CONCEITOS BÁSICOS(1)

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CONCEITOS BÁSICOS 
Prof. Wilson Francisco Julio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mogi das Cruzes 
2018 
 2
REGRA DE SINAIS 
MULTIPLICAÇÃO DIVIS ÃO 
+=+⋅+ +=+÷+ 
−=−⋅+ −=−÷+ 
−=+⋅− −=−÷+ 
+=−⋅− +=−÷− 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Se os valores têm o mesmo sinal, adicionar e conservar o sinal. 
EXEMPLOS 
 a) 16115 +=++ b) 1073 −=−− 
 
Se os valores têm sinais contrários, efetue a diferença entre eles e conserve o 
sinal do maior. 
EXEMPLOS 
a) 8157 +=+− b) 5138 −=−+ 
 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Uma expressão numérica é uma seqüência de números associados por 
operações. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem: 
1) Potenciações e radiciações, se houver. 
2) Multiplicações e divisões, se houver. 
3) Adições e subtrações 
 
EXEMPLO: 
43144140418525100525510 03122 =−=−+=−⋅+÷=−⋅+÷ 
Em expressões numéricas com sinais de associação (parênteses, colchetes e 
chaves) efetuam-se, primeiro as operações dentro dos parênteses, depois as que estão 
dentro dos colchetes e, por último, as interiores as chaves, respeitando-se ainda, a 
prioridade das operações. 
EXEMPLO 
104683634236}925{236
}]918[25{236}]3318[25{236}]3)25(18[25{236
=+=⋅+=++=
=−++=⋅−++=−−++
 
 3
OUTRO EXEMPLO: 
35155]123[5]1231[5]3363)2425([
5]363)4625([5]3)713(3)265([ 2222
=÷=÷+=÷+⋅=÷÷+⋅−=
=÷÷+⋅⋅−=÷÷−+⋅⋅−
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Calcule o valor numérico das expressões: 
a) 11 + 32 + 4.9 – =÷ 315 b) =÷+⋅− 1326415109 
c) =⋅−÷+ 125252525 d) =−÷+ )184(22 24 
e) =+÷⋅÷ )215515(8 02 f) =−⋅÷⋅÷ )29(2]3)216([ 32 
g) =+
5
2
15
8
1 h) =




÷+⋅





32
3
2
5
2
5
4
4
1
 
 
POTENCIAÇÃO 
Dado um número real a e um número natural n diferente de zero, a potência na 
é definida como: )(...... vezesnaaaaa n ⋅⋅⋅= , ou seja, o produto de n fatores iguais ao 
número a . 
Para 1=n , considera-se por definição que aa =1 , uma vez que não há produto 
com um único fator. 
 
EXEMPLO: 
16
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)8133333)
4
4 =⋅⋅⋅=




=⋅⋅⋅= ba 
 
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL 
De modo geral, para quaisquer 
*, Nnm ∈ , tem-se: aaa
nmnm +=. 
Multiplicação de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os 
expoentes. 
 
EXEMPLO: 
10532532 22222 ==⋅⋅ ++ 
 4
POTÊNCIA DE POTÊNCIA 
( ) nmnm aa = Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes 
 
EXEMPLO: 
632 3)3( = 
Por convenção, todo número elevado à zero é igual a um (1). 10 =a . 
Observação : Esta regra não é válida se o número for o próprio zero . 
 
POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO n
n
a
a
1=− 
Vamos estender a noção de potência 
na , para Zn ∈ e Ra ∈ , com 0≠a , 
mantendo válida a propriedade fundamental 
nmnm aaa +=⋅ . 
1, 00 ===⋅ +−− amasaaaa nnnn , portanto: n
n
a
a
1=− com 0≠a 
Por exemplo, 
16
1
4
1
4
2
2 ==− 
 
QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
Observe que: 
aaa
a
aaa
nmnm
n
m
nm −− =⋅==÷ , com 0≠a e Za ∈ 
Logo: aaa
nmnm −=÷ ou 0, ≠=
−
aa
a
a nm
n
m
 
Divisão de potências de mesma base: conservam-se as bases e subtraem-se os 
expoentes. 
EXEMPLO: 
822
2
2 325
2
5
=== − 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Na adição e subtração não tem nenhuma propriedade especial. 
 
