticidade em um 
referencial sem rotação
• Assim, a Eq. (12) se torna
• Tal equação modela a taxa de variação da vorticidade
em um muito com ρ constante e forças de corpo
conservativas.
• O termo representa a taxa de variação de ω
devida à difusão de vorticidade do mesmo modo que
o termo representa a aceleração devido à
difusão de quantidade de movimento.
42
( ) ωuωω 2∇+∇⋅= ν
Dt
D
(13)
ω
2∇ν
u2∇ν
Equação da vorticidade em um 
referencial sem rotação
• O termo representa a taxa de variação da
vorticidade devido ao alongamento e à inclinação das
linhas de vórtices.
• Nota-se que os termos de pressão e de gravidade não
aparecem na equação da vorticidade, uma vez que
essas forças atuam no centro de massa de um
elemento e, portanto, não geram torque.
43
( )uω ∇⋅
Velocidade induzida por um filamento de 
vórtice: Lei de Biot-Savart
• Frequentemente é útil a capacidade de calcular a
velocidade induzida por um filamento de vórtices
com uma orientação arbitrária no espaço. Tal
resultado pode ser usado na teoria de aerofólios finos.
• Considerando-se um escoamento com densidade
constante e partindo-se da definição da vorticidade
• Aplicando-se o rotacional dessa equação, obtém-se
44
uω ×∇≡
( ) ( ) uuuω 2∇−⋅∇∇=×∇×∇=×∇
Velocidade induzida por um filamento de 
vórtice: Lei de Biot-Savart
• Assume-se que a conservação da massa possa ser
escrita como e resolve-se a equação vetorial
de Poisson para u em termos de ω. A equação de
Poisson na forma
• Apresenta uma solução expressa como
• em que a integração é feita em todo o espaço .
45
0=⋅∇ u
( )
ε
ρ
φ
r
−=∇2
( ) ( ) Vd
rr
r
r
V
′
′−
= ∫ ′
ρ
επ
φ
4
1
( )rV ′′
Velocidade induzida por um filamento de 
vórtice: Lei de Biot-Savart
• Utilizando-se tal forma para cada componente da
vorticidade, obtém-se para u:
• Tomando-se como um pequeno cilindro ao redor
de uma linha de vórtice C através do ponto
46
Vd
rrV
′
′−
×∇′
= ∫ ′
ω
u
π4
1 (14)
V ′
r′
Velocidade induzida por um filamento de 
vórtice: Lei de Biot-Savart
• Tem-se que a Eq. (14) pode ser reescrita como
• Usa-se, então o teorema da divergência na primeira
integral na forma
• Obtém-se, então
47
[ ] [ ]{ }∫ ′
−
′×′−∇′−′−×∇′=
V
Vdrrrr ωωu
1
4
1
π
(15)
( ) ∫∫ ∂= ×=×∇ VAV ddV FAF
( ){ }∫∫ ′′∂=′ ′−×′−∇′′+′−×′= VVA rrrrVdrrd
2
4
1
ωωAu
π
(16)
Velocidade induzida por um filamento de 
vórtice: Lei de Biot-Savart
• Colapsando-se então e ao redor de um
segmento de linha de vórtices na vizinhança de . Nas
duas faces finais de , de modo que
• Uma vez que , ω é constante ao longo de uma
linha de vórtices de modo que
• e
48
V ′ VA ′∂=′
r′
A′ ωA ||′d
0=×′ ωAd
0=⋅∇ ω
0=×



 ′=×′ ∫∫ ′′ ωAωA ladoslados AA dd
0=′∫ ′ladosA dA
Velocidade induzida por um filamento de 
vórtice: Lei de Biot-Savart
• Pois a geratriz de é uma curva fechada.
• Para a segunda integral , sendo um
elemento no fim da face da superfície e dl o
comprimento de arco ao longo da linha de vórtices.
• Pelo Teorema de Stokes
• sendo Γ a circulação ao redor da linha de vórtices C e
ds o comprimento de um elemento de arco na geratriz
de
49
ladosA′
lA ddVd ⋅′=′ A′d
Γ=⋅=′⋅ ∫∫ ′∂= ACfim dd suAω
A′
Velocidade induzida por um filamento de 
vórtice: Lei de Biot-Savart
• Dessa forma, tem-se então uma vez
que ω é paralela a dl. Como (vetor
unitário), então a Eq. (16) se reduz a
• para qualquer comprimento de linha de vórtices C.
