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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2ª CHAMADA 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSORA ROGÉRIO ROSA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 
E D 
Questão Anulada. Pontos 
redistribuídos nas demais 
questões 
Questão Anulada. Pontos 
redistribuídos nas demais 
questões 
A 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 
2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 5 QUESTÕES. 
3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ 
ALTERNATIVA CORRETA. 
4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 
5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO 
PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 
6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À 
SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO 
DOCENTE. 
7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 
8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – 
APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À 
REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 
9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA 
AVALIAÇÃO. 
 
 
CÁLCULO INTEGRAL 
Rogério Rosa 
 
1) Utilizando a Regra da Cadeia derive : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2) Determina a Integral Indefinida de : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3) Derive : (Questão Anulada. Pontos redistribuídos nas demais questões) 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4) Calcule a Integral Definida : (Questão Anulada. Pontos redistribuídos nas demais 
questões) 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
5) Derive : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
RESOLUÇÃO DO PROFESSOR 
 
 
QUESTÃO 01: 
 
   
   
2
2
2 2
1 1
x
x
x x
f x Ln e
f x e
e e


  
2xe .2 2x x
 
  2f x x  
 
Resposta 2x, alternativa “e” 
 
QUESTÃO 02: 
 
3 2
2
3 2
x x
x x dx C    
Resposta 
3 2
3 2
x x
C  , alternativa “d” 
 
QUESTÃO 03: 
  5 3f x x x  
 
     
5 3 1/2
4 211 11 5 3 5 322 2
5 3
1 1 1 5 3
. .
2 2 2 2
A
f x x x A A
x x
f x A A A x x x x
x x
 
   
      

 
Resposta 
4 2
5 3
5 3
2
x x
x x


, não há opção de resposta. 
 
 
 
QUESTÃO 04: 
 
3
3 4 2 4 2 4 2
3
2 2
3 3 2 2 75
4 2 4 2 4 2 4
x x
x x dx
     
            
     
 
Resposta 
75
4
, não há opção de resposta. 
 
QUESTÃO 05: 
 
   
2
2 . 2
x
x
f x
f x Ln

 
 
Resposta  2 . 2x Ln , alternativa “a” 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
PROVA FINAL 
GABARITO 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSORA ROGÉRIO ROSA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 
D A C 
Questão Anulada. 
Pontos redistribuídos 
nas demais questões. 
E 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 
2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 5 QUESTÕES. 
3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ 
ALTERNATIVA CORRETA. 
4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 
5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO 
PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 
6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À 
SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO 
DOCENTE. 
7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 
8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – 
APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À 
REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 
9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA 
AVALIAÇÃO. 
 
CÁLCULO INTEGRAL Rogério Rosa 
 
1) Utilizando a Regra da Cadeia derive : 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2) Aplique a regra de L’Hospital para calcular 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine a integral indefinida 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
4) Calcule a Integral Definida : 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Derive : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO DESTACÁVEL 
 
 
Prezado(a) aluno(a), 
 
Disponibilizamos esta folha para que você anote o gabarito da avaliação, 
destaque e leve com você apenas esta folha, para conferir as respostas no 
Ambiente Virtual de Aprendizagem. 
 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
 
CURSO 
DISCIPLINA 
PROFESSORA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO DESTACÁVEL 
1 2 3 4 5 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
AVALIAÇÃO 4 
GABARITO 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 27/06/2015 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 
A E B D C 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 
2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 10 QUESTÕES. 
3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ 
ALTERNATIVA CORRETA. 
4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 
5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO 
PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 
6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À 
SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO 
DOCENTE. 
7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 
8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – 
APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À 
REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 
9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA 
AVALIAÇÃO. 
 
NOME DA DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL 
Professor(a) BRÁULIO ANCHIETA 
 
1- Utilizando a regra de L’Hospital é possível calcula o limite o seguinte limite: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+ 𝒙. 𝒆
𝟏
𝒙 
a) +∞ 
b) 1 
c) −∞ 
d) 𝒆𝟐 
e) zero 
2- Seja 𝒚 = 𝒇(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑹, a função dada implicitamente pela equação 𝒚𝟑 + 𝒚 = 𝒙. Determine a 
equação da derivada 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 . 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥−1
3𝑦+1
 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥+4
𝑦3
 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑦2 − 𝑥 
d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
5
3𝑥+𝑦
 
e) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3𝑦2+1
 
3- Determine a função que representa a integral 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟐.𝒅𝒙 
a) 𝐹 𝑥 = 2𝑥 − 2 + 𝑘 
b) 𝐹 𝑥 =
 (𝑥2−2)3
3
+ 𝑘 
c) 𝐹 𝑥 =
 𝑥−2
3
2
+ 𝑘 
d) 𝐹 𝑥 =
 (2𝑥−1)3
5
+ 𝑘 
e) 𝐹 𝑥 = 3 (𝑥 − 2) + 𝑘 
 
4- Determine a função que representa a integral 𝑭 𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 
a) 𝐹 𝑥 = −
1
2
𝑒2𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑘 
b) 𝐹 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒2𝑥 + 𝑘 
c) 𝐹 𝑥 = cos 𝑥 − 𝑒 + 𝑘 
d) 𝐹 𝑥 =
1
2
𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑘 
e) 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥 cos 𝑥 − 3𝑥2 + 𝑘 
 
5- Calcule a área do conjunto de todos os pontos (𝒙,𝒚) tais que 𝒙𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝒙 
a) 2 
b) 
3
4
 
c) 
𝟏
𝟑
 
d) 1 
e) 
 2
5
 
 
 
GABARITO 
1-A 
2-E 
3-B 
4-D 
5-C 
 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
SEGUNDA CHAMADA – 1.B 
GABARITO 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR BRÁULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 25/07/2015 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 
A C A B A 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 
2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 10 QUESTÕES. 
3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ 
ALTERNATIVA CORRETA. 
4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 
5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO 
PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 
6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À 
SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO 
DOCENTE. 
7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 
8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – 
APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À 
REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 
9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA 
AVALIAÇÃO. 
 
Cálculo Integral 
Professor: Bráulio Anchieta 
 
1. Determine o valor do limite 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏
𝐥𝐧 𝒙
𝒙²−𝒙
 
 
A) 1 
B) 2 
C) −∞ 
D) ∞ 
E) −2 
Aplicandoa regra de L´Hospital, faremos: 
lim
𝑥→1
ln 𝑥
𝑥²− 𝑥
= lim
𝑥→1
1
𝑥
2𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
1
𝑥(2𝑥 − 1)
= 1 
 
 
2. Determine o valor da integral indefinida 𝐱 𝐥𝐧 𝐱𝐝𝐱 
 
A) 
1
2
𝑥𝑙𝑛𝑥 +
1
4
𝑥2 + 𝐶 
B) 
1
4
 2 ln 𝑥 − 1 + 𝐶 
C) 
𝟏
𝟐
𝒙𝟐𝒍𝒏𝒙 −
𝟏
𝟒
𝒙𝟐 + 𝑪 
D) 
1
4
𝑥2 2 ln 𝑥² − 1 + 𝐶 
E) −
1
2
𝑥2𝑙𝑛𝑥 −
1
4
𝑥 + 𝐶 
 
 
Solução: Aplicando a integração por partes faremos: 
𝑢 = ln 𝑥 
𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 
𝑣 =
1
2
x2 , 𝐸𝑛𝑡ã𝑜… 
 𝑥𝑙𝑛𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 =
1
2
𝑥²𝑙𝑛𝑥 − 
1
2
𝑥² 
1
𝑥
 = 
1
2
𝑥²𝑙𝑛𝑥 − 
1
2
𝑥𝑑𝑥 =
1
2
𝑥²𝑙𝑛𝑥 −
1
4
𝑥² + 𝐶 
 
3. Resolva a integral 𝐱²𝐞−𝟒𝐱³𝐝𝐱 
 
A) −
𝐞−𝟒𝐱³
𝟏𝟐
+ 𝐂 
B) 
𝑒4𝑥³
12
+ 𝐶 
C) −
𝑒−𝑥³
2
+ 𝐶 
D) 
𝑒−4𝑥²
12
+ 𝐶 
E) 
𝑒𝑥³
12
+ 𝐶 
 
