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Variáveis aleatórias discreta Profª Josefa A . Alvarez 
1 
 
Ex 1 Você tem uma carteira com 30% investidos no ativo A e 70% no ativo B. Se os retornos destes ativos forem 15% e 
12%, respectivamente, qual será o retorno esperado da carteira? 
retorno (%) x 15 12 
Probabilidades p(x) 0,3 0,70 
 a.Qual será o retorno esperado da carteira? b. Qual será o retorno desvio padrão da carteira? 
Solução 
a. ���� = 15 ∗ 0,30 + 12 ∗ 0,70 = 12,9 
���� = 15 ∗ 0,30 + 12 ∗ 0,70 = 12,9 
O retorno esperado da carteira é 12,9 
b. Vamos calcular inicialmente a variância 
Usando inicialmente a expressão 
��� = ����� − ������� e depois ��� = ���� − ����� 
��� = ����� − ������� 
����� = 15� ∗ 0,30 + 12� ∗ 0,70 = 168,3 
�� = ���� = 15 ∗ 0,30 + 12 ∗ 0,70 = 12,9 
��� = ����� − ������� = 168,3 − 12,9� = 1,89 
ou 
��� = ���� − ����� = �15 − 12,9�� ∗ 0,3 + �12 − 12,9�� ∗ 0,7 = 1,89 
Respondendo a pergunta o desvio padrão da taxa de retorno é 
�� = 3,3106 
 
Ex2. Determine o investimento de menor risco. O coeficiente de variação é uma medida relativa de risco, pois ele 
apresenta o risco que irá correr em relação ao retorno médio esperado, sendo uma medida mais completa de risco. A 
fórmula do coeficiente de variação (CV) é dada pela seguinte expressão: 
�� = ������ 
Título Retorno esperado % desvio-padrão % coeficiente de variação (CV) 
A 3,53 0,87 0,2465 
B 3,53 1,23 0,3484 
C 3,53 0,62 0,1756 
O investimento com o menor risco para o mesmo nível de retorno é C. 
Ex3 Cálculo do risco da carteira. Estamos analisando duas propostas de investimento, com previsões para os possíveis 
cenários econômicos: normal (40%), grande recessão (10%), pequena recessão (20%), grande expansão (10%) e 
pequena expansão (20%). Após avaliação, obteve as seguintes informações sobre o comportamento dos títulos para 
cada uma das condições econômicas: 
 Título A Título B 
 p(x) x x 
Grande recessão 0,4 -15 -12 
Pequena recessão 0,2 2 -1 
Normal 0,1 12 10 
Pequena expansão 0,2 20 18 
Grande expansão 0,1 30 30 
a. Calcule a taxa de retorno esperada para os títulos A e B. 
b. Calcule o desvio-padrão dos retornos esperados para os títulos A e B. 
c. Determine o investimento de menor risco. 
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2 
 
Solução 
 x p(x) x*p(x) x
2*p(x) (x-m)2*p(x) 
Grande recessão -15 0,4 -6,000 90 123,904 
Pequena recessão 2 0,2 0,400 0,8 0,072 
Normal 12 0,1 1,200 14,4 8,836 
Pequena expansão 20 0,2 4,000 80 60,552 
Grande expansão 30 0,1 3,000 90 75,076 
 1 2,600 275,200 268,440 
 
 média 2,6000 
 variância 268,440 
 desvio padrão 16,384 
 CV 6,30 
 
 x p(x) x*p(x) x
2*p(x) (x-��)2*p(x) 
Grande recessão -12 0,4 -4,800 57,6 85,264 
Pequena recessão -1 0,2 -0,200 0,2 2,592 
Normal 10 0,1 1,000 10 5,476 
Pequena expansão 18 0,2 3,600 64,8 47,432 
Grande expansão 30 0,1 3,000 90 75,076 
 1 2,600 222,600 215,840 
 
