Cálculo - Unidade 4

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CÁLCULO
Coeficiente angular de retas e 
conceito de derivada
Neste segmento, estudaremos como podemos calcular o 
coeficiente angular de uma reta e iniciaremos nossos estudos 
sobre derivadas. É preciso compreender que os conceitos, isto 
é, que os conhecimentos não se findam em si mesmos. Eles 
são interligados, ou seja, os conceitos atuais se apoiam em 
conceitos anteriores. Por que estamos falando isso? Pois para 
compreendermos perfeitamente o que significa a derivada 
geometricamente e fisicamente, devemos inicialmente entender 
o que é inclinação e declive. Esta unidade começa a fundamentar 
esse conceito. Vamos compreender melhor? Siga em frente!
Coeficiente Angular de retas
Começaremos nossos estudos com o coeficiente angular de uma 
reta, que também recebe o nome de declividade da reta. Por 
causa desse nome, talvez você tenha pensado em uma rampa de 
skate ou outro tipo de rampa, não é mesmo? Bem, se você pensou 
desta forma, acertou. Mas lembre-se: embora a rampa não seja 
uma reta (e, sim, um plano), por um plano podem passar infinitas 
retas. Você já deve estar pensando na inclinação dessa rampa!
Fonte: Max Blain, Shutterstock, 2017.
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CÁLCULO
Iremos então pensar geometricamente. Observe a figura a seguir.
eixo y
reta r
θ
eixo x
Lembre-se de que os números 
trigonométricos são definidos em 
relação a um círculo de raio unitário 
centrados na origem do sistema de 
coordenadas.
Veja a reta r. Você pode verificar que a inclinação dela 
corresponde ao valor que intercepta o eixo das tangentes, certo? 
Logo, podemos dizer que a inclinação = tgθ.
Mas, sabemos que 
∆
θ
∆
cateto oposto x
tg = = 
cateto adjacente y
.
Em que:
Δy = diferença entre as ordenadas
Δx = diferença entre as abscissas
Vamos melhorar nossa definição? Observe!
∆
θ
∆
o
o
y-yy
tg = =
x x-x
Olha que legal!
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CÁLCULO
( )θo oy–y =tg x–x
Da Geometria, sabemos que a equação da reta pode ser dada por:
( )o oy–y =a x–x
Em que a representa o coeficiente angular ou declive ou inclinação 
da reta.
Logo: a = tgθ.
Isso mesmo, o valor da tangente corresponde à inclinação da reta!
Vamos acompanhar um exemplo? Siga com atenção!
Exemplo 1
Observe a figura a seguir. Depois de analisar, calcule a inclinação 
da reta.
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4
-4
-5
11
5
A
B
Resolução
Veja que a inclinação é igual 
∆
θ
∆
o
o
y-yy 3-1
a=tg = = = =1
x x-x 3-1
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Olha que interessante! Qual ângulo possui tgθ = 1? Exatamente: 45°. 
Observe que essa reta divide o primeiro quadrante exatamente 
ao meio! 
A figura a seguir vai ajudar você a entender ainda mais o conceito 
de inclinação de reta associada à tangente. Veja:
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4
-4
-5
11
5
A
B
Exemplo 2
Dada a equação da reta y = 2x + 4, determine a inclinação da reta.
Resolução
Este exercício é bem fácil, de aplicação direta.
Sabemos, da Unidade 1, que a equação de uma função linear é 
dada por y = ax + b.
Logo, a inclinação é igual a 2.
Observe a figura a seguir.
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3
2
1
0
-1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4
11
5
6
7
8
θ
θ
8 - 4
2 - 0 2
= =
4 - 0
0 - (-2)
4= = 2=2
Por fim, perceba que o coeficiente angular está associado à 
inclinação da reta tangente.
Limite de uma função 
Vamos iniciar nosso estudo de limites descrevendo o 
comportamento de uma função próxima a um ponto. A função-
exemplo para essa finalidade será esta:
( ) − +=
−
2x 4x 4
f x
x 2
Desejamos estudar o comportamento dessa função para que 
fique próxima a x = 2.
Como não podemos dividir por zero, teremos que considerar que 
x = 2 não pertence ao domínio da função. Para isso, relembraremos 
aqui a notação de conjuntos domínio. Para essa função, teremos:
{ }= ∈ ≠mD x R | x 2
Agora, iremos simplificar essa função. Que tal aplicar Bhaskara 
no numerador de ( ) − +=
−
2x 4x 4
f x
x 2
? 
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Assim, teremos:
( ) ( )( )
( )
( )
− + =
− + =
=
= −
=
∆ = − = − − =
− − ±− ± ∆
= = =
= =
2
2
22
1 2
x 4x 4 0
1x 4x 4 0
a 1
b 4
c 4
b 4ac 4 4 1 4 0
4 0b
x 2
2a 2 1
x x 2
Feito isso, vamos nos lembrar de um dos casos de fatoração?
Veja a seguir: ( )( )+ + = − −2 1 2ax bx c a x x x x .
Portanto, teremos: ( )( ) ( )− + = − − = − 22x 4x 4 1 x 2 x 2 x 2 .
Substituindo em ( ) − +=
−
2x 4x 4
f x
x 2
, teremos:
( ) ( )( )
−− +
= = = −
− −
22 x 2x 4x 4
f x x 2
x 2 x 2
. 
Assim sendo, a função representa uma reta não definida em x = 2.
Vamos plotar esta reta? Para isso, acompanhe a figura e explicação 
a seguir.
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3
2
1
0
-1
-2
-3
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4
-4
-5
Observe a “bolinha” aberta em x = 2.
Note que, mesmo a função não sendo definida em x = 2, ela existe 
nas proximidades de x = 2. Perceba também que, quando nos 
aproximamos de x = 2 (tanto pela esquerda quanto pela direita), 
a função ( ) − +=
−
2x 4x 4
f x
x 2
 tende a zero.
Então, a partir dessa noção intuitiva de comportamento próximo 
a um ponto, podemos enunciar informalmente a noção de limite.
Segundo Anton (2014), se os valores de f(x) puderem ser tornados 
tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos os 
valores de x tão próximos de x = a, escrevemos ( )
→
=
x a
limf x L . 
Para nosso exemplo, teremos:
( )
→ →
− +
= =
−
2
x 2 x 2
x 4x 4
limf x lim 0
x 2
Ou seja, podemos dizer que, quando x tende a 2, a função tende 
a zero. Dessa forma, nesse exemplo, o valor limite é 2 (L=2).
Que tal escolhermos outra função?
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Considere a função ( ) = − +2f x x x 1 . Observe, a seguir, o gráfico 
dessa função.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5
3
2
1
0
-1
-2
-3
4
6
Agora vamos estudar o que acontece quando x → 2.
X 1,000 1,900 1,990 1,999 2,000 2,001 2,010 2,100 3,000
f(x) 1,000 2,710 2,970 2,997 3,003 3,030 3,310 7,000
Veja que, ao nos aproximarmos de x = 2 (tanto pela esquerda 
quanto pela direita), a função tende a 3, certo?
Podemos escrever agora os chamados limites pela esquerda e 
pela direita de um ponto qualquer x = a:
• Limite pela esquerda de x = a: escreve-se ( )
−→x a
limf x ;
• Limite pela direita de x = a: escreve-se ( )
+→x a
limf x .
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Dizemos que o limite bilateral, ou simplesmente limite, existe quando:
( )
−→
=
x a
limf x
 
