Cálculo - Unidade 6 (Parte 01)

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CÁLCULO
Regras derivação
As regras de derivação nos permitem determinar a derivada 
de uma função sem a necessidade de utilizarmos limites. Além 
disso, elas representam processos simplificados e nos serão 
muito úteis na questão da rapidez de obtenção de resultados.
Agora veremos essas regras implementadas em exemplos 
puramente algébricos. O objetivo é treinarmos a metodologia 
de obtenção das derivadas, está bem?
Vejamos quais são elas!
Teorema 1 – Derivada de constante (adaptado de THOMAS, 2005)
A derivada de uma função constante é zero. Sendo essa constante C um 
número real qualquer, temos que:
0
d
c
dx
=  
Essa regra pode ser entendida graficamente. Observe na figura 
a seguir.
y
x
constante qualquer
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Como a derivada é dada por 
0
lim
x
y
x∆ →
∆
∆
, verificamos no gráfico 
que, como a função é constante, não existe variação da função 
e, portanto, temos que ∆y = 0. Logo, a derivada de uma função 
constante é zero, sendo representada por 0d c
dx
=   .
Que tal acompanharmos alguns exemplos?
Exemplo 1
Vamos encontrar a derivada de f(x) = 9.
Resolução
Teremos que: 9 0
d
dx
=  
Observou como é simples?
 
A derivada de qualquer constante na forma f(x)=c é sempre 
igual a zero.
Agora, vamos estabelecer uma importante regra que nos 
permite calcular derivadas de funções que envolvem potências 
numéricas. Isso mesmo, só valem para o caso em que a potência 
seja um número e não uma função. Então veja o teorema a seguir, 
adaptado de Thomas (2005):
Teorema 1A – Regra da Potência
Sendo r um número real qualquer, temos: 
1r rd x rx
dx
−  =  .
Exemplo 2
Vamos encontrar a derivada de f(x) = x3.
Resolução
Teremos que: 3 3 1 23 3
d
x x x
dx
−  = =  .
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Caso o expoente seja negativo, aplica-se a mesma regra. Você 
pode observar que a regra é válida para todos os números reais e 
pode ter a seguinte leitura: rebaixamos o expoente, conservamos 
a base subtraindo uma unidade do expoente.
Exemplo 3
Vamos encontrar a derivada de f(x) = x–4.
Resolução
Aplicando a regra da potência, teremos:
( ) 4 1 5 5
4
' 4 4f x x x
x
− − − −= − = − =
Agora, vamos a mais um teorema adaptado de Thomas (2005). 
Isso mesmo: a função envolverá o produto de uma constante e 
uma função em x.
Teorema 1B – Derivada de uma constante multiplicada por uma função
Se a função possuir derivadas (dizemos ser diferenciável) em x e se c for 
um número real, temos que c . f(x) também será diferenciável em x e sua 
derivada será dada por:
( ) ( )d dc f x c f x
dx dx
   ⋅ =   
Atenção: é importante que você saiba que uma função 
diferenciável é definida como aquela que admite derivadas!
Exemplo 4
Vamos encontrar a derivada de f(x) = 5 . x3.
Resolução
Teremos que:
( ) ( )3 3 3 1 2 25 5 5 3 5 3 15d dx x x x x
dx dx
−   ⋅ = = ⋅ = ⋅ =   
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Vejamos mais um Teorema! Ele estabelece como devemos 
derivar funções que envolvem somas ou diferenças de funções. 
Acompanhe outro teorema adaptado de Thomas (2005):
Teorema 1C – Derivada de somas e diferenças
Se as funções f e g forem diferenciáveis em x, então:
( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x
dx dx dx
 ± = ± 
Ficou curioso para saber como se lê esse teorema?
O teorema que acabamos de ver pode ser lido da seguinte forma: 
a derivada da soma (ou da subtração) é a soma (ou diferença, 
respectivamente) das derivadas.
Exemplo 5
Vamos encontrar a derivada de f(x) = 6x – 7x2.
Resolução
Teremos que:
( ) ( )
( ) ( )
3 2
3 2
6 7 6 7
6 7 6 7
d d d
x x x x
dx dx dx
d d d
x x x x
dx dx dx
 − = − 
 − = − 
Na etapa anterior, lembramos que ( ) ( )d dcf x c f x
dx dx
  = ⋅  .
Em outras palavras, podemos colocar a 
constante em evidência no processo de 
derivação.
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3 1 1 2 1
3 0
3
6 7 6 1 7 2
6 7 6 14
6 7 6 14
d
x x x x
dx
d
x x x x
dx
d
x x x
dx
− − − = ⋅ − ⋅ 
 − = − 
 − = − 
Agora perceba que 1
d dx
x
dx dx
= =   .
Observe, ainda, que 1
d dx
x
dx dx
= =   decorre da Regra da Potência, 
Teorema 3A (THOMAS, 2005).
Que tal ficar sabendo de uma curiosidade? Existem, hoje, 
excelentes ferramentas matemáticas que podem nos ajudar a 
confirmar os algebrismos das derivadas, verificando o acerto. O 
software Geogebra possui um comando para cálculo direto de 
derivadas. Veja o passo a passo a seguir:
Na linha de comando, digite: Derivada (<Função>). No local em 
que temos <Função>, digite a função. Como exemplo: Derivada 
(x^2) e teremos 2x como resultado.