média 2,6000 
variância 215,840 
desvio padrão 14,691 
CV 5,65 
c. O coeficiente de variação é uma medida relativa de risco, pois ele apresenta o risco que irá correr em relação ao 
retorno médio esperado, sendo uma medida mais completa de risco. A fórmula do coeficiente de variação (CV) é dada 
pela seguinte expressão: 
�� = ������ 
Título Retorno esperado % desvio-padrão % coeficiente de variação (CV) 
A 2,6000 16,384 6,30 
B 2,6000 14,691 5,65 
O investimento com o menor risco para o mesmo nível de retorno é B. 
Ex4 Cálculo do risco da carteira – Estamos analisando duas propostas de investimento, com previsões para os 
possíveis cenários econômicos: Recessão (10%), Pouco crescimento 
 (25%), Crescimento estável (50%), Intenso crescimento (15%) e pequena expansão (20%). Após avaliação, obteve as 
seguintes informações sobre o comportamento dos títulos para cada uma das condições econômicas: 
a. Calcule a taxa de retorno esperada para os títulos A e B. 
b. Calcule o desvio-padrão dos retornos esperados para os títulos A e B. 
c. Determine o investimento de menor risco. 
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3 
 
Solução 
 y p(y) x*p(y) x
2*p(y) (x-��)2*p(y) 
Recessão -40 0,10 -4,000 160 242,556 
Pouco crescimento 5 0,25 1,250 6,25 4,516 
Crescimento estável 15 0,50 7,500 112,5 16,531 
Intenso crescimento 30 0,15 4,500 135 64,584 
 soma 1 9,250 413,750 328,188 
 
 média 9,2500 
 variância 328,188 
 desvio padrão 18,116 
 CV 1,96 
 
 x p(x) x*p(x) x
2*p(x) (x-��)2*p(x) 
Recessão -40 0,1 -4,000 160 242,556 
Pouco crescimento 5 0,25 1,250 6,25 4,516 
Crescimento estável 15 0,5 7,500 112,5 16,531 
Intenso crescimento 30 0,15 4,500 135 64,584 
 1 9,250 413,750 328,188 
 média 9,2500 
variância 328,188 
desvio padrão 18,116 
CV 1,96 
 y p(y) x*p(y) x
2*p(y) (x-��)2*p(y) 
Recessão 30 0,1 3,000 90 43,056 
Pouco crescimento 5 0,25 1,250 6,25 4,516 
Crescimento estável 4 0,5 2,000 8 13,781 
Intenso crescimento 2 0,15 0,300 0,6 7,884 
 1 6,550 104,850 69,238 
média 6,5500 
variância 69,238 
desvio padrão 8,321 
CV 1,27 
 
(x-��) (y-��) p(x,y) (x-��) (y-��) p(x.y) 
-49,250 23,450 0,1 -115,491 
-4,250 -1,550 0,25 1,647 
5,750 -2,550 0,5 -7,331 
20,750 -4,550 0,15 -14,162 
 1 E(XY)=-135,338 
 
Ex5 A tabela abaixo fornece a probabilidade de um sistema de computação ficar fora de operação um dado número de 
períodos por dia, durante a fase inicial de instalação do sistema. Determine: a) o Coeficiente de variação de x b) Seja 
Y= 2+3x Calcule E(Y) e V(Y) 
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4 
 