( )
+→x a
limf x = L
Que tal analisarmos mais um exemplo?
Exemplo 3
Vamos usar evidências numéricas para analisar a função 
→x 0
senx
lim
x
.
Iremos nos aproximar de x = 0 dos dois lados de zero.
x -0,100 -0,010 -0,001 0,000 0,001 0,010 0,100
f(x) 0,9983342 0,9999833 0,9999998 0,9999998 0,9999833 0,9983342
Você pode ver que o comportamento numérico apresentado na 
tabela é consistente com o gráfico a seguir. Observe:
0 x
-1 0
y
-2-3-4-5-6-7 7654321
-3
-2
-1
3
1
2
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Dessa forma, associamos duas análises: numérica (Tabela 2) 
com a gráfica (Figura 8).
Agora, vamos lembrar que podemos nos aproximar de um 
ponto pela esquerda e pela direita, o chamado limite unilateral. 
Acompanhe!
Exemplo 4
Considere a função ( ) >= = 
− <
x 1 x 0
f x
x 1 x 0
 .
Observação: o numerador é formado pela função modular. Nesse 
caso, lemos módulo de x.
O gráfico dessa função é dado por:
0 x
-1 0
y
-2-3-4-5-6-7 7654321
-3
-2
-1
3
1
2
-4
Note que a função não é definida em x = 0, mas, quando nos 
aproximamos de zero, a função admite valores, ou seja, uma 
tendência. Nesse caso, teremos:
−
+
→
→
= −
= +
x 0
x 0
x
lim 1
x
x
lim 1
x
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Ou seja, os limites unilaterais pela esquerda e pela direita de x = 0 
para essa função existem, mas são diferentes um do outro. Portanto:
− +→ →
≠
x 0 x 0
x x
lim lim
x xDessa forma, o limite bilateral, ou simplesmente limite �
→x 0
x
lim
x
�, 
não existe.
No cálculo de limites, inicialmente estabelecemos os limites de 
algumas funções mais simples e depois usamos alguns teoremas 
que nos ajudarão na determinação desses limites (ANTON, 2014).
Teorema 1
Considere que a e k são dois números reais. Então, temos que:
a) 
→
=
x a
limk k
b) →
=
x a
limx a
c) 
−→
= −∞
x 0
1
lim
x
d) 
+→
= +∞
x 0
1
lim
x
e) ( ) ( )
→ →
=
x a x a
lim k f x k lim f x
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Teorema 2
Suponha que a é um número real e que:
( )
( )
→
→
=
=
1x a
2x a
limf x L
limg x L
Então, teremos:
a) ( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
 + = + = +  1 2x a x a x alim f x g x limf x limg x L L
b) ( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
 − = − = −  1 2x a x a x alim f x g x limf x limg x L L
c) ( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
 ⋅ = ⋅ = ⋅  1 2x a x a x alim f x g x limf x limg x L L
d) 
( )
( )
( )
( )
→
→
→
 