Solução: Aplicando a seguinte substituição 
 
𝑢 = −4𝑥3 
𝑑𝑢 = −12𝑥2𝑑𝑥 
𝑥2𝑑𝑥 = −
𝑑𝑢
12
 
 𝐱²𝐞−𝟒𝐱³𝒅𝒙 = 𝐞𝐮 −
𝑑𝑢
12
= −
1
12
 𝑒𝑢 = −
1
12
𝑒𝑢 + 𝐶 = −
1
12
𝑒−4𝑥
3
+ 𝐶 
 
 
4. Calcule 𝐱𝐞𝟑𝐱𝐝𝐱 
 
A) 
𝑥𝑒3𝑥
3
+
𝑒3𝑥
9
+ 𝐶 
B) 
𝒙𝒆𝟑𝒙
𝟑
−
𝒆𝟑𝒙
𝟗
+ 𝑪 
C) 
𝑒3𝑥
3
−
𝑒𝑥
9
+ 𝐶 
D) 
𝑥𝑒𝑥
3
+
𝑒3𝑥
9
+ 𝐶 
E) 
𝑥𝑒3𝑥
9
+
𝑒3𝑥
3
+ 𝐶 
 
Solução: Aplicando a integração por partes faremos: 
𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒3𝑥𝑑𝑥 
𝑣 =
1
3
e3x , 𝐸𝑛𝑡ã𝑜… 
 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 =
xe3x
3
− 
𝑒3𝑥
3
𝑑𝑥 =
xe3x
3
−
𝑒3𝑥
9
+ 𝐶 
 
 
5. Encontre 𝒅𝒚/𝒅𝒙 do polinômio 𝒙³ + 𝒚³ = 𝟖 por derivação implícita: 
 
A) 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
𝒙²
𝒚²
 
B) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
8𝑥
 
C) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
8𝑦
𝑥
 
D) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥−𝑦
8
 
E) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
8
𝑥−𝑦
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO COMENTADO 
AV2 - 2015.2B - 19/12/2015 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) ANTÔNIO MATIAS 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A E B D C C A D E D 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
 
1. Utilizando a regra de L’Hospital é 
possível calcula o limite o seguinte 
limite: 
 
a) 
b) 1 
c) 
d) 
e) 
 
2. Seja , , a função dada 
implicitamente pela equação 
 Determine a equação da 
derivada . 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. Determine a função que representa a 
integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. Determine a função que representa a 
integral 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule a área do conjunto de todos os 
pontos tais que 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
6. Utilizando a regra de L’Hospital é 
possível calcula o limite o seguinte 
limite: 
a) 
b) 1 
c) 
d) 
e) 
 
7. Seja , , a função dada 
implicitamente pela equação 
 Determine a 
equação da derivada . 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
8. Determine a função que representa a 
integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9. Determine a função que representa a 
integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
10. Calcule a área do conjunto de todos os 
pontos tais que, , com 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO COMENTADO 
1) 
Aplicando a regra de L’Hospital 
 
 
2) 
Derivando 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
Aplicando a técnica de integração “por 
substituição de uma nova variável”: 
 
 
 
Substituindo essa nova variável na 
integral, temos: 
 
 
Assim, a solução da integral é dada por: 
 
 
4) 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
 
Aplicando a técnica de integração “por 
partes”: 
 (expressão por 
integração por parte) 
 
Definindo a variável 
 
 
Definindo a variável 
 
 
Aplicando os termos e na expressão por 
partes, temos: 
(*) 
 
Ficamos com uma nova integral para ser resolvida 
, que também será aplicada técnica 
“por partes”: 
Definindo novamente a variável 
 
 
 
 
Definindo a variável 
 
 
Aplicando os termos e na expressão por 
partes, temos: 
 
Agora podemos substituir esta solução na 
integral dada no problema (*), que resulta em: 
 
 
 
Passando a integral do lado direito para o outro 
lado, ficaremos com uma soma de duas integrais; 
 
 
 
 
Assim, termos a solução: 
 
 
5) Se traçarmos um gráfico contendo 
as duas funções e , conforme figura 
seguinte, obteremos uma região que 
pode ser calculada por integração 
definida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, temos: 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
 
 
 
 
 
6) 
Aplicando a regra de L’Hospital 
 
 
7) 
Derivando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 
Aplicando a técnica de integração “por 
substituição de uma nova variável”: 
 
 
 
 
 
Substituindo essa nova variável na 
integral, temos: 
 
 
Assim, a solução da integral é dada por: 
 
 
9) Como 
, 
podemos aplicando a técnica de 
integração “por partes”: 
 (expressão por 
integração por parte) 
Definindo a variável 
 
 
 Definindo a variável 
 
 
 Aplicando os termos e na 
expressão por partes, temos: 
 
 
 
 
 
 Como 
 Então: 
 
 
 
 
 
 Ou 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 Podemos agora a integral do lado 
direito para o outro lado, ficaremos com 
uma soma de duas integrais; 
 
 
 
 Assim, termos a solução: 
 
 
10. A ÁREA ENTRE AS CURVAS Y= X e Y=X² no 
intervalo que foi dado, ou seja: 
x maior ou igual a zero e x menor ou igual a 2. 
Precisamos calcular esta área primeiro de zero 
até 1, ou seja, a integral de; x-x² que é igual a 
1/2x² - 1/3x³ 
Substituindo pelos limites zero e 1 encontramos 
1/6 
Em seguida encontramos a área de 1 até 2, 
porém a integral agora é o contrário, ou seja, x²-x 
que é igual a 
1/3x³- 1/2x² que substituindo pelos limites de 1 
até 2 encontramos 5/6. 
ENTÃO SOMANDO AS DUAS PARTES, OU SEJA, AS 
ÁREAS ENCONTRADAS: 1/6 + 5/6=1 
RESPOSTA 1 UNIDADE DE ÁREA, QUE ESTÁ NA 
LETRA “ D " 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
SEGUNDA CHAMADA 
 09/01/2016 - 2015.2B 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) ANTONIO MATIAS 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A B C D E A D B D B 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabaritopresente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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 CÁLCULO INTEGRAL Professor(a): ANTONIO MATIAS 
 
 
1. Utilizando a Regra da Cadeia derive: 
: 
 
a) 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. Derive em função de : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. Derive : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. Determina a Integral Indefinida de 
: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
5. Calcule a derivada da função : 
 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
d) 
e) 
 
6. Qual função representa o resultado da integral 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. Qual função representa o resultado da integral 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
8. Qual função representa o resultado da integral 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9.Resolva o limite da função seguinte, aplicando a 
regra de L’Hospital: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
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 CÁLCULO INTEGRAL Professor(a): ANTONIO MATIAS 
 
 
10.Calcule o valor da área correspondente a região 
delimitada pelo conjunto de pontos formado por: 
 e 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
 30/01/2016 - 2015.2B - FINAL 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) ANTONIO MATIAS 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
D A A D C E C B D A 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): Antonio Matias 
 
 
1. Seja , , a função dada implicitamente pela equação Determine a 
equação da derivada . 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. Aplique a regra de L’Hospital para encontrar o limite da expressão: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. Aplique a regra de L’Hospital para encontrar o limite da expressão: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. Determine a função que representa a integral 
 
a) 
b) 
c) 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): Antonio Matias 
 
 
d) 
e) 
 
5. Qual das seguintes alternativas expressa a área delimitada pelas curvas 
 e 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
6. Determine a função que representa a integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. Determine a derivada da função dada da implicitamente na expressão: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
8. Determine a função que representa a integral 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): Antonio Matias 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9. Calcule a derivada correspondente a expressão 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
10. Calcule a derivada correspondente a expressão 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
AV2 
GABARITO 
 2016.1B – 11/06/2016 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 A D A B E B A E A B 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
1. Considere a função  
xe
x
xf
2
ln
 . Determine fl 
(x). 
 
a) 





 x
x
e x ln2
12
 
b) 





 x
x
e x ln2
12
 
c) 





 x
x
e x ln2
12
 
d) 





 x
x
e x ln2
12
 
e) xe x ln.2 
(1)  
xe
x
xf
2
ln
 , temos duas novas funções. 
A função logaritmo natural y = lnu e 
a função exponencial do número “e”, ou seja, y = eu 
Duas novas regras de derivação: 
ll u
u
yuy .
1
ln  (u é função de x) 
lulu ueyey . (u é função de x) 
 
(2) Analisando a função 
xe
x
xf
2
ln
)(  
Observamos que antes de derivar para logaritmo 
natural e para a exponencial, temos um Quociente 
2v
uvvu
v
u ll
l







