3 1 Cinemática 2021

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Fenômenos de Transporte
Introdução aos Fluidos em Movimento
Professor: Dr. Sady Castor Sobrinho
scastor@terra.com.br
Fone: 83.99870 7070
21.99706 5257
mailto:scastor@terra.com.br
Y
X
Z
Cinemática
3
3.1 – Introdução
3.2 – Descrição do Movimento dos Fluidos
3.2.1 – Descrição Lagrangiana e Euleriana do Movimento
3.2.2 – Linhas de Trajetória, Linhas de Emissão e Linhas de Corrente
3.2.3 – Aceleração
3.2.4 – Velocidade Angular e Vorticidade. 
3.3 – Classificação de Escoamentos
3.3.1 – Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais
3.3.1 – Escoamentos Viscosos e Não viscosos
3.3.1 – Escoamentos Laminares e Turbulentos 
3.3.1 – Escoamentos Incompressíveis e Compressíveis
3.4 – A equação de Bernoulli
3.5 – Resumo
3.6 – Problemas
3.7 – Anexo
Introdução
 A cinemática estuda os movimentos dos fluidos sem relacioná-
los as suas causas, ou seja, às forças que os produzem.
 Só é possível estudar as propriedades mecânicas dos fluidos
quando se conhecem, a cada instante, as velocidades e as
massas especificas em todos os seu pontos.
3.1 - Introdução
▪ Este capítulo serve como uma introdução para todos os capítulos que 
lidam com movimentos de fluidos. 
▪ Esses movimentos se manifestam de várias maneiras diferentes. 
▪ Alguns podem ser descritos muito facilmente, enquanto outros 
necessitam de um entendimento completos das leis físicas. 
▪ Por exemplo sob certas condições, a viscosidade pode afetar 
significativamente o escoamento; em outras, os efeitos viscosos podem 
ser desprezados. 
▪ É sabido que a compressibilidade de um gás em movimento deve ser 
levada em conta, se as velocidades são muito elevadas. 
▪ Porém os efeitos da compressibilidade não precisam ser levados em 
conta para se prever forças do vento sobre edifícios ou para prever qualquer 
outra quantidade física que é um efeito direto do vento.
 Isto depende da exatidão requerida.
 As equações gerais do movimento são difíceis de serem resolvidas, sendo
responsabilidade do engenheiro saber quais hipóteses simplificadoras
podem ser feitas.
 Isso requer experiência e, ainda, um entendimento da física envolvida.
Descrição do movimento dos Fluidos
 A analise de problemas complexos de escoamento de fluidos é
frequentemente ajudada pela visualização dos padrões de
escoamento, o que permite um entendimento intuitivo melhor e
ajuda na formulação matemática do problema.
8
Descrições Lagrangiana e Eulerianas de movimento
 Na descrição de um campo de escoamento, é conveniente visualizar o fluido
como um conjunto de partículas individuais, sendo cada uma considerada uma
pequena massa de fluido, consistindo em um grande numero de moléculas que
ocupa um pequeno volume ΔV que se move com o escoamento.
 Se o fluido for incompressível, o volume não muda de tamanho, mas pode se
deformar.
 Se o fluido for compressível, o volume muda de tamanho, e também se
deforma.
 Em ambos os casos, admite-se que cada partícula se mova pelo campo de
escoamento como um elemento distinto individualizado.
Descrições Lagrangiana e Eulerianas de movimento
 No estudo de mecânica de partículas, em que a atenção é focada nas
partículas individuais, o movimento é observado como uma função do
tempo.
 A posição, a velocidade e a aceleração de cada partícula são
apresentadas como r(x0,y0,z0,t) e a(x0,y0,z0,t), e as quantidades de
interesse, podem ser calculadas.
 O ponto P0(x0,y0,z0) localiza o ponto de partida – a identificação de cada
partícula no instante inicial.
 Essa é a descrição lagrangiana de movimento.
 Uma alternativa para acompanhar cada partícula do fluido separadamente é
identificar pontos no espaço e, então, observar a velocidade das partículas passando
em cada ponto;
 podemos observar a taxa de mudança da velocidade das partículas que passam
cada ponto, ou seja, Τ𝜕𝑽 𝜕𝑥 , Τ𝜕𝑽 𝜕𝑦 , Τ𝜕𝑽 𝜕𝑧 , e observar se a velocidade está
mudando com o tempo em cada particular, ou seja, Τ𝜕𝑽 𝜕𝑡.
3.2.1 Descrição Euleriana do Movimento
10
 Nessa descrição Euleriana do movimento, as propriedades do
escoamento, como a velocidade, são funções tanto do espaço como do
tempo.
 Em coordenadas cartesianas retangulares, a velocidade é expressa
como V = V(x, y, z, t).
 A região de escoamento que esta sendo considerada é denominada
campo de escoamento.
Descrições Eulerianas de movimento
❑ Se as quantidades de interesse não dependem do tempo, ou seja, 
V = V(x, y, z), o escoamento é chamado de escoamento permanente. 
❑ Para um escoamento permanente, todas as quantidades do escoamento em um 
ponto são independentes do tempo, ou seja,
para relacionar algumas. 
❑ Fica implícito que x, y, e z são fixos nas equações acima. 
❑ Note que as propriedades da partícula do fluido, em geral, variam com o tempo;
❑ a velocidade e a pressão variam com o tempo, com a progressão da partícula do 
fluido ao longo de sua trajetória em um escoamento, mesmo em um escoamento 
permanente. 
❑ No escoamento permanente, entretanto, as propriedades não variam com o 
tempo em um ponto fixo.
0=


