EXERCICIOS_DE_MECANICA_TEORICA

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Por Amós Veremachi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 
SEMINÁRIOS DE MECÂNICA TEÓRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por Amós Veremachi 
 
CINEMÁTICA 
MÉTODOS DE DETERMINAÇÃO DO MOVIMENTO DO PONTO: 
Método vectorial, Método de coordenadas e Método Natural 
NO MÉTODO VECTORIAL: é dado o vector -posição como função de tempo: 
 trr

 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DAS COORDENADAS: 
No método de coordenadas: As coordenadas de posição do ponto são dadas como 
funções de tempo. 
Coordenadas cartesianas: 
 
 
 
 
 






tzz
tyy
txx
 
 
 
 
 z 
 
  tr

 
 o y 
 x 
 z 
  zyx ,, 
 
 o y 
 x y 
Por Amós Veremachi 
 
Coordenadas Polares: 
 
 




t
trr

 
 
 
 
Coordenadas Cilíndricas: 
 
 
 






tzz
t
t


 
 
 
Coordenadas Esféricas: 
 
 
 






t
t
trr

 
0r e  0 
 
 
 MÉTODO NATURAL: 
No método natural são dadas a equação da trajectória na forma geométrica e a lei de 
movimento do ponto pela trajectória. A trajectória aparece como a intersecção de duas 
superfícies: 
 
 
 






tss
zyxF
zyxF
0,,
0,,
2
1
 
 
 y 
 
 r 
 o θ x 
 z 
  zP ,, 
 
 o y 
   
 z 
  ,,rP 
 r 
 Θ y 
   
x 
 z 
  tss  
 o y 
 x 
Por Amós Veremachi 
 
GRANDEZAS CINEMÁTICAS 
A razão entre vector do deslocamento e o acréscimo do tempo denomina-se vector 
velocidade média para o intervalo de tempo t 
t
r
vm





 
O limite do vector de velocidade média, quando o intervalo de tempo t tende para 
zero, Chama-se vector velocidade instantânea : 
m
t
vv

0
lim

 ou k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v

 ou ainda 
dt
rd
v


 
A velocidade instantânea é igual a derivada do raio vector r

 segundo o tempo no 
instante estudado. 
As projecções da velocidade sobre os eixos das coordenadas são dadas por: 
dt
dz
ve
dt
dy
v
dt
dx
v zyx  , . 
O módulo do vector velocidade é: 
222
222



















dt
dz
dt
dy
dt
dx
vvvv zyx 
 O comprimento do percurso ou do arco descrito pelo ponto em movimento é dado pela 
expressão: 
 dttvS
t

0
 
A trajectória do ponto que coincide com a extremidade do vector velocidade é chamada 
hodógrafo da velocidade. 
Como as projecções do vector velocidade sobre os eixos. Oxyz são 
dt
dz
ve
dt
dy
v
dt
dx
v zyx  , , as coordenadas do ponto que avança pelo hodógrafo 
são iguais a: 
Por Amós Veremachi 
 
dt
dz
vze
dt
dy
vy
dt
dx
vx zyx  , . 
Estas são as equações do hodógrafo da velocidade na forma paramétrica 
Quando a velocidade do móvel varia com o correr do tempo, introduz-se a grandeza 
física aceleração. 
Aceleração média: 
t
v
am





 
Aceleração Instantânea: 
2
2
0
lim
dt
rd
dt
vd
t
v
a
t







 
Em coordenadas cartesianas: k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
a z
yx

 
Aceleração no Movimento curvilíneo: n
v
dt
dv
naaa n

....
2

  
CINEMÁTICA DO PONTO MATERIAL EM COORDENADAS CURVILÍNEAS: 
Coordenadas Generalizadas  321 ,, qqqr

 
t
q
q
r
t
q
q
r
t
q
q
r
v














 3
3
2
2
1
1
...


 ; 
i
i q
t
q



 
Seja iv a projecção do vector velocidade pela i-ésima coordenada generalizada 3,1i , 
então: iii qhv . 
Onde 
222


































iiii
i
q
z
q
y
q
x
q
r
h

é o coeficiente de Lame pela i-ésima 
coordenada. 
O vector velocidade da partícula será dado pela expressão: 
ii
i
i eqhv

. ; em que ie

é o versor. 
Por Amós Veremachi 
 
O quadrado do módulo da velocidade será é dado pela expressão:  
22

i
ii qhv  e o 
módulo da velocidade é dado pela expressão:  
i
ii qhv
2
. 
As projecções do vector aceleração em coordenadas generalizadas são dadas pela 
relação: 












iii
i
q
T
q
T
dt
d
h
a

.
1
 com 
2
2
1
vT  
Assim a velocidade no sistema cilíndrico de coordenadas é dada pelas expressões: 
Vector-posição: zezer

..   onde jsenie

 cos e ke z

 
Vector zz evevevv

...   Módulo da velocidade      
222
. zv    
A aceleração em coordenadas cilíndricas é dada pela expressão: 
Vector 
zz eaeaeaa

...   ; Módulo da aceleração: 
    2222 .2.. za    
A velocidade no sistema de coordenadas esféricas: 
Vector-posição: rerr

. onde kjsensenisener

.cos...cos.   
Vector   esenrererv r




......  
O seu módulo é dado por :  222222 ... senrrrv   
A aceleração em coordenadas esféricas é dada pela expressão 
 eaeaeaa rr

...  
 O módulo da aceleração será: 
222
 aaaa r  
Onde  222 ... senrrrar 
  ;  senrrra .cos.....2
2  
 
Por Amós Veremachi 
 
SEMINÁRIO-1 
1. O movimento de um ponto material é dado pelas seguintes funções 
tyetx .245.3  . Em que método está determinado esse movimento? 
Determine-o pelo método vectorial. 
 
2. Um ponto material percorre uma trajectória de raio R, cuja equação é dada 
pela expressão 222 Ryx  , obedecendo a seguinte equação horária tRS .. 
a. Em que método está dado este movimento? 
b. Determine o movimento do ponto em coordenadas cartesianas. 
 
3. Sejam dadas as equações do movimento do ponto 






2
.
cos..2 2
tk
ax ; 
 tksenay .. onde a e k são constantes positivas.Determine as equações do 
movimento do ponto em coordenadas polares. 
 