 
(3) Então, derivando  
xe
x
xf
2
ln
 
Inicialmente usando a regra do Quociente: 
 
   
 
 
 
 
  


























 x
x
exf
e
x
x
e
x
x
e
xf
e
exe
xxf
e
e
dx
d
xex
dx
d
xf
xl
xx
x
l
x
xx
l
x
xx
l
ln2
1
.
ln2
1
ln2
1
2..ln.
1
.ln.ln
2
24
2
22
22
22
22
 
RESPOSTA: Letra A 











 x
x
e x ln2
12
 
 
 
2. A derivada da função f (x) = x2 cos x – 2x sen x – 
2cos x é igual a: 
 
a) 2xsen x + x2 cos x 
b) sen x – 2x2 cos x 
c) x2 cos x 
d) – x2 sen x 
e) 2x sen x + x2 sen x – 2 cos x 
(1) A função f(x) = x2 cos x – 2x sen x – 2 cos x pode 
ser derivada usando uma sequência de regras de 
derivação. 
f(x) = x2 cos x – 2x sen x – 2 cos x, é uma soma 
algébrica 
     x
dx
d
xsenx
dx
d
xx
dx
d
xf l cos22cos)( 2 
 
(2) Vamos usar regras conhecidas anteriormente e 
mais duas importantes regras da derivação: 
Considere “u” sendo uma função de “x” 
senxyxyouusenuyuy
xysenxyouuuysenuy
lll
lll


cos.cos
cos.cos
 
(3) Continuando a nossa derivação 
       
   
 
   












)tan(2.2cos2
).(cos222
).(cos2cos2cos
cos22cos
222
2
funçãopelateconssenxsenxx
dx
d
produtoRxxsenxxsenx
dx
d
produtoRsenxxxxsenxxxxxx
dx
d
x
dx
d
xsenx
dx
d
xx
dx
d
xf l
 
Substituindo: 
     senxxxsenxsenxxxxxf l 2cos22cos2 2 
 
(Observandoos sinais das funções nos parênteses). 
  senxxxsenxsenxxxxxf l 2cos22cos2 2 
 
(Eliminando os termos semelhantes de sinais opostos) 
fl(x) = - x2 senx 
 
RESPOSTA: Letra D (- x2 sen x) 
 
3. Considere a função )4()(   tsentf com 
aproximação de 
100
1 com  = 3,14 e determine a 
derivada fl (1): 
 
a) – 12,56 
b) 12,56 
c) 6,28 
d) – 6,28 
e) 2,02 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
Derivando a função f(t) = sen (4t - ), temos: 
     
    56,1214,3.441
44.14.3cos4.1.4cos)1(
4).4cos()(






l
l
l
f
f
ttf
 
RESPOSTA: Letra A (– 12,56) 
 
4. O Valor de 
1
ln
lim
1  x
x
x
é: 
 
a) e 
b) 1 
c)  
d) – 1 
e) –  
(1) 
1
ln
lim
1  x
x
x
= ? Procuramos resolver o limite 
normalmente substituindo pela tenência. 
?
0
0
lim
11
1ln
lim
11

  xx
, obtendo uma 
indeterminação. 
Sabemos que 
0
0
 e 


 são as indeterminações que 
nos levam a regra de L’hôspital que pode ser usada e 
substituída: 
 
 
 
 
)Re""(limlim alaqualquer
xg
xf
xg
xf
l
l
axax 

 
Então: 
 
1
1
1
lim
1
ln
lim
11








 
x
x
x
xx
 
Pois:     11
1
ln  x
dx
d
e
x
x
dx
d
 
 
RESPOSTA: Letra B (1) 
 
5. Determine a função correspondente a integral: 
dxxx 


  4
1
2
1
 
 
a) 4
5
2
3
4
5
2
3
xx  
b) 5
4
2
3
4
5
2
3
xx  
c) 
52
5
1
3
1
xx  
 
 
 
 
 
d) 
53
5
4
3
2
xx  
e) 4
5
2
3
5
4
3
2
xx  
(1) Podemos resolver a integral separando cada uma 
das funções e aplicar a propriedade de integrais para 
funções potência. 
 


1,
1
1
ncomC
n
x
dxx
n
n
 
(2)   


  dxxdxxdxxx 4
1
2
1
4
1
2
1
 
Aplicando a propriedade acima, temos: 































4
5
2
3
1
4
1
1
2
1
4
5
2
31
4
11
2
1
xxxx
 
(Invertendo as frações dos denominadores) 
Cxx  4
5
2
3
5
4
3
2
 
RESPOSTA: Letra E 
 
6. Calcular integral 
e
t
dt
1
2 , sendo e  2,7182. 
 
a) 1 
b) 2 
c) e 
d) 2e 
e) Zero 
(1)   
e ce
dt
t
dt
t
ou
t
dt
1 11
1
.2
1
.22 
(2) A integral cx
x
e
 ln
1
1
 
Então: outdt
t
e
e
,ln.2
1
.2
1
1 

 
 20.21.21ln2ln2ln2
1
 ct
e
 
Lembre-se das propriedades: lne =1 e ln1 = 0 
RESPOSTA: Letra B 
 
7. Calcule: Integral definida nos limites de 
integração de “1” e “2”, de 
     232 2/.  tdtttf 
 
a) 7/90 
b) 7/9 
c) 9/7 
d) 9/10 
e) 7/3 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
(1) Integral com função composta. Vamos usar método 
de integração por substituição. 
   














 
2
2
3
2
1
2
1 23
2
23
2
3
3
2
22
t
du
dt
t
dt
du
tu
dt
t
t
t
dtt
 
Substituindo: 
 
 
 
   
90
7
90
103
9
1
30
1
213
1
223
1
)(
23
1
23
1
3
1
1
.
3
1
3
1
1
.
3
1
3
.
33
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1 222
2















































 
CálculodoTeoremaoaplicando
t
tu
u
duu
du
ut
du
u
t
l
 
RESPOSTA: 7/90 (Letra A) 
 
8. Calcule a integral abaixo usando o método de 
integração possível. 
 xdxx ln. 
 
a) cx
x
ln
2
2
 
b) cx
x
 2ln
2
2
 
c)   cx
x
 2ln
2
2
 
d) cx
x
 )
2
1
(ln
2
2
 
e) cx
x
 )
2
1
(ln
2
2
 
(1) Só há condições de resolver a integral por partes. 
Vejamos que o algoritmo pode ser: 
 
 
 
  vdxuuvdxuv
ll
 
Para a função “u” encontramos a derivada “ul” 
Para a função “vl” encontramos a integral “v” 
(2) 
2
1
ln
?lnu - uv =dx u v
2
ll
x
vxve
x
uxu
xdxxvdx
ll 
  
 
Substituindo no algoritmo acima: 
22
1
ln
2
2
1
2
.lnln
2
.
1
2
.lnln
22
2
22
x
x
x
xdx
x
xxdxx
dx
x
x
x
xxdxx



 
 
 
Pode ser: 
cx
x
oucxx
x








2
1
ln
2
,
4
1
ln
2
2
2
2
 
RESPOSTA: Letra E 
 
9. Calcular a área da curva f(x) = 1 – x2 e pelo eixo 
dos x. Em unidades próprias de áreas temos: 
 
a) 4/3 
b) 2/3 
c) 8/3 
d) 3/2 
e) 5/3 
(1) A área limitada pela função f(x) = 1 – x2 e o eixo x 
pode ser calculada pela    dxx
21 , desde x = - 1 
até x = 1, pois, os pontos de interseção do eixo “x” 
com a função f(x) = 1 – x2 originam os limites de 
integração obtidos: 
1 – x2 = 0 ou x2 = 1 com x = - 1 ou x = 1 
   
3
4
3
2
3
2
3
1
1
3
1
1
3
1
11
3
1
1
3
1
33
1
1
1
1
3
2




















 












x
xdxx
 
RESPOSTA: Letra A (4/3 ua) 
 
 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
10. Determine a área formada pela senóide y = 
sen(x) desde x = 0 até x = 2. 
Em unidades próprias de áreas encontramos: 
 
a) 2 
b) 4 
c) 1 
d) 3 
e) Zero 
(1) O gráfico da senóide de 0º à 2 é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos que a área de 0º a  é igual a área de  a 
2, então basta fazer: 