t
V
0=


t
p
0=


t

(3.2.1)
Comportamento dos fluidos
 Sabemos que a massa especifica esta relacionada à
pressão e a temperatura, pela equação característica.
 As velocidades não variam de modo arbitrário, mas
obedecem a determinadas leis de natureza cinemática e
dinâmica.
Características fundamentais do Escoamento
 A observação do movimento dos fluidos mostra que a velocidade
de seus pontos é uma função continua das coordenadas e do
tempo, isto é,
 no mesmo instante, as velocidades de dois pontos infinitamente
próximos, são vetores que diferem apenas de um infinitésimo e,
além disso, decorrido um intervalo elementar de tempo, a
variação da velocidade em cada ponto é infinitesimal.
Movimento de um Elemento Fluido
 Antes de formular os efeitos de forças sobre o movimento dos fluidos
(dinâmica), vamos considerar primeiro, o movimento (cinemática) de
um elemento fluido num campo de escoamento.
 Seja um elemento infinitesimal de identidade fixa de massa dm. À
medida que o elemento infinitesimal, move-se no campo de
escoamento, diversos fenômenos podem lhe acontecer.
 Certamente o elemento translada; ele se desloca linearmente de um
ponto P(x, y, z), para um outro ponto diferente P1(x1, y1, z1).
Movimento de um Elemento Fluido
 O elemento também pode girar e pode deformar-se. A deformação pode
ser linear e angular.
 A linear envolve uma mudança da forma sem mudança na orientação do
elemento: uma deformação na qual os planos do elemento que eram
originalmente perpendiculares entre si permanecem perpendiculares.
 A deformação angular envolve uma distorção do elemento na qual os
planos que eram originalmente perpendiculares não mais permanecem
perpendiculares.
 Em geral, um elemento fluido pode sofrer uma combinação de
translação, rotação e deformação linear e angular no curso do seu
movimento.
 Para se representar a direção e sentido do movimento transiente de um
fluido é necessário traçar, a cada instante, o conjunto das linhas de
corrente, pois variam com o decorrer do tempo.
 Quando a diretriz delimita uma seção infinitesimal, o tubo de corrente
recebe o nome de filamento de corrente, o que permite considerar o
movimento do fluido, a cada instante, como o conjunto de escoamentos
elementares ao longo dos filamentos de corrente.
Tubos e Filamentos de Corrente
Linhas de Emissão ou Raias. 
 Uma Linha de emissão é definida como o lugar geométrico
instantâneo, cujos pontos são ocupados por todas as partículas que se
originaram de um mesmo ponto especifico em um campo de
escoamento.
 As linhas de emissão nos dizem onde aquelas partículas estão neste
exato momento.
 Uma fotografia de uma linha de emissão seria um instantâneo de um
grupo de partículas marcadas ao passar por certo ponto.
19
Fig. 3.1 – Linha de trajetória abaixo de uma onda em um tanque de água. 
(Photograph by Wallet and Ruellan. Courtesyof M.C. Vasseur).
Linha de Emissão
 Linha definida pela sucessão de 
partículas que tenham passado 
pelo mesmo ponto;
 A pluma que se desprende de 
uma chaminé permite 
visualizar de forma grosseira 
uma linha de emissão;
Ponto de
Referência
21
Se uma quantidade de partículas fluidas adjacentes, num campo de
escoamento, forem marcadas num dado instante, formarão uma linha no fluido
naquele instante; essa linha é chamada linha de tempo.
Uma linha de trajeto é o percurso ou trajetória deixada por uma partícula fluida
em movimento.
Se identificarmos com o uso de um corante as partículas fluidas que passam
em dado ponto fixo no espaço, após certo tempo teríamos uma quantidade
identificáveis de partículas no escoamento. A linha unindo estas partículas é
denominada linha de emissão ou Raia.
Linhas de Tempo, Trajetórias, Raias
As linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de
escoamento de forma que, num dado instante, são tangentes à direção
do escoamento em cada ponto do campo.
Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada
ponto do campo, não pode haver escoamento transversalmente a elas.
Linhas de Corrente
Linha de Corrente
 Uma linha de corrente de um escoamento é uma linha que possui a 
seguinte propriedade: o vetor velocidade de cada partícula ocupando um 
ponto da linha de corrente é tangente à linha de corrente.isso é 
demonstrado graficamente na figura 3.2.
 Uma equação que expressa o fato de que o vetor velocidade é tangente 
a linha de corrente é
 V x dr = 0 uma vez que V e dr estão na mesma direção, conforme 
mostrado na figura.
Figura 3.2 Linha de Corrente em um campo de escoamento
 Um tubo de corrente é um tubo cujas as paredes são linhas 
de correntes.
 Uma vez que a velocidade é tangente a uma linha de 
corrente, nenhum fluido pode cruzar as paredes de um 
tubo de corrente.
 Um duto é um tubo de corrente, pois suas paredes são 
linhas de correntes; um canal aberto é um tubo de 
corrente, já que nenhum fluido cruza as paredes do canal.
Tubo de Corrente
 Em um escoamento permanente, as linhas de trajetória, as linhas de
emissão e as linhas de corrente são todas coincidentes.
 Todas as partículas passando em um dado ponto continuarão a traçar a
mesma trajetória se nenhuma mudança ocorrer com o tempo.
 Além disso, o vetor velocidade de uma partícula em dado ponto será
tangente à linha pela qual a partícula esta movendo;
Tubo de Corrente
 Assim, a linha é também uma linha de corrente.
 Nos escoamentos permanentes que observamos em laboratórios,
chamamos as linhas que observamos linhas de corrente, mesmo que
elas possam realmente ser linhas de emissão, ou para casos de
exposição prolongada, linhas de trajetórias.
Tubo de Corrente
30
Aceleração
 A aceleração de uma partícula de fluido é encontrada levando-se em
consideração uma determinada partícula, como mostrado na fig. 3.3.
 Sua velocidade muda de V(t) no tempo t para V(t+dt) no tempo t + dt.
 A aceleração é, por definição,
Em que dV é mostrado na Fig. 3.4.
O vetor velocidade V é dado em termos de suas componentes, como
(3.2.3) 
dt
Vd
a =

