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Joel Câmara de Carvalho Filho
Ranilson Carneiro Filho
EletromagnetismoD I S C I P L I N A
O potencial elétrico – parte 1
Autores
aula
05
Carvalho Filho, Joel Câmara de.
Eletromagnetismo / Joel Câmara de Carvalho, Ranilson Carneiro Filho. – Natal, 
RN: EDUFRN, 2009.
13 v.
284 p.
ISBN: 978-85-7273-527-8
Conteúdo: Aula 01 – O eletromagnetismo; Aula 02 – Eletrostática; Aula 03 
– O campo elétrico; Aula 04 – A Lei de Gauss; Aula 05 – O potencial elétrico 
(Parte 1); Aula 06 – O potencial elétrico (Parte 2); Aula 07 – Capacitância; 
Aula 08 – Corrente e resistência elétricas; Aula 09 – Circuitos de corrente 
contínua; Aula 10 – O campo magnético; Aula 11 – A Lei de Ampère; Aula 
12 – A Lei de Faraday e as equações de Maxwell; Aula 13 – Aplicações do 
eletromagnetismo.
1. Física. 2. Eletricidade. 3. Magnetismo. I. Carneiro Filho, Ranilson. II. Título. 
CDD 530
RN/UF/BCZM 2009/48 CDU 53
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Secretária de Educação a Distância
Vera Lucia do Amaral
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Aula 05 Eletromagnetismo 1
1
2
3
4
Apresentação
Nesta aula, defi niremos diferença de potencial elétrico, determinaremos a expressão para o potencial elétrico em um ponto qualquer do espaço, defi niremos o que são superfícies equipotenciais e apresentaremos as confi gurações dessas superfícies para 
diversas distribuições de cargas. Obteremos a relação entre potencial elétrico e campo elétrico. 
Aplicaremos essa relação para determinarmos o potencial elétrico entre dois pontos numa 
região com campo elétrico uniforme.
Objetivos
Introduzir o conceito de diferença de potencial elétrico e 
de potencial elétrico em um ponto. 
Introduzir o conceito de superfícies equipotenciais e 
aprender a visualizar tais superfícies para algumas 
distribuições de cargas.
Determinar a expressão que permite determinar o 
potencial elétrico a partir do campo elétrico.
Calcular a diferença de potencial elétrico entre dois pontos 
numa região com campo elétrico uniforme.
Aula 05 Eletromagnetismo2
Defi nição de diferença 
de potencial elétrico e o 
potencial elétrico em um ponto
Na Teoria de Campos, temos que o campo gravitacional descreve os efeitos produzidos por massas (gravitacionais), enquanto o campo elétrico descreve os efeitos produzidos por cargas elétricas. Existem duas grandezas alternativas para fazer essas descrições: 
diferença de potencial gravitacional e diferença de potencial elétrico. Por comodidade, 
usaremos o termo d.d.p. para representar diferença de potencial. As vantagens da utilização 
dessas grandezas é que elas são grandezas escalares. Podemos achar o campo conhecendo 
a diferença de potencial, e achar a diferença de potencial conhecendo o campo. A d.d.p. 
gravitacional não é muito usada, mas a d.d.p. elétrica é essencial no estudo do Eletromagnetismo, 
sendo especialmente útil no estudo dos circuitos elétricos. 
Constatamos fi sicamente que:
1) se existe uma d.d.p. elétrica entre dois pontos do espaço, então existe um campo elétrico 
na região entre esses pontos; 
2) se existe um campo elétrico numa dada região do espaço, existe uma d.d.p. elétrica entre 
os pontos dessa região.
No nosso estudo, representaremos a d.d.p. elétrica por ΔV. A d.d.p. elétrica é tão real 
quanto o campo elétrico �E . O potencial elétrico, representado pelo símbolo V, é uma 
construção matemática, que depende de uma escolha arbitrária (de maneira análoga ao que 
acontece com a energia potencial). No estudo de circuitos elétricos, é comum representar-se 
a diferença de potencial simplesmente por V, o que pode gerar alguma confusão.
Atenção – Existe um campo elétrico �E para cada ponto do espaço. Existe um 
potencial elétrico V para cada ponto do espaço. Já a d.d.p. elétrica ΔV é defi nida 
entre dois pontos do espaço.