Nº de períodos 4 5 6 7  
P(X=x) = f(x) 0,06 0,13 0,34 0,47 1 
 
Solução 
4 0,06 0,24 0,295704 
5 0,13 0,65 0,193492 
6 0,34 2,04 0,016456 
7 0,47 3,29 0,285948 
Total 1 6,22 0,7916 
�� = ∑ �����=6,22 V(X) = ���= E(X - )2 = 0,7916 
���� = 0,8897 �. �. = "# . 100 =
$,%%&'
(,��$ . 100 = 14,304% 
W = aX + b E(W) = E(aX + b) = aE(X) + b VAR(W) = VAR(aX + b)= a2. VAR(X) 
E(Y)=E( 2+3x)=2+3E(X)=2+3*6,22=20,66 V(Y)=V( 2+3x)= 3 2 V(X)= 9*0,7916=7,1244 
Ex6 O presidente da Martin Corporation está considerando duas alternativas de investimento X e Y. Se cada uma das 
alternativas for levada a diante há 4 possibilidades de resultado. O valor presente líquido e sua respectiva 
probabilidade de ocorrência são mostrados abaixo: 
INVESTIMENTO X INVESTIMENTO Y 
Resultado VP Lucro Milhões Probabilidade Resultado VP Lucro Milhões Probabilidade 
1 $ 20 0,2 1 $ 12 0,1 
2 $ 08 0,3 2 $ 09 0,3 
3 $ 10 0,4 3 $ 16 0,1 
4 $ 03 0,1 4 $ 11 0,5 
a) Qual é o valor esperado do valor presente do lucro para os investimentos X e Y? E qual das oportunidades é a 
mais interessante (maior valor esperado do VPLucro)? 
 R: X=10,7, Y=11,0. Assim, Y é mais interessante. 
b) Qual a variância do valor presente do lucro para os investimentos X e Y? E qual das oportunidades é a mais arriscada 
(maior variância do VPLucro)? R: X=25,61, Y=3,8. Assim, X é a mais arriscada. 
x p(x) xp(x) (x-��)2p(x) y p(y) yp(y) (y-��)2p(y) 
20 0,2 4 17,298 12 0,1 1,2 0,1 
8 0,3 2,4 2,187 9 0,3 2,7 1,2 
10 0,4 4 0,196 16 0,1 1,6 2,5 
3 0,1 0,3 5,929 11 0,5 5,5 0 
Total 1 10,7 25,61 1 11 3,8 
 
 X Y 
média 10,7 11 
variância 25,61 3,8 
desvio padrão 5,061 1,949 
 
Ex7. A distribuição para reclamações de danos sobre seguros de vida pela empresa XYZ é a seguinte 
X (pagamento em $) 0,00 400,00 1000,00 2000,00 4000,00 6000,00 ∑ 
p(x) 0,9 0,04 0,03 0,01 0,01 1 
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5 
 
a. Use o pagamento de colisão esperado para determinar o prêmio de seguro de colisão que possibilitara à empresa 
não ter lucro nem prejuízo. 
b. Calcule o desvio -padrão desta distribuição 
 
 
X (pagamento em $) p(x) x*p(x) x2*p(x) 
0 0,9 0 0 
400 0,04 16 6400 
1000 0,03 30 30000 
20000,01 20 40000 
4000 0,01 40 160000 
6000 0,01 60 360000 
 
1 166 596400 
 
���� = + ���� = 166 
����� = + ����� = 596400 
���� = �� � = ����� − ������� = 596400 − 166� = 568844 
� = √568844 = 754,217 
Ex 8 A demanda por um produto da empresa XYZ é a seguinte varia de mês para mês. A tabela a seguir mostra a 
distribuição de probabilidade 
X (demanda mensal)) 300 400 500 600 ∑ 
p(x) 0,20 0,30 0,35 1 
a. Determine a demanda média e o desvio padrão 
b. A empresa faz um pedido de 455 e vende 300 unidades, se a unidade for vendida temos uma receita de 70,00u.m. e 
o custo de encomendar uma unidade é 50,00. Determine a média do lucro. 
x p(x) x*p(x) x2*p(x) 
300 0,2 60 18000 
400 0,3 120 48000 
500 0,35 175 87500 
600 0,15 90 54000 
soma 1 445 207500 
���� = + ���� = 445,00 
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6 
 
����� = + ����� = 207500 
���� = �� � = ����� − ������� = 207500 − 445� = 9475 
� = √9475 = 97,34 
=300*70-455*50=-1750,00 
Ex 9 Uma companhia está considerando uma expansão da fábrica que tornará possível à empresa produzir 
um novo produto. O presidente da empresa precisa decidir se a expansão será em média ou em grande 
escala. Existe uma incerteza em relação à demanda do produto, a qual pode ser baixa, média ou alta, com 
probabilidades de 20%, 50% e 30%, respectivamente. 
a. Calcule o valor esperado para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o 
objetivo de maximizar o lucro? RESP: CENARIO DE MEDIA ESCALA 
b. Calcule a variância para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o objetivo 
de minimizar o risco/incerteza? RESP: CENARIO DE MEDIA ESCALA, também!!!! 
Solução 
 