3.2.4 .̂ˆˆ kwjviuV ++=
Figura 12.4: Velocidade de uma partícula fluida
Figura 3.3 Velocidade de uma partícula de fluido
32
Aceleração
 A quantidade dV é, usando a regra de cadeia do cálculo, com V(x, y, z, t),
 Isso fornece a aceleração como,
(3.2.5) dt
t
V
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
Vd


+


+


+


=


(3.2.6) 
dt
Vd
t
V
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
a




+


+


+


=
33
Aceleração
 Uma vez que seguimos determinada partícula como na fig. 3.4,
reconhecemos que
(3.2.8) 
t
V
w
z
V
v
y
V
u
x
V
a


+


+


+


=


como então expressa, é aceleraçãoA 
(3.2.7) w
dt
dz
v
dt
dy
u
dt
dx
===
34
(3.2.9) 
 
 
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
u
a
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
a
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
a
z
y
x


+


+


+


=


+


+


+


=


+


+


+


=
As equações escalares dos componentes da equação vetorial anterior 
em coordenadas retangulares são escritas como
35
Derivada Substancial ou Material
 Freqüentemente retomamos à equação 3.2.3 e escrevemos a Eq.3.2.8 
de uma forma simplificada como
 Essa derivada é chamada derivada substancial , ou derivada material
(3.2.11) 
Dt
D
es,retangular scoordenada em qual na
(12.10) 
tz
w
y
v
x
u
Dt
VD
a


+


+


+


=
=

 Foi dado um nome especial e um símbolo especial(D/Dt em vez de
d/dt) porque seguimos determinada partícula de fluido, ou seja,
seguimos a substancia(ou matéria).
 Ela representa a relação entre a derivada lagrangiana – na qual
uma quantidade depende do tempo t – e a derivação Euleriana –
na qual uma quantidade depende da posição (x,y,z) e do tempo t.
Derivada Substancial ou Material
 A derivada substancial pode ser usada com outras variáveis
dependentes; por exemplo DT/Dt representaria a taxa de
mudança da temperatura de uma partícula de fluido
enquanto seguíssemos essa partícula.
Derivada Substancial ou Material
 O termo da derivada parcial no tempo no lado direito das equações 
3.2.8 e 3.2.9 para a aceleração é aceleração local, e os termos 
restantes, no lado direito dessas equações, formam a aceleração 
Convectiva.
 Portanto a aceleração de uma partícula de fluido é a soma da aceleração 
local e convectiva.
 Em um duto, a aceleração local é produzida se, e.g., uma válvula esta 
sendo aberta ou fechada;
 A aceleração convectiva ocorre nos arredores de uma mudança de 
geometria de um duto.
Aceleração Local e Convectiva
Figura 3.4 Movimento relativo para um sistema de referencia não inercial
 Devemos notar que as expressões anteriores para aceleração
fornecem a aceleração relativa a um observador em seu
sistema de referência somente.
 Em certas situações, o sistema de referência do observador
pode acelerar;
 então, a aceleração de uma partícula relativa a um sistema
de referencia fixo pode vir a ser necessária.
(fig.3.5) observador do referência deangular e velocidada é 
mente.respectivaangular e centripeta Coriolis, de
,observador do referência de sistema do saceleraçõe as
significam equação da membro segundo do 5 e 4, 3, 2, termosos 
(3.2.12) ) ( 2
2
2