4. Um ponto se movimenta por uma linha helicoidal de acordo com as equações 
    tzetsenytx .2.4.2,.4cos.2  . 
a. Em que método está dado o movimento do ponto? 
b. Exprima-o em coordenadas cilíndricas. 
c. Componha o vector-posição no sistema cilíndrico de coordenadas. 
5. Sejam dadas as equações do movimento do ponto 






2
.
cos..2 2
tk
ax ; 
 tksenay .. onde a e k são constantes positivas. 
a. Determinar a trajectória e a lei do movimento do ponto pela trajectória, 
contando a distância a partir da posição inicial do ponto. 
b. Determinar as equações do movimento do ponto em coordenadas 
polares. 
6. Usando as equações do movimento do ponto, achar a trajectória e a lei do 
movimento deste ao longo da trajectória, contando a distância a partir da posição 
inicial do mesmo. 
a. 2.3 tx  e 2.4 ty  
Por Amós Veremachi 
 
b.  tax 2cos. e  tsenay 2. 
c.  tsenx .3 e  ty cos.3 
d.  25cos.5 tx  e  25.5 tseny  
7. Usando as equações dadas do movimento do ponto, achar as equações de sua 
trajectória em forma de coordenadas cartesianas e assinalar no desenho a 
direcção do movimento: 
a. tyetx .245.3  
b.     1.5.4.5cos.32  tsenyetx 
c. tx .2 e 2.8 ty  
d.  tsenx .10.5 e  ty .10cos.4 
e.  
2
tt ee
tchx

 e  
2
tt ee
tshy

 
8. . Um ponto participa simultaneamente de duas oscilações amortecidas 
mutuamente perpendiculares, cujas formas são    tkeAx th .cos.. . ; 
   tkseneAy th ... . ; onde A> 0; h> 0; k> 0 e ε são determinadas constantes. 
Determinar as equações do movimento em coordenadas polarese achar a 
trajectória do ponto. 
 
9. Um ponto se movimenta por uma linha helicoidal de acordo com as equações 
    tzetsenytx .2.4.2,.4cos.2  . Se por unidade de comprimento foi 
adoptado o metro,determinar o raio de curvatura ρ da trajectória. 
 
10. Um ponto M move-se numa parábola segundo a lei xpy ..22  como vem na 
figura de modo que a ordenada é dada pela fórmula tCy . com C = constante. 
Determinar a velocidade do ponto. 
 
11. A equação do movimento é dada em coordenadas polares por: ρ = b.t ; φ = k.t 
onde b e k são constantes. Encontrar a equação da trajectória e a lei do 
movimento sobre a trajectória. 
 
Por Amós Veremachi 
 
12. Um ponto participou simultaneamente em duas oscilações amortecidas 
mutuamente perpendiculares de acordo com as 
equações  ,.cos.. .   tkeAx th    tkseneAy th ... . 
a. Determinar as projecções da velocidade do ponto nos eixos das coordenadas 
cartesianas e polares. 
b. Achar o módulo da velocidade. 
13. As equações do mvoimento do ponto M no sistema cilíndrico de coordenadas 
tem a forma r = a; φ = k.t, z = v.t. 
a. Achar as equações da velocidade do ponto M nos eixos do sistema cilíndrico 
de coordenadas. 
b. Achar as equações do movimento do ponto M1 que descreve o hodógrafo da 
velocidade. 
c. Achar as projecções da velocidade do M1. 
d. Achar as projecções da aceleração do ponto nos do sistema cilíndrico de 
coordenadas. 
e. Achar as componentes tangencial e normal da aceleração e o raio da 
curvatura da linha helicoidal. 
14. O ponto M se movimenta por uma circunferência segundo as equações: 







2
.
cos..2
tk
ar ; 
2
.tk
 onde r e φ são coordenadas polares. 
a. Achar as projecções da velocidade do ponto M nos eixos do sistema polar 
de coordenadas. 
b. Achar as equações do movimento do ponto ponto M1 que descreve o 
hodógrafo da velocidade. 
c. Achar as projecções da velocidade do ponto M1. 
15. Um ponto se movimenta ao longo da linha de intersecção de uma esfera e um 
cilíndro seguindo as equações r = R; 
2
.tk
 ; 
2
.tk
 . Onde r,  e  são 
coordenadas esféricas. 
a. Achar o módulo e as projecções da velocidade do ponto nos eixos do 
sistema esférico de coordenadas. 
b. Achar as projecções e o módulo da aceleração do ponto usando as 
coordenadas esféricas. 
Por Amós Veremachi 
 
MOVIMENTO COMPOSTO. CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RELATIVO E 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL 
Consideremos dois sistemas: O´xý´z´que se move relativamente ao sitema fixo Oxyz, 
Seja M um ponto que se move em relação ao sistema O´xý´z´. 
O movimento do ponto M em relação ao sistema fixo Oxyz chama-se movimento 
absoluto. 
O movimento de M em relação ao sistema móvel O´xý´z´chama-se movimento relativo. 
O movimento de M relativo a Oxyz devido ao movimento do sistema O´xý´z´chama-se 
movimento de transporte. 
O vector da velocidade de transporte do ponto é dado pela expressão: 
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
ve

 






 ...0 
A velocidade relativa do ponto é a velocidade do ponto no espaço do sistema móvel de 
coordenadas zyxO  e é determinada pela fórmula: 
 
 
A expressão que exprime o teorema da combinação das velocidades no movimento 
complexo do ponto é dada por: 
 
O vector aceleração de transporte ea

 do ponto é dado por: 
2
2
2
2
2
2
2
0
2
...
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
ae










 
A aceleração relativa do ponto é a aceleração do ponto no espaço do sistema móvel de 
coordenadas zyxO  . Seu vector é determinado mediante a expressão: 
 
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
vr







 ...
rea vvv


k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
ar







 ...
2
2
2
2
2
2
Por Amós Veremachi 
 
 A parcela da formula do vector aa

denomina-se aceleração de Coriolis do ponto que 
pode ser escrita da seguinte forma: 







 





dt
kd
dt
zd
dt
jd
dt
yd
dt
id
dt
xd
ac


....2 
Desta feita o teorema de Coriolis sobre a combinação das acelerações é enunciado da 
seguinte forma: 
A aceleração do movimento absoluto do ponto, é a soma geométrica de três 
acelerações; a de transporte, a relativa e a de Coriolis, ou seja: 
crea aaaa

 
Onde  rc va

,.2  é a aceleração de Coriolis do ponto. 
 
LEI FUNDAMENTAL DA DINÂMICA DO PONTO MATERIAL: 
A variação da quantidade de movimento dum ponto é proporcional à força aplicada e transcorre 
na direcção e sentido desta. 
 
 
dt
vmd
dt
pd
FF
n
i
i
 .
1


 
A equação da 2ª lei de Newton é a equação fundamental do movimento para a partícula sujeita à 
acção de uma força resultante RF

que é a soma de todas as forças que actuam sobre a partícula. 























m
F
z
m
F
y
m
F
x
zmF
ymF
xmF
dt
rd
m
dt
vd
mFF
Rz
Ry
Rx
Rz
Ry
Rxn
i
iR






.
.
.
..
2
2
1
 
O problema usual da dinâmica consiste em: 
 Dada a massa do ponto material e as equações do movimento do mesmo no sistema de 
referência inercial (SRI) cartesiano x=f(t), y=f(t) e z=f(t), achar a resultante das forças 
Por Amós Veremachi 
 
que actuam sobre o ponto material. Isto resulta num processo de diferenciação das 
equações do movimento e depois compor as projecções da equação da 2ª lei. 
 Dado o sistema de forças que actuam sobre a partícula e sua massa, determinar o 
movimento do ponto. Isto resulta num processo de integração do sistema de equações 
diferenciaias de 2ª ordem do movimento. 
A sua solução completa requer o conhecimento das condições iniciais do problema, isto 
é, a velocidade e a posição para t = 0 s. 
No caso mais geral  
 
