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FIS 26
Aula 1: Mecânica Analítica
Dinâmica Lagrangiana
Joseph Louis Lagrange (1736 — 1813)
Joseph Louis Lagrange
Livro “Mécanique analytique” trabalha a 
mecânica com tratamento puramente 
analítico, não se utilizando de 
construções geométricas nem 
vetores. No prefácio de sua obra diz 
que o livro não continha nenhum 
diagrama: “On ne trouvera point de 
figures dans ce Ouvrage”.
Mecânica Analítica
A mecânica newtoniana não é a melhor forma de 
resolver sistemas mecânicos sujeitos a vínculos 
pois exige o uso de variáveis redundantes e as 
forças de vínculos aparecem de forma explícita.
O formalismo lagrangiano utiliza coordenadas 
independentes (coordenadas generalizadas) 
para expressar as equações de movimento de 
um sistema físico. 
Princípio de D’alembert
Jean le Rond D’Alembert (Paris, 1717-1783)
Église Saint-Jean-le-Rond
Princípio de D’alembert
Para um sistema mecânico sujeito a 
vínculos, num dado instante t, há uma 
infinidade de configurações possíveis, 
isto é, consistentes com os vínculos. 
Por exemplo, uma partícula pode se 
deslocar numa mesa horizontal em 
qualquer direção xy e com qualquer 
velocidade e o vínculo da reação 
normal ao plano será sempre o mesmo.
Deslocamentos virtuais
Os deslocamentos infinitesimais de 
cada partícula que levam de uma 
configuração possível a outra 
configuração possível 
infinitesimalmente próximas no mesmo 
instante t são chamados de 
deslocamentos virtuais, ou seja, são 
infinitesimais, ocorrem num instante t 
fixo e não violam os vínculos.
Princípio de D’alembert
O trabalho realizado pelas forças de 
vínculo, nos deslocamentos virtuais das 
posições das partículas é nulo. O 
deslocamento virtual respeita o vínculo
O trabalho é nulo 
Princípio de D’Alembert
Princípio de D’alembert
As eqs Newtonianas exigem a inclusão das 
forças de vínculo na equação do 
movimento, tendo 3N coordenadas para 
descrever as posições das partículas. Como 
há vínculos, muitas equações serão 
redundantes. No formalismo de D’Alembert, 
não se leva em conta as forças de vínculo e 
há um número mínimo de coordenadas 
independentes para descrever o sistema.
Exemplo: plano inclinado
m
ŷ
w
N
s
x̂
Só usamos a força ativa ! A força de
vínculo é obtida pelos multiplicadores
de Lagrange
vínculos
Vínculos holônomos
A configuração do sistema no referido 
instante é definida pela posição de cada 
uma das partículas de um sistema 
mecânico num dado instante. Se q1, ..... , 
qn são coordenadas arbitrárias usadas 
para descrever a configuração, então se 
f(q1, ..... , qn , t) = 0, ela é a equação de 
vínculo holônoma.
Coordenadas generalizadas
Seja um sistema mecânico constituido por N partículas 
submetidas aos p vínculos holônomos:
Nas aulas de quarta e sexta veremos exemplos de equações de vínculos
Princípio variacional de Hamilton
Determinar extremos máximos e mínimos 
de um funcional J, que é o espaço de 
funções aplicados sobre o conjunto dos 
números reais. O funcional associa a uma 
função de uma certa classe um número 
real.
Exemplo: comprimento de um arco no 
plano xy
Exemplo: comprimento de um arco
Dedução da equação de Euler
Família de 
curvas que 
ligam os 2
pontos
0' =





∂
∂
−
∂
∂
y
f
dx
d
y
f
Equação de Euler ou Euler-Lagrange (1744)
Deduzida por Leonard Euler em 1744
Vamos ver depois que na física f = L = lagrangiana do sistema
L = T – V (T = energia cinética e V = energia potencial do sistema),
x será o tempo t, y a coordenada generalizada q e y’ a velocidade
generalizada.
Exercício: geodésica do plano (curva que forma a menor 
distância entre dois pontos no plano)
reta
Exercício: resolver o problema da braquistócrona
Equações paramétricas de uma ciclóide passando pela origem. 