++++=
onde
r
dt
d
ry
dt
Sd
aA

Ela é dada por
 Para a maioria das aplicações de engenharia, os sistemas de 
referência(S.R.) fixos à Terra fornecem A = a, uma vez que os outros 
termos da eq. 3.2.12 são freqüentemente desprezíveis em relação a 
aceleração local (a).
 Se o S.R. xyz for fixado a um dispositivo em aceleração (um foguete), 
ou a um dispositivo em rotação (um braço de um irrigador), então, 
certos termos da eq. 3.2.12 devem ser incluídos em a da Eq.3.2.8.
Sistema de referencia Inercial e Não-Inercial
 Se a aceleração de todas as partículas fluidas for dada por A = a em
um S.R. selecionado, ele é um sistema de referência Inercial.
 Se A ≠ a em um S.R. selecionado, ele é um sistema de referência
Não-Inercial.
 Um sistema de referência que se mova com velocidade constante e
sem rotação é um sistema de referência inercial.
 Quando se analisa o escoamento em volta de um aerofólio por
exemplo, fixamos o S.R. ao aerofólio, de maneira que um escoamento
permanente seja observado nesse sistema de referência.
 Um escoamento de fluido pode ser visto como um movimento
coletivo de partículas. Enquanto uma partícula viaja, ela pode girar
ou se deformar.
 A rotação e a deformação de partículas de fluido são de particular
interesse na Mecânica dos fluidos.
 Há certos escoamentos, ou regiões de um escoamento, no qual as
partículas de fluido não giram;
 tais escoamentos são referidos como escoamentos irrotacionais.Velocidade Angular e Vorticidade
45
Escoamentos Irrotacionais
 Escoamentos fora de uma camada-limite em aerofólios, fora da
região de escoamento separada em volta de carros e outros
veículos em movimento, no escoamento em torno de objetos
submersos, e muitos outros escoamentos, são exemplos de
escoamentos irrotacionais.
 Consideremos uma partícula de fluido que ocupa um volume 
infinitesimal com face xy, como mostrada na fig.3.5.
 A velocidade angular em torno do eixo x, Ω2, é a media da 
velocidade angular dos segmentos de reta AB e CD.
 As duas velocidades angulares, com sentido anti-horário 
sendo positivo, são
Velocidade Angular
Figura 3.5 Partícula fluida ocupando um paralelepípedo infinitesimal em um dado instante
(3.2.15) 
2
1
)(
2
1
é angular e velocidada logo,
(3.2.14) 
(3.2.13) 
z
z








−


=+=



−=
−
−=


=
−
=
y
u
x
v
fluidodepartículada
y
u
dy
uu
x
v
dx
vv
CDAB
CD
CD
AB
AB
 Se tivéssemos considerado a face xz, teríamos encontrado a 
velocidade angular em torno do eixo y como
angular. ocidade vetor veldo scomponente tresos são Estes
(3.2.17) 
2
1
x
: xeixo do tornoemangular e velocidada forneceria nos yz face a e
(3.2.16) 
2
1
y








−


=








−


=
z
v
y
w
x
w
z
u
50
Vorticidade
 E comum definir a vorticidade ω como duas vezes a velocidade angular; 
então os seus três componentes são
(3.2.18) ;; ;
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
zyx


−


=


−


=


−


= 
Um escoamento irrotacional não possui vorticidade
 A deformação da partícula da fig. 3.5 é a taxa de mudança do
ângulo que o segmento de reta AB faz com o segmento CD.
 Se AB está girando com uma velocidade diferente da velocidade
de CD, a partícula esta se deformando.
 A deformação é representada pelo tensor de taxa de deformação; 
seu componente εxy no plano xy é dado por
( )
. 
.,, que Observe
(3.2.20) 
2
1
 e 
2
1
 temosyz, plano o e xzplano o para
(3.2.19) 
2
1
2
1
yzxzxy
simétricoédeformaçãodetaxadetensorO
z
v
y
w
z
u
x
w
y
u
x
v
zyzxyx
yzxz
CDABxy



===








−


=







−


=








−


=−=
 A partícula de fluido poderia também se deformar 
quando está sendo esticada ou comprimida em 
determinada direção.
 Por exemplo, se o ponto B da fig.3.5 está se movendo 
mais rápido que o ponto A, a partícula estaria se 
esticando na direção x.
 Essa taxa de deformação linear é medida por
(3.2.22) e 
 teriamosz, ey direções nas te,Similarmen
(3.2.21) .....
z
w
y
v
x
u
dx
uu
xxxx
AB
xx