 
 







tzyxzyxFF
tzyxzyxFF
tzyxzyxFF
trrFF
zz
yy
xx
,,,,,,
,,,,,,
,,,,,,
,,





 
Feitas as substituições e integrações das equações da 2ª lei, obtém-se as equações do movimento 
 
 
 






21
21
21
,,
,,
,,
cctzz
cctyy
cctxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por Amós Veremachi 
 
SEMINÁRIO - 2 
1. Um holofóte acompanha um avião, que voa a 1000 metros de altura. Sabe-se que a 
velocidade angular do feixe luminoso é 0,2 rad/s na posição indicada na figura. Determinar a 
velocidade do avião. (R: 961 km/h) 
 
 
 
2. Um ponto se move sobre a parábola y2 = 2.x , de tal modo que a projecção da sua velocidade 
sobre o eixo dos x é constante e igual a 8 m/s. Ao iniciar a contagem do tempo, o móvel está na 
origem das coordenadas. Determinar a velocidade no fim de 1 s. 
 (R: v = 8,3 m/s; φ = 14º 12’) 
3. A barra AB, representada na figura, está apoiada num plano horizontal e gira em torno de um 
eixo vertical passando por B com uma aceleração angular constante de 1 rad/s2. Enquanto a 
barra gira, o cursor C se desloca de B para A, de tal forma que a distância do ponto B ao ponto 
C aumenta regularmente à razão de 0,5 m/s. Quando o cursor esta na posição indicada na figura, 
a velocidade angular da barra é de 3 rad/s no sentido horário. Determinar, para a posição 
indicada, a aceleração do cursor. (a = 5,7 m/s2) 
BC = 50 cm 
 
 
4. Um ponto M se move em um plano, de tal modo que sua velocidade apresenta, a cada 
instante, duas componentes de intensidades constantes das quais uma de direcção fixa a e outra, 
sempre perpendicular ao raio vector b. Determinar a trajectória e a aceleração. 
 (R: 
).( senab
c
r

 ; a = ar= - re
r
bc 
.
2
) 
 
 
 
 
 1000 m 
 30º 
 
 
 A C B 
 v

 
 b
a

 
 
 θ 
 O x 
Por Amós Veremachi 
 
5. Um ponto M percorre a cardióide r = a. (1 + cos Ө), de modo que a sua aceleração total fica 
sempre dirigida para o pólo O. Determinar, em função do raio vector r, a velocidade, a 
aceleração total e a normal. 
(R: v

 = c. re
r
a 
.
.2 2
1
3






; rt e
r
c
aa

...3
4
2
 ; rn e
r
a
r
c
a

.
.2
.
.3 2
1
3
2






 ) 
 
 
 
 
6. O triângulo OAB gira em torno do eixo OA, que ocupa o plano da figura, à velocidade 
angular ω = 6.t2 no SI. O ponto M avança pela hipotenusa do triângulo, partindo do vértice A 
rumo ao vértice B, sendo a lei do movimento S = AM = 12.t2 + 4 no sistema c.g.s; o ângulo 
BAO mede 30º. Considerando que o plano do triângulo coincide com o plano da figura; para t = 
1 s, achar a aceleração absoluta do ponto M neste instante. 
 (R: a = 3,66 m/s2, cos(a , x) = 0,745, cos(a , y) = 0,656; cos(a , z) = 0,057) 
 
 
 
 
 
7. Um avião está voando ao longo de um meridiano da terra, do equador para o pólo, 
desenvolvendo a velocidade constante e igual, segundo o módulo, a 300 m/s. Quais são as 
componentes do vector da aceleração absoluta do avião no equador e no pólo; e qual é o módulo 
da aceleração total do avião? O raio da terra é de 6370 km. 
(R: No equador: ae= 0,0337 m/s2, ar=0,0141 m/s2, ac= 0, aabs= 0,0478 m/s2; no pólo: ae= 0, ar= 
0,0141 m/s2, ac= 0,0436 m/s2 , aabs= 0,0458 m/s2). 
8. Um corpo rígido tem uma velocidade de rotação de 100 rad/s, em torno de um eixo, situado 
no plano xoz e fazendo o ângulo de 45º com o eixo dos x. Determinar a velocidade do ponto P 
 M 
 
ra

 
 O x 
 A 
 30º y 
 x 
1o M 
 

 
 O z B 
Por Amós Veremachi 
 
do sólido, na ocasião em que suas coordenadas são P (3,4,5) em dm. 
(R: v = (28,28; -56,56; 28,28), v = 69,3 m/s) 
9. Um corpo rígido gira, com velocidade de 500 r.p.m, em torno de um eixo fixo coincidente 
com o vector kji

 .2.3 . Determinar a velocidade do ponto P (1, -2, -1) dm.· 
 (R: v = (5,6; -14; -11,2) no SI) 
10. O rectângulo ABCD gira em torno do lado CD à velocidade angular 
2

  rad/s. O ponto 
M movimenta-se ao longo do lado AB seguindo a lei 
2
.
(.
t
sena

  ) no SI. Sejam as 
dimensões DA=CB=a m. Determinar o valor da aceleração absoluta que o ponto possui no 
instante t = 1s. (R: aabs= 2
12
2.
4
.a
 m/s2) 
 
 
11. Enquanto o disco representado na figura, gira em torno de C com velocidade angular 
constante ω, o ponto P percorre o seu diâmetro com movimento harmónico simples dado por 
x = r.cos(ω.t), onde x é a coordenada de P em relação a C. Determinar a aceleração absoluta do 
ponto P, quando este ocupar a extremidade do disco. 
 reraR

...2: 2 
 
12. O êmbolo de um motor a combustão interna oscila horizontalmente segundo a lei 
    ...2cos.
.4
.cos. 





 t
L
r
trx  cm, onde r é o comprimento da manivela, Lé o 
comprimento da biela e ω é a velocidade angular da árvore (constante). Determinar a força 
máxima que actua sobre o êmbolo, se a sua massa é M. 
[R: 






L
r
rMF 1.. 2max  ] 
 C B 
 M 
 O 
 D A 
 
 P C 
 X r 
Por Amós Veremachi 
 
13. Um corpo cuja massa é 2,04 kg oscila ao longo de uma recta horizontal. A distância entre o 
corpo e o ponto fixo é determinada pela equação 





 tsenx .
2
.10

 no S.I. Achar a força F que 
actua sobre o corpo em função da distância x, assim como o valor máximo da força. 
 (R: F= -5,033.x; Fmáx=50,33 N) 
14. As equações x = 3.cos (2.π.t) cm e y = 4. sen(2.π.t) cm, onde t é contado em segundos, 
expressam o movimento de um ponto material cuja massa é 0,2 kg. Determinar as projecções da 
força que actua sobre o ponto em função das coordenadas. 
 