São sinônimos de d.d.p. elétrica: tensão elétrica, tensão, voltagem.
Aula 05 Eletromagnetismo 3
ds
FE
q
E
P
Q
Linhas de força 
do campo elétrico
Trajetória 
da carga
Diferença de energia potencial elétrica
Imagine que, numa dada região do espaço, várias cargas ou corpos carregados tenham 
criado um campo elétrico �E . Se uma carga de prova q
0
, muito pequena, positiva, se move de 
um ponto P até um ponto Q, sob a ação do campo elétrico �E , então, a diferença de energia 
potencial elétrica, ΔU, entre esses dois pontos, é defi nida como segue:
ΔU = U
Q
 – U
P
 = –W
PQ
. Eq. 1
Expresso em palavras, podemos afi rmar que a diferença de energia potencial elétrica 
da carga de prova entre os pontos P e Q é igual ao valor negativo do trabalho realizado pelo 
campo elétrico sobre a carga durante seu movimento (veja a Figura 1). É importante notar que 
a diferença de energia potencial elétrica independe do caminho feito pela carga para ir do ponto 
inicial ao ponto fi nal. Dizemos então que a força elétrica é uma força conservativa.
A defi nição anterior se refere à diferença de energia potencial entre dois pontos. Se 
quisermos defi nir a energia potencial elétrica em apenas um ponto do espaço, devemos fazer 
duas escolhas arbitrárias:
(i) escolha de um ponto de referência;
(ii) escolha de um valor para a energia potencial nesse ponto de referência. 
Vamos escolher o ponto P para ser o ponto de referência. Usualmente, esse ponto é 
escolhido como sendo ou o infi nito ou a Terra. Também é possível escolher qualquer valor para 
a energia potencial no ponto de referência, U
P
, mas é mais usual escolher esse valor como 
sendo zero: U
P
= 0. Fazendo simplesmente U
Q
= U, da equação 1, teremos
U = –W∞. Eq. 2
Isso signifi ca dizer que a energia potencial U de uma carga de prova q
0
 em um ponto 
qualquer é igual ao trabalho W∞, com o sinal negativo, realizado pelo campo elétrico sobre a 
carga quando ela se desloca do infi nito ao ponto em questão.
Figura 1 – Carga de prova em um campo elétrico
Aula 05 Eletromagnetismo4
O potencial elétrico
Como vemos da defi nição anterior sobre potencial, a energia potencial de uma carga 
depende do valor dessa carga, uma vez que o trabalho realizado pelo campo elétrico é 
proporcional a mesma. Vamos agora defi nir uma nova grandeza física, chamada potencial 
elétrico, que independe do valor da carga de prova e, portanto, caracteriza o campo elétrico num 
determinado ponto do espaço. Para tanto, basta dividirmos a diferença de energia potencial 
por q
0
. Teremos então a diferença de potencial elétrico entre os pontos P e Q, ou seja,
ΔV = VQ − VP =
ΔUPQ
q0
= −WPQ
q0
 Eq. 3
Da mesma forma que no caso da energia potencial, a determinação da d.d.p. elétrica 
entre dois pontos depende de duas escolhas arbitrárias: um ponto de referênciae o valor para 
o potencial nesse ponto de referência. Podemos defi nir o potencial elétrico em cada ponto 
do espaço através da escolha arbitrária de um ponto de referência (R) e de um valor para o 
potencial nesse ponto de referência. Ou seja, a d.d.p. entre um ponto Q qualquer do espaço e 
o ponto de referência R será dada por:
ΔV = VQ − VR = −
WRQ
q0
.
Assim:
VQ = VR −
WRQ
q0
,
onde W
RQ
 representa o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga de prova q
0
 quando 
esta se move de R até Q.
Como fi zemos para a energia potencial, tomamos V
R
 = 0, e o potencial num ponto Q é 
dado por
VQ = −
WRQ
q0
=
UQ
q0
. Eq. 4
A unidade de diferença de potencial elétrico no SI é o volt, representado por V, que, 
devido à sua defi nição, vale 1Joule /1Coulomb: 1V = 1J/1C.
Atenção – Em geral, indicamos a força elétrica na forma F
E
, o trabalho realizado 
pelo campo elétrico na forma W
E
 e a energia potencial elétrica na forma U
E
. Isso 
não se refere a um ponto E do espaço.