=


=


==
−
=


O campo de velocidades é dado por V=2xî-ytj m/s, em que x e y estão em 
metros e t em segundos. Determine a equação da linha de corrente 
passando através de (2,-1) e um vetor unitário normal à linha de corrente 
em (2,-1), em t=4 s.
Lista Sete – Problema 09 (3.1) 
Lista Sete - Exemplo 10 (3.2)
Um campo de velocidades em determinado escoamento é dado por 
V = 20y2î - 20xyj m/s. Calcule a aceleração, a velocidade angular, o vetor 
vorticidade e quaisquer componentes da taxa de deformação não-nulos 
no ponto (1,-1,2).
Mecânica dos fluidos 
do continuum
ViscosoInvíscido
μ = 0
Laminar
R ≤ 2000
Turbulento
R > 2000
Interno ExternoCompressível Incompressível
Classificação dos Escoamentos
Mecânica dos fluidos 
do continuum
ViscosoInvíscido
μ = 0
Laminar
R ≤ 2000
Turbulento
R > 2000
Interno ExternoCompressível Incompressível
O que é escoamento?
Mudança de forma do fluido sob a ação de um 
esforço tangencial;
 Fluidez: capacidade de escoar, característica dos 
fluidos;
Na descrição Euleriana do movimento o vetor velocidade, em geral, depende de
três variáveis espaciais e o tempo, ou seja,
Este tipo de escoamento é chamado tridimensional porque a velocidade em
qualquer um dos seus pontos depende das três coordenadas espaciais requeridas
para localizar o ponto no espaço.
Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais
( )tzyxVV ,,,=
Um escoamento é classificado em uni, bi ou tridimensional dependendo do número
de coordenadas espaciais requeridas na especificação do seu campo de
velocidade.
Um escoamento particular normal a uma superfície plana é mostrado na Fig. 3.6.
Nele o fluido desacelera e chega ao repouso no ponto de estagnação.
As componentes da velocidade, u, v e w dependem de x, y e z; ou seja:
u = u(x, y, z), v = v(x, y, z) e z = z(x, y, z).
Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais
61
Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais
 Um escoamento bidimensional é denominado plano
quando o vetor velocidade depende apenas das
coordenadas x e y.
Figura 3.6 Um ponto de estagnação em um escoamento.
No ponto de estagnação o fluido desacelera e chega ao repouso.
Figura 3.7 Escoamento unidimensional:
(a) escoamento em um tubo
(b) escoamento entre placas paralelas
Os escoamentos mostrados na figura 3.8 podem ser tratados como escoamentos
desenvolvidos; ou seja, os perfis de velocidade não variam com a coordenada
espacial na direção do escoamento.
Isso exige que a região de interesse esteja a uma distancia adequada da entrada
ou de uma mudança repentina na geometria.
Figura 3.8 Perfil de velocidades uniforme
Há muitos problemas de engenharia nos quais um campo de escoamento
é simplificado para um escoamento uniforme: i.é., a velocidade e outras
propriedades dos fluidos as consideradas constantes em uma seção de
fluxo, como na figura abaixo.
Escoamentos Viscosos e Invíscidos
 Os escoamentos viscosos são de grande importância em escoamentos 
em torno de corpos com linhas de corrente ao seu redor, tais como 
escoamentos em redor de aerofólios ou um hidrofólio.
 Quaisquer efeitos viscosos que possam existir são confinados a uma 
camada fina, chamada camada-limite, que é anexa ao contorno, 
conforme mostrado na Fig. 3.9.
 A velocidade em uma camada limite é sempre zero numa parede fixa, 
como resultado da viscosidade.
65
Figura 3.9 Escoamento em volta de um aerofólio
67
Distribuição típica de velocidades na camada limite
68
Camada Limite
Escoamentos Laminares e Turbulentos
 Um escoamento viscoso pode ser classificado em laminar e turbulento.
 O escoamento laminar é um escoamento sem nenhuma mistura 
significativa de partículas, mas com tensões de cisalhamento viscosas 
significativas.
 O escoamento Turbulento varia irregularmente, de tal modo que as 
quantidades do escoamento mostram variação aleatória.
69
Figura 3.10 A velocidade como uma função do tempo em um escoamento laminar:
(a) escoamento transiente;
(b) escoamento permanente.
Figura 3.11 A velocidade como uma função do tempo em um escoamento turbulento:
(a) escoamento transiente
(b) escoamento permanente.
Escoamentos Laminares e Turbulentos.
 O regime de escoamento depende de três parâmetros físicos
que descrevem as condições de escoamento.
 O primeiro parâmetro é um comprimento de escala do 
campo de escoamento, tal como a espessura de uma 
camada limite ou o diâmetro de uma tubulação;
 O segundo é uma velocidade de escala, tal como a 
velocidade média;
 O terceiro é a velocidade cinemática.
72
73
Numero de Reynolds
Em 1880, Osborne Reynolds, engenheiro britânico, estudou a transição entre os
regimes laminar e turbulento num tubo.
Ele descobriu três parâmetros que podem ser combinados em um único
parâmetro, que pode servir de ferramenta para prever o regime de escoamento.
Ele relaciona as forças inerciais e viscosas, e posteriormente foi denominado
número de Reynolds em sua homenagem.
Mostrava a existência de dois tipos bem definidos de escoamento, os quais
denominou posteriormente de Laminar e Turbulento.



