Cálculo - Unidade 10 (Parte 01)

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CÁLCULO
Definição, propriedades e exemplos 
de primitivas de uma função
Sabemos que existem operações inversas na matemática – 
estudamos isso desde que entramos em nossa vida escolar, 
não é mesmo? Adição e subtração, por exemplo, são operações 
inversas! Multiplicação e divisão também são operações inversas. 
No Cálculo esse fato também ocorre.
Quando possuímos uma função e queremos determinar a 
derivação dessa função, estamos derivando-a. Essa operação 
denomina-se derivação. 
Mas e a operação inversa da derivação? 
Neste momento, vamos supor que possuímos a derivada e 
queremos determinar a função que gerou essa derivada. Essa 
operação se chama antiderivação, e o resultado dessa operação 
nos conduz a uma função chamada de primitiva.
E isso é aplicado na prática?
Sim, essa operação é muito importante nos processos das 
ciências.
Imagine que um físico conheça a velocidade de um corpo e 
queira determinar a posição desse corpo em determinado 
instante. Para isso, ele terá que determinar a função espaço, ou 
seja, a primitiva da função velocidade.
Observe que as regras de derivação já estudadas por nós 
continuarão a ser muito importantes no Cálculo das primitivas. Na 
matemática, em particular no Cálculo, os conteúdos e assuntos 
estão intimamente relacionados entre si. 
Como dito na Unidade 1, o Cálculo preocupa-se com o estudo 
das funções matemáticas.
Já nesta unidade, você verá que um dos princípios da obtenção 
de primitivas é a busca por primitivas imediatas ou básicas, que 
são aquelas primitivas tabeladas e de aplicação direta.
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Então, vamos definir a primitiva de uma função? Considere uma 
função f definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma 
função F definida em I tal que F'(x) = f(x).
Vejamos alguns exemplos. Acompanhe a seguir.
Exemplo 1
Considere que 41F(x)= xF(x)= x1F(x)= x1
4
F(x)= x
4
F(x)= x é uma primitiva da função f(x) =x3 em ℝ, 
para todo x em ℝ.
Vamos derivar a função dada por 41F(x)= xF(x)= x1F(x)= x1
4
F(x)= x
4
F(x)= x .
Teremos, portanto:
4-1 31F'(x)= ×4x =xF'(x)= ×4x =x4-1 3F'(x)= ×4x =x4-1 3
1
F'(x)= ×4x =x
1
4
F'(x)= ×4x =x
4
F'(x)= ×4x =x
Ou seja, 41F(x)= xF(x)= x1F(x)= x1
4
F(x)= x
4
F(x)= x é a função que gerou a derivada f(x) = x3.
É interessante observar que, para toda e qualquer constante C, 
temos que 41G(x)= x +CG(x)= x +C4G(x)= x +C4
1
G(x)= x +C
1
4
G(x)= x +C
4
G(x)= x +C , com diferentes valores de constantes, 
também são primitivas de f(x) =x3.
Então, vamos analisando: parece-nos que não existe somente 
uma função primitiva geradora de certa derivada.
Observe o gráfico dessa primitiva com alguns valores de 
constantes na figura a seguir. Aqui, indicamos dois possíveis 
softwares para plotarmos os gráficos: Geogebra e Graphmatica. 
Ambos são softwares livres.
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-14 -12 14
x
12-10 10-8 8-6 6-4 4-2 2
-2
2
-4
4
y
-6
6
0
0
Note que as diversas primitivas são curvas “paralelas”.
Exemplo 2
Considere que 51F(x)= xF(x)= x1F(x)= x1
5
F(x)= x
5
F(x)= x é uma primitiva da função f(x) = x4 em ℝ, 
para todo X em ℝ.
Agora, vamos derivar a função 51F(x)= xF(x)= x1F(x)= x1
5
F(x)= x
5
F(x)= x . Assim, teremos a derivada 
dada por:
5-1 41F'(x)= ×5x =xF'(x)= ×5x =x5-1 4F'(x)= ×5x =x5-1 4
1
F'(x)= ×5x =x
1
5
F'(x)= ×5x =x
5
F'(x)= ×5x =x
Ou seja, 51F(x)= xF(x)= x1F(x)= x1
5
F(x)= x
5
F(x)= x é a função que gerou a derivada f(x) = x4 .
Iremos também plotar o gráfico das primitivas 5
1
F(x)= x +CF(x)= x +C5F(x)= x +C5
1
F(x)= x +C
1
5
F(x)= x +C
5
F(x)= x +C . 