A baquistócrona é um arco de ciclóide.
x
y
θ
a
y
x
A B’
B
ciclóide
Lista de exercícios
● Resolva a geodésica da esfera por Euler
● Encontrar a superfície de revolução de menor área. Considere 
uma superfície gerada pela rotação em torno do eixo y de uma 
curva plana passando por dois pontos fixos. O problema 
consiste em encontrar a curva para a qual a área da superfície 
de revolução é mínima. 
● Resolva a máquina de Atwood através do Princípio de 
D’Alembert
● Analise o Princípio de Fermat e a Lei de Snell através do 
Princípio Variacional
● Escreva as equações de vínculo para os seguintes casos:
a) Disco rolando sobre uma mesa horizontal, sempre na vertical, 
sem deslizar (mostre que as equações obtidas não são 
integraveis)
b) Cilindro que rola sem deslizar em uma linha reta
gravitação
Isaac Newton teorizou o fenômeno da atração entre 
dois corpos. Ele não conhecia o valor de G, a 
constante gravitacional.
r
Para um corpo esfericamente simétrico a massa pode 
ser considerada como que “concentrada” no centro 
da esfera na atração gravitacional com outros corpos. 
Newton levou 20 anos para provar isto!
2
2 2,980
−== cms
R
GMg
Centro de gravidade de corpos de 
grandes dimensões
m1 m2
Centro de gravidade de corpos de 
grandes dimensões
Seja um corpo grande de massa M e outro 
pequeno de massa m, no ponto P
G
- F
F
m
r
M
Teorema 1: Qualquer sistema de forças 
é equivalente a uma força que passa 
por um ponto arbitrário, mais um 
conjugado (um ou outro, ou ambos, 
podem ser iguais a zero)
Centro de gravidade de corpos de 
grandes dimensões
Centro de gravidade de corpos de 
grandes dimensões
P
m-Fi
Fi
mi
As forças Fi se reduzem a uma força aplicada 
num ponto arbitrário mais um conjugado. Seja 
F = ΣFi esta força e P o ponto arbitrário. Como 
nenhuma das forças Fi realiza torque em 
relação a P, o torque total em relação a P é
nulo e o conjugado se anula. O sistema de 
força tem uma resultante F exercida ao longo 
de uma linha que passa por m. A força em m é
– F (3LN).
Centro de gravidade de corpos de 
grandes dimensões
No corpo M há um ponto G nesta linha onde F = 
GmM/r2.
Este ponto G é o centro de gravidade do corpo M 
relativo ao ponto P.
G não está em geral no CM do corpo M, pois as partes 
do corpo mais próximas de m são atraídas mais 
intensamente do que as partes mais afastadas.
Também, a posição do ponto G depende da posição do 
ponto P.
Se P está muito distante de M, G coincidirá com o CM.
Para uma esfera uniforme, G coincide com o centro C 
da esfera.
Usa-se a teoria de campo gravitacional para determinar 
os pontos G entre 2 corpos grnades que se atraem.
Centro de gravidade de corpos de 
grandes dimensões
Campo e Potencial gravitacionais
O
m
r
ri
mi
Campo e Potencial gravitacionais
A força gravitacional Fm exercida sobra 
uma partícula de massa m no ponto r, 
devido a outra partícula de massa mi no 
ponto ri é um vetor soma das forças 
devido a cada uma das outras partícula 
agindo separadamente:
Campo e Potencial gravitacionais
ρ(r)
m
Intensidade de campo gravitacional ou 
campo gravitacional g(r)
Intensidade de campo gravitacional ou 
campo gravitacional g(r)
g(r) é a força por unidade de massa que seria exercida 
sobre qualquer massa de tamanho reduzido colocada 
num ponto, na posição r, onde Fm é a força que seria 
exercida sobre a massa m no ponto r. 
g(r) tem dimensão de aceleração e é a 
aceleração experimentada por uma 
partícula no ponto r.
Como as forças gravitacionais entre pares 
de partículas são centrais, elas são 
conservativas.