VD
ou 
VL
===
VD
Re 3.3.1
Numerode Reynolds Crítico
❑O Reynolds acima do qual o escoamento laminar deixa de existir, é denominado de
número de Reynolds crítico.
❑Ele é diferente para cada geometria.
❑ Para escoamentos dentro de tubulações de paredes ásperas, encontramos Recrit =
2000. Esse é o Reynolds crítico mínimo e é usado na maioria das aplicações de
engenharia.
❑ Em escoamentos sobre placa plana, na maioria de aplicações assumimos um
número de Recrít = 3 x 10
5 .
76
Figura 3. – Linhas de corrente em vota de um arco semicircular. Neste, com Re = 0.031, os 
centros de pares de redemoinhos na cavidade são separados por um diâmetro de 0.52 , com boa 
concordância com a solução da equações diferenciais. Pó de alumínio disperso em glicerina é 
iluminado por uma fenda de luz. (Cortesia da The Parabolic Press, Stanford, Califórnia. 
 Os escoamentos completamente envoltos por superfícies sólidas são chamados
internos, ou em, dutos.
 Aqueles em torno de corpos imersos num fluido não-contido são denominados
externos.
 Os escoamentos sobre uma placa plana ou em torno de um cilindro são
exemplos de escoamentos externos.
 Tanto o escoamento externo quanto o interno podem ser laminar ou
turbulento, compressíveis ou incompressíveis.
 Existem escoamentos internos de líquidos nos quais o duto não fica
completamente preenchido, onde há uma superfície livre submetida a pressão
constante, esse tipo de escoamento é denominado escoamento em canal
aberto.
Escoamento Interno e Externo
Figura 3.14:Escoamento de camada-limite sobre uma placa plana
Movimento Uniforme e Variado
 O movimento de um fluido é denominado uniforme, do ponto de vista
cinemático, quando o campo de vetores velocidade, no instante
considerado, é constante ao longo do escoamento.
 Assim, no M.U. as trajetórias são retas paralelas e, ao longo de cada
trajetória, no mesmo instante, todas as partículas tem igual velocidade.
Movimento Uniforme e Variado
 É necessário ter presente que a definição de movimento uniforme
obriga a constância da velocidade ao longo do escoamento, e não
transversalmente, isto é, as velocidades em trajetórias distintas,
no mesmo instante, podem diferir.
 Movimento variado é por definição todo movimento não uniforme,
seja permanente ou transiente.
81
Figura E3.3
Lista Sete Problema 11. Exemplo. 3.3 – O duto de 2 cm de diâmetro da 
figura é usado para transportar água a 20 ºC. Qual é a velocidade média 
máxima que pode existir no duto para que o escoamento laminar seja 
garantido?
Fluxo e Descarga
Seja uma superfície ideal S através da qual se produz um
escoamento e tomemos sobre ele um ponto P envolvido pela área
dA.
Decorrido o tempo dt a partícula que no instante t estava em dA
desloca-se na direção e sentido da velocidade de um comprimento
ds = v dt, e a matéria que atravessou a área infinitesimal ocupa
um cilindro de base dA e altura dh.
S
dh
ds
dA
Vn
A
P
V
ds = V dt
dh = ds cos α
N
Seja uma superfície ideal S através da qual se processa um escoamento e
tomemos sobre ela um ponto P envolvido pela área dA. Como ilustra a
figura.
Superfície através da qual se processa um escoamento
FLUXOS E DESCARGAS 
 A altura dh = ds cosα, sendo α o ângulo formado pelo vetor
velocidade com a normal N à superfície em P.
 Substituindo o valor de ds,
 dh = V dt cosα = V cosα dt.
 A projeção da velocidade sobre a normal N é Vn.
 Vn = V cosα, logo dh = Vn dt.
 O volume de matéria que atravessou dA é medido pelo volume do
cilindro elementar, isto é, o infinitésimo de terceira ordem
 d3V = dh dA ou
 d3V = Vn dA dt. (1)
 O volume de fluido que atravessa uma seção num intervalo de tempo
considerado denomina-se fluxo em volume, ou simplesmente fluxo.
 A equação (1) exprime o fluxo elementar através da área dA, no
intervalo de tempo dt.
Fluxo
 O fluxo através de uma área finita A, sobre a seção S, no intervalo de tempo dt 
é obtido integrando-se a expressão anterior ao longo de A, ou seja,

 A integral ao longo da área é dupla ela abaixa de duas ordens o infinitésimo; 
atendendo a que dt é o mesmo para todos os elementos de área dA podemos 
escrever, 
expressão do fluxo ao longo da área A no intervalo de tempo dt. 
(2) dtdAVd
A
n=V
(3) = A n dAVdtdV
Fluxo
 Entre os instantes t1 e t2, o fluxo é obtido 
integrando-se a expressão anterior 
 O fluxo é usualmente expresso em m3 ou litros.
(4) 
2
1
= A n
t
t
dAVdtV
Descarga ou Vazão
 Por definição, descarga volume, ou simplesmente descarga, ou débito,
ou vazão através de uma seção, é o volume de fluido (fluxo) que a
atravessa na unidade de tempo, isto é:
 A descarga através da área infinitesimal dA é a descarga elementar
dQ = Vn dA (6)
 A descarga é expressa em m3/s ou l/s.
A
dt
d
Q 4

=
(5) 
A
dAVQ n=
Fluxo de Matéria
❑ Denomina-se fluxo de matéria, ou fluxo de massa, a massa que
atravessa seção transversal no intervalo de tempo considerado.
❑ Sendo ρ a massa específica em torno do ponto P, no instante t, o
fluxo elementar de massa é: d3M = ρ d3 V = ρ Vn dA dt
e através da área A, no intervalo de tempo dt é
 .dAVdtdM
A
n= 
Descarga Massa
Descarga massa (ou débito, ou vazão em massa) e a massa que
atravessa seção na unidade de tempo, isto é:
Aplicando a equação anterior,
 