0
)(.2 dxxsen , pois, assim estaremos calculando a 
área desde 0º até 2. 
(2) Resolvendo a integral 

0
)( dxxsen 
 
   
      21111
0coscos)cos()( 0
0
0



 


xdxxsen
 
Como a área é:  

0
42.2)(.2 xsen 
RESPOSTA: Letra B (4ua) 
 
 
 
 
 
1 
0 
1 
 2 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
SEGUNDA CHAMADA 
GABARITO 
 2016.1B – 18/06/2016 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) BRÁULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 C C A B B B A C A B 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A): BRÁULIO ANCHIETA 
 
 
1. Determine 
2
1
0
lim
x
xe
x
x −−
→
. Encontramos: 
a) Zero 
b) 1 
c) 2
1 
d) – ∞ 
e) + ∞ 
 
SOLUÇÃO: 
(1) Substituindo pela tendência: 
?
0
0
lim
0
01
lim
1
lim
02
0
020
==−−=−−
→→→ xx
x
x
e
x
xe
 
(Indeterminação de L’Hôspital) 
Derivando as funções numerador e 
denominador. 
( ) ( ) xx
dx
d
eexe
dx
d xx 2,,11 2 =−=−− ; 
temos: 
x
e
x
xe x
x
x
x 2
1
ln
1
lim
020
−=−−
→→
, e substituindo pela 
tendência fica: 
0
0
lim
0.2
1
lim
2
1
lim
0
0
0 →∞→→
=−=−
xx
x
x
e
x
e
, surge 
novamente 
0
0
. 
Portanto, novamente! Usamos L’Hôspital 
( ) ( ) 221 ==− x
dx
d
eee
dx
d xx
, e 
substituindo: 
2
1
2
1
lim
2
lim
2
lim
2
1
lim
0
0
000
====−
→→→− xx
x
x
x
x
ee
x
e
 
RESPOSTA: Letra C ( 2
1 ) 
 
2. O conjunto de valores de x que anulam a 
derivada de y = x3ln(x)– 1, é: 
 
a) 



 32;ee 
b) 



 − 32;1 e 
c) 



 − 31;0 e 
d) [ ]e;1 
e) 



 31;0 e 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
(1) ( ) 1ln3 −= xxy , é uma equação formada por 
uma soma algébrica 
( )( ) ( ) ( )( )xx
dx
d
y
dx
d
xx
dx
d
y l ln1ln 33 =∴−= 
( )( )xx
dx
d
y l ln3= , é um produto de funções. 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )1ln3ln3
1
.ln.3
lnln.
222
32
33
+=+=
+=
+=
xxyouxxxy
x
xxxy
x
dx
d
xxx
dx
d
y
ll
l
l
 
(2) Observe que yl = x2 (3ln(x) +1) é uma incompleta do 
2º grau em “x”. 
( )( ) 01ln3.2 =+xx , duas raízes: 
X2 = 0 ∴ x = 0, e 
3ln(x) + 1 = 0 ∴ 3ln(x) = – 1 ou 
3ln(x) = – 1 ∴ ln(x) = – 3
1 
Temos agora a função logarítmica do tipo: 
Lnx = k ∴ ek = x ou x = ek 
(loga b = k ∴ ak = b ou b = ak 
No caso log(x) = – 3
1 ∴ xe =− 3
1
 
Então as soluções são: 
x = 0 e x = 3
1−
e 
 
RESPOSTA: Letra C ( 3
1
;0
−
e ) 
 
3. Considere a função )4()( ππ −= tsentf com 
aproximação de 100
1 com ππππ = 3,14 e determine a 
derivada fl (1): 
 
a) – 12,56 
b) 12,56 
c) 6,28 
d) – 6,28 
e) 2,02 
 
SOLUÇÃO: 
Derivando a função f(t) = sen (4πt - π), temos: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 56,1214,3.441
44.14.3cos4.1.4cos)1(
4).4cos()(
−=−=−=
−=−==−=
−=
π
πππππππ
πππ
l
l
l
f
f
ttf
 
RESPOSTA: Letra A (– 12,56) 
 
 
 
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4. Seja a função y = x ex – 4 e-x uma função 
onde y = f (x). Determine fl (-1) com e = 2,7 para 
aproximação 1/10. O valor mais próximo 
encontrado é: 
 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 1 
 
SOLUÇÃO: 
(1) xx exey −−= 4 , é uma soma algébrica. 
( ) ( )xxl e
dx
d
xe
dx
d
y −−= 4 . (Produto de funções e 
constante por função) 
( )
( )
8,107,2.44
441
1,4
1.4..1
11)1(11
=∴=∴=
+−=∴+−+=
−=++=
−−+=
−−−−−−
−
−
lll
ll
xxxl
xxxl
yyey
eeeyeeey
xparaexeey
eexey
 
RESPOSTA: Letra B (Valor mais próximo 11) 
 
5. Considere a função ( )
2
1
−
−=
x
x
xf , determine fl 
(3): 
 
a) 1 
b) – 1 
c) 2 
d) 13 
e) – 12 
 
SOLUÇÃO: 
(1) Duas regras de derivação de funções algébricas 
muito usuais são: 
lll uvvuyuvy +=∴= (Derivada do Produto) 
2v
uvvu
y
v
u
y
ll
l −=∴= (Derivado do Quociente) 
Obs.: Considere u e v funções de x. 
(2) A função dada 
2
1
)(
−
−=
x
x
xf é uma função 
Quociente. 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA: Letra B (-1) 
 
6. Calcular integral ∫
e
t
dt
1
2 , sendo e ≅ 2,7182. 
a) 1 
b) 2 
c) e 
d) 2e 
e) Zero 
 
SOLUÇÃO: 
(1) ∫ ∫∫ =
e ce
dt
t
dt
t
ou
t
dt
1 11
1
.2
1
.22 
(2) A integral cx
x
e
+=∫ ln
1
1
 
Então: outdt
t
e
e
,ln.2
1
.2
1
1 
=∫ 
] 20.21.21ln2ln2ln2
1
=−=−= ct e 
Lembre-se das propriedades: lne =1 e ln1 = 0 
 
RESPOSTA: Letra B 
 
7. Calcule: Integral definida nos limites de 
integração de “1” e “2”, de 
( ) ( ) ( )232 2/. += tdtttf 
 
a) 7/90 
b) 7/9 
c) 9/7 
d) 9/10 
e) 7/3 
 
SOLUÇÃO: 
(1) Integral com função composta. Vamos usar método 
de integração por substituição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUBSTITUINDO: 
 
 
 
RESPOSTA: 7/90 (Letra A) 
 
8. ( )∫ +
1
0 3
,
1
dx
e
e
x
x
é igual a: 
 
a) ( ) 2
1
1
1 +
+
−
e
 
b) – e + 2 
c) 
( ) 8
1
12
1
2
+
+
−
e
 
d) – 1 
e) Zero 
 
SOLUÇÃO: 
(1) Façamos a mudança de variável: 








=
=
+=
x
x
x
e
du
dx
e
dx
du
eu 1
 
Substituindo: 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA: Letra C 
 
9. Calcular a área da curva f(x) = 1 – x2 e pelo eixo 
dos x. Em unidades próprias de áreas temos: 
 
a) 4/3 
b) 2/3 
c) 8/3 
d) 3/2 
e) 5/3 
 
SOLUÇÃO: 
(1) A área limitada pela função f(x) = 1 – x2 e o eixo x 
pode ser calculada pela ( )∫ − dxx 21 , desde x = - 1 
até x = 1, pois, os pontos de interseção do eixo “x” 
com a função f(x) = 1 – x2 originam os limites de 
integração obtidos: 
1 – x2 = 0 ou x2 = 1 com x = - 1 ou x = 1 
( ) ( )
3
4
3
2
3
2
3
1
1
3
1
1
3
1
11
3
1
1
3
1
331
1
1
1
3
2
=+=




 +−−




 −=







 −−−−





−=


−=−
−
−∫
x
xdxx
 
 
RESPOSTA: Letra A (4/3 ua) 
 
10. Determine a área formada pela senóide y = 
sen(x) desde x = 0 até x = 2ππππ. 
Em unidades próprias de áreas encontramos: 
 
a) 2 
b) 4 
c) 1 
d) 3 
e) Zero 
 
 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A): BRÁULIO ANCHIETA 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
(1) O gráfico da senóide de 0º à 2π é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos que a área de 0º a π é igual a área 
de π a 2π, então basta fazer: 
∫
π
0
)(.2 dxxsen , pois, assim estaremos calculando 
a área desde 0º até 2π. 
(2) Resolvendo a integral ∫
π
0
)( dxxsen 
 