Para um pequeno segmento de linha de vórtices dl:
• que é uma expressão da Lei de Biot-Savart.
50
llAω ddd Γ=⋅′
rrrr ′−−=′−∇′ 1
( )∫ Γ×′−= ′−C rr drr l1u
2
4
1
π
( ) 2
4
rrdd rr ′−×
Γ
= ′−1lu
π
(17)
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• Assumindo-se um fluido quase incompressível (de
acordo com a aproximação de Boussinesq), de modo
que a equação da conservação da massa possa ser
aproximada por . Além disso, será empregada
a seguinte notação para indicar derivadas espaciais:
• Primeiro, deve-se mostrar que o divergente de ω é
nulo. Da definição de ω tem-se:
51
0=⋅∇ u
i
i
x∂
∂
≡
A
A ,
( )
niqinqinqinqii
uu ,,,, εεω ==
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• No último termo, εinq é antissimétrico em i e n,
enquanto uq,ni é simétrico em i e n. Como o produto
contraído de um tensor simétrico com um
antissimétrico é nulo, tem-se
• o que mostra que o campo de vorticidade é
solenoidal, mesmo para escoamentos de fluidos
compressíveis e em regime transiente.
52
0ou0, =⋅∇= ωiiω (18)
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• As equações da conservação da massa e da
quantidade de movimento para um escoamento quase
incompressível e sistema de coordenadas em rotação
• onde Ω é a velocidade angular do sistema de
coordenadas e gi é a gravidade efetiva (incluindo a
aceleração centrífuga).
53
0, =iiu
jjiiikjijkjij
i ugpuuu
t
u
,,,
1
2 ν
ρ
ε ++=Ω++
∂
∂
(19)
(20)
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• A aceleração advectiva pode ser escrita como
• Tendo-se empregado a relação
54
( )
( )
( ) ( )
iji
ijjkijkj
ijjijjijjij
u
uuu
uuuuuuu
,
2
,
,,,,
2
1
2
1
+×−=
+=
+−=
ωu
ωε
(21)
( )
( )
jiijmnjminjnim
mnkmnijkkijk
uuu
u
,,,
,
−=−=
=
δδδδ
εεωε
(22)
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• O termo de difusão viscosa pode ser escrito como
• tendo-se empregado o fato de que uj,ij = 0 pela
equação da continuidade. A Eq. (22) prediz que
• que foi empregada várias vezes anteriormente.
55
( )
jkijkijjjijjijji
uuuu ,,,,, ωεννν −=+−= (23)
ωu ×∇−=∇ νν 2
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• Como , o termo de Coriolis na Eq. (20)
pode ser escrito como
• Substituindo-se as Eqs. (21), (23) e (24) na Eq. (20),
tem-se
• Tendo-se assumido que .
56
ΩuuΩ ×−=×
jkijkkjijk uu Ω−=Ω εε 22 (24)
( ) jkijkikkjijk
i
j
i puu
t
u
,,
,
2 12
2
1
ωεν
ρ
ωε −−=Ω+−





Π++
∂
∂
(25)
Π−∇=g
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• A Eq. (25) é uma forma alternativa da Equação de
Navier-Stokes, e a equação da vorticidade pode ser
obtida aplicando-a o rotacional. Uma vez que
• deve-se operar a expressão na Eq. (25),
obtendo-se
57
qinqin u ,εω =
( )
qnqi ,ε
( ) ( )[ ]
jqkijknqi
q
inqi
qkkjijknqi
iq
jnqiqinqi
p
uuu
t
,
,
,
,
,
2
,
1
2
2
1
ωεεν
ρ
ε
ωεεεε
−





−=
=Ω+−





Π++
∂
∂
(26)
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• O segundo termo do lado esquerdo desaparece ao se
notar que εnqi é antissimétrico em q e i, enquanto a
derivada é simétrica em q e i.