 Média Escala Alta 
 x p (x) y p (y) 
Baixa 50 0,2 0 0,2 
Média 150 0,5 100 0,5 
Alta 200 0,3 300 0,3 
 
Distribuição marginal de X 
 x 50 150 200 Soma 
P(X=x) 0,2 0,5 0,2 1 
 
���� = + ���� = 50 ∗ 0,2 + 150 ∗ 0,5 + 200 ∗ 0,3 = 145 
����� = + ����� = 50� ∗ 0,2 + 150� ∗ 0,5 + 200� ∗ 0,3 = 23750 
���� = �� � = ����� − ������� = 23750 − 145� = 2725 
� = √2725 = 52,2015 
Distribuição marginal de Y 
y 0 100 300 Soma 
P(Y=y) 0,2 0,5 0,3 1 
 
��.� = + /��� = 0 ∗ 0,2 + 100 ∗ 0,5 + 300 ∗ 0,3 = 140 
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7 
 
��.�� = + /���� = 0� ∗ 0,2 + 100� ∗ 0,5 + 300� ∗ 0,3 = 32000 
��.� = �0 � = ��.�� − ���.��� = 32000 − 140� = 12400 
� = √12400 = 111,3553 
Ex 10 As probabilidades de que haja em cada 1, 2, 3, 4, ou 5 pessoas, são respectivamente 0,05; 0,20;0,40;0,15; 0,25; 
0,10. a. Qual o número médio de pessoas por carro? Se chegam a Região dos Lagos 5000 carros por hora, b. Se chegam 
ao litoral 4000 carros por hora, qual o número esperado de pessoas na região, em 10 horas de contagem? 
Solução 
a. 
 x 1 2 3 4 5 Soma 
P(X=x) 0,05 0,20 0,40 0,25 0,1 1 
 
���� = ∑ ���� = 1 ∗ 0,05 + 2 ∗ 0,2 + 3 ∗ 0,40 + 4 ∗ 0,25 + 5 ∗ 0,1 = 3,15pessoas/veículos 
b. número médio=4000*10*3,15=126000 pessoas 
 
ex 11 Seja X a renda familiar em $ 10.000,00 e Y: o número de carros na família 
 Y 
 x 1 2 3 P(X=x) 
2 0,2 0,2 0 0,4 
3 0,1 0,2 0,1 0,4 
4 0 0,1 0,1 0,2 
P(Y=y) 0,3 0,5 0,2 1 
 
 
Distribuição marginal de X 
 x 2 3 4 Soma 
P(X=x) 0,4 0,4 0,2 1 
 
���� = + ���� = 2 ∗ 0,4 + 3 ∗ 0,4 + 4 ∗ 0,2 = 2,8 
����� = + ����� = 2� ∗ 0,4 + 3� ∗ 0,4 + 4� ∗ 0,2 = 8,4 
���� = �� � = ����� − ������� = 8,4 − 2,8� = 0,56 
� = 10,56 = 0,7483 
 
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8 
 
 
Distribuição marginal de Y 
y 1 2 3 Soma 
P(Y=y) 0,3 0,5 0,2 1 
 
��.� = + /��� = 1 ∗ 0,3 + 2 ∗ 0,5 + 3 ∗ 0,2 = 1,9 
��.�� = + /���� = 1� ∗ 0,3 + 2� ∗ 0,5 + 3� ∗ 0,2 = 4,1 
��.� = �0 � = ��.�� − ���.��� = 4,1 − 1,9� = 0,49 
� = 10,49 = 0,7 
���.� = + �� /� �� 2�� ; /�4
= 2 ∗ 1 ∗ 0,2 + 2 ∗ 2 ∗ 0,2 + 2 ∗ 3 ∗ 0 + 3 ∗ 1 ∗ 0 + 3 ∗ 2 ∗ 0,1 + 3 ∗ 3 ∗ 0,2 + 4 ∗ 1 ∗ 0 + 4 ∗ 2 ∗ 0,1
+ 4 ∗ 3 ∗ 0,1 = 5,6 
Covariância COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=5,6-2,8*1,9=0,28 
Coeficiente de correlação 5 = 678��,0�"9": =
$,�%
$,';%<∗$,' = 0,5345 
Ex 12. Seja X: o número de viagens para o exterior no último ano e Y : número de quilos excedentes de bagagens 
 