dt
dM
 =mQ
)8(= A nm dAVQ 
❑ No caso mais geral do escoamento, ρ varia ao longo da área A, a
integração só é possível quando se conhece sua lei de variação.
❑ Se, entretanto, ρ for constante ao longo da área, ocorrência verificada
nos escoamentos isotérmicos de líquidos e, com freqüência, nos
escoamento de gases, podemos escrever.
Atendendo a equação cinco, neste caso teremos:
= A nm dAVQ 
(9) QQm =
Fluxo em Peso
 Por definição, fluxo em peso é o peso de fluido que atravessa a
seção no intervalo de tempo considerado.
 Sendo γ o peso específico em torno do ponto P, o fluxo elementar
em peso é:
d3G = γ d3V = γ Vn dA dt
e através da área A
dG = dt ∫A γ vn dA.
Descarga Peso
 Descarga peso é o peso de fluido que atravessa a seção na unidade
de tempo, logo
❑ No caso do γ constante ao longo da área, temos
Qg = γ ∫A Vn dA
e tendo em vista a equação cinco
dAV
dt
dG
Q
A
ng == 
Q g= γ Q 10
Representação Geométrica da Descarga
 Consideremos a seção plana de área A, transversal ao
escoamento.
 A descarga Q através da sessão no instante t é dada pela
equação:
Q = ∫A vn dA (5)
 O produto Vn dA mede o volume de um cilindro reto
elementar de base dA e altura Vn;
Representação Geométrica da Descarga
portanto, a sua integral ao longo da área A exprime o volume
da parte do cilindro reto, compreendido entre a seção
transversal e a superfície S que contém as extremidades dos
vetores Vn.
 Este volume é representação geométrica da descarga Q.
 A relação entre descarga no instante dado e a área da seção transversal é,
por definição, a velocidade média do escoamento .
 A velocidade média é a velocidade ideal, normal à seção e de módulo
constante, que deveria ocorrer em todos os pontos da seção transversal
no instante, para manter a mesma descarga. Se em todos os pontos da
seção a velocidade fosse normal e de módulo V, teríamos:
 Vn= Vm = Cte,
Velocidade Média
AVdAVdAVdAVQ
AAA
n ==== 
Exercício 12
 No escoamento de um óleo de densidade 0.80 através de um
encanamento de 0,40m de diâmetro, a velocidade é normal à seção e,
em cada ponto, é expressa em m/s pela equação v = 2,4 – 60r2, sendo
r a distância ao centro em metros. Pede-se determinar:
A descarga, a descarga peso e a velocidade média.
Distribuição da Velocidade ao Longo da Seção Transversal
 Corrente fluida é todo escoamento no qual as velocidades
ao longo da seção transversal plana tem a direção da
normal à seção.
 Em qualquer ponto da seção vn = v, e por conseguinte
Q = ∫A v dA
Estudo Cinemático do Escoamento
 Ao longo do escoamento, as grandezas referidas as seções
transversais não variamde modo arbitrário, mas estão
relacionadas por uma lei física denominada equação de
continuidade, baseada no princípio de conservação da massa,
segundo o qual nenhuma matéria pode ser criada ou destruída.
Equação da Continuidade
Consideremos um tubo de corrente, cuja
seção transversal A, no instante t, tem
abscissa l no tratamento analítico
monodimensional.
Vamos estudar a variação da massa
contida no cilindro elementar de base A e
altura δl, delimitado na figura.
Devido ao movimento, penetra no cilindro, através da seção A, a descarga massa Qm
e no mesmo instante, sai na seção posterior a descarga massa Qm + δQm .
 Logo, a variação da massa contida no cilindro elementar, na unidade de
tempo, em conseqüência do movimento, é a diferença entre a descarga
massa que entra e a que sai do cilindro no mesmo instante
Qm – (Qm + δQm) = - δQm. (a)
 No tratamento analítico monodimensional, as grandezas referidas a cada
seção são funções da abscissa e do tempo; assim, Qm = Qm (l,t).
 Como procuramos a variação da descarga massa no mesmo instante,
através das seções de abscissas l e l + δl, o acréscimo infinitesimal da
descarga é δQm = (∂Q ∕ ∂l) . δl. (b)
• Além do movimento, o deslocamento de matéria através da superfície de 
contorno do escoamento, devido à existência de poços ou fontes, 
também determina variação da massa contida no cilindro elementar em 
estudo. 
• A descarga por unidade de comprimento q, dos poços ou fontes, ao longo 
do contorno de extensão δl, exprime o volume de matéria subtraído ou 
adicionado na unidade de tempo e por unidade de comprimento. 
• Logo, a massa correspondente é ρ q.
❑ Este valor é a descarga massa de poços ou fontes por unidade 
de comprimento.
❑ Considerando a extensão δl do cilindro elementar, a massa 
em questão na unidade de tempo é ρ q δl. (c)
❑ Em resumo, a variação total da massa contida no cilindro em estudo, na
unidade de tempo, é a soma da parcela devido ao movimento, obtida
pela equação (a), com a parcela referente a poços ou fontes, expressa
pela equação (c), isto é, - δQm + ρ q δl.
❑ Tendo em vista a equação (b) ,(acréscimo da descarga)
(d)
O volume do cilindro elementar delimitado é A δl e a sua massa ρ A δl.
lq
l
Qm +


A variação da massa contida no cilindro na unidade de tempo pode
ser obtida derivando-se a expressão de sua massa em relação ao
tempo, ou seja,
As equações (d) e (e) representam igualmente a variação da massa
contida no cilindro elementar na unidade de tempo, logo
( ) ( )el
t
A
lA
t





=


–
.l
t
A
lql
l
Qm





=+


−
Equação da Continuidade
 Simplificando, obtemos a equação da continuidade ao longo do tubo
de corrente no tratamento unidimensional, para mesma seção
transversal,
(12) q
t
A
l
Qm


