MATEMáTICA VOLUME 1 CADERNO DO ESTUDANTE. ENSINO Médio (1)

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CADERNO DO ESTUDANTE
MATEMáTICA
VOLUME 1
E N S I N O M é d I O
Matemática : caderno do estudante. São Paulo: Secretaria de Desenvolvimento Econômico, Ciência, 
Tecnologia e Inovação (SDECTI) : Secretaria da Educação (SEE), 2015. 
il. - - (Educação de Jovens e Adultos (EJA) : Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v. 1)
Conteúdo: v. 1. 1a série do Ensino Médio.
ISBN: 978-85-8312-120-6 (Impresso)
 978-85-8312-098-8 (Digital)
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Educação de Jovens e Adultos (EJA) – Ensino Médio. 3. 
Modalidade Semipresencial. I. Secretaria de Desenvolvimento Econômico, Ciência, Tecnologia e 
Inovação. II. Secretaria da Educação. III. Título.
 CDD: 372.5
FICHA CATALOGRÁFICA
Tatiane Silva Massucato Arias – CRB-8 / 7262
A Secretaria de Desenvolvimento Econômico, Ciência, Tecnologia e Inovação autoriza a 
reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias do País, desde 
que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* 
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos 
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* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas neste material que 
não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Nos Cadernos do Programa Educação de Jovens e Adultos (EJA) – Mundo do Trabalho/CEEJA são 
indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos 
apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram 
verificados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria 
de Desenvolvimento Econômico, Ciência, Tecnologia e Inovação não garante que os sites indicados 
permaneçam acessíveis ou inalterados após a data de consulta impressa neste material.
Geraldo Alckmin
Governador
Secretaria de Desenvolvimento Econômico, 
Ciência, Tecnologia e Inovação
Márcio Luiz França Gomes
Secretário
Cláudio Valverde
Secretário-Adjunto
Maurício Juvenal
Chefe de Gabinete
Marco Antonio da Silva
Coordenador de Ensino Técnico, 
Tecnológico e Profissionalizante
Secretaria da Educação
Herman Voorwald
Secretário
Cleide Bauab Eid Bochixio
Secretária-Adjunta
Fernando Padula Novaes
Chefe de Gabinete
Ghisleine Trigo Silveira
Coordenadora de Gestão da Educação Básica
Mertila Larcher de Moraes
Diretora do Centro de Educação de Jovens e Adultos 
Adriana Aparecida de Oliveira, Adriana dos Santos 
Cunha, Durcilene Maria de Araujo Rodrigues, 
Gisele Fernandes Silveira Farisco, Luiz Carlos Tozetto, 
Raul Ravanelli Neto, Sabrina Moreira Rocha, 
Virginia Nunes de Oliveira Mendes
Técnicos do Centro de Educação de Jovens e Adultos
Concepção do Programa e elaboração de conteúdos 
Secretaria de Desenvolvimento Econômico, Ciência, Tecnologia e Inovação
Coordenação Geral do Projeto
Ernesto Mascellani Neto
Equipe Técnica
Cibele Rodrigues Silva, João Mota Jr. e Raphael Lebsa do Prado
Fundação do Desenvolvimento Administrativo – Fundap
Mauro de Mesquita Spínola
Presidente da Diretoria Executiva
José Joaquim do Amaral Ferreira
Vice-Presidente da Diretoria Executiva
Gestão de Tecnologias em Educação
Direção da Área
Guilherme Ary Plonski
Coordenação Executiva do Projeto
Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão do Portal
Luis Marcio Barbosa, Luiz Carlos Gonçalves, Sonia Akimoto e 
Wilder Rogério de Oliveira
Gestão de Comunicação
Ane do Valle
Gestão Editorial
Denise Blanes 
Equipe de Produção
Editorial: Carolina Grego Donadio e Paulo Mendes
Equipe Editorial: Adriana Ayami Takimoto, Airton Dantas 
de Araújo, Alícia Toffani, Amarilis L. Maciel, Ana Paula S. 