Aula 05 Eletromagnetismo 5
Atividade 1
Exemplo 1
Mostre que quando a força elétrica, �FE , aplicada a uma carga qualquer q, for perpendicular 
ao vetor deslocamento, d�s , ao longo de toda a trajetória, o trabalho por ela realizado é nulo.
Solução
Da expressão que defi ne o trabalho, temos 
WE =
∫ f
i
�FE · d�s =
∫ f
i
FEds cosθ .
Como a força é perpendicular ao deslocamento durante toda a trajetória, temos θ = 90°, 
resultando em cosθ = cos90° = 0. Assim,
WE =
∫ f
i
FEds cos 90
◦ = 0 .
A diferença de potencial, tensão ou voltagem que é entregue aos usuários pelas 
companhias de energia do Nordeste brasileiro vale ΔV = 220V. Como foi dito, 
a Terra é usada como nível de referência e, nesse caso, o potencial da Terra é 
tomado igual a zero. Assim, ΔV = V
C
 − V
Terra
 = V
C
 − 0 = V
C
 = 220V, sendo V
C
 
o valor do potencial elétrico do consumidor.
a) Qual seria o valor da d.d.p. se o potencial do nível de referência fosse tomado 
com o valor de V
R
 = 100V ao invés de zero?
b) Qual seria o valor da d.d.p. se o potencial do nível de referência fosse tomado 
com o valor de V
R
 = −100V ao invés de zero?
Aula 05 Eletromagnetismo6
Superfícies equipotenciais
Superfícies equipotenciais são superfícies imaginárias cujos pontos estão todos a um 
mesmo potencial. Assim, se os pontos A e B estão sob uma superfície equipotencial, o 
potencial em A é igual ao potencial em B, ou seja, V
A
 = V
B
. A d.d.p. entre A e B será:
DV = V
B
 − V
A
 = V
B
 − V
B
 = V
A
 − V
A
 = 0.
Além disso, o trabalho realizado pela força elétrica sobre uma carga quando ela se move 
entre dois pontos quaisquer de uma superfície equipotencial também é zero.
Podemos verifi car esse resultado através da defi nição da diferença de potencial (3):
ΔV =
ΔUE
q0
= −WE
q0
.
Como a carga se move entre dois pontos sobre uma superfície equipotencial, temos 
ΔV = 0, logo, W
E
 = 0.
Apresentamos a seguir algumas ilustrações de superfícies equipotenciais relacionadas 
a diferentes distribuições de carga. Na verdade, estão mostradas as interseções dessas 
superfícies com o plano da página. 
a) Cargas puntiformes – Para uma carga puntiforme e distribuições de cargas com simetria 
esférica, as superfícies equipotenciais são esferas concêntricas à carga ou ao centro da 
distribuição esfericamente simétrica. A Figura 2 mostra a confi guração das linhas de 
força do campo elétrico e a visualização da interseção das superfícies equipotenciais 
esféricas com a superfície da página para uma carga puntiforme positiva. Lembremos 
que as superfícies equipotenciais não são circulares, como ilustrado na fi gura, e sim 
esferas imaginárias em três dimensões. O desenho mostra um corte ou a interseção com 
a superfície da página, sendo, portanto, bidimensional.
Aula 05 Eletromagnetismo 7
Superfícies
Equipotenciais
Linhas de Força 
do campo elétrico
Superfícies
Equipotenciais
Linhas de Força do
campo elétrico
Figura 2 – Linhas de força do campo elétrico e superfícies equipotenciais de uma carga puntiforme positiva
b) Planos Paralelos – Para duas placas planas infi nitas carregadas com cargas de sinais 
opostos, o campo elétrico é uniforme. Na prática, quando as placas possuem dimensões 
fi nitas, o campo deve ser considerado uniforme desde que a distância entre as placas seja 
pequena quando comparada com as dimensões destas. Nessa situação, as superfícies 
equipotenciais são planos paralelos às placas. Uma observação importante é que, para 
placas dielétricas, a carga fi ca distribuída no seu interior, enquanto nos condutores a 
carga fi ca distribuída na superfície externa deste. A Figura 3 mostra as linhas de força 
do campo elétrico e a visualização da interseção das superfícies equipotenciais, que são 
planos paralelos às placas, com a superfície da página, considerando duas placas planas 
infi nitas carregadas com cargas iguais e de sinais opostos. 