 5
EXEMPLOS 
1899)33()33(33 22 =+=+=+ xx 
163216)22222()2222(22 54 −=−=−=− xxxxxxx 
 
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL 
Quando uma potência tem expoente fracionário, podemos escrevê-la na forma de 
um radical. 
nn aa =
1
, com “a” real positivo e Ν∗∈n , e daí podemos estender esta 
definição para o caso geral. 
n mn
m
aa = , com a real e positivo e Ν∗∈n . 
 
POTÊNCIA DE UM PRODUTO OU UM QUOCIENTE 
nnn baba ⋅=⋅ )( Potência de um produto 
n
nn
n
b
a
b
a
ba =




=÷ )( Potência de um quociente 
 
EXEMPLOS 
222 32)32()1 xx = 
444 312)312()2 ÷=÷ 
 
POTÊNCIA DE BASE 10 
Para que você guarde as regras quando aparecer potência de base 10, siga a 
tabela abaixo: 
Número de zeros que acompanha 1 (um) 
1100 = (nenhum zero) 
10101 = (um zero) 
100102 = (dois zeros) 
 ; 
100000105 = (cinco zeros) 
Quando o número for decimal: contar as casas após a vírgula e colocar expoente 
negativo 
 6
EXEMPLOS 
1101,0 −= (uma casa após a vírgula) 
21010,0 −= (duas casas após a vírgula) 
310001,0 −= (três casas após a vírgula), e assim por diante. 
Se o número que acompanhar os zeros ou o que vier a pós a vírgula não for 
igual a um (1), você deverá seguir a seguinte regra : 
 
EXEMPLOS 
2107700 ⋅= (7 multiplicado por 10 elevado a 2, pois o número tem dois zeros). 
41030003,0 −⋅= (3 multiplicado por 10 elevado a – 4, pois temos 4 casas após 
a vírgula). 
Na prática, escrevemos o valor de uma grandeza como um número compreendido 
entre 1 e 10, multiplicado pela potência de 10 conveniente. 
Quando representamos o número desta forma, dizemos que está em notação 
científica. 
 
1º caso: um número muito maior que 1: 
 136 000 = 1,36. 105 
 5 casas 
 
EXEMPLOS 
1) 2 000 000 = 2. 106 2) 33 000 000 000 = 3,3. 1010 
3) 547 800 000= 5, 478. 108 
 
O expoente da base dez indica o número de vezes que devemos deslocar a 
vírgula para a esquerda. 
 
2º caso: um número muito menor que 1. 
0, 000000412 = 4,12. 10 7− (7 casas) 
 
EXEMPLOS: 
1) 0, 0034 = 3,4. 10 3− 2) 0, 0000008 = 8. 10 7− 
3) 0, 0000000000517 = 5,17. 10 11− 
 7
O expoente negativo da base dez indica o número de vezes que devemos 
deslocar a vírgula para a direita. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Calcule o valor das potências com expoente inteiro 
=43)a =− 3)2()b =− 2)3()c =− − 4)2()d =




−
− 1
2
3
)e 
 
2) Reduza a uma única potência 
=24 77) xa =273 222) xxb =÷ 29 55)c =4
10
3
3
)d 
=⋅− 4
37
2
22
)e ( ) =⋅ − 24 33)f =⋅7
9
8
4256
)g 
 
3) Calcule 
=610)a =510)b =− 410)c =− 46 1010) xd 
 
4) Escreva como potência de base 10 
=10000)a =
100
100000
)b =00001,0)c 
 
OBSERVAÇÕES 
1) Expoente par = resultado positivo, se a base estiver dentro de parênteses. 
2) Expoente ímpar = repete-se o sinal da base. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Sabendo que ,1)1(,)1( 505050 −=−−=−= ceba calcule o valor número da 
expressão: cacbba −+ 
 