Bezerra, Andressa Serena de Oliveira, Bárbara Odria Vieira, 
Carolina H. Mestriner, Caroline Domingos de Souza, Cíntia 
Leitão, Cláudia Letícia Vendrame Santos, David dos Santos 
Silva, Eloiza Mendes Lopes, Érika Domingues do Nascimento, 
Fernanda Brito Bincoletto, Flávia Beraldo Ferrare, Jean Kleber 
Silva, Leonardo Gonçalves, Lorena Vita Ferreira, Lucas Puntel 
Carrasco, Luiza Thebas, Mainã Greeb Vicente, Marcus Ecclissi, 
Maria Inez de Souza, Mariana Padoan, Natália Kessuani Bego 
Maurício, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Pedro 
Carvalho, Polyanna Costa, Priscila Risso, Raquel Benchimol 
Rosenthal, Tatiana F. Souza, Tatiana Pavanelli Valsi, Thaís Nori 
Cornetta, Thamires Carolline Balog de Mattos e Vanessa Bianco 
Felix de Oliveira
Direitos autorais e iconografia: Ana Beatriz Freire, Aparecido 
Francisco, Fernanda Catalão, José Carlos Augusto, Larissa Polix 
Barbosa, Maria Magalhães de Alencastro, Mayara Ribeiro de 
Souza, Priscila Garofalo, Rita De Luca, Roberto Polacov, Sandro 
Carrasco e Stella Mesquita
Apoio à produção: Aparecida Ferraz da Silva, Fernanda Queiroz, 
Luiz Roberto Vital Pinto, Maria Regina Xavier de Brito, Natália 
S. Moreira e Valéria Aranha
Projeto gráfico-editorial e diagramação: R2 Editorial, Michelangelo 
Russo e Casa de Ideias
Wanderley Messias da Costa
Diretor Executivo
Márgara Raquel Cunha
Diretora Técnica de Formação Profissional
Coordenação Executiva do Projeto
José Lucas Cordeiro
Coordenação Técnica
Impressos: Dilma Fabri Marão Pichoneri
Vídeos: Cristiane Ballerini
Equipe Técnica e Pedagógica
Ana Paula Alves de Lavos, Carlos Ricardo Bifi, Cláudia Beatriz de 
Castro N. Ometto, Elen Cristina S. K. Vaz Döppenschmitt, Emily 
Hozokawa Dias, Fabiana de Cássia Rodrigues, Fernando Manzieri 
Heder, Herbert Rodrigues, Jonathan Nascimento, Laís Schalch, 
Liliane Bordignon de Souza, Marcos Luis Gomes, Maria Etelvina 
R. Balan, Maria Helena de Castro Lima, Paula Marcia Ciacco da 
Silva Dias, Rodnei Pereira, Selma Borghi Venco e Walkiria Rigolon
Autores
Arte: Roseli Ventrella e Terezinha Guerra; Biologia: José Manoel 
Martins, Marcos Egelstein, Maria Graciete Carramate Lopes e 
Vinicius Signorelli; Filosofia: Juliana Litvin de Almeida e Tiago 
Abreu Nogueira; Física: Gustavo Isaac Killner; Geografia: Roberto 
Giansanti e Silas Martins Junqueira; História: Denise Mendes 
e Márcia Juliana Santos; Inglês: Eduardo Portela e Jucimeire 
de Souza Bispo; Língua Portuguesa: Claudio Bazzoni e Giulia 
Murakami Mendonça; Matemática: Antonio José Lopes; Química: 
Olímpio Salgado; Sociologia: Dilma Fabri Marão Pichoneri e 
Selma Borghi Venco
Gestão do processo de produção editorial 
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
CTP, Impressão e Acabamento
Imprensa Oficial do Estado de São Paulo
Caro(a) estudante
É com grande satisfação que a Secretaria da Educação do Estado de São 
Paulo, em parceria com a Secretaria de Desenvolvimento Econômico, Ciência, 
Tecnologia e Inovação, apresenta os Cadernos do Estudante do Programa Edu-
cação de Jovens e Adultos (EJA) – Mundo do Trabalho para os Centros Estaduais 
de Educação de Jovens e Adultos (CEEJAs). A proposta é oferecer um material 
pedagógico de fácil compreensão, que favoreça seu retorno aos estudos. 