( ) ( )
( )( ) ( )( ) 21111
0coscos)cos()( 0
00
=+=−−−−=
−−−=

−=∫ π
ππ
xdxxsen
 
Como a área é: ∫ ==
π
0
42.2)(.2 xsen 
 
RESPOSTA: Letra B (4ua) 
 
1 
0 
1 
π 2π 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
FINAL 
GABARITO 
 2016.1B – 09/07/2016 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 A B C D D C A E A B 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
1. Considere a função )4()( ππ −= tsentf com 
aproximação de 100
1
 com ππππ = 3,14 e determine a 
derivada fl (1). 
 
 
a) – 12,56 
b) 12,56 
c) 6,28 
d) – 6,28 
e) 2,02 
 
SOLUÇÃO 1 
Derivando a função f(t) = sen (4πt - π), temos: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 56,1214,3.441
44.14.3cos4.1.4cos)1(
4).4cos()(
−=−=−=
−=−==−=
−=
π
πππππππ
πππ
l
l
l
f
f
ttf
resposta: letra A (– 12,56) 
 
2. O Valor de 1
ln
lim
1 −→ x
x
x é: 
 
a) e 
b) 1 
c) ∞ 
d) – 1 
e) – ∞ 
 
 
SOLUÇÃO 2 
 
(1) 
1
ln
lim
1 −→ x
x
x
= ? Procuramos resolver o limite 
normalmente substituindo pela tenência. 
?
0
0
lim
11
1ln
lim
11
==
− →→ xx , obtendo uma 
indeterminação. 
Sabemos que 0
0
 e ∞
∞
 são as indeterminações 
que nos levam a regra de L’hôspital que pode ser 
usada e substituída: 
( )
( )
( )
( ) )Re""(limlim alaqualquerxg
xf
xg
xf
l
l
axax →→
=
 
 
 
 
 
Então: ( )
1
1
1
lim
1
ln
lim
11
=






=
− →→
x
x
x
xx
 
Pois: 
( ) ( ) 111ln =−= x
dx
d
e
x
x
dx
d
 
 
Resposta: letra B (1) 
 
3. Determine 
2
1
0
lim
x
xe
x
x −−
→ . Encontramos: 
 
 
a) Zero 
b) 1 
c) 2
1
 
d) – ∞ 
e) + ∞ 
 
SOLUÇÃO 3 
(1) Substituindo pela tendência: 
?
0
0
lim
0
01
lim
1
lim
02
0
020
==−−=−−
→→→ xx
x
x
e
x
xe
 
(Indeterminação de L’Hôspital) 
Derivando as funções numerador e 
denominador. 
( ) ( ) xx
dx
d
eexe
dx
d xx 2,,11 2 =−=−− ; 
temos: 
x
e
x
xe x
x
x
x 2
1
ln
1
lim
020
−=−−
→→
, e substituindo 
pela tendênciafica: 
0
0
lim
0.2
1
lim
2
1
lim
0
0
0 →∞→→
=−=−
xx
x
x
e
x
e
, surge 
novamente 
0
0
. 
Portanto, novamente! Usamos L’Hôspital 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
( ) ( ) 221 ==− x
dx
d
eee
dx
d xx , e 
substituindo: 
2
1
2
1
lim
2
lim
2
lim
2
1
lim
0
0
000
====−
→→→− xx
x
x
x
x
ee
x
e
 
Resposta: Letra C ( 2
1 ) 
 
4. A derivada da função f (x) = x2 cos x – 2x sen x – 
2cos x é igual a: 
 
a) 2xsen x + x2 cos x 
b) sen x – 2x2 cos x 
c) x2 cos x 
d) – x2 sen x 
e) 2x sen x + x2 sen x – 2 cos x 
 
 
SOLUÇÃO 4 
(1) A função f(x) = x2 cos x – 2x sen x – 2 cos x pode 
ser derivada usando uma sequência de regras de 
derivação. 
f(x) = x2 cos x – 2x sen x – 2 cos x, é uma soma 
algébrica 
( ) ( ) ( )x
dx
d
xsenx
dx
d
xx
dx
d
xf l cos22cos)( 2 −−= 
(2) Vamos usar regras conhecidas anteriormente e 
mais duas importantes regras da derivação: 
Considere “u” sendo uma função de “x” 
senxyxyouusenuyuy
xysenxyouuuysenuy
lll
lll
−=∴=−=∴=
=∴==∴=
cos.cos
cos.cos
 
(3) Continuando a nossa derivação 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )








−=−=
+=
−=−+=
−−=
)tan(2.2cos2
).(cos222
).(cos2cos2cos
cos22cos
222
2
funçãopelateconssenxsenxx
dx
d
produtoRxxsenxxsenx
dx
d
produtoRsenxxxxsenxxxxxx
dx
d
x
dx
d
xsenx
dx
d
xx
dx
d
xf l
Substituindo: 
( ) ( ) ( )senxxxsenxsenxxxxxf l 2cos22cos2 2 −−+−−=
 
(Observando os sinais das funções nos parênteses). 
( ) senxxxsenxsenxxxxxf l 2cos22cos2 2 +−−−=
 
(Eliminando os termos semelhantes de sinais opostos) 
fl(x) = - x2 senx 
Resposta: Letra D (- x2 sen x) 
 
5. Determine o valor da seguinte integral: 
dxxx∫− 


 +
1
1
33
4
4
 
 
a) 2/5 
b) 4/3 
c) -3/4 
d) 6/7 
e) 15/21 
 
 
SOLUÇÃO 5 
 
(1) Usamos a propriedade da função potência para 
cada função da integral: 
1,
1
1
−≠∈+
+
=∫
+
ncomRnparaC
n
x
dxx
n
n
 
(2) A integral 
∫∫ −− 


 +=



 +
1
1
3
1
3
41
1
33
4
44 dxxxdxxx
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
1
1
3 43 7
1
1
3
4
3
7
1
1
3
4
3
7
1
1
3
4
3
7
1
1
13
113
4
1
1
3
1
3
4
3
7
3
3
7
3
4
3
.4
7
3
3
4
4
3
7
1
3
1
1
3
4
4
−−
−
−
−
++
−

+
+=

+∴












+






=
∴











 +
+





 +
=



 += ∫
xxouxx
xx
xx
x
x
x
dxxx
 
 
(3) Substituindo os limites de integração e aplicando o 
Teorema do cálculo 
( ) ( )
( )
7
6
3
7
3
3
7
3
1.31.
7
3
1.31.
7
3
131
7
3
131
7
3
3
7
3
3 43 73 43 7
1
1
3 43 7
=−++=




 +−−




 +=





 −+−−




 +=

+=
−
xx
 
Resposta: 7
6
 (Letra D) 
 
 
 
6. Considere a função f(x) = e2x, a integral 
indefinida 
dxe x∫
22
 é: 
 
a) 2x + c 
b) ex – 1 
c) e2x +c 
d) e + c 
e) ex + c 
 
 
SOLUÇÃO 6 
 
(1) Sabemos das propriedades 
( )
∫ ∫
∫
∫
+==
=
+==
ceee
ouedxeEntão
cedxeeee
xxx
xx
xxxlx
222
22
2.2
,2:
 
 
Resposta: e2x + c (Letra C) 
 
 
 
7. Calcule a integral indefinida de: 
dx2
12 )2x - 3x.(1 
 
a) 
( ) cx +−− 23221
2
1
 
b) 
( ) cx +− 21221
12
5
 
c) 
( ) cx ++ 23221
5
2
 
d) 
( ) cx ++ 212 12
5
3
 
e) 
( ) cx +− 25321
9
5
 
 
 
 
SOLUÇÃO 7 
 
(1) 
( )∫ =− ?21.3 2
1
2 dxxx
 Vamos resolver 
esta integral por substituição ou mudança de 
variável. 
Deixamos a constante para o final da nossa 
resolução. 
(2) Façamos a mudança de variável: 








−
=
−=
−=
x
du
dx
x
dx
du
xu
4
4
21 2
 
Substituindo: 
( )
( )
( )
( ) cx
teconsacomdocomplexu
u
uu
xuondeduu
duu
du
x
xu
x
du
ux
+−−=
−−∴−=
−∴