15. A esfera, cuja massa é 100 g, cai sob a acção da força de gravidade enfrentando a resistência 
do ar. O movimento da esfera é expresso pela equação x=4,9.t –2,45.(1 – e-2.t), onde x é dado em 
metros, t em segundos e o eixo aponta verticalmente para baixo. Determinar a força de 
resistência do ar R que a esfera experimenta em função de sua velocidade v. 
 (R: R = 0,2.v no S.I) 
 
16 Um corpo cai no ar sem velocidade inicial. A resistência do ar é dada por R = k2.p.v2, onde v 
é a velocidade do corpo, p é o seu peso. Que velocidade o corpo desenvolverá passado o período 
de tempo t após o início do movimento? Qual é o valor limite da velocidade? 
 
17. Um navio, cuja a massa é 1,5.106 kg, vence a resistência da àgua que é igual a R = 
α.v2 no S.I, onde v é o valor da velocidade do navio em m/s e α é um coeficiente constante igual 
a 1200. O empuxo das hélices possui o sentido do avanço , alinha-se à velocidade e se modifica 
de acordo com a lei 






33
110.2,1 6
v
T no S.I. 
a. Achar a relação entre a velocidade do navio e o tempo sabendo que a velocidade inicial 
é igual a vo m/s. 
b. Achar a relação entre a distância percorrida e o tempo. 
 
 18. Um corpo cuja massa é 1 kg avança sob a acção da força variável F = 10. (1 – t) no S.I. 
Quanto tempo é necessário para que o corpo se detenha, se no instante inicial a sua velocidade é 
igual a 20 m/s e a direcção da força coincide com a velocidade? Que distância o corpo percorre 
até parar? (R: t = 3,236 s, S = 60,6 m) 
Por Amós Veremachi 
 
 
19. A partícula de massa m que é portadora de carga eléctrica q, se encontra num campo 
eléctrico homogêneo cujo valor varia de acordo com a lei E = A.sen (k.t) onde A e k são 
constantes dadas. Determinar o movimento que a partícula realiza se é sabido que sobre esta, 
actua no campo eléctrico, a força F = q.E que aponta no mesmo sentido de E. Menosprezar a 
força de gravidade. Adotar a posição inicial da partícula por origem das coordenadas. A 
velocidade inicial da partícula é igual a zero. 
 
20. Determinar o movimento de uma esfera pesada que avança ao longo de um canal 
rectilíneo imaginário que passa pelo centro da terra se sabemos que a força de gravidade 
no interior do globo terrestre é proporcional à distância existente entre o ponto em 
movimento e o centro da Terra e aponta para este centro. A esfera foi introduzida no 
canal com velocidade inicial nula. Achar também a velocidade que a esfera possui ao 
passar pelo centro da Terra e o tempo que ela gasta para chegar até este local. O raio da 
Terra é igual a R = 6,37.106 m. Adotar a aceleração da gravidade a superfície da Terra 
igual a 9,8 m/s2. 
[R: ).cos(. t
R
g
Rx  ; v = 7,9.103 m/s; t = 21,1 s] 
21. A força de resistência ao avanço de um corpo por um meio heterogêneo varia de acordo com 
a lei 
 s
vF


3
1
..2 2 no S.I, onde v é a velocidade do corpo e s é a distância percorrida. 
Determinar a distância percorrida em função do tempo sabendo que a velocidade inicial é de 5 
m/s. [R: s = 3. [(5.t + 1)1/3- 1] no S.I 
 
22. O ponto de massa m avançadesde o ponto fixo O sob a acção da força de repulsão que varia 
de acordo com a lei F = k2.m.r, onde r é o raio-vector do ponto. No instante inicial o ponto 
ocupava a posição Mo(a , 0) e possuia a velocidade vo cujo sentido é paralelo ao do eixo y. 
Determinar a trajectória do ponto. (R: Uma hipérbole) 
23. O ponto M de massa m sofre a acção de duas forças de atracção que apontam para os centros 
fixos O1 e O2. O valor destas forças é proporcional à distância entre M e os pontos O1 e O2. O 
coeficiente de proporcionalidade é o mesmo para as duas forças e igual a c. O movimento 
começa no ponto Ao à velocidade vo que é perpendicular à recta O1O2. Determinar a trajectória 
Por Amós Veremachi 
 
que o ponto M descreve. Achar também os instantes em que este cruza a recta O1O2 e calcular 
suas coordenadas nestes instantes. 
  





















 1
2
2
2
2
2
k
v
y
a
x
o
 
24. O ponto de massa m inicia o avanço rectilíneo partindo do estado de repouso e saindo da 
posição xo = a. Este avanço ocorre graças a acção da força de atracção Fx= -c1.m.x que é 
proporcional à distância da origem das coordenadas e à acção da força de repulsão Qx= c2.m.x3 
que é proporcional ao cubo da distância. A que correlação entre c1, c2 e a o ponto atinge a 
origem das coordenadas e pára? 
25. O ponto A de massa m começa a movimentar-se, partindo da posição orr

 (onde 
r

 é o raio-vector do ponto) à velocidade ov

 que é perpendicular a or

, graças à acção da 
força de atracção que aponta para o centro O e é proporcional à distância entre este 
centro e o ponto. O coeficiente de proporcionalidade é igual a 1.cm . Além disto, o ponto 
sofre a acção da força constante orcm

.. . Achar a equação do movimento e a trajectória 
que o ponto descreve. Que relação 
c
c1 faz com que a trajectória do movimento passe 
pelo centro O? Qual é a velocidade que o ponto desenvolve quando cruza o centro? 
 
 
 
 
 
R:    tc
c
c
rtcsen
c
v
r
c
c
r o
o
o .cos.1.... 1
1
1
11








 ; 1
. 2
1
2
1
1 























o
o
o
v
cy
c
c
r
r
c
c
x
 
 y 
 
 ov

 
 
 O or

 x 
 M y 
 ov

 1F

 2F

 
oA a 2a x 
Por Amós Veremachi 
 
DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS E FUNDAMENTOS DA 
ESTÁTICA ANALÍTICA 
DINÂMICA DE SISTEMA DE PARTÍCULAS: 
O momento linear do sistema de partículas é igual ao produto entre a velocidade do 
centro de massa e a massa total do sistema, CmvMp

. 
A aceleração do centro de massa do sistema é a mesma que a de uma partícula de massa 
igual a M (massa do sistema) sujeita a acção duma força igual a 

n
i
iF
1

, 
M
F
a
n
i
i
Cm

 1


. 
Se o sistema não está sujeito a acção de forças externas (sistema isolado), ou está sujeito 
a um conjunto de forças cuja resultante é nula, 

n
i
iF
1

= 0, então a velocidade do centro 
de massa (o momento linear do centro de massa) do sistema de partículas permanece 
constante com o correr do tempo: teconsvMppF cm
n
i
i
n
i
i tan.0
11
 


 
O momento angular dum sistema de partículas, em relação a um ponto fixo, é igual à 
soma do momento angular que teria o sistema, em relação ao referido ponto, se toda a 
massa estivesse concentrada no centro de massa com o momento angular do sistema em 
relação ao centro de massa. relCmTotal
n
i
iCm LLLlLL