Sabemos quanto é difícil para quem trabalha ou procura um emprego se dedi-
car aos estudos, principalmente quando se parou de estudar há algum tempo. 
O Programa nasceu da constatação de que os estudantes jovens e adultos 
têm experiências pessoais que devem ser consideradas no processo de aprendi-
zagem. Trata-se de um conjunto de experiências, conhecimentos e convicções 
que se formou ao longo da vida. Dessa forma, procuramos respeitar a trajetória 
daqueles que apostaram na educação como o caminho para a conquista de um 
futuro melhor. 
Nos Cadernos e vídeos que fazem parte do seu material de estudo, você perce-
berá a nossa preocupação em estabelecer um diálogo com o mundo do trabalho 
e respeitar as especificidades da modalidade de ensino semipresencial praticada 
nos CEEJAs.
Esperamos que você conclua o Ensino Médio e, posteriormente, continue estu-
dando e buscando conhecimentos importantes para seu desenvolvimento e sua 
participação na sociedade. Afinal, o conhecimentoé o bem mais valioso que adqui-
rimos na vida e o único que se acumula por toda a nossa existência. 
Bons estudos!
Secretaria da Educação
Secretaria de Desenvolvimento 
Econômico, Ciência, Tecnologia e Inovação
apresentação
Estudar na idade adulta sempre demanda maior esforço, dado o acúmulo de 
responsabilidades (trabalho, família, atividades domésticas etc.), e a necessidade 
de estar diariamente em uma escola é, muitas vezes, um obstáculo para a reto-
mada dos estudos, sobretudo devido à dificuldade de se conciliar estudo e traba-
lho. Nesse contexto, os Centros Estaduais de Educação de Jovens e Adultos (CEEJAs) 
têm se constituído em uma alternativa para garantir o direito à educação aos que 
não conseguem frequentar regularmente a escola, tendo, assim, a opção de realizar 
um curso com presença flexível.
Para apoiar estudantes como você ao longo de seu percurso escolar, o Programa 
Educação de Jovens e Adultos (EJA) – Mundo do Trabalho produziu materiais espe-
cificamente para os CEEJAs. Eles foram elaborados para atender a uma justa e 
antiga reivindicação de estudantes, professores e sociedade em geral: poder contar 
com materiais de apoio específicos para os estudos desse segmento.
Esses materiais são seus e, assim, você poderá estudar nos momentos mais 
adequados – conforme os horários que dispõe –, compartilhá-los com sua família, 
amigos etc. e guardá-los, para sempre estarem à mão no caso de futuras consultas. 
Os Cadernos do Estudante apresentam textos que abordam e discutem os conteúdos 
propostos para cada disciplina e também atividades cujas respostas você poderá regis-
trar no próprio material. Nesses Cadernos, você ainda terá espaço para registrar suas 
dúvidas, para que possa discuti-las com o professor sempre que for ao CEEJA.
Os vídeos que acompanham os Cadernos do Estudante, por sua vez, explicam, 
exemplificam e ampliam alguns dos assuntos tratados nos Cadernos, oferecendo 
informações que vão ajudá-lo a compreender melhor os conteúdos. São, portanto, 
um importante recurso com o qual você poderá contar em seus estudos.
Além desses materiais, o Programa EJA – Mundo do Trabalho tem um site exclu-
sivo, que você poderá visitar sempre que desejar: <http://www.ejamundodotrabalho. 
sp.gov.br>. Nele, além de informações sobre o Programa, você acessa os Cadernos 
do Estudante e os vídeos de todas as disciplinas, ao clicar na aba Conteúdo CEEJA. 
Já na aba Conteúdo EJA, poderá acessar os Cadernos e vídeos de Trabalho, que abor-
dam temas bastante significativos para jovens e adultos como você.