Figura 3 – Linhas de força do campo elétrico e superfícies equipotenciais de duas placas planas, infi nitas, carregadas 
com cargas iguais com sinais opostos.
Consideramos aqui uma carga de sinal positivo, mas as superfícies equipotenciais são as 
mesmas se a carga for negativa, muda somente o sentido das linhas de força do campo elétrico. 
No caso de distribuições de cargas com simetria esférica, a confi guração é a mesma da Figura 
2, exceto que, ao invés da carga puntiforme, teremos uma distribuição de cargas esfericamente 
simétrica ocupando o seu lugar, como, por exemplo: esfera carregada, capacitor esférico etc.
Aula 05 Eletromagnetismo8
Superfícies
Equipotenciais
Superfícies
Equipotenciais
Linhas de Força
do campo elétrico
Superfícies
Equipotenciais
Linhas de Força do
campo elétrico
c) A Figura 4 mostra um dipolo elétrico com a confi guração das linhas de força do campo 
elétrico e as superfícies equipotenciais.
 Figura 4 – Linhas de força do campo elétrico e superfícies equipotenciais de um dipolo elétrico
d) Para duas placas planas fi nitas carregadas com cargas de sinais opostos, o campo 
elétrico não pode ser considerado uniforme, pois a distância entre as placas é da ordem 
das dimensões destas. As superfícies equipotenciais acompanham a distorção das linhas 
de força do campo elétrico na região próxima as bordas das placas, conforme ilustrado 
na Figura 5.
Figura 5 – Linhas de força do campo elétrico e superfícies equipotenciais de duas placas planas, fi nitas, carregadas 
com cargas iguais com sinais opostos.
Aula 05 Eletromagnetismo 9
ds
A
B
q
ETangente
EPerpendicular
E
ds
A
B
q
EPerpendicular
a b
Uma importante observação é a de que as linhas de força e, portanto, os campos elétricos, 
são sempre perpendiculares às superfícies equipotenciais, o que pode ser visualizado nas 
situações mostradas anteriormente e também será discutido no exemplo 2.
Exemplo 2
Mostre que o ângulo entre as superfícies equipotenciais e as linhas de força do campo 
elétrico é igual a 90°.
Solução
Para entender o porquê disso, veja a Figura 6a. Se o campo elétrico não fosse 
perpendicular à superfície equipotencial correspondente, ele teria uma componente tangencial, 
a qual exerceria uma força elétrica sobre uma carga quando essa carga se movesse entre 
dois pontos da superfície. Essa força realizaria trabalho sobre a carga, o que contrariaria o 
fato de que o trabalho realizado pela força elétrica é nulo quando uma carga se desloca sobre 
uma superfície equipotencial. A fi gura 6b mostra a situação correta, com o campo elétrico 
perpendicular à superfície equipotencial. Como a força elétrica possui a mesma direção do 
campo elétrico, teremos que em todos os pontos ao longo do deslocamento da carga, o 
ângulo entre a força elétrica e o vetor deslocamento será igual a 90° e o trabalho realizado 
pela força elétrica será igual a zero.
Figura 6 – Campos Elétricos: (a) campo elétrico com componente tangencial; (b) campo elétrico sem componente tangencial.
Aula 05 Eletromagnetismo10
Atividade 2
IV
V
V
II
III
IV
Um conjunto com quatro superfícies equipotenciais, com valores de potenciais 
iguais a V
1
, V
2
, V
3
 e V
4
 são apresentadas na Figura 7. Uma carga q é deslocada 
ao longo das quatro trajetórias designadas por I, II, III e IV. Designando por W
1
, 
W
2
, W
3
 e W
4
, os trabalhos realizados pela força elétrica sobre a carga q, quando 
esta se move ao longo das quatro trajetórias, podemos afi rmar que:
a) W
1
 < W
2
, W
3
 = W
4
.
b) W
1
 = 0, W
2
 = W
3 
.
c) W
1
 = W
2
 = 0, W
3
 = W
4
.
d) W
1
 = W
2
 = 0, W
3
 < W
4
.