 
1
 
A derivada com respeito ao tempo do momento angular do sistema é igual a resultante 
de todos os torques das forças externas agindo sobre o sistema: 


n
i
ext
dt
Ld
1



 
Para um sistema isolado ou um sistema sujeito à forças externas centrais, 
teconsvmrL ii
n
i
iext tan0
1
 


 
A energia cinética dum sistema de partículas é a soma da energia cinética de translação 
do centro de massa com a energia cinética do sistema relativa ao centro de massa: 
2
1
2
..
2
1
.
2
ii
n
i
CmTotal vmv
M
T  


 
 
 
 
 
 
Por Amós Veremachi 
 
FUNDAMENTOS DE ESTÁTICA ANALÍTICA 
Um conjunto de pontos materiais restrito tanto pela presença de forças internas de 
interacção mútua, como pela aplicação de ligações ao sistema 
Chamam-se ligações às limitações que são impostas à posição ou ao movimento dos 
pontos materiais do sistema. 
As ligações podem ser realizadas sob a forma de superfícies, hastes, fios, etc 
Um sistema no qual não existem ligações chama-se sistema livre. 
Chama-se deslocamento possível ou virtual a todo o deslocamento infinitesimal dos 
pontos do sistema permitido pelas ligações impostas ao sistema e que transcorrem em 
um mesmo instante de tempo. 
Todo o corpo ligado (preso) pode ser liberto das ligações, substituindo estas pelas 
reacções. 
Feito isto, o corpo pode ser tratado como um corpo livre que sofre a acção das forças 
dadas e das reacções das ligações 
Chamam-se ligações ideais àquelas em que a soma dos trabalhos elementares das 
reacções das ligações, no caso de qualquer deslocamento virtual dos pontos do sistema é 
igual a zero 
A Condição necessária e suficiente do equilíbrio do sistema de pontos materiais que se 
encontram sujeitos à ligações geométricas, estacionárias, não-liberativas e ideais é a 
anulação da soma dos trabalhos elementares das forças activas em qualquer 
deslocamento virtual do sistema a partir da posição de equilíbrio em estudo (desde que 
o sistema esteja imobilizado no instante inicial). 
    0...,
111
 

n
i
iiziiyiix
n
i
ii
n
i
i zFyFxFrFWW 

 
Na posição de equilíbrio do sistema cujos constituintes estão sujeitos a acção da força 
de gravidade e restringidos por ligações geométricas, estacionárias, não-liberativas e 
ideais, a coordenada z do centro de gravidade possui um valor extremo: 0Cz 
 
 
Por Amós Veremachi 
 
3º SEMINÁRIO 
1. Uma bola A, de massa 4,0 kg cuja velocidade é 
s
m
ivA

.0,3 , choca com uma 
outra bola B, de massa 8,0 kg, inicialmente em repouso. Depois da colisão, a 
velocidade de A em relação ao centro de massa do sistema A+B é 
s
m
jiv CMA

.0,2.0,1/  . Considere desprezível o atrito. Determine a 
velocidade da bola B depois da colisão. (R:  smjivB

.0,1.5,1  ) 
2. Um bloco, de massa igual a 10 kg, desloca-se sem atrito sobre o plano 
horizontal, com velocidade constante  smjiv /.0,4.0,3

 . Num dado 
instante o bloco explode, dividindo-se em três fragmentos A, B e C, sendo 
kgmekgm BA 0,20,3  . Verifica-se que, imediatamente após a explosão, 
 smjivA /.0,1.0,2

 e 
Bv

 é igual à velocidade do centro de massa do 
sistema. Determine, logo após a explosão, a velocidade Cv

 do terceiro 
fragmento. (R: jivC

.0,7.0,6  ) 
3. Uma barra fina e longa de comprimento L e massa m está pendurada através 
dum ponto em torno do qual pode oscilar livremente no plano vertical como um 
pêndulo simples. 
a. Determinar o momento angular da barra como função da velocidade 
instantânea ω. (R: 2
4
l
m
LCM 

) 
b. Mostre a validade do teorema do momento angular do sistema. 
c. Obtenha o resultado através de cálculos directos. (R: 2
3
l
m
LTotal 

) 
4. Um disco D de raio 10 cm é posto a girar sem atrito, em torno de um eixo 
vertical com uma velocidade angular min/120roto  . Em seguida, um anel A 
de raio cmr 5 e massa kgm 1 é colocado simetricamente sobre o disco, 
conforme mostraa fig. Sabe-se que a velocidade angular do conjunto passa a ser 
min/601 rot . 
a. Determinar a massa do disco D. (R: kgmD 5,0 ) 
b. Como varia a energia cinética quando se passa da primeira situação (disco D) 
para a para a segunda situação (D+A). 
 
Por Amós Veremachi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma plataforma horizontal na forma de um disco circular gira no plano 
horizontal em torno de um eixo vertical, sem atrito.A plataforma tem uma massa 
kgM 100 e raio mR 0,2 . Um estudante cuja massa é kgm 60 caminha 
lentamente a partir da periferia do disco em direcção ao centro. Se a velocidade 
angular do sistema é de srad /0,2 quando o estudante está na periferia, qual é a 
velocidade angular do sistema quando o estudante tiver alcançado um ponto que 
está à mr 5,0 do centro? (R: sradf /1,4 ) 
 
6. Calcule a energia cinética total da barra do exercício 3. Use o teorema da T dum 
sistema. 
Mostre que o resultado obtido com o uso do teorema é igual ao obtido por 
cálculos directos. 
7. A energia cinética de uma molécula de oxigénio  2O à temperatura ambiente é 
de cerca de J21106,6  . A massa do átomo de Oxigénio é kg261066,2  e a 
distância média entre os dois átomos à temperatura ambiente é m10102,1  . 
Suponha que, em relação ao referencial do centro de massa, o movimento da 
molécula é apenas de rotação em torno do eixo. 
a. Calcule a energia cinética de rotação da molécula em função do momento 
de inércia e da velocidade angular. Determine o momento de inércia. 
b. Sabendo que a energia cinética de rotação é de J22104  , calcule a 
velocidade angular de rotação e o momento angular. 
(R: srad121005,2  ; sJL .108,3 34

) 
 
 A 
 D A 
Por Amós Veremachi 
 
8. Num modelo grosseiro duma molécula diatómica de Cloro  2Cl , em rotação, os 
dois átomos de Cl estão à m
101000,2  uma da outra e giram em torno do seu 
centro de massa com uma velocidade angular 
s
rad101000,2  . Determine a 
energia cinética rotacional duma molécula de Cloro sabendo que a sua massa 
molar é de 
mol
g
0,70 . (R: J211033,2  ) 
9. A prensa à alavanca articulada OAB consiste das hastes aOA  e bAB  que 
ocupam o plano vertical, conforme a figura. A força F

 foi aplicada à articulação 
A. Esta força fica no plano OAB. Que força de resistência Q

 do corpo 
comprimido compensa a força F

? (R: 
 tgtg
F
Q

 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. . A extremidade A da haste lisa e homogénea AB, de comprimento igual a l2 e 
cujo peso é P