−∴





 +
−=
−=−=
−=
−
=
−
+
∫
∫
∫
∫
2
3
2
2
3
22
3
2
32
312
1
22
1
2
1
2
1
2
1
21
2
1
.tantan,21
2
1
2
1
3
2
.
4
3
2
34
3
1
2
14
3
21,
4
3
4
3
4
1
3
4
3
 
Resposta: Letra A 
 
 
 Página 5 de 6 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
8. Calcule a integral abaixo usando o método de 
integração possível. 
∫ xdxx ln. 
 
a) 
cx
x +ln
2
2
 
b) 
cx
x ++ 2ln
2
2
 
c) 
( ) cxx ++ 2ln
2
2
 
d) cx
x ++ )
2
1
(ln
2
2
 
e) cx
x +− )
2
1
(ln
2
2
 
 
 
SOLUÇÃO 8 
 
(1) Só há condições de resolver a integral por partes. 
Vejamos que o algoritmo pode ser: 
∫ ∫−= vdxuuvdxuv
ll
 
Para a função “u” encontramos a derivada “ul” 
Para a função “vl” encontramos a integral “v” 
 
(2) 
2
1
ln
?lnu - uv =dx u v
2
ll
x
vxve
x
uxu
xdxxvdx
ll =→==→=
=∫ ∫ ∫
 
Substituindo no algoritmo acima: 
22
1
ln
2
2
1
2
.lnln
2
.
1
2
.lnln
22
2
22
x
x
x
xdx
x
xxdxx
dx
x
x
x
xxdxx
−=
−=
−=
∫ ∫
∫ ∫
 
Pode ser: 
cx
x
oucxx
x
+




 −
+−
2
1
ln
2
,
4
1
ln
2
2
2
2
 
Resposta: letra E 
 
 
 
 
 
 
9. Determine a área delimitada pelos gráficos das 
funções y = x2 – 1 e y = 1 – x2. 
 
a) 8/3 
b) 4/3 
c) 2 
d) ½ 
e) 6/5 
 
SOLUÇÃO 9 
 
(1) A área formada pelas funções y = x2 – 1 e y = 
1 – x2 pode ser entendida pela formação das 
parábolas: 
 
 
 
 
 
(2) Os limites de integração são obtidos pela interseção 
das curvas. 
Então: x2 – 1 = 1 – x2 ∴ x2 + x2 = 2 ∴ x2 = 1 (x = 1 e x 
= – 1 ) 
(3) Organizando e resolvendo a integral, temos: 
 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
8
3
412
3
4
4
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
1
212
3
1
212
3
2222
3
2222
33
1
1
1
1
3
2
1
1
1
1
3
2
=−=−=
−+−=




 +−−−=







 −−−−−=
=


−=−



−=−
−
−
−
−
∫
∫
x
xdxx
x
xdxx
 
Resposta: Letra A (8/3 ua) 
 
 
10. quanto trabalho deve ser realizado para 
deslocar um corpo de 2m por meio de uma força 
F(x) = 120 + 25 sen (x) ? 
(Considere no problema cos0º = cos1º = cos2º 
todas as grandezas no SI). 
 
a) 120 
b) 240 
c) 60 
d) 180 
e) Zero 
 
 
 Página 6 de 6 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
SOLUÇÃO 10 
 
 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
 PROGRAMA RECUPERAÇÃO 2016.1 
 AV2 –15/07/2016 
 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 A B C D E C D B D B 
 
 
 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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CÁLCULO INTEGRAL 
 
 
1. Utilizando a Regra da Cadeia derive 
: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. Derive em função de : 
 
b) 
c) 
 
e) 
3. Derive : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. Determina a Integral Indefinida de 
: 
 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
e) 
 
5. Calcule a derivada da função : 
 
a)b) 
 
 c) 
 
 d) 
 
 e)
 
 
 
6 . Determine 
2
1
0
lim
x
xe
x
x −−
→
. Encontramos: 
a) Zero 
b) 1 
c) 2
1 
d) – ∞ 
e) + ∞ 
 
7. Qual função representa o resultado da integral 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
8. Qual função representa o resultado da integral 
 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
 Página 3 de 3 
 
CÁLCULO INTEGRAL 
 
 
d) 
e) 
 
9. Resolva o limite da função seguinte, aplicando a 
regra de L’Hospital: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
10. Calcule o valor da área correspondente a região 
delimitada pelo conjunto de pontos formado por 
 e 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 GRADUAÇÃO EAD 
 GABARITO 
 PROGRAMA RECUPERAÇÃO 2016.1 
 FINAL – 23/07/2016 
 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 D A A D C E C B D A 
 
 
 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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CÁLCULO INTEGRAL 
 
 
1. Seja , , a função dada 
implicitamente pela equação 
Determine a equação da derivada . 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. Aplique a regra de L’Hospital para encontrar o 
limite da expressão: 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. Aplique a regra de L’Hospital para encontrar o 
limite da expressão: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. Determine a função que representa a integral 
 
a) 
b) 
 
 
c) 
d) 
 
 
e) 
 
5. Qual das seguintes alternativas expressa a área 
delimitada pelas curvas 
 
 e 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
6. Determine a função que representa a integral 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. Determine a derivada da função dada da 
implicitamente na expressão: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 Página 3 de 3 
 
CÁLCULO INTEGRAL 
 
 
8. Determine a função que representa a integral 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9. Calcule a derivada correspondente a expressão 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
10. Calcule a derivada correspondente a expressão 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 1 de 7 
 
 
 
 
GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
AV2 2017.1B – 10/06/2017 
 
 
 
 
 
 
 
1. Utilizando uma regra apropriada, calcule o seguinte limite: 
 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra D. 
Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP capítulo II – Regra De L’Hôpital páginas 37 a 39. 
Comentário: Tentando resolver o limite percebemos chegar a uma indeterminação do tipo 
 
Para solucionar o impasse devemos aplicar a regra de L’Hôpital, derivando as funções 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
QUESTÕES COMENTADAS 
Disciplina CÁLCULO INTEGRAL 
Professor (a) ARNOBIO ROBERTO CANECA 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
D E B A D C E A C B 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
2. Seja , a função dada implicitamente pela equação Determine a equação da 
derivada . 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
Alternativa correta: Letra E. 
Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP capítulo I – A derivada da função implícita, página 5. 
Comentário: 
Aplicando o método de derivação implícita: 
 
 
 
 
 
3. Determine a função que representa a integral 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
 
d) 
 
e) 
Alternativa correta: Letra B. 
Identificação de conteúdo: A resposta está na 3ª web conferência Integração pelo método da substituição. 
 
Comentário: 
Aplicando o método da substituição de uma nova variável, teremos: 
 
 
 
Substituindo essa nova variável na integral, temos: 
 Assim, a solução da integral é dada por: 
 
 
4. Aplicando a técnica apropriada, a solução para a integral será: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP/PEARSON capítulo III – Integração por partes, páginas 66 a 71. 
Comentário: 
Aplicando a técnica de integração “por partes”: 
 (expressão por integração por parte) 
Definindo a variável 
 
 
Definindo a variável 
 
 
Aplicando os termos e na expressão por partes, temos: 
 
A solução para a integral apresentada será ela própria 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
 
Colocando o resultado da integral na soma da integração por partes ficaremos com: 
 
 
5. Aplicando o teorema fundamental do cálculo, determine o valor de: 
 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
Alternativa correta: Letra D. 
Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP Capítulo III – A integral definida, páginas 64 a 66. 
Comentário: Aplicando o teorema fundamental do cálculo: 
 
 
 
 
6. Determine a área, em unidades de área (u.a.), da região compreendida entre as funções e 
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
a) 58 u.a. 
b) 40 u.a. 
c) 36 u.a. 
d) 18 u.a. 
e) 6 u.a. 
Alternativa correta: Letra C. 
Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP Capítulo IV – Cálculo de área, páginas 100 a 106. 
Comentário: A área será determinada pela diferença entre as funções da origem, isto é, (0, 0) até a interseção das 
curvas que está no ponto (6,6): 
 
 
 
7. Dada a função , encontre o valor para 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra E. 
Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP Capítulo I – Derivada da função exponencial, 
páginas 23 a 25. 
Comentário: Aplicando a regra da cadeia para a função teremos: 
 
 
 
 
 
8. Aplicando o método das frações parciais, encontre o resultado da integral: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP Capítulo IV – Integração de funções racionais, 
páginas 77 a 87. 
Comentário: Para solucionar a integral devemos reescrever a fração em termos de somas de frações menores, isso 
deverá ser feito decompondo o polinômio que surge no denominador da integral assim teremos que: 
 
Aplicando a técnica, a fração poderá ser decomposta como: 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
 
 
Temos que encontrar os valores de A e B que satisfaçam as seguintes condições: 
 
Multiplicando a primeira equação por e, somando os resultados teremos: 
 
 
Com os valores de A e B conhecidos, reescreveremosa integral. 
 