Figura 7 – Conjunto se superfícies equipotenciais
Aula 05 Eletromagnetismo 11
Cálculo do potencial elétrico 
a partir do campo elétrico
Existe uma relação geral que permite calcular a d.d.p. entre dois pontos quando 
conhecemos o campo na região entre esses pontos. Da defi nição de d.d.p., temos que 
ΔV =
ΔUE
q0
= −WE
q0
. O trabalho realizado pela força elétrica será dado por:
WE =
∫ f
i
�FE · d�s . Por outro lado, temos que a força elétrica sobre a carga de prova q0 
vale �FE = q0 �E , assim
WE =
∫ f
i
�FE · d�s =
∫ f
i
q0
�E · d�s = q0
∫ f
i
�E · d�s .
Substituindo esse resultado na d.d.p., vem: ΔV = −q0
q0
∫ f
i
�E · d�s , resultando em
ΔV = −
∫ f
i
�E · d�s . Eq. 5
Essa expressão considera qualquer tipo de geometria para a confi guração do campo 
elétrico, que pode variar com a posição de diversas formas. Existem casos particulares, como 
o de um plano infi nito de cargas, que possui campo elétrico uniforme, como também as 
cargas puntiformes e distribuições de cargas com simetrias esférica e cilíndrica, que possuem 
simetria radial.
Exemplo 3
Usando a equação 5, que estabelece a relação entre potencial e campo elétricos, obtenha 
a expressão para o caso em que o campo elétrico é uniforme, ou seja, não varia com posição, 
possuindo linhas de força paralelas e igualmente espaçadas.
Solução
Para o caso de uma região onde existe um campo elétrico uniforme, na equação 5 o vetor 
campo elétrico sai da integral, fi cando 
 ΔV = −
∫ f
i
�E · d�s = − �E ·
∫ f
i
d�s .
Os limites da integral correspondem aos vetores posições inicial, �ri , e fi nal, �rf , ao longo 
da trajetória. A resolução da integral resulta em ∫ �r
f
�ri
d�s = �s
∣∣∣∣
�r
f
�ri
= �r
f
− �ri = Δ�r .
Aula 05 Eletromagnetismo12
Atividade 3
Verifi camos que Δ�r é o vetor de deslocamento entre os pontos inicial e fi nal da trajetória. 
Assim, a d.d.p. fi ca
ΔV = − �E ·
∫ f
i
d�s = − �E ·Δ�r . Eq. 6
Temos que a expressão 6, obtida no exemplo 3, pode ser escrita como:
ΔV = − �E ·Δ�r = −EΔr cos θ .
Onde θ é o menor ângulo entre o vetor campo elétrico, �E , e o vetor 
deslocamento, Δ�r .
Considere uma carga que foi deslocada a uma distância de valor Δr = 500m, 
sob a ação de um campo elétrico de módulo E = 150V/m. Determine a d.d.p. 
ΔV considerando os deslocamentos da carga para os seguintes ângulos entre o 
vetor campo elétrico e o vetor deslocamento.
a) θ = 0° (vetores paralelos)
b) θ = 180° (vetores antiparalelos)
c) θ = 90° (vetores perpendiculares)
d) Esboce numa fi gura exemplos mostrando a orientação entre os vetores campo 
elétrico, �E , e o vetor deslocamento, Δ�r , para as situações consideradas 
nos itens (a), (b) e (c).
Aula 05 Eletromagnetismo 13
Δr
B
A
F = q0 Eq0
E
Cálculo da diferença 
de potencial elétrico entre dois 
pontos numa região com campo 
elétrico uniforme
Para o caso de uma região onde existe um campo elétrico uniforme 
�E , como, por 
exemplo, o campo elétrico produzido por placas infi nitas carregadas colocadas próximas 
uma das outras, campos elétricos para pontos muito próximos da superfície de planos 
carregados e de outras distribuições de cargas com geometria qualquer, utilizaremos a 
expressão obtida no exemplo 3,
ΔV = − �E ·Δ�r . Eq. 7
Vamos considerar que a carga de prova é levada do ponto A até o ponto B ao longo da 
trajetória mostrada na Figura 8. 
Figura 8 – Carga de prova movendo-se entre os pontos A e B
A expressão da d.d.p. na equação 7 fi ca:
ΔV = − �E ·Δ�r = −EΔr cos θ .