, se apoia na parede vertical lisa, enquanto um dos seus pontos se 
apoia sobre a extremidade D de uma mesa fixa que se encontra à distância a da 
parede, conforme a figura. Determinar o ângulo o que é formado entre a haste e 
a mesa quando existe o equilíbrio. (R: 








 3arccos
l
a
o ) 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
 
 O x 
  a 
 C F

 A 
  b 
 B 
 Q

 
Fig.8.11 y B 
 
C  
 O 
 A a P

 
Por Amós Veremachi 
 
 
 11. As duas hastes idênticas AC e BD , as quais pesam P

e medem l de comprimento 
cada uma, podem girar livremente nas articulações A e B, conforme a figura. Elas foram 
unidas à terceira haste CD, disposta horizontalmente, através das articulações C e D. 
Esta terceira haste pesa Q

 e mede L de comprimento. Todo o sistema está em equilíbrio 
no plano vertical. Achar a reacção da articulação B, conhecendo o ângulo  . 
(R:   ctgQPRBx .
2
1
 ;
2
Q
PRBy  ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Determinar a relação que existirá entre as forças P

 e Q

aplicadas ao sistema de duas 
barras articuladas de igual comprimento L que a figura a seguir representa, para que este 
fique em equilíbrio na posição mostrada na figura. 
(R: º30
2
tg
P
Q
 ) 
 
 
 
 y fig.8.12 By

 
 
 A   B 
Bx

 
 1M 2M 
 P

 3M P

 
 Q

 
Por Amós Veremachi 
 
FORMALISMOS DE LAGRANGE E DE HAMILTON: 
Os formalismos de Lagrange e de Hamilton representam outras formas de analisar e descrever 
os sistemas mecânicos. 
Estes formalismos diferem do formalismo de Newton pelo facto destes analisarem e 
descreverem sistemas mecânicos, exclusivamente, pela manipulação de grandezas escalares 
(funções escalares) num espaço configuracional (fictício), enquanto que o formalismo de 
Newton procura discutir e solucionar problemas mecânicos baseando-se no uso de grandezas 
vectoriais (força, momento linear, aceleração). 
Os aspectos mais importantes deste capítulo são: 
Número de graus de liberdade dum sistema de pontos materiais é o número de coordenadas 
independentes necessárias para determinar completa e univocamente a posição do sistema no 
espaço. 
Para um sistema composto por N pontos materiais e sujeito à m ligações, o número de graus de 
liberdade k, é dado por: mNk  .3 
Chamam-se coordenadas generalizadas à quaisquer k grandezas independentes, 
 kqqqq .....,, 321 que caracterizam completa e univocamente a posição de um sistema com k 
graus de liberdade. 
De todos os caminhos possíveis entre as posições    2211 tqqetqq  , o sistema move-se 
de tal modo que a integral  dttqqLS
t
t
.,,
2
1
  possui um menor valor possível, ou seja 
  min.,,
2
1
SdttqqL
t
t
  , onde     021  tqtq  onde a função  tqqLL ii ,,  é o lagrangeano 
ou função de Lagrange para o sistema. 
O integral escrito à cima chama-se acção. 
O lagrangeano é dado pela diferença entre a energia cinética T do sistema e a sua energia 
potencial V, VTL  . 
Fisicamente, a função de Lagrange representa o excesso de energia cinética do sistema. 
Para os casos mais simples o princípio variacional conduz-nos à formulação da 2ª lei de 
Newton. 
O princípio variacional pode ser usado para a dedução das equações de movimento de Lagrange 
para sistemas conservativos. 
Por Amós Veremachi 
 
Para um sistema conservativo de k-graus de liberdade, as equações são obtidas através da 
relação: 
)......,,2,1(0 ki
q
L
dt
d
q
L
ii














 
PRIMEIRAS INTEGRAIS DO MOVIMENTO: 
Durante o movimento do sistema, as coordenadas e velocidades generalizadas podem variar. 
Existem, no entanto grandezas que mantém o seu valor constante que são as integrais de 
movimento. A conservação de algumas dessas grandezas está ligada à certas propriedades do 
espaço e do tempo. 
A lei de conservação de energia está relacionada à homogeneidade do tempo. De acordo com 
esta propriedade, se a função de Lagrange do sistema não depende explicitamente do tempo, 
então a energia mecânica do sistema se conserva: teconsL
q
L
qE
t
L k
i i
i tan.0
1







 
 
A lei de conservação do impulso está relacionada à homogeneidade do espaço. De acordo com 
esta propriedade, para uma translação r

 do sistema, o lagrangeano (as propriedadesmecânicas) do sistema físico permanece constante (não variam). 
i
k
i i
P
r
L




1 
= constante 
A lei de conservação do momento angular (momento do impulso) está relacionada à isotropia 
do espaço. De acordo com esta propriedade, para uma rotação 

 do sistema como um todo no 
espaço, o lagrangeano (as propriedades mecânicas) do sistema não se altera (não se alteram): 
  teconspr
v
L
rM
k
i
ii
k
i i
i tan,,
11








 


 
O formalismo de Lagrange nos dá k equações diferenciais do 2º grau. 
 
 
 
 
 
 
Por Amós Veremachi 
 
EQUAÇÕES DE LAGRANGE E FORÇAS DE LIGAÇÃO: 
Quando estamos interessados em determinar as forças de ligação que agem sobre o sistema é 
necessário incorporar multiplicadores de Lagrange nas equações de movimento de Lagrange. 
Nesta perspectiva, o movimento dum sistema mecânico caracterizado por n coordenadas 
generalizadas e sujeito à m ligações será descrito pelo seguinte sistema de n equações: 
 















 mj
ni
onde
q
f
t
q
L
dt
d
q
L
i
j
m
j
j
ii
,....2,1
....,2,1
0.
1


 
As equações das ligações podem aparecer em uma ou combinação das seguintes formas: 
 



















mj
ni
onde
dt
t
f
dq
q
f
tqf
n
i
j
i
i
j
ij
,....2,1
,....2,1
0..
0,
1
 
No entanto, é mais frequente aparecerem na seguinte forma diferencial 









 mj
ni
dq
q
f
i
n
i i
j
,....2,1
,....2,1
0.
1
 
As forças de ligação são dadas por:  
i
i
q
f
tQ


 .  ni .....,,2,1 
EQUAÇÕES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS GERAIS: 
As equações de Lagrange para sistemas gerais (incluindo os não conservativos) podem ser 
deduzidas a partir do princípio de D´Alembert com auxilio do princípio dos deslocamentos 
virtuais. 
As equações resultantes, incorporam as forças generalizadas e assumem o aspecto seguinte: 
0













j
jj
Q
q
T
q
T
dt
d

. Onde 
j
i
i
ij
q
r
FQ




. . 
Se jQ inclui tanto forças conservativas como não conservativas, as equações de Lagrange 
tomam a forma 













jj q
L
q
L
dt
d

F 
Onde F é a resultante das forças não conservativas. 
 