Acompanhe na figura a seguir.
x
-6-7 6 7-4-5 4 5-2-3 -1 2 31
-2
-3
-1
2
3
1
y
0
0
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Exemplo 3
Observe que as funções 5
1
G(x)= x -3G(x)= x -35G(x)= x -35
1
G(x)= x -3
1
5
G(x)= x -3
5
G(x)= x -3 e 5
1
H(x)= x +5H(x)= x +55H(x)= x +55
1
H(x)= x +5
1
5
H(x)= x +5
5
H(x)= x +5 também são 
primitivas da função f(x) = x4, visto que tanto 5
1
G(x)= x -3G(x)= x -35G(x)= x -35
1
G(x)= x -3
1
5
G(x)= x -3
5
G(x)= x -3 quanto 
51H(x)= x +5H(x)= x +55H(x)= x +55
1
H(x)= x +5
1
5
H(x)= x +5
5
H(x)= x +5, quando derivadas, produzem f(x) = x4.
Note que a primitiva é associada a uma família de funções, ou 
seja, existe uma infinidade de funções que produzem a mesma 
derivada.
Exemplo 4
Considere que 4x1F(x)= eF(x)= e
1
F(x)= e
1
4
F(x)= e
4
F(x)= e é uma primitiva da função 
4xf(x)=e em 
ℝ para todo X em ℝ.
Agora, vamos derivar 4x1F(x)= eF(x)= e
1
F(x)= e
1
4
F(x)= e
4
F(x)= e . Logo, obteremos:
4x 4x1F'(x)= ×4e =eF'(x)= ×4e =e4x 4xF'(x)= ×4e =e4x 4x
1
F'(x)= ×4e =e
1
4
F'(x)= ×4e =e
4
F'(x)= ×4e =e
Ou seja, 4x
1
F(x)= eF(x)= e
1
F(x)= e
1
4
F(x)= e
4
F(x)= e é a função que gerou a derivada 4xf(x)=e . 
Confira, na figura abaixo, o gráfico das primitivas 4x
1
F(x)= e +CF(x)= e +C4xF(x)= e +C4x
1
F(x)= e +C
1
4
F(x)= e +C
4
F(x)= e +C .
-14 -12 14
x
12-10 10-8 8-6 6-4 4-2 2
-2
2
-4
4
y
-6
6
0
0
Você pode observar novamente que as diversas primitivas 
apresentam gráficos “paralelos”.
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Além disso, nos gráficos apresentados de primitivas, nesta 
unidade de ensino, as curvas diferem por uma “altura” no eixo 
do y ou, mais especificamente, pela adição de uma constante C.
Exemplo 5
Vamos exemplificar uma primitiva trigonométrica. 
Considere que F(x) = cos x é uma primitiva da função f(x) = –sen x 
em ℝ, para todo X em ℝ .
Agora, vamos derivar F(x) = cos x. Logo, obteremos:
F'(x) = –sen x
Ou seja, F(x) = cos x é a função que gerou a derivada f(x) = –sen x.
Exemplo 6
Neste exemplo, iremos encontrar a primitiva F(x) da função 
2
2
1
Neste exemplo, iremos encontrar a primitiva F(x) da função 
1
Neste exemplo, iremos encontrar a primitiva F(x) da função 
f(x)= +x +1f(x)= +x +12f(x)= +x +12
2
f(x)= +x +1
2
1
f(x)= +x +1
1
1+x
f(x)= +x +1
1+x
f(x)= +x +1, satisfazendo a condição F(0) = 2.
Que tal lembrarmos uma fórmula de derivada? Acompanhe a 
seguir:
( 2
d 1(d 1( )d 1)arctgx =)arctgx =)d 1arctgx =d 1)d 1)arctgx =)d 1)
dx 1+x
(
dx 1+x
( )
dx 1+x
)arctgx =
dx 1+x
arctgx =)arctgx =)
dx 1+x
)arctgx =)
Por enquanto, vamos determinar a primitiva de x2 + 1 por tentativa. 
Assim, teremos:
( )
3x
F x =arctgx+ +x+C(F x =arctgx+ +x+C( )F x =arctgx+ +x+C)F x =arctgx+ +x+CxF x =arctgx+ +x+Cx
3
F x =arctgx+ +x+C
3
F x =arctgx+ +x+C
Como F(0) = 2, teremos:
( )
30
2=arctg 0 + +0+C(2=arctg 0 + +0+C( )2=arctg 0 + +0+C)2=arctg 0 + +0+C02=arctg 0 + +0+C0
3
2=arctg 0 + +0+C
3
2=arctg 0 + +0+C
2=0+C
C=2
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Logo, a primitiva para a condição F(0) = 2 é dada por:
( )
3
2
1 x
F x = + +x+2(F x = + +x+2( )F x = + +x+2)F x = + +x+2F x = + +x+22F x = + +x+22
1 x
F x = + +x+2
1 x
1+x 321+x 32
Você pode notar que, em função de uma primitiva ser expressa 
em termos de uma constante C, ela admite várias primitivas, 
dependendo do valor da constante.
Podemos dizer que, quando encontramos uma primitiva na 
forma F(x) = G(x) + C, estamos determinando uma solução 
geral do processo de primitivação e, quando especificamos uma 
dada condição, estamos encontrando uma solução particular do 
problema.
A primitiva também é chamada de 
antiderivada de uma função.