Da Figura 8, vemos que o ângulo θ entre o campo elétrico, �E , e o deslocamento, Δ�r , 
possui o mesmo valor ao longo de toda a trajetória, e, pelas relações trigonométricas no 
triângulo retângulo, temos que Δr cosθ = d, em que d é a projeção do módulo do vetor 
deslocamento ao longo da reta suporte onde se situa a linha de força do campo elétrico, que, 
nesse caso, coincide com a reta suporte na qual se situa o vetor campo elétrico, conforme 
apresentado na Figura 9.
Aula 05 Eletromagnetismo14
Δr
B
A d
θ
Δr α
B
A
F = q0 Eq0
E
θ
Figura 9 – Relações geométricas em um triângulo retângulo
Teremos então:
ΔV = V
B
 − V
A
 = −Ed.
Vamos calcular agora ΔV ′ = V
A
 − V
B
. Nesse caso, o vetor deslocamento, embora tenha 
o mesmo módulo que no caso anterior, aponta no sentido oposto, pois vai de B para A, como 
mostrado na Figura 10. Dessa fi gura, vemos que o ângulo α entre o vetor campo elétrico, �E , 
e o vetor deslocamento, Δ�r ′ , é escrito em função de θ como: α = π − θ,
Figura 10 – Carga de prova movendo-se entre os pontos B e A.
A expressão da d.d.p. será dada por:
ΔV ′ = VA − VB = − �E ·Δ�r ′ = −EΔr′ cos α = −EΔr cos (π − θ).
Onde usamos o fato de que os módulos dos deslocamentos são iguais: Δr = Δr′. A 
expressão do cosseno da diferença entre dois ângulos fornece: 
cos (π − θ) = cosπcosθ + senπ senθ = (−1)cosθ + (0)senθ = −cosθ.
Substituindo esse resultado na expressão para ΔV′, obtemos:
Aula 05 Eletromagnetismo 15
B
A
C
d
q0
E
ΔV ′ = V
A
 − V
B
 = EΔr ′cos(π − θ) = − EΔr(−cosθ) = EΔrcosθ.
Mas, usando as relações no triângulo retângulo, conforme mostra a Figura 9, temos: 
Δr cosθ = d. Logo, a expressão para ΔV ′ fi ca:
ΔV ′ = V
A
 − V
B
 = Ed.
Podemos então resumir dizendo que a d.d.p. entre dois pontos de um campo elétrico 
uniforme de módulo E vale: 
ΔV = ± Ed. Eq. 8
Onde d é a distância entre os dois pontos ao longo da reta suporte das linhas de força do 
campo elétrico, conforme mostrado na Figura 11.
Figura 11 – Linhas de força do campo elétrico e distância entre os pontos A e B
Dessa expressão, obtemos também que o campo elétrico aponta no sentido em que o 
potencial elétrico diminui. Embora tenhamos mostrado isso apenas para o caso de um campo 
uniforme, esse resultado é completamente geral.
Como a força elétrica, �FE = q �E , aponta no mesmo sentido do campo se q > 0, e no 
sentido oposto ao campo se q < 0, concluímos também que:
  cargas positivas tendem a se mover para as regiões de menor potencial;
  cargas negativas tendem a se mover para as regiões de maior potencial.
Da relação ΔV = ± Ed, podemos concluir que a unidade da intensidade de campo elétrico 
tanto pode ser fornecida em N/C, como em V/m.
Assim, como o valor do campo elétrico em um ponto não depende da carga usada para 
medi-lo, a d.d.p. entre dois pontos não depende da carga de prova que se moveu entre esses 
dois pontos: depende apenas dos dois pontos.
Aula 05 Eletromagnetismo16
Atividade 4
Exemplo 4
Um canhão eletrônico de um tubo de imagem de televisor consiste, basicamente, de 
duas placas metálicas paralelas separadas por uma distância d = 2,0 cm e mantidas a uma 
diferença de potencial ΔV. Elétrons livres (carga q = − |e| = − 1,6 × 10−19 C), em repouso, 
nas proximidades de uma das placas, são acelerados pelo campo elétrico uniforme existente 
entre elas, atingindo, cada elétron, a posição da outra placa com uma energia cinética 
E
C
 = 3,2 × 10−15 J. Determine: 
a) a diferença de potencial ΔV entre as placas; 
b) o módulo do campo elétrico E entre as placas.