2) Dados os números, responda: 
,1,)1(,)1(,)1( 100201199200 −=+=−=−= dcba 
a) Quais desses números são inteiros positivos? 
b) Quais desses números são inteiros negativos? 
c) O produto ab é um número inteiro positivo ou negativo? 
d) O quociente db ÷ é um número inteiro positivo ou negativo? 
 8
3) Determine o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas: 
a) =⋅−−− 40)3()11( 2 b) =−÷−⋅− 223 )6()2()3( 
c) =−−−− 022 10)7()8( d) =÷−− 5)10(12 22 
e) =⋅−+−− 4)2()5( 53 f) =−÷⋅− 3237 )4(]2)1([ 
 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
As expressões matemáticas com números e letras que representam valores 
desconhecidos são chamadas de expressões algébricas ou literais. 
Termos semelhantes 
Em uma expressão algébrica, os termos semelhantes são aqueles que são 
formados por variáveis iguais e de mesmo expoente. 
 
EXEMPLOS 
São termos semelhantes 
3x2 e 5x2 4abe 8ab 12y3z2 e - 5y3z2 
 
OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS: 
EXEMPLOS 
1) Adicione as expressões algébricas abaixo 
a) =+ xx 35 b) =+++ tyxtyx 5332 22 c) =+− nmnm 718 
 
2) Determine o produto das expressões algébricas 
a) =⋅ )2()3( xx b) =)9()( abab c) =−+ )32()3( yxyx 
 
3) Calcule os quocientes 
a) =
x
x 25
 b) =
−
ca
ca
3
3
8
12
 c) =22
54
7
35
yx
yx
 
 
VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA 
Valor numérico de uma expressão algébrica é o valor que a expressão passa a ter 
quando substituímos suas variáveis por números. 
OBSERVAÇÃO 
Utilize parênteses quando substituirmos letras por números negativos. 
 9
EXEMPLOS 
Calcule o valor numérico das expressões algébricas abaixo. 
a) 2a + 3b, para a = - 2 e b = 
3
1
 b) 
xy
yx
5
23 +
, para x = 1 e y = - 2 
c) x2 + 3xy + y2, para x = 
2
1
 e y = - 3 d) yx 32 + , para 55 −== yex 
 
EXERCÍCIOS 
1) Efetue as seguintes operações algébricas 
a) 14ab2 – 5ab2 + 6ab2+ 13ab2 = b) =+−−+
84
3
3
3
xz
xz
xz
xz
xz
 
c) 6x + 4y – 2x – 5x + 4y – 10y = d) =++− yxyx 2
522
3
 
e) =+− )12()152( xx f) =+− )32()5( baba 
g) =÷− )3()12( 224 baba h) 





÷





2
3
3
2 265 zxzx
 
 
2) Calcule o valor numérico das seguintes expressões algébricas. 
a) ba −+7 , para 
2
1
3
2 −== bea 
b) 
y
xxy 2−
, para 
100
1
10
1 =−= yex 
c) (x + y) 2 , para x = - 
2
1
 e y = - 
4
1
 
d) 
z
yx 22 +
, para x = 3 , y = 4 e z = - 10 
e) 
ab
cba −+
, para a = 
2
3
, b = 
3
2
 e c = 2 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
É muito comum nas expressões algébricas o aparecimento de produtos 
algébricos com incógnitas. Em vez de fazer a multiplicação de polinômios a cada vez que 
essas operações surgem, é indicado memorizar suas fórmulas. Trata-se dos produtos 
notáveis. 
 10 
Produtos notáveis Exemplos 
222 2)( bbaaba ++=+ 96)3( 22 ++=+ xxx 
222 2)( bbaaba +−=− 96)3( 22 +−=− xxx 
22)()( bababa −=−+ 9)3()3( 2 −=−+ xxx 
baxbaxbxax +++=++ )()()( 2 65)3()2( 2 ++=++ xxxx 
32233 33)( bbabaaba +++=+ 8126)2( 233 +++=+ xxxx 
32233 33)( bbabaaba −+−=− 8126)2( 233 −+−=− xxxx 
3322 )()( babbaaba +=+−+ 8)42()2( 32 +=+−+ xxxx 
3322 )()( babbaaba −=++− 8)42()2( 32 −=++− xxxx 
 
EXERCÍCIOS 
1) Desenvolva: 
=+ 2)3() yxa =




 +
2
2
2
1
) xb =




 +
2
5
2
4
3
)
yx
c 
=




 −
2
23
2
)
yx
d ( ) =− 223) yxe ( ) =+ 332) yxf 
 
=




 −




 +
5
4
3
2
5
4
3
2
)
yxyx
g 
 
FATORAÇÃO 
Fatorar um número, significa decompô-lo num produto de fatores primos. 
Fatorar uma expressão algébrica significa decompô-la num produto de 
expressões algébricas primas. Uma expressão algébrica é chamada de prima quando 
admite como divisores apenas o número um e ela própria . 
 