• O terceiro termo do lado esquerdo da Eq. (26) se
torna
58
( )
iqj
u
,
2 2 Π+
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
jnjjjjn
jnnjkkknn
jnnjkkknkkkkn
jnnjkkkn
qkkjqjnkqknjqkkjijknqi
uu
uuu
uuu
uu
uu
,,
,,
,,,,
,,
,,
2
2200
222
22
22
ωω
ωω
ωωω
ωω
ωδδδδωεε
+Ω+−=
Ω++Ω+−+=
Ω++Ω+−Ω+=
Ω++Ω+−=
Ω+−−=Ω+−
(27)
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• tendo-se empregado que ui,i = 0, ωi,i = 0 e o fato de
que as derivadas de Ω são nulas.
• O primeiro termo da direita da Eq. (26) pode ser
escrito como
• que envolve a componente n do vetor
59
[ ]
n
iqnqiiqnqi
q
inqi
p
ppp
∇×∇+=
+=





−
ρ
ρ
ρε
ρ
ε
ρρ
ε
2
,,2,
,
,
1
0
111
(28)
p∇×∇ρ
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• O termo viscoso da Eq. (26) pode ser escrito como
• Empregando-se as Eqs. (27) a (29) na Eq. (26), tem-
se
60
( )
jjnjjnnkk
jqkqjnkqknjjqkijknqi
,,,
,,
ωνωνων
ωδδδδνωεεν
=+=
−−=−
(29)
( ) [ ] jjnnjnjjjjnn puu
t
,2,,
1
2 ωνρ
ρ
ωω
ω
+∇×∇+−Ω+=
∂
∂
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• Mudando-se o índice livre de n para i, tem-se
• Em notação vetorial, obtém-se
• Esta é a equação da vorticidade para um fluido quase
incompressível (pela aproximação de Boussinesq)
paraum referencial em rotação.
61
( ) [ ] jjiijijji pu
Dt
D
,2,
1
2 ωνρ
ρ
ω
ω
+∇×∇+Ω+=
( ) ωuΩωω 2
2
1
2 ∇+∇×∇+∇⋅+= νρ
ρ
p
Dt
D
(30)
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• Tem-se que u e ω são a velocidade (relativa) e a
vorticidade observadas para um referencial em
rotação com velocidade angular Ω. Como a
vorticidade é definida como o dobro da velocidade
angular, 2Ω é a vorticidade planetária e (ω + 2Ω) é a
vorticidade absoluta do fluido, medida a partir de um
referencial inercial.
• O lado esquerdo da Eq. (30) representa a taxa de
variação de vorticidade relativa ao seguir uma
partícula de fluido.
62
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• O último termo, , representa a taxa de variação
de ω devido à difusão molecular da vorticidade,
assim como representa a aceleração devido à
difusão da velocidade.
• O segundo termo do lado direito é a taxa de geração
de vorticidade devido à baroclinicidade do
escoamento. Em um escoamento barotrópico, a
densidade é função apenas da pressão. Dessa forma,
tem-se que .
63
ω
2∇ν
u2∇ν
0=∇×∇ pρ
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• Significado de
– Para examinar o significado desse termo, toma-se um
sistema de coordenadas natural, em que s é avaliado ao
longo de uma linha de vórtices, n é a direção para fora do
centro de curvatura e m é avaliada ao longo da terceira
direção normal.
64
( )uω ∇⋅
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
– Assim:
– tendo-se empregado que e
– A Eq. (31) mostra que é igual à magnitude de ω
multiplicada pela derivada de u na direção de ω.
– A quantidade é um vetor e possui como
componentes: .
– A componente representa o aumento de us ao
longo da linha de vórtices s, que é o alongamento das
linhas de vórtices.
65
( )
smns
mns
∂
∂
=











∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅=∇⋅
u
uiiiωuω ω (31)
0=⋅=⋅ mn iωiω ω=⋅ siω
( )uω ∇⋅
( )s∂∂uω
( ) ( ) ( )sususu mns ∂∂∂∂∂∂ ωωω e,
( )sus ∂∂ω
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
– As componentes , por outro
lado, representam a variação de componentes normais ao
longo de s e, assim, a taxa de desvio e inclinação das linhas
de vórtices ao redor dos eixos m e n, respectivamente.