=


+


(12B) 
(12A) 
q
t
A
l
VA
q
t
A
l
Q




=


+


=


+


Movimento Permanente
Como temos uma só variável livre, a derivada parcial é a própria 
derivada total, logo
dQm = ρ q dl
integrando entre as seções transversais A0 e A, vem
e finalmente 
(13)
 =
l
l
Qm
Qm
m dlqdQ
00

=−
l
l
mm dlqQQ
0
0 
Movimento Conservativo
 Não há descarga de poços e fontes, logo 
 q = 0 e a e a equação (12) se reduz a:
(14) 0=


+


t
A
l
Qm 
Movimento de Fluido Incompressível
No caso do fluido incompressível, ρ não varia ao longo do movimento, 
nem com o decorrer do tempo, e a equação (12) pode ser escrita
Simplificando,
q
t
A
l
Q
 =


+


(15) q
t
A
l
Q
=


+


No caso da permanência vimos que 
E no escoamento conservativo q = 0.
Ocorrendo as duas condições
Qm – Qm0 = 0 ou Qm = cte
 Isto é, a descarga massa é a mesma em todas as seções transversais, 
em qualquer instante.
 No escoamento unidimensional, sabemos que.
(16B) .. ou 
(16A) ..
cteVActeQ
VAQQm
==
==


=−
l
l
mm dlqQQ
0
0 
Movimento Permanente e Conservativo
Movimento Permanente de Fluido Incompressível
Neste caso, devido à permanência
Sendo incompressível, ρ é constante, pode sair da integral, e 
Qm = ρ Q
Qm0 = ρ Q0
Portanto, 
E finalmente
=−
l
l
mm dlqQQ
0
0 
=−
l
l
dlqQQ
0
0 
(17) 
0
0 =−
l
l
dlqQQ
Movimento Conservativo de Fluido Incompressível
No caso do fluido incompressível, obtivemos
 Sendo conservativo q = 0 e ,
)18(0=


+


t
A
l
Q
(15) q
t
A
l
Q
=


+


Movimento Permanente e Conservativo de Fluido Incompressível
Sendo permanente e incompressível,
e conservativo q = 0, restando Q - Q0 = 0
ou Q = Cte ou ainda
isto é, a descarga em volume é a mesma em todas as seções 
transversais de qualquer instante.
(17) 
0
0 =−
l
l
dlqQQ
(19) . cteVAQ ==
Lista Sete
 Problema 13. Um encanamento com 0,40 m de diâmetro conduz liquido perfeito
em movimento permanente e conservativo com velocidade média de 1,5 m/s.
Pergunta-se a descarga e a velocidade média quando a tubulação sofre um
alargamento para 0,50 m de diâmetro.
Lista Sete
 Problema 14. Um gás em escoamento permanente e conservativo, percorre um
encanamento de 0,20 m de diâmetro, ao longo do qual a temperatura é constante.
Na seção inicial, onde a pressão absoluta e de 8,0 atm., a velocidade média é de
4,20 m/s. Pergunta-se a descarga e a velocidade média numa seção a jusante, cuja
pressão absoluta é de 5,0 atm.
Lista Sete
 Problema 15. No projeto para distribuição d’água em uma
avenida com 3200 m de extensão foi estimada a descarga de
consumo por metro linear, de valor médio 4,0 l /s.km. Sabendo-se
que a descarga na seção inicial da adutora é de 0,225 m3/ s,
pergunta-se a descarga final.
Figura E3.4
16. (3.4) O vento alcança uma velocidade de 65 mph em uma tempestade. Calcule a força 
agindo em uma janela de 3 x 6 ft da figura de frente para a tempestade. A janela está em um 
arranha-céu, de modo que a velocidade do vento não seja reduzida por causa dos efeitos do solo. 
Use ρ = 0,0024 slug/ ft3.
Figura E3.5
17.(3.5) A pressão estática inicial em um duto de ar é medida com um
piezômetro como 16 mm de água. Uma sonda Pitot no mesmo local indica 24
mm de agua. Calcule a velocidade de ar a 20 °C. Calcule também o numero
de MACH e comente sobre a compressibilidade do escoamento.
Lista sete Exercicio 18 (Ex. 3.6)
A equação de Bernoulli na forma da equação 3.4.8, se parece muito com a 
equação da energia desenvolvida na termodinâmica para um volume de 
controle. Discuta as diferenças entre as duas equações.
121
Lista Sete Exercício 19 (Ex. 3.7)
19.(3.7) Explique por que uma rebarba no lado da corrente a montante na 
abertura do tubo piezometrico da figura resultará em uma leitura de baixa 
pressão.
122
BIBLIOGRAFIA
• Introdução à Mecânica dos Fluidos; Fox , Pritchard e McDonald - nona Edição
• Problemas de Mecânica dos Fluidos, Francisco de Assis A. Bastos.
• Ciências Térmicas - Termodinâmica, Mecânica dos Fluidos e Transmissão de
Calor. Merle C. Potter e Elaine P. Scott ; Editora Thomson
• Mecânica dos Fluidos – Merle C. Potter e David C. Wiggert tradução da quarta
edição Americana. Editora Cengage Learning
• Notas de aula do prof. Sady Castor Sobrinho