1º CASO: FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA 
EXEMPLOS 
Fatorar as expressões algébricas 
)23(2462) zyxzyxa −+=−+ 
( )322254223 257257) bbaababababab +−=+− 
 
 11 
2º CASO: FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO 
EXEMPLOS: 
Fatorar as seguintes expressões 
( ) ( )
( )( )bxax
axbaxxbaxbxaxa
2332
3223236496)
21
2
+−=
=−+−=−+−
4342143421
 
 
( ) ( )
( )( )2
2
2
22
1
2
43
334)3(412)
xaba
baxbaaxbxabaab
−−=
=−−−=+−+−
44 344 214434421
 
 
3º CASO: TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 
( )222 2 babbaa +=++ 
( )222 2 babbaa −=+− 
 
EXEMPLOS 
( )222 329124) yxyyxxa +=++ 
( )222 396) yxyyxxb −=+− 
 
4º CASO: DIFERENÇA DE QUADRADOS 
)()(22 bababa +−=− 
 
EXEMPLOS 
)3()3(9) 2 −+=− xxxa 
( )( )bababab 54542516) 22 −+=− 
 
OUTROS CASOS IMPORTANTES 
( )( )2233 bbaababa +−+=+ 
( )( )2233 bbaababa ++−=− 
( )33223 33 babbabaa +=+++ 
( )33223 33 babbabaa −=−+− 
 12 
EXERCÍCIOS 
Fatore as expressões algébricas 
1) =−+− 52423222 751053015 xaxaxaxa 
2) =+−− 22 33 ybyxayxbxa 
3) =++ 6324 44 yyxx 
4) =− 246 8116 zyx 
5) =−
81
4
25
49 2x
 
6) =−+− 8365427 23 aaa 
7) =+++ 32 81261 xxx 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
......3 yyyy =++ , pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e 
os seus expoentes também). 
 ........67 mmm −=− , pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais 
e os seus expoentes também). 
........,8)2(5 =−+⋅ xx Utilizando a propriedade distributiva .....8105 xx −+ 
são monômios semelhantes, então .....1038105 +−=−+ xxx como 103 +− x não 
são semelhantes, então não podem ser adicionados. 
Concluímos que: 1038)2(5 +−=−+⋅ xxx 
Você já aprendeu a fatorar expressões algébricas, binômios, trinômios etc., agora 
você vai aprender a simplificar expressões algébricas. 
Observe que, simplificando 
10
8
 obtemos 
5
4
 
Qual é a forma simplificada de ?
10
8 3
x
x
 
xxexxx ⋅⋅=⋅⋅⋅= 5210428 23 Assim: 
5
4
52
42
10
8 223 x
x
xx
x
x =
⋅⋅
⋅⋅⋅= 
 13 
Entre 108 e (coeficientes numéricos), o fator comum é o )10,8(cdm ⋅⋅ , que é 
igual a 2 e entre xex3 (partes literais), o fator comum é formado pelas variáveis comuns, 
com os menores expoentes, ou seja, entre xex3 o fator comum é x . 
Qual é a forma simplificada de ?
62
42
2
2
xx
xx
−
+
 