– Para se observar os efeitos desses termos mais
claramente,será empregada a Eq. (30), suprimindo-se todos
os termos exceto no lado direito, obtendo-se
– cujas componentes são
66
( ) ( )susu mn ∂∂∂∂ ωω e
( )uω ∇⋅
( )
sDt
D
∂
∂
=∇⋅=
u
uω
u
ω
s
u
Dt
D
e
s
u
Dt
D
s
u
Dt
D mmnnss
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= ω
ω
ω
ω
ω
ω
, (32)
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
– A primeira relação da Eq. (32) mostra que a vorticidade ao
longo de s varia devido ao alongamento de linhas de
vórtices, refletindo o princípio da conservação da
quantidade de movimento angular. O alongamento reduz o
momento de inércia de elementos de fluido que constituem
uma linha de vórtices, resultando em um aumento de sua
velocidade angular.
– A segunda e a terceira relações da Eq. (32) mostram como
a vorticidade ao longo de n e m variam devido à inclinação
de linhas de vórtices.
67
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
• Significado de
– Orientando-se o eixo z ao longo da direção de Ω, este
termo se torna . Suprimindo-se
todos os demais termos da Eq. (30), obtém-se
– cujas componentes são
68
( )uΩ ∇⋅2
( ) ( )z∂∂Ω=∇⋅ uuΩ 22
zDt
D
∂
∂
Ω=
uω
2
z
v
Dt
D
z
u
Dt
D
z
w
Dt
D yxz
∂
∂
Ω=
∂
∂
Ω=
∂
∂
Ω= 2e2,2
ωωω
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
– Observa-se que ao alongar as linhas de fluido na direção z,
tem-se o aumento de ωz, enquanto uma inclinação das
linhas verticais mudam a vorticidade relativa ao longo das
direções x e y.
– Nota-se que somente um alongamento ou desvio das linhas
de fluido verticais é necessária para esse mecanismo
ocorrer, em contraste com , para a qual um desvio
ou alongamento das linhas de vórtices é necessário.
69
( )uω ∇⋅
Equação da vorticidade para um 
referencial em rotação
– No caso de um sistema de coordenadas em rotação, o
Teorema de Circulação de Kelvin pode ser escrito como
– sendo:
– Observa-se que Γa é a circulação devida à vorticidade
absoluta (ω + 2Ω) e difere de Γ pela “quantidade” de
vorticidade planetária interceptada por A.
70
0=
Γ
Dt
D a (33)
( ) ∫∫ ⋅+Γ=⋅+≡Γ AAa dd AΩAΩω 22
Interação de vórtices
• Vórtices localizados próximos uns dos outros podem
interagir mutuamente, gerando movimentos
interessantes.
• Para examinar tais interações, cada vórtice será
idealizado por uma linha concentrada. Um vórtice
real, com um núcleo dentro do qual a vorticidade é
distribuída, pode ser idealizada por uma linha de
vórtices concentrada com uma intensidade igual à
vorticidade média no núcleo multiplicada pela área do
núcleo.
71
Interação de vórtices
• O movimento fora do núcleo é considerado
irrotacional e, dessa forma, invíscido. Nesse caso, o
movimento irrotacional de um fluido com densidade
constante pode ser modelado pela equação linear de
Laplace.
• Assim, o princípio da superposição é válido e o
escoamento em cada ponto pode ser obtido pela
adição da contribuição de todos os vórtices do campo
de escoamento.
72
Interação de vórtices
• Para determinar a interação mútua de linhas de
vórtices, deve-se ter em mente o Teorema de
Helmholtz, que prediz que linhas de vórtices se
movem com o escoamento.
• Considerando-se a interação de dois vórtices de
intensidades Γ1 e Γ2, ambas positivas.
73
Interação de vórtices
• A velocidade no ponto 2 devido ao vórtice Γ1 é
direcionado para cima e igual a
• De modo similar, a velocidade no ponto 1 devido ao
vórtice Γ2 é direcionado para baixo e igual a
• O par de vórtices rotaciona no sentido anti-horário ao
redor do centro de gravidade G, que é estacionário.