 Y 
X 0 1 P(X=x) 
1 0,3 0,4 0,7 
2 0,1 0,2 0,3 
P(Y=y) 0,4 0,6 1 
 
Distribuição marginal de X 
 x 1 2 Soma 
P(X=x) 0,7 0,3 1 
���� = + ���� = 1 ∗ 0,7 + 2 ∗ 0,3 = 1,3 
����� = + ����� = 1� ∗ 0,7 + 2� ∗ 0,3 = 1,9 
���� = �� � = ����� − ������� = 1,9 − 1,3� = 0,21 
� = 10,21 = 0,4583 
Distribuição marginal de Y 
y 0 1 Soma 
P(Y=y) 0,4 0,6 1 
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9 
 
 
��.� = + /��� = 0 ∗ 0,4 + 3 ∗ 0,6 = 1,8 
��.�� = + /���� = 0� ∗ 0,4 + 3� ∗ 0,6 = 5,4 
��.� = �0 � = ��.�� − ���.��� = 5,4 − 1,8� = 2,16 
� = 12,16 = 0,4697 
���.� = + �� /� �� 2�� ; /�4 = 1 ∗ 0 ∗ 0,3 + 1 ∗ 3 ∗ 0,4 + 2 ∗ 0 ∗ 0,1 + 2 ∗ 3 ∗ 0,2 = 2,4 
Covariância COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=2,4-1,3*1,8=0,06 
Coeficiente de correlação 5 = 678��,0�"9": =
$,$(
√�,=(√$,�= = 0,0891 
 
Ex 13 A tabela a seguir relaciona o salário X em dólares e o tempo em anos de trabalho na Empresa 
 Y 
X 
4 5 6 
P(X=x) 
500 0 0 0,1 0,1 
600 0 0,2 0,1 0,3 
700 0 0,1 0,2 0,3 
800 0,1 0 0,2 0,3 
P(Y=y) 0,1 0,3 0,6 1 
 
 
Distribuição marginal de X 
 x 500 600 700 800 Soma 
P(X=x) 0,1 0,3 0,3 0,3 1 
 
���� = + ���� = 500 ∗ 0,1 + 600 ∗ 0,3 + 700 ∗ 0,3 + 800 ∗ 0,3 = 680 
����� = + ����� = 500� ∗ 0,1 + 600� ∗ 0,3 + 700� ∗ 0,3 + 800� ∗ 0,3� = 472000 
���� = �� � = ����� − ������� = 472000 − 680� = 9600 
� = √9600 = 97,9796 
 
 
Distribuição marginal de Y 
y 4 5 6 Soma 
P(Y=y) 0,1 0,3 0,6 1 
Variáveis aleatórias discreta Profª Josefa A . Alvarez 
10 
 
 
��.� = + /��� = 4 ∗ 0,1 + 5 ∗ 0,3 + 6 ∗ 0,6 = 5,5 
��.�� = + /���� = 4� ∗ 0,1 + 5� ∗ 0,3 + 6� ∗ 0,6 = 30,7 
��.� = �0 � = ��.�� − ���.��� = 30,7 − 5,5� = 0,45 
� = 10,45 = 0,6708 
���.� = + �� /� �� 2�� ; /�4
= 500 ∗ 4 ∗ 0 + 500 ∗ 5 ∗ 0 + 500 ∗ 6 ∗ 0,1 + 00 ∗ 4 ∗ 0 + 600 ∗ 5 ∗ 0,2 + 600 ∗ 6 ∗ 0,1
+ 700 ∗ 4 ∗ 0 + 700 ∗ 5 ∗ 0,1 + 700 ∗ 6 ∗ 0,2 + +800 ∗ 4 ∗ 0,1 + 800 ∗ 5 ∗ 0 + 800 ∗ 6
∗ 0,2 = 3730 
Covariância COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=3730-680*5,5=-10 
COV(X,Y)=-10 
Coeficiente de correlação ρ = ?@A�B,C�DEDF =
G=$
√&($$√$,;H = 0,1521