A solução das integrais será: 
 
 
 
9. Utilizando a regra de L’Hôpital, calcule o seguinte limite: 
 
a) 
b) 1 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra C. 
Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP capítulo II – Regra De L’Hôpital páginas 37 a 39. 
Comentário: 
 
Aplicando a regra de L’Hôpital 
 
 
10. Determine a função que representa a integral 
 
a) 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
d) 
 
e) 
Alternativa correta: Letra B. 
Identificação de conteúdo: A resposta está no seu BUP da Unidade II – Integração envolvendo potência de seno e 
cosseno – páginas 55 a 58. 
Comentário: 
Como 
 
 
 
Aplicando a técnica de integração “da substituição”: 
Definindo a variável 
 
 
Aplicando a substituição na expressão, temos: 
 
 
 
Como , Então: 
 
 
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GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
SEGUNDA CHAMADA 2017.1B – 17/06/2017 
 
 
 
 
 
 
1. Determine a área definida pela região sombreada no gráfico da figura abaixo. 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra B 
Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP, Capítulo IV – Cálculo de área, páginas 100 à 106. 
Comentário: A = 
 
GABARITO 
QUESTÕES COMENTADAS 
Disciplina CÁLCULO INTEGRAL 
Professor (a) ARNOBIO ROBERTO CANECA 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
B A E D C D B B E B 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
 
2. Utilizando a Regra da Cadeia, derive : 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra A 
Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP, capítulo I – A regra da cadeia, página 23. 
Comentário: 
Derivando essa função pela regra da cadeia, temos: 
 
Que quando reorganizamos, ficamos com a expressão: 
= 
 
3. Aplicando o método das frações parciais, encontre o resultado da integral: 
 
 
 
 
 
a) 
b) 4 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra E 
Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP, Capítulo IV – Integração de funções racionais, 
páginas 77 à 87. 
Comentário: Para solucionar a integral devemos reescrever a fração em termos de somas de frações menores, isso 
deverá ser feito decompondo o polinômio que surge no denominador da integral, assim teremos que: 
 
Aplicando a técnica, a fração poderá ser decomposta como: 
 
Temos que encontrar os valores de A e B que satisfaçam as seguintes condições: 
 
Somando os resultados teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
 
 
 
Com os valores de A e B conhecidos, reescreveremos a integral. 
 
 
A solução das integrais será: 
 
 
4. Aplicando o teorema fundamental do cálculo, determine o valor de: 
 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra D 
Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP, Capítulo III – A integral definida, página 64 à 66. 
Comentário: Aplicando o teorema fundamental do cálculo: 
 
 
 
 
 
 
5. Aplicando a técnica apropriada, a solução para a integral será: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
Alternativa correta: Letra C 
Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP/PEARSON, capítulo III – Integração por partes, páginas 66 à 71. 
Comentário: 
 
Aplicando a técnica de integração “por partes”: 
 (expressão por integração por parte) 
Definindo a variável 
 
 
 
Definindo a variável 
 
 
Aplicando os termos e na expressão por partes, temos: 
 
 
A solução para a integral apresentada será: 
 
Colocando o resultado da integral na soma da integração por partes ficaremos com: 
 
 
6. Resolva o limite da função seguinte, aplicando a regra de L’Hôpital: 
 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra D 
Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP, capítulo II – Regra De L’Hôpital páginas 37 à 39. 
Comentário: Usando a regra de L’Hôpital para calcular o limite: 
 
Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando o numerador e o denominador) 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
Quando fazemos a substituição de verificamos que ainda nos deparamos com uma indeterminação, assim 
teremos que usar a regra de L’Hôpital pela segunda vez: 
 
 
7. Seja , , a função dada implicitamente pela equação Determine a 
equação da derivada . 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra B 
Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP, capítulo I – A derivada da função implícita, página 5. 
Comentário: 
 
Aplicando o método de derivação implícita: 
 
 
 
 
 
8. Determine a função que representa a integral . 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra B 
Identificação de conteúdo: A resposta está no seu BUP da Unidade II – Integração envolvendo potência de seno e 
cosseno – páginas 55 à 58. 
 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
Comentário: 
Como 
 
 
 
Aplicando a técnica de integração “da substituição”: 
Definindo a variável 
 
 
 
Aplicando a substituição na expressão, temos: 
 
 
 
Como , Então: 
 
 
9.Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada da função . 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra E 
Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP, capítulo I – A regra da cadeia, página 23. 
Comentário: 
Aplicando a regra da cadeia, teremos: 
 
 
Teremos que aplicar novamente a regra da cadeia 
 
 
Rearrumando, teremos: 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 
 
 
 
 
10. Determine o valor da integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra B 
Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP, Capítulo III – A integral definida, página 64 à 66. 
Comentário: Aplicando a integral da função exponencial que é ela própria, portanto, faremos: 
 
 
 
 
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GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
FINAL 2017.1B – 08/07/2017 
 
 
 
 
 
1. Calcule a derivada da expressão 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra A 
Identificação do conteúdo: BUP capítulo I – A regra do produto e a regra da cadeia, páginas 20 à 23. 
Comentário: Seja a função dada por a sua derivada correspondente pode ser determinada usando 
a regra da multiplicação e da cadeia, assim: 
 
 
 
Aplicando a regra do produto: 
 
Simplificando essa expressão temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
QUESTÕES COMENTADAS 
Disciplina CÁLCULO INTEGRAL 
Professor (a) ARNOBIO R. CANECA 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A C E B D B D A C D 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA 
 
 
2. A área delimitada pelas curvas e abaixo é: 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra C 
Identificação do conteúdo: BUP Capítulo IV – Cálculo de área, páginas 100 à 106. 
Comentário: Observando a figura vemos que devemos calcular a área delimitada por , definida por 
 
 
 
 
3. Aplicando a técnica apropriada, resolva a integral 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA 
 
 
e) 
Alternativa correta: letra E 
Identificação do conteúdo: 3ª web conferência: Integração pelo método da substituição 
Comentário: Aplicando a técnica de integração “substituição de uma nova variável”: 
 
 
Substituindo essa nova variável na integral, temos: 
 
Assim, a solução da integral é dada pela substituição da variávelu pela variável x: 
 
 
4. Aplique a regra de L’Hôpital para encontrar o limite da expressão: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra B 
Identificação do conteúdo: BUP capítulo II – Regra De L’Hôpital, páginas 37 à 39. 
Comentário: Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando o numerador e o denominador): 
 
 
5. Determine a derivada implícita da função dada por: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra D 
Identificação do conteúdo: BUP capítulo I – A derivada da função implícita, página 5. 
Comentário: 
Derivando: 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA 
 
 
 
 
 
 
6. Determine a função que representa a integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra B 
Identificação do conteúdo: BUP da Unidade II – Integração envolvendo potência de seno e cosseno – páginas 55 à 
58. 
Comentário: Como 
 
 
 
Aplicando a técnica de integração “da substituição”: 
Definindo a variável 
 
 
Aplicando a substituição na expressão, temos: 
 
 
 
 
Como , Então: 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA 
 
7. Calcule a derivada da função 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra D 
Identificação do conteúdo: BUP capítulo I – A regra do quociente, página 24. 
Comentário: Se a função dada é o quociente de duas funções sua derivada correspondente pode ser determinada 
usando a regra do quociente, assim: 
 
 
 
 
Simplificando essa expressão temos: 
 
 
8. Seja as integrais definidas abaixo: 
 . 
 
Determine o valor de . 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
e) 
Alternativa correta: Letra A 
Identificação do conteúdo: BUP Capítulo III – A integral definida, página 64 à 66. 
Comentário: Resolvendo cada uma das integrais teremos: 
 . 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA 
 
 
 
 
 
 
 
O valor de: Será: 
 
 
9. Aplicando a técnica apropriada a solução para a integral será: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: letra C 
Identificação do conteúdo: BUP/PEARSON capítulo III – Integração por partes, páginas 66 à 71. 
Comentário: 
Aplicando a técnica de integração “por partes”: 
 (expressão por integração por parte) 
Definindo a variável 
 
 
Definindo a variável 
 
 
Aplicando os termos e na expressão por partes, temos: 
 
 
A solução para a integral apresentada será ela própria 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA 
 
 
 
Colocando o resultado da integral na soma da integração por partes ficaremos com: 
 
 
10. Determine o valor da integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: letra D 
Identificação do conteúdo: BUP Capítulo III – A integral definida, páginas 64 à 66. 
Comentário: Aplicando a regra da potencia para solucionar a integral faremos: 
 
 
 
 
 
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GRADUAÇÃO EAD 
 AV2 2018.1B 
 16/06/2018 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 1. 
Quatro pessoas caminhavam por um parque e seus 
percursos foram registrados respectivamente pelas 
funções: retas x=0, x=1, y=2 e pelo gráfico de y=x². 
Calcule a área que representa o percurso formado 
pelas pessoas no parque. (Sugestão: construir o 
gráfico das funções no mesmo plano). 
 