74
h
V
π2
1
1
Γ
=
h
V
π2
2
2
Γ
=
Interação de vórtices
• Supondo-se, então, que os dois vórtices possuam a
mesma circulação de magnitude Γ mas sentidos de
rotação opostos. Nesse caso, a velocidade de cada
vórtice é de Γ/(2πh) e possui a mesma direção. Assim,
o sistema inteiro translada a uma velocidade de
Γ/(2πh) relativa ao fluido.
75
Interação de vórtices
• O comportamento de cada vórtice individual próximo
a uma parede pode ser encontrado pela superposição
de dois vórtices de intensidades iguais e opostas. A
técnica envolvida é chamada de método das imagens,
que possui ampla aplicação em escoamentos
irrotacionais, condução de calor e eletromagnetismo.
• É claro que o padrão de um escoamento invíscido
devido a um vórtice A a uma distância h da parede
pode ser obtido eliminando-se a parede e
introduzindo-se um vórtice de igual intensidade e
sentido oposto no “ponto imagem B”.
76
Interação de vórtices
• A velocidade em qualquer ponto P na parede,
provocado por VA (devido ao vórtice real) e por VB
(relativo ao vórtice imagem) é paralela à parede.
77
Interação de vórtices
• Dessa forma, a parede corresponde a uma linha de
corrente e a condição de contorno invíscida,
corespondente a uma velocidade nula normal à parede
sólida é satisfeita.
• Considera-se, agora, a interação entre dois vórtices
em formato de aneis toroidais, de circulação igual e
oposta. De acordo com o método das imagens, o
campo de escoamento para um anel próximo à parede
é idêntico ao escoamento de dois aneis de circulação
oposta.
78
Interação de vórtices
• O movimento translacional de cada elemento do anel
é causado pela velocidade induzida por cada elemento
pertencente ao mesmo anel acrescido pela velocidade
de cada elemento do outro vórtice.
79
Interação de vórtices
• Na figura, o movimento em A é a resultante de VB, VC
e VD, tendo componentes paralela e em direção à
parede. Consequentemente, o anel de vórtices
aumenta em diâmetro e move-se em direção à parede
com uma velocidade que diminui monotonicamente.
• Por fim, considera-se a interação de dois aneis de
igual magnitude e mesmo sentido de rotação. Nesse
caso, ambos os aneis de movem em uma mesmadireção.
• O da frente apresenta aumento do raio e reduz sua
velocidade translacional.
80
Interação de vórtices
• O segundo anel, por sua vez, contrai-se e acelera-se.
• Isso ocorre até que o anel menor passa através do anel
maior, quando o papel de ambos os aneis de vórtices
se inverte. Em um fluido ideal, o processo do anel
menor passar através do maior pode ocorrer
indefinidamente.
81
Superfície de vórtices
• Considere um número infinito de filamentos de
vórtices infinitamente longos, posicionados lado a
lado sobre uma superfície AB. Tal superfície é
chamada de superfície de vórtices.
82
Superfície de vórtices
• Se todos os filamentos de vórtices rotacionarem em
sentido horário, a velocidade tangencial acima de AB
possui sentido positivo para a direita, enquanto para a
superfície logo abaixo AB a velocidade tangencial
positiva é para a esquerda.
• Observa-se assim uma descontinuidade da velocidade
tangencial através da superfície de vórtices. Se os
filamentos de vórtices não forem infinitesimalmente
finos, então a superfície de vórtices possui uma
espessura finita e a variação da velocidade se espalha.
83
Superfície de vórtices
• Considerando-se a circulação ao redor de um circuito
de dimensões dn e ds. A componente normal v da
velocidade é contínua através da superfície (v = 0 se a
superfície não se move no sentido normal a ela
mesma), enquanto a componente tangencial u
apresenta um “salto”. Se u1 e u2 são as velocidades
tangenciais nos dois lados da superfície, então
84
( )dsuudnvdsudnvdsud 1212 −=−−+=Γ
Superfície de vórtices
• Então, a circulação por unidade de comprimento,
denominada de intensidade de uma superfície de
vórtices, é igual ao “salto” na velocidade tangencial
85
12 uu
ds
d
−=
Γ
≡γ