Solução
a) O trabalho realizado pela força elétrica transforma-se na energia cinética da partícula. Da 
defi nição de d.d.p., temos:
ΔV = −WE
q0
= − EC
(−|e|) =
EC
|e| =
3, 2× 10−15J
1, 6× 10−19C = 2, 0× 10
4V .
b) Da expressão que relaciona d.d.p. e campo elétrico uniforme, temos ΔV = ± Ed. Como 
o elétron é uma carga negativa, se deslocará no sentidodo potencial maior (ele é atraído 
pela placa carregada positivamente), a relação a ser usada é ΔV = Ed. Logo,
E =
ΔV
d
=
2, 0× 104V
2, 0× 10−2m = 1, 0× 10
6V/m .
Numa certa região do espaço, existe uma distribuição de cargas com as superfícies 
equipotenciais e linhas de força do campo elétrico cuja geometria é mostrada na Figura 12. 
Um elétron (carga q = − |e| = − 1,6 × 10−19 C ) se desloca do ponto A até o ponto B ao longo 
da linha de força do campo elétrico. Nessas condições, o campo elétrico realiza um trabalho 
sobre o elétron de valor W = 3,94 × 10−19 J.
Aula 05 Eletromagnetismo 17
su
a
 r
e
sp
o
st
a
B
Superfícies
equipotenciais
Linhas de força do 
campo elétrico
A
C
Figura 12 – Linhas de força do campo elétrico e superfícies equipotenciais
Com base nessas informações, determine as diferenças de potenciais entre os pontos:
a) A e B;
b) A e C ;
c) B e C ;
d) C e A.
Aula 05 Eletromagnetismo18
Resumo
1
2
Autoavaliação
Suponha que um elétron seja liberado do repouso em uma região onde existe um 
campo elétrico. Podemos afi rmar que (marque a letra correspondente à afi rmativa 
correta):
a) a energia potencial do sistema campo elétrico – carga aumenta.
b) a energia potencial do sistema campo elétrico – carga diminui.
c) a energia potencial do sistema campo elétrico – carga permanece a mesma. 
d) não há informações sufi cientes para dizer o que acontece com a energia potencial 
do sistema campo elétrico – carga.
Justifi que sua resposta.
Analisando as afi rmativas a seguir, marque a letra correspondente à alternativa falsa:
a) Uma carga negativa abandonada em repouso num campo eletrostático fi ca sujeita 
a uma força que realiza sobre ela um trabalho negativo.
b) Uma carga positiva abandonada em repouso num campo eletrostático fi ca sujeita 
a uma força que realiza sobre ela um trabalho positivo.
c) Cargas negativas abandonadas em repouso num campo eletrostático dirigem-se 
para pontos de potencial mais elevado.
Nesta aula, estudamos o conceito de diferença de potencial elétrico e de potencial 
elétrico em um ponto. Aprendemos sobre o conceito de superfícies equipotenciais 
e como visualizar essas superfícies para algumas distribuições de cargas mais 
usadas. Obtemos a expressão geral que permite determinar o potencial elétrico 
a partir do campo elétrico. Usando essa relação, determinamos a expressão para 
a diferença de potencial elétrico entre dois pontos na situação em que o campo 
elétrico é uniforme.
Aula 05 Eletromagnetismo 19
3
4
A B
C
E
d) Cargas positivas abandonadas em repouso num campo eletrostático dirigem-se 
para pontos de menor potencial.
e) O trabalho realizado pelas forças eletrostáticas ao longo de uma curva fechada 
é nulo.
Justifi que sua resposta.
Uma unidade de energia muito usada em química e em física nuclear é o elétron-volt, 
simbolizado por eV. Um elétron-volt é uma energia igual ao trabalho necessário para 
deslocar uma carga elementar entre dois pontos entre os quais existe uma d.d.p. de 
valor igual a 1V, isto é,
1eV = |e|(1V ) = (1, 6× 10−19C)
(
1J
1C
)
= 1, 6× 10−19J .
Determine qual o valor das seguintes quantidades de energia em eV.
a) E
1
 = 8,0 × 104J.
b) E
1
 = 3,2 × 10–4J.