R: 
 
 
 
 
QUESTÃO 2. 
Determine a família de soluções da integral 
indefinida 
 
 
R: 
 
 
 
QUESTÃO 3. 
Se a curva de rendimento marginal é dada por R = 
50 – 0,2X, determine as curvas de rendimento total. 
 
R: R= 50X-0,1X² 
 
 
QUESTÃO 4. 
Uma partícula desloca-se sobre o eixo OX com 
velocidade v(t)= 2- t. Calcule o deslocamento entre 
os instantes t=1 e t=3. 
 
R: D= 0 
 
 
 
QUESTÃO 5. 
Seja f uma função inversível, com função inversa g. 
Se f for derivável em q=g(p), com f’ (q) ≠ 0, e se g 
for contínua em p, então g será derivável em p. De 
acordo com o teorema citado, determine a derivada 
y= arc sen x². 
 
 
 
 
R: 
 
 
QUESTÃO 6. 
 
Determine a área de uma região limitada pelo 
gráfico de pelo eixo x e pelas retas x= -1 e 
x=1. 
 
R: 1/2 
 
 
QUESTÃO 7. 
Determine a solução da derivada da função 
 
 
R: 
 
 
 
 
QUESTÃO 8. 
Calcule a área do conjunto de todos os pontos 
(x,y), limitados por 
 
R: 1/3 
 
 
QUESTÃO 9. 
Determine o volume do sólido resultante da 
rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos 
(x,y) tais que 
 
 
R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO INTEGRAL 
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QUESTÃO 10. 
10. Determine a área, em unidades de área (u.a.), da 
região compreendida entre as funções 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 36 u.a. 
 
 
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GRADUAÇÃO EAD 
SEGUNDA CHAMADA 
2018.1B 
30/06/2018 
 
QUESTÃO 1. 
Duas pessoas caminhavam por um parque e seus 
percursos foram registrados, respectivamente, pela 
função: y=x e pelo gráfico de y=x², com 0≤ x ≤ 2. 
Assim, calcule a área que representa o percurso 
formado pelas pessoas no parque. (Sugestão: 
construir o gráfico das funções no mesmo plano). 
 
R: 1 
 
QUESTÃO 2. 
Determine a família de soluções da integral 
indefinida a seguir: 
 
 
R: 
𝟏
𝟓
 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟓+c 
 
QUESTÃO 3. 
Se a curva de rendimento marginal é dada por R = 20 
– 0,2X, assinale a alternativa que determina as 
curvas de rendimento total. 
 
R: R= 20X-0,1X² 
 
QUESTÃO 4. 
Uma partícula desloca-se sobre o eixo OX com 
velocidade v(t)= 2- t. Desse modo, calcule o espaço 
percorrido entre os instantes t=1 e t=3. 
 
R: D= 1/2 
 
QUESTÃO 5. 
Seja f uma função inversível, com função inversa g. 
Se f for derivável em q=g(p), com f’ (q) ≠ 0, e se g for 
contínua em p, então g será derivável em p. De 
acordo com o teorema citado, determine a derivada 
y= arc tg3x. 
 
R: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 
𝟑
𝟏+𝟗𝒙²
 
 
QUESTÃO 6. 
Determine pela primeira regra de L’ Hospital 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒑
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒑
𝒇′(𝒙)
𝒈′(𝒙)
, para: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙𝟓 −𝟔𝒙𝟑+𝟖𝒙−𝟑
𝒙𝟒 −𝟏
 
 
R: -5/4 
QUESTÃO 7. 
Determine o volume do sólido resultante da rotação, 
em torno do eixo y, do conjunto de todos (x,y) tais 
que 0≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x- x³. ). 
R: 
𝟐
𝟏𝟓
 
 
QUESTÃO 8. 
Determine a área de uma região limitada pelo gráfico 
de f(x)= x²- x, com 0 ≤ x ≤ 2. 
 
R: 1 
 
QUESTÃO 9. 
Determine a solução da derivada da função f(x)= x 
𝒆𝒙. 
 
R: 𝒆𝒙 ( 1 + x) 
 
QUESTÃO 10. 
Calcule a área do conjunto de todos os pontos 
(x,y). 
∫
𝒙 + 𝟑
𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐
 𝒅𝒙 
 
R: -4ln|𝑥 − 1| + 5ln|𝑥 − 2| + k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONFEITARIA E DOÇARIA 
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GRADUAÇÃO EAD 
 FINAL 2018.1B 
 07/07/2018 
 
 
 
QUESTÃO 1. 
Quatro pessoas caminhavam por um parque e seus percursos foram registrados respectivamente pelas 
funções: retas x=0, x=1, y=2 e pelo gráfico de y=x². Calcule a área que representa o percurso formado pelas 
pessoas no parque. (Sugestão: construir o gráfico das funções no mesmo plano). 
 
R: 
 
QUESTÃO 2. 
Determine a família de soluções da integral indefinida . 
 
 
R: +c 
 
QUESTÃO 3. 
Se a curva de rendimento marginal é dada por R = 15 – 0,2X, determine as curvas de rendimento total. 
 
R: R= 15X-0,2X² 
 
QUESTÃO 4. 
Uma partícula desloca-se sobre o eixo OX com velocidade v(t)= 2- t. Calcule o espaço percorrido entre os 
instantes t=1 e t=3. 
 
R: D= 1/2 
 
QUESTÃO 5. 
Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y), 
 
 
 
R: -4ln + 5ln + k 
 
QUESTÃO 6. 
Determine pela primeira regra de L’ Hospital = , para: 
 
 
R: 2 
 
QUESTÃO 7. 
Determine o volume do sólido resultante da rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos (x,y) taisque x² + 
y² ≤ r², y ≥ 0(r >0 ). 
CÁLCULO INTEGRAL 
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R: 
 
 
QUESTÃO 8. 
Determine a área de uma região limitada pelo gráfico de f(x)= x²- x, com 0 ≤ x ≤ 2. 
 
 
R: 1 
 
QUESTÃO 9. 
Determine a solução da derivada da função f(x)= x² . 
 
R: x ( 2 +2 x) 
 
QUESTÃO 10. 
Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y), limitados por x²≤y≤ 
 
R: 1/3 
 
 
 
 
 
 Página 1 de 2 
 
 
 
 
GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
FINAL 2018.1B – 14/07/2018 
 
 
 
 
1. Determine a área definida pela região sombreada no gráfico da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
2. Utilizando a Regra da Cadeia, derive : 
 
 
 
3. Aplicando o método das frações parciais, encontre o resultado da integral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES 
Disciplina CÁLCULO INTEGRAL 
 
 
 Página 2 de 2 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL 
 
 
 
4. Aplicando o teorema fundamental do cálculo, determine o valor de: 
 
 
 
 
 
 
5. Aplicando a técnica apropriada, a solução para a integral será: 
 
 
 
6. Resolva o limite da função seguinte, aplicando a regra de L’Hôpital: 
 
 
 
 
7. Seja , , a função dada implicitamente pela equação Determine a 
equação da derivada . 
 
 
 
8. Determine a função que representa a integral . 
 
 
 
9.Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada da função . 
 
 
 
10. Determine o valor da integral