= = 
  
≠
x a 1
x a
2x a
2
limf xf x L
lim
g x limg x L
L 0
e) 
( ) ( ) nn n 1x a x a
1
lim f x limf x L
L 0 se n for par
→ →
= =
>
Assim, o Teorema 2 pode ser enunciado da seguinte forma:
a) O limite da soma é a soma dos limites.
b) O limite da diferença é a diferença dos limites.
c) O limite do produto é o produto dos limites.
d) O limite do quociente é o quociente dos limites, desde que 
o limite do denominador não seja zero.
e) O limite da raiz enésima é a raiz enésima do limite.
 Vamos a alguns exemplos utilizando os Teoremas 1 e 2? 
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Exemplo 5
Iremos calcular alguns limites, tudo bem? Veja:
a) →
=
x a
lim3 3
b) 
→ →
= = ⋅ =2 2 2
x 2 x 2
lim2x 2limx 2 2 8
c) →
→
→
−− −
= = =
+ + +
2
2 2
x 3
x 3
x 3
limx 1x 1 3 1 8
lim
x 4 limx 4 3 4 7
Em muitos casos, temos que fatorar 
algum termo da expressão do limite 
para a sua simplificação e consequente 
resolução. 
Que tal um exemplo dessa situação? Acompanhe a seguir.
Exemplo 6
Calcule o limite: 
→−
+
+ −2x 4
2x 8
lim
x x 12
.
Resolvendo o limite, teremos: 
( )
( )→−
− +
=
− − −
2x 4
2 4 8 0
lim
04 4 12 , o que chamamos 
de uma indeterminação matemática.
A simplificação pode nos ajudar nesse caso:
( )
( )( )→− →−
+
= = −
+ − −x 4 x 4
2 x 4 2 2
lim lim
x 4 x 3 x 3 7
Exemplo 7
Já neste exemplo, resolveremos um limite envolvendo radicais.
Calcule o limite: 
→
−
−x 1
x 1
lim
x 1
.
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Inicialmente, iremos efetuar a substituição direta. Assim, teremos:
→
− −
= =
− −x 1
x 1 1 1 0
lim
0x 1 1 1
, chegando a uma indeterminação matemática.
Para resolvermos esse limite, vamos proceder a uma racionaliza-
ção, desta forma:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )→ → → →
− ⋅ + − ⋅ +−
= = = + = + =
−− − ⋅ +x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1x 1
lim lim lim lim x 1 1 1 2
x 1x 1 x 1 x 1
Observe que, nesse processo de simplificação, também usamos 
a propriedade de produtos notáveis ( )( )+ − = −2 2a b a b a b .
No presente exemplo, foi efetuada a troca:
=
=
a x
b 1
Desse modo, no denominador tivemos: ( ) ( )− ⋅ + = −x 1 x 1 x 1.
Exemplo 8
Agora iremos estudar o limite de funções definidas por partes, 
tudo bem? Este exemplo a seguir foi retirado de Anton (2014):
( )
 < − +
= − − < ≤
 + >

2
1
, x 2
x 2
f x x 5 2 x 3
x 13 x 3
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-8
-6
-4
-2
0
2
4
-2-4-6-8-10-12-14 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Vamos estudar a função!
( )
→−x 2
limf x
Observe que a função muda de comportamento à esquerda e à 
direita de x = –2. Dessa forma, devemos usar, no estudo do limite, 
a função pertinente a cada intervalo, calculando aqui os limites 
unilaterais:
( )
−
+
→−
→−
= −∞
+
− = − − = −
x 2
22
x 2
1
lim
x 2
lim x 5 2 5 1
Considerando que
 