Figura 13 mostra três pontos, A, B e C, posicionados numa região onde existe 
um campo elétrico uniforme, �E , cujas linhas de força são apresentadas conforme 
ilustração. Os potencias elétricos nesses pontos são respectivamente iguais a V
A
, 
V
B
 e V
C
.
Figura 13 – Linhas de força do campo elétrico
Aula 05 Eletromagnetismo20
6
Com relação a esses potenciais, podemos afi rmar que:
a) V
A
 = V
B
 > V
C
 
b) V
A
 − V
B
 = V
A
 − V
C
 e, V
B
 > V
A
c) V
A
 − V
B
 = V
C
 − V
A
, e, V
A
 > V
B
d) V
A
 − V
C
 = V
B
 − V
C
Justifi que sua resposta.
A Figura 14 ilustra um campo elétrico uniforme, �E , de módulo E = 150V/m, direção 
horizontal, com sentido da esquerda para a direita, estabelecido entre duas placas 
extensas, carregadas com cargas iguais e de sinais opostos, separadas por uma 
distância d = 15,0 cm.
Observação – as dimensões das placas são bem maiores do que a distância entre elas, por 
isso o campo elétrico é uniforme (aproximação de plano infi nito). Com base nesses dados, 
determine:
a) a d.d.p. entre a placa carregada positivamente e a placa com carga negativa;
b) a d.d.p. entre a placa carregada negativamente e a placa com carga positiva;
c) a d.d.p. entre a placa carregada positivamente e o ponto P, situado a meia distância entre 
as placas;
d) a d.d.p. entre a placa carregada negativamente e o ponto P, situado a meia distância entre 
as placas;
e) a força elétrica que atua em uma carga q = 3,2 × 10�6C colocada entre as placas;
f) o trabalho que a força elétrica realiza sobre uma carga q = 3,2 × 10�6C, para levá-la do 
ponto P até a placa positivamente carregada;
g) o trabalho que a força elétrica realiza sobre uma carga q = 3,2 × 10�6C para levá-la do 
ponto P até a placa negativamente carregada.
Aula 05 Eletromagnetismo 21
Linhas de Força do
campo elétrico
E
P
d
d/2
Figura 14 – Linhas de força do campo elétrico entre duas placas carregadas
Referências
GRUPO DE REELABORAÇÃO DO ENSINO DE FÍSICA – GREF. Física 3: eletromagnetismo. 3. 
ed. São Paulo: Ed. USP, 1998.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 10. ed. São Paulo: John 
Wiley & Sons, 2001. (Eletromagnetismo, 3).
NUSSENZVEIGG, Herch Moysés. Curso de física básica: eletromagnetismo. São Paulo: Edgard 
Blücher, 1997.
SERWAY, Raymond A.; JEWET JÚNIOR, John W. Princípios de física. São Paulo: Cengage 
Learning, 2008. (Eletromagnetismo, 3).
Aula 05 Eletromagnetismo22
Anotações
Aula 05 Eletromagnetismo 23
Anotações
Aula 05 Eletromagnetismo24
Anotações
EMENTA
> Joel Câmara de Carvalho Filho
> Ranilson Carneiro Filho
Dispositivos eletro-eletrônicos e suas características. Conceitos básicos: voltagem, corrente, resistência e potência. 
Fiação doméstica e outras aplicações. Carga elétrica e campo elétrico. Lei de Gauss. Potencial elétrico. Capacitância 
e dielétricos. Corrente, resistência e força eletromotriz. Circuitos de corrente contínua (cc). Campos magnéticos: 
forças e fontes. Lei de Faraday-Lenz. Equações de Maxwell nas formas integral e diferencial. Indutância. Circuitos 
de corrente alternante (ca). Ondas eletromagnéticas. Equação de onda. Radiação de uma carga acelerada.
Eletromagnetismo – FÍSICA
AUTORES
AULAS
01 O eletromagnetismo
02 Eletrostática
03 O campo elétrico
04 A lei de Gauss
05 O potencial elétrico – Parte 1
06 O potencial elétrico – Parte 2
07 Capacitância
08 Corrente e Resistência Elétricas
09 Circuitos de corrente contínua
10 O campo magnético
11 A lei de Ampère
12 A lei de Faraday e as equações de Maxwell
13 Aplicações do eletromagnetismo
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