Integral Indefinida e Método da Substituição - Cálculo I

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1 Cálculo diferencial e integral I – Prof.ª Paula C. M. Clemente 
Aula 9 
 
O conteúdo desta nota de aula abrange: Introdução a integral indefinida e 
método da substituição. 
 
1 – Integral indefinida 
 Integrar uma função é, basicamente, fazer o processo inverso da derivação 
(antidiferenciação). Para isso, seja uma 𝑦 = 𝑓(𝑥). A função 𝐹(𝑥) que satisfaz a relação: 
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), 
é chamada de primitiva de 𝑓(𝑥). 
Exemplo 1.1: Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥, diga qual a sua primitiva. 
𝐹(𝑥) pode ser representada por: 
𝐹(𝑥) = 𝑥2, ou 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 2, ou 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 3 ou 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 1000... 
Então, de maneira geral temos que: 
𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 𝑐 , onde c é uma constante arbitrária. 
Tirando a prova real: 
𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
(𝑥2 + 𝑐)′ = 𝑓(𝑥) 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 
 
Definição: Chama-se integral indefinida de uma função 𝑓(𝑥) e indica-se por, 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
a toda a expressão da forma 𝐹(𝑥) + 𝑐, onde 𝐹(𝑥) é uma primitiva de 𝑓(𝑥). 
 
Com isso temos que: 
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∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐 ⇒ 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
onde, 𝑑𝑥 é chamada de diferencial e indica a integração com respeito a variável 𝑥. 
Exemplo 1.2: 
𝑎) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = − cos(𝑥) + 𝑐 
Tirando a prova real: 
𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
(− cos(𝑥) + 𝑐)′ = 𝑓(𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
𝑏) ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐 
Tirando a prova real: 
𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
(𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐)′ = 𝑓(𝑥) 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
 
𝑐) ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐 
onde 𝑛 é um número real. Tirando a prova real: 
𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
(
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐)
′
= 𝑓(𝑥) ∴ 
(𝑛 + 1)𝑥𝑛
(𝑛 + 1)
= 𝑓(𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 
 
1.1- Propriedades da integral indefinida 
 
 
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(I) A integral de uma soma algébrica de funções é igual à soma algébrica das 
integrais dessas funções. 
 
∫[𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝑓𝑛(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓1(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓2(𝑥) 𝑑𝑥 + ⋯ + ∫ 𝑓𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
 
(II) A integral de uma constante multiplicada por uma 𝑓(𝑥) é igual a constante vezes a 
integral da 𝑓(𝑥). 
∫ 𝑎. 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
(III) Operações inversas: 
 
(∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥)
′
=
𝑑
𝑑𝑥
(∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
(IV) Se 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥), então: 
𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 
 
Exemplos 1.3: 
𝑎) ∫[𝑥99 − 𝑥1/3 + 5] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥99 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥1/3 𝑑𝑥 + ∫ 5 𝑑𝑥 
∫[𝑥99 − 𝑥30 + 5] 𝑑𝑥 =
𝑥99+1
99 + 1
−
𝑥1/3+1
1/3 + 1
+
5𝑥0+1
0 + 1
+ 𝑐 
∫[𝑥99 − 𝑥30 + 5] 𝑑𝑥 =
𝑥100
100
−
3 𝑥4/3
4
+ 5𝑥 + 𝑐 
 
𝑏) ∫ 3 sec2(𝑥) 𝑑𝑥 = 3 ∫ sec2(𝑥) 𝑑𝑥 = 3 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐 
 
 
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2 – Métodos de integração 
 
 Quando temos uma integral onde, imediatamente reconhecemos a primitiva, 
chamamos esta integral de imediata. Porém, nem sempre isto ocorre e então, iremos 
precisar utilizar métodos de integração. 
 
2.1 – Integração por substituição simples 
 Este método consiste em fazer uma substituição simples de variáveis, 
simplificando a integral. 
 
Exemplo 2.1.1: 
𝑎) ∫ 𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
𝑑𝑥 
Fazendo: 
𝑢 = cos(𝑥) → 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∴ 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
Reescrevendo a integral em termos da nova variável 𝑢: 
∫
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑢
𝑑𝑢
−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= − ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 = −𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐 
Voltando a variável 𝑥: 
∫ 𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠(𝑥)| + 𝑐 
 
𝑏) ∫ 3𝑥2𝑒𝑥
3
𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥2𝑒𝑥
3
𝑑𝑥 
Fazendo: 
𝑢 = 𝑥3 → 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3𝑥2 ∴ 𝑑𝑢 = 3𝑥2𝑑𝑥 
Reescrevendo a integral em termos da nova variável 𝑢: 
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∫ 3𝑥2𝑒𝑥
3
𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥2𝑒𝑢
𝑑𝑢
3𝑥2
=
3
3
∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝑐 
Voltando a variável 𝑥: 
∫ 3𝑥2𝑒𝑥
3
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
3
+ 𝑐 
 
𝑐) ∫
𝑥
√𝑥 + 1
𝑑𝑥 
Fazendo: 
𝑢 = √𝑥 + 1 
𝑢2 = 𝑥 + 1 → 𝑥 = 𝑢2 − 1 
Derivando... 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢2) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 + 1) 
2𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1 ∴ 𝑑𝑥 = 2𝑢 𝑑𝑢 
Reescrevendo a integral em termos da nova variável 𝑢: 
∫
𝑥
√𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ∫
𝑢2 − 1
𝑢
 2𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫[𝑢2 − 1] 𝑑𝑢 
 ∫
𝑥
√𝑥 + 1
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − 2 ∫ 𝑑𝑢 =
2𝑢3
3
− 2𝑢 + 𝑐 
Voltando a variável 𝑥: 
∫
𝑥
√𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
2(𝑥 + 1)3/2
3
− 2√𝑥 + 1 + 𝑐 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia: 
 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 3a ed. São Paulo - Harbra, 
C1994. v1. 
 
STEWART, James. Cálculo. 5a., 6a. ou 7a. ed. São Paulo - Pioneira /Thomson Learning 
v1. 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Livros Técnicos e Científ. Ed., 1997. v1. 
 
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