Por Amós Veremachi 
 
FORMALISMO DE HAMILTON: 
O método da determinação das equações de movimento através de coordenadas e impulsos 
generalizados chama-se formalismo de Hamilton. 
A passagem dum sistema de coordenadas e velocidades generalizadas para o sistema de 
coordenadas e impulsos generalizados é feita através da transformação de Legendre 
Isto significa que a função de Hamilton resulta da transformação de Legendre da função de 
Lagrange; na qual as velocidades generalizadas são substituidas pelos impulsos generalizados. 
A função de Hamilton para um sistema de k graus de liberdade é dada por: 
  LqptqpH
k
kkkk  .,, 
A partir do Hamiltoniano são obtidas as equações de movimento de Hamilton, também 
chamadas equações canónicas: 













k
k
k
k
q
H
p
p
H
q


 
Das duas equações, a 2ª é que nos dá a equação de movimento pois a 1ª não traz nada de novo. 
Para um sistema de k-graus de liberdade, o formalismo de Hamilton nos dá 2.k equações 
diferenciais do 1º grau. 
Se o Hamiltoniano não depende explicitamente do tempo, a energia mecânica do sistema se 
conserva: constH
t
H
dt
dH



 0 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
Por Amós Veremachi 
 
4º SEMINÁRIO 
1. Considere um oscilador harmónico que realiza movimento unidimensional na 
horizontal. Determine a equação diferencial para o movimento do oscilador, 
usando: (Sol. 0.  kxxm  ) 
a. O princípio variacional de Hamilton (ou princípio de acção mínima). 
b. O formalismo de Lagrange. 
 
2. Uma máquina de atwood consiste de duas massas m1 e m2 (m1 > m2) ligadas por 
uma corda ideal inextensível e de massa desprezível de comprimento l que passa 
pela gola duma roldana de raio a e momento de inércia I. 
N.B o sistema tem um grau de liberdade e as coordenadas das massas satisfazem 
a equação de ligação   021  lxax  
 
 




















 g
a
I
mm
mm
xSol .:
221
21 
 
3. Considere um pêndulo de massa m cujo ponto de suspensão, de massa M, se 
desloca sobre uma recta horizontal ao longo duma superfície sem atrito. 
a. Construa o lagrangeano para o sistema. 
b. Determine as equações do movimento pelo formalismo de Lagrange. 
 
 
 
 
    cos
2
1
cos
2
1 222 mglmlXmlXmML   ; 
4. Considere um objecto de massa m que se move sobre uma mesa, preso por um 
fio de comprimento l a outro objecto de massa M. Este último desloca-se na 
vertical. Considere o fio inextensível. 
 O M x 
 X φ 
 l 
 y m 
 y 
 







0cos.
1
tancos


sen
l
g
X
l
teconsmlXmM


 
Por Amós Veremachi 
 
 
 
 
 
 
 
a. Quantos graus de liberdade tem o sistema? 
b. Construa o lagrangeano. 
c. Como varia o lagrangeano do sistema quando o sistema gira em torno da 
vertical? 
d. Escreva as equações de Lagrange do sistema. 
e. Determine as integrais do movimento do sistema. 
Sol: b.      lrgMrMrrmrrL  ..
2
.
.
2
,,,
2
222   ; 
d)     0....;0.. 22  rMmgMrmrm
dt
d
  
e) constMrm .. 2 e   constElrgMr
m
r
Mm


....
2
.
2
222  
5. Quando o carrinho da grua A se choca com o topo elástico B, a carga D, 
suspensa por uma barra, começa a oscilar. Escrever as equações diferenciais do 
movimento do sistema material, se 1m é a massa do carrinho, 2m é a massa da 
carga, l é o comprimento da barra, c é o coeficiente de rigidez da mola do topo 
B. Menosprezar as massas das rodas e todas as forças de resistência. Tomar por 
origem do eixo x a extremidade esquerda da mola deformada. Determinar o 
período das pequenas oscilações da carga quando o topo B está ausente. 
Menosprezar a massa da haste. 
 
 
 
z 
 r  m 
 
 
 M 
 A B x 
 
  l 
D 
Por Amós Veremachi 
 
 
 
 
Solução:   xcsenlmlmxmm ....cos.... 22221    
 senglx ..cos.   ; 
g
l
mm
m
T .2
21
1

  
6. Escrever a equação do movimento do pêndulo composto pelo ponto material de 
massa m suspenso por um fio, cujo comprimento varia segundo uma lei 
arbitrariamente dada  tll  . 
Solução: 0...2   sen
l
g
l
l


 
7. O ponto de suspensão do pêndulo composto pelo ponto material de massa m, 
suspenso por um fio inextensível que mede l de comprimento, se desloca de 
acordo com a lei dada  to  por uma recta inclinada que forma um ângulo α 
com o horizonte. Escrever a equação do movimento do pêndulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Sol:   0cos..´  


l
sen
l
g 
 
8. Construa a função de Hamilton para uma partícula em queda livre num campo 
gravitacional uniforme e a partir dela obtenha as equações canónicas do 
movimento da partícula. 
9. O ponto material que possui a massa m foi suspenso, mediante a haste 
imponderável de comprimento l, de uma articulação plana, cujo eixohorizontal 
 
  
 O  x 
  
 l 
 y m 
Por Amós Veremachi 
 
gira em torno da vertical à velocidade angular ω, conforme ilustrado na figura. 
Escrever a função de Hamilton e as equações canónicas do movimento do ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 

cos....
2
.
.2
22
2
2
2
lgmsen
lm
lm
p
H  









 senlgmsenmlp
lm
p
...cos...
.
22
2


 
10. Um disco homogéneo que possui o raio R e a massa M pode girar em torno de 
seu eixo horizontal O. O ponto material que possui a massa m foi suspenso do 
disco com a ajuda do fio AB que mede l de comprimento. 
a. Escrever as equações do movimento do sistema 1º usando o formalismo 
de Lagrange, 2º usando o formalismo de Hamilton 
b. Escreva as equações do movimento do sistema, pelos formalismos 
anteriores, considerando que o disco gira à uma velocidade angular 
constante  . 
 