Intensidade de campo gravitacional ou 
campo gravitacional g(r)
Energia potencial
Podemos definir a energia potencial para uma partícula 
de massa m submetida à ação de forças 
gravitacionais.
Para 2 partículas m e mi a energia potencial é dada por:
Energia potencial
A energia potencial de uma partícula de massa m no 
ponto r devido ao sistema de partículas mi será:
Potencial gravitacional
Energia potencial por unidade de massa de uma 
partícula no ponto r, com o sinal negativo (escolha 
feita na teoria gravitacional)
Potencial gravitacional
Para um sistema de partículas:
Potencial gravitacionalSe ρ(r) representa uma distribuição contínua de massa, 
o seu potencial gravitacional será:
exercício
Aplique o que foi visto para uma esfera oca, fina 
e homogênea de massa M e densidade σ por 
unidade de área e raio a.
r
P
r0
a
C
asenθ
θ
dθ
adθ
Anéis elementares de raio asenθ,
largura adθ, para o qual toda a massa 
está à mesma distância r de P
solução
solução
Fora da esfera: como se a massa estivesse 
concentrada no centro C da esfera.
Dentro da esfera: g = 0 pois o potencial é
constante.
Newton levou 20 anos para provar que a Terra 
atrai a Lua como se toda a massa da Lua 
estivesse concentrada em seu centro.
Campo de força central
F
O
Integral do momento angular
Sob a ação de uma força central, 
existem quantidades que se 
conservam, isto é, existem as 
integrais primeiras do movimento. O 
momento angular se conserva na 
ação de forças centrais.
Lagrangiana do sistema
Teorema de Bertrand
Uma órbita é dita limitada se a distância da 
partícula ao centro de força é constante (órbita 
circular) ou está compreendida entre dois 
valores extremos, isto é, rmín ≤ r ≤ rmáx.
Os únicos potenciais centrais para os quais todas 
as órbitas limitadas são fechadas são V(r) = -k/r
e V(r) = kr2, com k positivo, isto é, ou a força é
inversamente proporcional ao quadrado da 
distância ou obedece à lei de Hooke.
Prova: basta variar o ângulo de rotação da 
equação anterior de um número inteiro de 2π
radianos (fica como exercício). 
Velocidade areolar
A velocidade areolar ou taxa areolar é a taxa na 
qual uma determinada área é varrida durante a 
trajetória do raio vetor
P
P’
r
r +dr
dA
dr
Fração de 
arco percorrida
Fração de área
Velocidade areolar
Equação de Binet
A equação de Binet é
importante pois fornece a 
trajetória de um corpo num 
campo de força central
Equação de Binet
Equação de Binet
Força central inversamente 
proporcional ao quadrado da distância
Força central inversamente 
proporcional ao quadrado da distância
Vef
r
Força central inversamente 
proporcional ao quadrado da distância
Vef
r0
E
Equação polar da órbita
elipse
r’ r
θ
F F’
b
a
aε
m
Excentricidade da elipse é a razão entre a semi-distância focal e o semi-eixo maior. 
parábola
θ
r
r
d
a
F = 0
diretriz
xx = a
Aplicação
Suponha que uma partícula de massa 
m esteja em movimento sob a ação 
de uma força central F(r) = -k/rn, com 
k ˃ 0 e n inteiro. Obtenha a condição 
de existência de uma trajetória 
circular estável.
solução
solução
Lista de exercícios
1) Uma partícula de massa m move-se sob a ação de 
uma força F(r) = - kr. Obtenha a energia potencial 
efetiva e analise os possíveis movimentos em torno 
de rmín.
2) Uma partícula de massa m move-se sob a ação de 
uma força central numa órbita espiral r = cθ2, onde c 
é uma constante positiva. Determine a força em 
função de r. Escreva também a expressão da 
energia mecânica total.
Lista de exercícios
3) Um míssil intercontinental de massa m é lançado da 
superfície da Terra formando um ângulo α em 
relação à vertical local, com uma velocidade m ˂
(gR)1/2, sendo g a aceleração da gravidade e R o 
raio da Terra suposta esférica.
a) Determine o momento angular do míssil.
b) Calcule a sua energia mecanica total.
c) que condição deve ser satisfeita para que exista a 
altura máxima? Que altura é esta?