Fatorando o numerador e o denominador: 
)2(242 2 +=+ xxxx 
)3(262 2 −=− xxxx 
Assim: 
3
2
)3(2
)2(2
62
42
2
2
−
+=
−
+=
−
+
x
x
xx
xx
xx
xx
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Simplifique as expressões fatorando o numerador e o denominador. 
a) =+
+
xx
xx
48
36
2
2
 b) =+
++
xx
xx
2
2 12
 c) =−
+−
xx
xx
3
96
2
2
 
d) =−
+−−
12
2
x
yxyxx
 e) =++
−
9124
94
2
2
xx
x
 f) =−
+−
4
2
2
23
x
xx
 
 
2) Simplifique as expressões: 
=−−+ 222)() yxyxa =+−+−+ )3()5()7()2() xxxxb 
( ) =−−− )(42) 2 yxxyxc ( ) =+−+ 22 )32(24) xxxxd 
( ) =+−+ 22 )9(19) yye ( ) =+−+ )3(432) 2 baabaf 
 
EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
Toda sentença matemática que expressa uma relação de igualdade e que 
envolve números desconhecidos representados por letras é denominada equação. 
A equação que tem uma única variável, e essa variável têm expoente 1, é uma 
equação do 1º grau a uma variável. 
Resolver uma equação é encontrar o valor que transforma numa igualdade 
verdadeira. Esse valor é chamado de raiz ou solução da equação. 
 14 
EXEMPLOS: 
Resolver as equações 
1) 2x – 5 = - 17 2) 148
4
3 =+x 
3) 
( )
8
14
4
123
2
3 +=+−+ xxx 4) 
4
13
6
42
3
1 −=++− xxx 
 
EXERCÍCIOS 
Resolva as equações do 1º grau abaixo. 
1) 
4
32
2
9 xx +=− 2) 
28
5
68
x
x
xx −=−+ 
3) 
24
5
4
3
12
45
3
1 −+=−−− xxx 4) 
4
3
4
1
3
2 =+−− xx 
5) 6
3
3
2
1 =−−− xx 6) xxx =−+−
3
12
5
1
 
7) 
2
3
4
)5(3
3
+=−+ xxx 8) 1
3
6
43
2
3 +−−=++ xxxx 
9) 
2
46
6
18
2
12 +=−++ xxx 10) 
4
7
12
17
3
1
2
++=+−− xxxx
 
 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Chama-se equação do 2º grau com uma variável, toda equação que pode ser 
colocada na forma: 
02 =++ cxbxa , onde x é a variável, e a, b e c ∈R, com a ≠ 0. 
 
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
Chamamos de raiz de uma equação do 2º grau o número real que, colocado no 
lugar da variável, torna a sentença verdadeira. 
O conjunto das raízes de uma equação do 2º grau é chamado de conjunto 
solução e indicaremos por S. 
 
EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU 
1ºCaso : A equação tem a forma 02 =+ bxax 
EXEMPLOS 
a) 042 =− xx b) 9)5()3( 2 =++− xxx 
 15 
2º Caso : A equação tem a forma 02 =+ cax 
EXEMPLOS 
a) 4x2 – 64 = 0 b) 5x2 – 10 = 0 
 
EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU 
A equação tem a forma 02 =++ cxbxa , com a, b e c∈R e a ≠ 0 
Para a resolução de uma equação completa do 2º grau aplicaremos a fórmula de 
Bhaskara. 
a
cabb
x
2
42 −±−
= 
 
EXEMPLOS 
Resolver as equações do 2º grau 
a) 0652 =+− xx b) )4()4()23(3 −+=− xxx 
c) 
6
2
2
23
3
12
2 −
=−−− xxx d) 282)5( +=+ xxx 
 
EXERCÍCIOS 
Resolver as equações do 2º grau abaixo 
1) )2(245 2 +=+ xx 2) 16)52()3( 22 −=+−− xx 
3) 0369 2 =−x 4) 135)32()32( =−+ xx 
5) )12(8)12( 2 +−=− xx 6) 205)1()4( +=−+ xxx 
7) 
3
1
3
)3(
2
1 +=−−− xxxx 8) 115)1()3( 222 +=−++ xxx 
 
Bibliografia: 
1 - www.somatematica.com.br 
2 - Giovanni, José Ruy, Matemática Fundamental. São Paulo: FTD 
3 - Iezzi, Gelson, Matemática e Realidade: 6ª, 7ª e 8ª séries, São Paulo: Atual 
4 – LAPA, Nilton. Matemática Aplicada. São Paulo: Saraiva, 2012.