 
 
 
 
  
 O 
 
  
 l 
 m 
Por Amós Veremachi 
 
DINÂMICA DE PEQUENAS OSCILAÇÕES 
Estabilidade do equilíbrio: 
Para que um sistema de um grau de liberdade esteja em equilíbrio é necessário que 0
dq
dV
 
O equilíbrio dum sistema de vários graus de liberdade é garantido se 0


kq
V
onde 
Nk ...,,2,1 - 
A estabilidade do equilíbrio dum sistema com um grau de liberdade é obtida discutindo-se o 
sinal 
2
2
dq
Vd
. 
Se a segunda derivada da energia potencial é positiva quando avaliada na posição de equilíbrio, 
então esta posição é de equilíbrio estável, e nela  qV possui o valor mínimo. 
Para um sistema de vários graus de liberdade é necessário analizar o sinal da forma quádrica: 
Se a forma quadrática for positiva definida (zero ou positiva) para todos os valores das 
coordenadas generalizadas, então a configuração de equilíbrio é estável. 
Equação do movimento; 
Para um sistema com um grau de liberdade, que oscila em torno da sua posição de equilíbrio 
estável, a equação que descreve o movimento do sistema pode ser obtida a partir do formalismo 
de Lagrange usando a expressão: 
0





q
L
q
L
dt
d

 
Por conseguinte, a equação do movimento assume a forma: 
0.0. 



 q
M
V
qqVqM oo  
A frequência angular das osclações é dada por: 
M
Vo

 
Para um sistema de n graus de liberdade a energia potencial e a energia cinética são formas 
quadráticas das coordenadas generalizadas e velocidades generalizadas, respectivamente: 
  ji
ji
ijn qqkqqqV 
,
21 .
2
1
...,,, e ij
ij
ji qqmT  ..
2
1
,
 
A equação do movimento é obtida na forma;   0. 
j
jijjij qkqm  que corresponde à 
equação na forma de matrizes 0..  qKqM  
Para obter os auto-vectores e os autovalores é preciso resolver a equação aos auto-valores 
aMaK ... 2 ou seja   0..2  aMK  
A solução não trivial se obtém quando   0.det 2  MK  
 
Por Amós Veremachi 
 
SEMINÁRIO 5 
1.Uma partícula de massa m realiza um movimento unidimensional com as seguintes funções de 
energia potencial: 
a.  
x
k
x
k
xV
2
2.
2
 
b.   xbexkxV ...  
c.    224 .. xbxkxV  
Onde todas as constantes são reais e positivas. Determine a posição de equilíbrio para 
cada caso e classique o tipo de estabilidade. 
 
2. Uma partícula se move ao longo do eixo ox com energia potencial 
 xCeVV xko .. .   , onde todas as constantes são positivas. Determine a posição 
de equilíbrio e mostre que o equilíbrio é estável. 
 
 
 
3. Considere uma barra de massa desprezível tendo duas esferas nas 
extremidades, podendo girarem torno de um ponto fixo O, e 
sujeita à acção da força de gravidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Construa a função de Lagrange do sistema. 
b. Determine a equação do movimento do sistema a partir das equações de Lagrange. 
c. Obtenha a equação do movimento do sistemaa partir da relação fundamental da 
dinâmica de rotação dum sistema, isto é, 
dt
Ld


 . 
d. Mostre que existem três pontos de equilíbrio para o sistema e discuta a estabilidade de 
cada um deles em função das massas das esferas. 
e. Se o sistema efectuar pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio estável 
determine a frequência angular das oscilações. 
 
 
2m Z 
 2d 
 O X 
 θ 
1d 
 1m 
Por Amós Veremachi 
 
4. Escreva as equações do movimento e determine a frequência angular das pequenas 
oscilações do pêndulo elíptico composto da corrediça de massa 
1m , que desliza sem 
atrito por um plano horizontal , e da esfera de massa 
2m , unida à corrediça mediante a 
barra AB, de massa desprezível, que mede l de comprimento e oscila no plano vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Considere dois osciladores idênticos ligados entre si através de uma mola de constante 
elástica ok , conforme ilustra a figura, e cujo movimento se confina a uma linha. 
Determine as autofrequências correspondentes aos modos de vibração e exprime o m 
ovimento do sistema em coordenadas normais. 
 
 
´ 
´´´ 
 
 
 
 
6. Uma partícula se move em duas dimensões e a sua energia potencial é dada por 
   ybxbyxkyxV ..4..2., 22  onde k é uma constante positiva. Mostre que 
existe uma posição de equilíbrio. Classifique o equilíbrio. 
7. No sistema de dois osciladores idênticos acoplados referidos na actividade da lição 3, 
um dos osciladores inicia o movimento com amplitude oA , enquanto o outro está em 
respouso na posição de equilíbrio, de tal modo que as condições iniciais são 
      00,00,0,0 2121  xxxAxt o  . Mostre que a amplitude da 
componente simétrica é igual a amplitude da componente antisimétrica e que a solução 
completa pode ser expressa da seguinte forma: 
  ttAtt
A
x oba
o  cos.coscoscos
2
1  onde 
2
ba 

 e 
2
ab   . 
Deste modo, se o acoplamento for fraco de forma que kko  , então  será muito 
 0 A 
1m y 
  
 y Fig.10.7 
 B 
 
 x 
 m m 
 
 k ok k 
Por Amós Veremachi 
 
menor e igual a 
m
k
a  e Δ é uma grandeza de valor muito reduzido. Por 
consequência, sob as condições iniciais referidas à cima, o 1º oscilador irá, 
eventualmente, se imobilizar enquanto o 2º oscilador oscila com amplitude oA . Mais 
tarde, o sistema irá voltar ao estado inicial, e assim por diante. Portanto a energia passa 
de um oscilador para o outro, entre os dois osciladores, indefinidamente. 
Encontre as autofrequências para o sistema de osciladores harmónicos acoplados 
referidos no problema nº 2, para o caso geral em que as duas partículas têm massas 
diferentes e as molas têm constantes de elasticidades diferentes. Em particular, 
encontre as frequências para o caso em que mmmm 2, 21  
kkekkkk o 22, 21  . Exprime o resultado em termos da grandeza 
m
k
o  . 
Solução: As autofrequências são as soluções da equação 
0.2..4
22
24 
m
k
m
k








22.
22.
2
1
o
o


 
8. Um pêndulo consiste do dado de massa om que desliza sem atrito pelo plano horizontal 
e da esferinha de massa m que foi unida ao dado pela haste de comprimento l que pode 
girar em torno do eixo que está ligado ao dado. A mola de rigidez C tem uma 
extreimidade unida ao dado e outra extremidade fixada rigidamente. Determinar as 
frequências das pequenas oscilações do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Soluções: As autofrequências são as soluções da equação 
0... 24 






 

l
g
m
C
m
mm
l
g
m
C
o
o
o
 
 
 
 
 
 C om 
 
  l 
 
 
 m 
Por Amós Veremachi 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
 
Fowles, G.R.; Cassiday, G.L.(1999). Analytical 
Mechanics.Brooks/cole Thomson Learning. 6th Edition. Austrália. 
 
Landau, L; Lifshitz, E. (1978). Física Teórica. Editora Mir. 
Moscovo 
 
Maia, N. (2000). Introdução à Dinâmica Analítica. IST Press. 
Lisboa. 
 
Mechtcherski, I.V. (1986). Problemas de Mecânica Teórica. 
Editora Mir. Moscovo. 
 
Moore, E.N. (1983). Theoretical Mechanics. JohnWiley & Sons. 
N.Y. 
 
Noronha, A.; Brogueira, P. (1997). Exercícios de Física. McGraw-Hill. Lisboa 
 
Starjinski, V.M. (1986). Mecânica Teórica. Editora Mir. Moscovo