Lista de exercícios
4) Seja uma trajetória circular estável de raio r0 para o 
movimento de uma partícula de massa m sob a 
ação de uma força central. Considere uma pequena 
perturbação dessa trajetória circular em torno de r0. 
Como conseqüência surgirá uma pequena oscilação 
radial. Obtenha essa frequencia de oscilação w0
expandindo o potencial efetivo Vef em torno de r0 até
o termo de segunda derivada.
Lista de exercícios
5) Determine as possíveis trajetórias de uma 
partícula de massa m em movimento sob a 
ação de uma força central atrativa F(r) = - k/r3. 
Esboce o seu gráfico. Obs: faça o gráfico da 
energia potencial efetiva em função de r e 
analise os tres casos possíveis: a) para H2 ˃
mk; b) para H2 ˂ mk e c) para H2 = mk. 
Mecânica analítica
Lagrange, Newton, D’Alembert
Hamilton, Euler
Legendre
Multiplicadores de lagrange
Exercício 1
solução
Só há uma
equação de vínculo
Logo: p = 1
Eq. 1
Eq. 2
Exercício 2
Patinete numa superfície horizontal – haste rígida que se move no 
plano horizontal, sem atuação de força externa.
( )
( )
( ) ( ) 22020
00
00
cos)(
)(
Cyyxx
tCyty
tCsenxtx
=−+−∴
Ω+−=
Ω++=
θ
θ
O patinete gira em torno de seu próprio centro de massa com velocidade angular
constante Ω, ao mesmo tempo que o CM descreve uma circunferência no plano
do movimento com a mesma velocidade angular Ω. Se Ω = 0, o CM do patinete
executa um movimento retilíneo e uniforme.
C
Ω
Equações de Hamilton
Newton-D’Alembert-Lagrange-Hamilton
1) As forças ativas F(a) são obtidas a partir do potencial 
V e os vínculos são holônomos. Usam os mesmos 
princípios;
2) Lagrange – representa o movimento no espaço das 
configurações L = L(q, dq/dt, t);
3) Hamilton – representa o movimento no espaço de 
fase. H = H(q, p, t)
Usamos a transformação de Legendre para passar de L 
a H. 
Exercício
Considere um exemplo em que há vínculos de 
movimento. Uma conta de massa m desliza 
sem atrito em um aro circular de raio R. O aro 
encontra-se num plano vertical que pode girar 
em torno do diâmetro vertical em velocidade 
angular constante, w. 
R
mg
θ
w
Lista de exercícios
1) Determine a força normal de reação de um plano 
inclinado para um bloco que desliza sem atrito 
através dos multiplicadores de lagrange.
2) Determine a força de reação no contato entre uma 
bolinha de massa m que desliza a partir do topo de 
uma outra superfície esférica grande e em repouso, 
usando os multiplicadores de lagrange.
3) Obtenha a força de tração no fio de um pendulo 
simples através dos multiplicadores de lagrange.
4) Obtenha a equação do movimento de um corpo 
preso a uma mola que oscila na horizontal através 
das equações canônicas de Hamilton.
5) Um pêndulo simples tem seu ponto de sustentação oscilando harmonicamente com 
freqüência constante w. Obtenha a equação do movimento do pendulo. Obtenha a 
solução geral para ângulos pequenos de oscilação;
6) Uma esfera de raio a e massa m repousa sobre uma outra esfera fica e rugosa de 
raio b. A primeira esfera é deslocada ligeiramente, de modo que role sem deslizar 
sobre a segunda esfera. Onde a primeira esfera deixará a segunda?
7) Uma partícula submetida a um campo correspondente a U(x) = - fx, onde f é positivo 
constante, se desloca num intervalo de tempo T desde a posição x = 0 até x = a. 
Ache a equação de movimento da partícula, através da lagrangiana;
8) Um disco rola sem deslizar num plano inclinado. Resolva o problema a partir da 
equação de vínculo s = rθ.
