Construção de gráficos (Notas de Aula com Exercícios Resolvidos)

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1 Cálculo diferencial e integral I – Prof.ª Paula C. M. Clemente 
Aula 8 – Parte 2 
 
O conteúdo desta nota de aula abrange: Construção de gráficos 
 
1 – Construção de Gráficos 
 Para esboçar gráficos de uma maneira mais eficiente podemos aplicar o que 
aprendemos no estudo de “Máximos e mínimos”. 
 Para o fazer de uma maneira organizada, podemos seguir uma lista de instruções, 
descritas abaixo: 
1º Passo: Determinar o domínio da função. 
2º Passo: Encontrar as raízes da função (se possível). 
3º Passo: Determinar (se existir) suas assíntotas. 
4º Passo: Encontrar os pontos críticos da função. 
5 º Estudar as regiões de crescimento e decrescimento. 
6º Determinar os pontos de máximo, mínimo e inflexão. 
7º Passo: Esboçar o gráfico. 
 
Exemplos 1.1.1: Esboce o gráfico da seguinte função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 
Resolução: 
1º Passo: Determinar o domínio da função. 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ 
2º Passo: Encontrar as raízes da função (se possível). 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 = 0 
𝑥(𝑥2 − 3) = 0 
𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = ±√3 
Rectangle
 
2 Cálculo diferencial e integral I – Prof.ª Paula C. M. Clemente 
3º Passo: Determinar (se existir) suas assíntotas. 
𝑓(𝑥) é um polinômio do terceiro grau, logo: 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ. 
Não possui assíntotas. 
 
4º Passo: Encontrar os pontos críticos da função. 
 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 3 
 
Teremos ponto crítico quando (i) 𝑓′(𝑥0) = 0 ou (ii) ∄𝑓′(𝑥0). Logo: 
 
(i) 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 3 = 0 
𝑥2 = 1 ∴ 𝑥 = ±1 
 
(ii) ∄𝑓′(𝑥0) 
Como 𝑓′(𝑥) é um polinômio, 𝐷𝑜𝑚(𝑓′) = ℝ. Não existe nenhum 𝑥 = 𝑥0, tal 
que ∄𝑓′(𝑥0). 
 
5 º Estudar as regiões de crescimento e decrescimento. 
Pelo teste da derivada primeira: 
(i) 𝑓′(𝑥) > 0: 
 
3𝑥2 − 3 > 0 
𝑥2 > 1 
|𝑥| > 1 
 
Se 𝑥 > 0: 
𝑥 > 1 
Se 𝑥 < 0: 
−𝑥 > 1 
𝑥 < −1 
 
(ii) 𝑓′(𝑥) < 0: 
 
3𝑥2 − 3 < 0 
𝑥2 < 1 
|𝑥| < 1 
 
Se 𝑥 > 0: 
𝑥 < 1 
Se 𝑥 < 0: 
−𝑥 < 1 
𝑥 > −1 
 
 
 
 
 
 
6º Determinar os pontos de máximo, mínimo e inflexão. 
𝑥 0 1 −1 
Rectangle
 
3 Cálculo diferencial e integral I – Prof.ª Paula C. M. Clemente 
Utilizando o teste da derivada segunda: 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 
𝑓′′(−1) = −6 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 
𝑓′′(1) = 6 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 
Ponto de inflexão: 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
 
 
 
 
 
7º Passo: Esboçar o gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 1.1.2: Esboce o gráfico da seguinte função: 
𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2 − 1
 
 
1º Passo: Determinar o domínio da função. 
0 1 −1 𝑥 
𝑥 
−1 1 
2 
−2 
𝑦 
0 
√3 −√3 
Rectangle
 
4 Cálculo diferencial e integral I – Prof.ª Paula C. M. Clemente 
𝑥2 − 1 ≠ 0 
𝑥 ≠ ±1 → 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 𝜖 ℝ / 𝑥 ≠ −1 𝑒 𝑥 ≠ 1} 
 
2º Passo: Encontrar as raízes da função (se possível). 
𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2 − 1
= 0 
𝑓(𝑥) será zero, quando seu numerador for zero. Logo: 
𝑥2 = 0 → 𝑥 = 0 
 
3º Passo: Determinar (se existir) suas assíntotas. 
Assíntota horizontal: 
lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥2 − 1
=
∞
∞
 → 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐿′𝐻ô𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙: lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→∞
2𝑥
2𝑥
= lim
𝑥→∞
1 = 1 
lim
𝑥→−∞
𝑥2
𝑥2 − 1
=
∞
∞
 → 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐿′𝐻ô𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙: lim
𝑥→−∞
𝑥2
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→−∞
2𝑥
2𝑥
= lim
𝑥→−∞
1 = 1 
𝑦 = 1 é assíntota horizontal 
 
Assíntota vertical: 
lim
𝑥→−1−
𝑥2
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→−1−
𝑥2
𝑥2 − 1⏟ 
>0
=
1
0+
= ∞ 
lim
𝑥→−1+
𝑥2
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→−1+
𝑥2
𝑥2 − 1⏟ 
<0
=
1
0−
= −∞ 
lim
𝑥→1−
𝑥2
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→−1−
𝑥2
𝑥2 − 1⏟ 
<0
=
1
0−
= −∞ 
lim
𝑥→1+
𝑥2
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→−1+
𝑥2
𝑥2 − 1⏟ 
>0
=
1
0+
= ∞ 
 