( ) ( )
− +→− →−
≠
x 2 x 2
lim f x lim f x , temos que ( )
→−x 2
limf x não existe.
Bem, alunos e alunas, nesta parte da unidade, vocês estudaram 
aspectos muito importantes da Matemática e começamos a 
analisar o Cálculo com o estudo de limites. Vamos seguir adiante?
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Conceito de Derivada
Neste segmento, iniciaremos nosso estudo sobre derivadas. Será 
um tema que nos acompanhará durante o restante de nosso curso!
Para início de conversa, é importante que você saiba que a 
derivada está associada ao conceito de taxas de variação e 
numericamente à inclinação de uma reta tangente. 
Lembramos aqui que esta unidade inicia o estudo de derivadas 
que será aprofundado nas unidades de ensino que se seguem no 
curso, está bem?
Iremos considerar um ponto fixo P e um outro ponto Q que 
percorre a curva dada, aproximando-se de P. Veja:
y
Q
f(x) - f(x )0
x
x
X0
0f(x )
f(x)
Reta tangente
Reta secante
P
θ
X - X0
Fonte: Adaptada de ANTON, 2014.
Em nossa situação geométrica, a reta secante se move em direção 
à reta tangente. Quando isso ocorre, verificamos que x→ x
0
 
(x tende a x
0
). 
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CÁLCULO
Podemos expressar essa tendência como:
A inclinação da reta secante PQ tende à inclinação da reta 
tangente no ponto P quando x→ x
0
.
Ora, a inclinação da reta secante é dada por:
( ) ( )o
PQ
o
f x f x
m tg
x x
θ
−
= =
−
Observe que a relação ( ) ( )o
o
f x f x
x x
−
−
 indica uma relação entre a 
variação da função e a variação da variável independente x. 
No Cálculo, chamamos essa relação de taxa de variação média.
Podemos chamar x – x
0
 de Δx ou de h, que expressa a variação 
da variável independente. No Cálculo, muitas vezes, chamamos 
de incremento.
Quando x→ x
0
 (x tende a x
0
), observe que delta x ou h tende a 
zero. 
Dessa forma, temos que:
( ) ( ) ( ) ( )o o
PQ
o
f x f x f x f x
m
x x h
− −
= =
−
Ou seja, no ponto x
0
, a inclinação da reta tangente é dada por:
( ) ( )
lim
o
o
tg x x
o
f x f x
m
x x→
−
=
−
Que tal melhorar nosso entendimento? Imagine que a variável 
x represente o tempo t. Dessa forma, quando o tempo tender a 
zero, teremos não mais uma variação média, e sim uma variação 
instantânea.
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Fantástico! Dessa forma, a variação instantânea de uma função 
seria dada por 
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f x
x x→
−
−
.
No Cálculo, a relação 
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f x
x x→
−
−
 é chamada de derivada e é 
escrita como 
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f xdy
dx x x→
−
=
−
. 
Observe que a derivada, 
conceitualmente, é um limite. 
Fisicamente, equivale a uma taxa de 
variação instantânea.
Saiba que alguns matemáticos usam a notação linha para 
simplificar e escrevem a derivada da função y = f(x) como 
'
dy
y
dx
=
 
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f x
x x→
−
−
.
Vamos acompanhar mais um exemplo?
Exemplo 9
Neste exemplo, vamos determinar a equação da reta tangente à 
curva y = x2 no ponto (0,0).
Inicialmente, vamos plotar a função utilizando o Graphmatica.
Para isso, digite y=x^2.
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CÁLCULO
3
2
1
0
-1
-2
-3
y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
O próximo passo será encontrar a inclinação ou coeficiente 
angular da reta tangente no ponto (1,1), tudo bem?
Lembremos que 
( ) ( )
lim
o
o
tg x x
o
f x f x
m
x x→
−
=
−
e que, quando temos o 
ponto (1,1), teremos que x0= 1 e y0= 1, certo?
Logo, a inclinação (declive ou coeficiente angular) será:
( ) ( ) ( )( )
( )
2 2
1 1 1
1 11
lim lim lim lim 1 2
1 1o
o
tg x x x x x
o
f x f x x xx
m x
x x x x→ → → →
− + −−
= = = = + =
− − −
Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente.
Temos que a equação da reta (da Geometria) é dada por 
( )0oy y m x x− = − .
Logo, teremos para a reta tangente:
( )
( )
0
1 2 1
2 2 1
2 1
oy y m x x
y x
y x
y x
− = −
− = −
= − +
= −
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CÁLCULO
Portanto, a equação da reta tangente é dada por y=2x-1. 
Podemos plotar essa reta no gráfico da função. Para isso, no 
Graphmatica, digite y=2x-1.
3
2
1
0
-1
-2
-3
y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Observe que a reta tangente toca exatamente a curva no ponto (1,1).
Bem, chegamos aofim de mais unidade de ensino. Esta, em 
especial, introduz o conceito de derivadas. Lembre-se de que a 
derivada conceitualmente representa um limite!