Lista de exercícios
s
θ
r
ɸ
9) Resolva o problema a seguir usando as 
equações canônicas de Hamilton
Lista de exercícios
r
m2
m1
10) Resolva o problema a seguir usando as 
equações canônicas de Hamilton
Lista de exercícios
A
m1
m2
α1 α2
polia ideal
g B
11) Resolva o problema da queda livre através 
da lagrangiana e da hamiltoniana do sistema.
Lista de exercícios
H
m
mg
Mecânica analítica-exercícios
Lagrange, Newton, D’Alembert
Hamilton, Euler
Legendre
Forças eletromagnéticas e potenciais 
dependentes da velocidade
Função de dissipação de Rayleigh
1) Pêndulos acoplados
Torque negativo
em relação
ao ponto 0
Torque
positivo
NI =θ&&
Obtenha L e as 
equações
Primeira mola: afastamento x1
Segunda mola: afastamento x2- x1
Terceira mola: afastamento x2
1A de cofatores dosdet o trivial,não solução
 Para w.frequência com ooscilatóri será movimento O
Sistema infinito de pares massa-mola acoplados
 vibração.de normais
modosn então teremosacopladas massasn tivermosse
.3 e sfrequencia
 com vibração,de normais modosdois há que vimos
 molas tresa acopladas massas duas com sistema um para
./ natural frequencia própria a é
 oscilação de normal modo do frequencia a massa, uma e
mola uma apenas com mola-massa sistema um para
0201
0
ωωωω
ω
==
= mk
Solução para N osciladores 
03
02
01
0
22
2
22
: temos3 para
 vibração.de normais modos possíveis os representa onde
)1(2
2
:são acoplados iguais sosciladore N para possiveis sfrequência as
ωω
ωω
ωω
πωω
+=
=
−=
=






+
=
N
m
N
msen
As três massas estão em fase.
A massa do meio tem maior amplitude (fator 1,414)
A massa do meio
está parada
Oscilador harmônico quântico
Funções de onda para os primeiros auto estados de energia num oscilador quântico
solução
Termo estacionário, oscila com amplitude constante
Exercício 5:
x
y
z
MRU
1) Um foguete é acelerado até a velocidade v=2(gRT)1/2, perto da superfície da Terra e, 
então, segue para cima. (a) mostre que ele escapará da Terra. (b) mostre que, muito 
longe da Terra, sua velocidade é v = (2gRT)1/2. 
2) Mostre que no fundo de um poço de mina vertical de profundidade D, o valor de g 
será g = gs[1-(D/R)], onde gs é o valor na superfície. Suponha que a Terra seja uma 
esfera uniforme de raio R. 
3) Considere um cometa cuja trajetória é parabólica e contida no plano da órbita 
terrestre. Se a distância de maior aproximação (periélio) do cometa em relação ao Sol 
é βre, em que re é o raio da órbita (suposta circular) da Terra e que β ˂ 1: 
a) mostre que o tempo que o cometa permanece dentro da órbita da Terra é dado por 
.1
3
21)1(2 ano×+−
π
ββ Use a conservação da energia mecânica. 
b) se a menor distância do cometa ao Sol é igual ao periélio de Mercúrio, quantos dias 
ele permanece dentro da órbita da Terra? Dados: re = 1,49 x 1011 m; periélio de 
Mercúrio: 5,79 x 1010 m. 
4) Suponha que um satélite de comunicação geossíncrono esteja em órbita na 
longitude de Chicago. Voce está em Chicago e deseja captar os seus sinais. Em que 
direção voce deveria apontar o eixo da sua antena parabólica? A latitude de Chicago é 
47,5o. 
5) Quanto tempo levará um cometa, que se move numa trajetória parabólica, para 
mover-se desde o seu ponto de maior aproximação do Sol, em A, até completar um 
ângulo de 90o, medido em relação ao Sol, alcançando B? Suponha que a distância de 
maior aproximação ao Sol é igual ao raio da órbita da Terra, suposta circular. 
a) resolver usando a conservação de momento angular; 
b) resolver usando a conservação de energia mecânica.