4º Passo: Encontrar os pontos críticos da função. 
𝑥 = −1 é assíntota vertical 
𝑥 = 1 é assíntota vertical 
Rectangle
 
5 Cálculo diferencial e integral I – Prof.ª Paula C. M. Clemente 
𝑓′(𝑥) = (
𝑥2
𝑥2 − 1
)
′
=
2𝑥. (𝑥2 − 1) − 𝑥2. 2𝑥
(𝑥2 − 1)2
 
 
𝑓′(𝑥) = −
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
 
 
Teremos ponto crítico quando (i) 𝑓′(𝑥0) = 0 ou (ii) ∄𝑓′(𝑥0). Logo: 
 
(i) 𝑓′(𝑥) = −
2𝑥
(𝑥2−1)2
= 0 
−2𝑥 = 0 ∴ 𝑥 = 0 
 
(ii) ∄𝑓′(𝑥0) 
𝑥2 − 1 ≠ 0 → 𝑥 = ±1 
A derivada 𝑓′(𝑥) não existe para 𝑥 = ±1. Porém, não podemos chamar esses pontos de 
críticos, pois eles não fazem parte do domínio de 𝑓(𝑥). 
 
5 º Estudar as regiões de crescimento e decrescimento. 
Pelo teste da derivada primeira: 
𝑓′(𝑥) > 0: 
 
−
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
> 0 
 
Numerador: 
 
−2𝑥 > 0 
𝑥 < 0 
 
Denominador: 
 
(𝑥2 − 1)2 > 0 
 
Será sempre maior que zero, pois todo o 
termo está elevado a uma potência par. 
 
𝑓′(𝑥) < 0: 
 
−
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
< 0 
 
Numerador: 
 
−2𝑥 < 0 
𝑥 > 0 
 
Denominador: 
 
(𝑥2 − 1)2 < 0 
 
Nunca. 
 
 
 
 
 
 
−
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
 
0 
− 
0 𝑥 
𝑥 
𝑥 
−2𝑥 
(𝑥2 − 1)2 
0 
+ + + + 
+ + − 
+ + − − 
Rectangle
 
6 Cálculo diferencial e integral I – Prof.ª Paula C. M. Clemente 
 
 
 
 
6º Determinar os pontos de máximo, mínimo e inflexão. 
Utilizando o teste da derivada segunda: 
𝑓′′(𝑥) = (−
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
)
′
=
−2. (𝑥2 − 1)2 − (−2𝑥). 2(𝑥2 − 1). (2𝑥)
(𝑥2 − 1)4
 
𝑓′′(𝑥) =
2 + 6𝑥2
(𝑥2 − 1)3
 
𝑓′′(0) =
2
(−1)3
= −2 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 
Ponto de inflexão: 
𝑓′′(𝑥) =
2 + 6𝑥2
(𝑥2 − 1)3
= 0 
2 + 6𝑥2 = 0 → 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑚 𝑥 ∈ ℝ 𝑞𝑢𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜. 
Não possui ponto de inflexão. Porém, como a função tem restrições de domínio, é bom 
analisarmos sua concavidade. 
𝑓′′(𝑥) > 0: 
 
2 + 6𝑥2
(𝑥2 − 1)3
> 0 
 
Numerador: 
 
2 + 6𝑥2 > 0 
 
Será sempre positivo. 
 
Denominador: 
 
(𝑥2 − 1)3 > 0 
|𝑥| > 1 
 
ou seja, 𝑥 > 1 ou 𝑥 < −1 (fazer a 
análise do módulo). 
 
𝑓′′(𝑥) < 0: 
 
2 + 6𝑥2
(𝑥2 − 1)3
< 0 
 
Numerador: 
 
2 + 6𝑥2 < 0 
 
Nunca será negativo. 
 
Denominador: 
 
(𝑥2 − 1)3 < 0 
|𝑥| < 1 
 
ou seja, −1 < 𝑥 < 1 (fazer a análise 
do módulo). 
 
 
0 
1 
−1 
0 𝑥 
Rectangle
Rectangle
 
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7º Passo: Esboçar o gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Esboce o gráfico de: 
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
 
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 4𝑥3 
 
 
 
 
0 𝑥 
𝑥 
𝑥 
2 + 6𝑥2 
(𝑥2 − 1)3 
0 
+ − − + 
+ + + 
+ − − + 2 + 6𝑥2
(𝑥2 − 1)3
 
+ 
1 −1 
0 −1 
−1 
1 
1 
0 1 −1 𝑥 
𝑥 
𝑦 
0 
1 
1 −1 
Rectangle
 
8 Cálculo diferencial e integral I – Prof.ª Paula C. M. Clemente 
 
 
Bibliografia: 
 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 3a ed. São Paulo - Harbra, 
C1994. v1. 
 
STEWART, James. Cálculo. 5a., 6a. ou 7a. ed. São Paulo - Pioneira /Thomson Learning 
v1. 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Livros Técnicos e Científ. Ed., 1997. v1. 
 
Rectangle