Os materiais foram produzidos com a intenção de estabelecer um diálogo com 
você, visando facilitar seus momentos de estudo e de aprendizagem. Espera-se que, 
com esse estudo, você esteja pronto para realizar as provas no CEEJA e se sinta cada 
vez mais motivado a prosseguir sua trajetória escolar.
É importante saber que também se aprende a estudar. No entanto, se buscar-
mos em nossa memória, dificilmente nos lembraremos de aulas em que nos ensi-
naram a como fazer.
Afinal, como grifar um texto, organizar uma anotação, produzir resumos, ficha-
mentos, resenhas, esquemas, ler um gráfico ou um mapa, apreciar uma imagem 
etc.? Na maioria das vezes, esses procedimentos de estudo são solicitados, mas 
não são ensinados. Por esse motivo, nem sempre os utilizamos adequadamente ou 
entendemos sua importância para nossa aprendizagem.
Aprender a estudar nos faz tomar gosto pelo estudo. Quando adquirimos este 
hábito, a atitude de sentar-se para ler e estudar os textos das mais diferentes disci-
plinas, a fim de aprimorar os conhecimentos que já temos ou buscar informações, 
torna-se algo prazeroso e uma forma de realizar novas descobertas. E isso acontece 
mesmo com os textos mais difíceis, porque sempre é tempo de aprender.
Na hora de ler para aprender, todas as nossas experiências de vida contam 
muito, pois elas são sempre o ponto de partida para a construção de novas apren-
dizagens. Ler amplia nosso vocabulário e ajuda-nos a pensar, falar e escrever 
melhor. 
Além disso, quanto mais praticamos a leitura e a escrita, desenvolvemos 
melhor essas capacidades. Para isso, conhecer e utilizar adequadamente diferentes 
procedimentos de estudo é fundamental. Eles lhe servirão em uma série de situa-
ções, dentro e fora da escola, caso você resolva prestar um concurso público, por 
exemplo, ou mesmo realizar alguma prova de seleção de emprego.
Por todas essas razões, os procedimentos de estudo e as oportunidades de 
escrita são priorizados nos materiais, que trazem, inclusive, seções e dois vídeos 
de Orientação de estudo.
Por fim, é importante lembrar que todo hábito se desenvolve com a frequência. 
Assim, é essencial que você leia e escreva diariamente, utilizando os procedimen-
tos de estudo que aprenderá e registrando suas conclusões, observações e dúvidas. 
como se aprende a estudar?
O Caderno do Estudante do Programa EJA – Mundo do Trabalho/CEEJA foi 
planejado para facilitar seus momentos de estudo e de aprendizagem, tanto 
fora da escola como quando for participar das atividades ou se encontrar com 
os professores do CEEJA. A ideia é que você possa, em seu Caderno, registrar 
todo processo de estudo e identificar as dúvidas que tiver.
o sumÁrIo
Ao observar o Sumário, você perceberá que todos os 
Cadernos se organizam em Unidades (que equivalem 
a capítulos de livros) e que estas estão divididas em 
Temas, cuja quantidade varia conforme a Unidade. 
Essa subdivisão foi pensada para que, de preferên-
cia, você estude um Tema inteiro de cada vez. Assim, 
conhecerá novos conteúdos, fará as atividades pro-
postas e, em algumas situações, poderá assistir aos 
vídeos sobre aquele Tema. Dessa forma, vai iniciar 
e finalizar o estudo sobre determinado assunto e 
poderá, com o professor de plantão, tirar suas dúvidas 
e apresentar o que produziu naquele Tema. 
Cada Unidade é identificada por uma cor, o que vai 
ajudá-lo no manuseio do material. Além disso, para 
organizar melhor seu processo de estudo e facilitar a 
localização do que gostaria de discutir com o professor 
do CEEJA, você pode indicar, no Sumário, os Temas que 
já estudou e aqueles nos quais tem dúvida.
as unIdades
Para orientar seu estudo, o início 
de cada Unidade apresenta uma breve 
introdução, destacando os objetivos e 
os conteúdos gerais trabalhados, além 
de uma lista com os Temas propostos.
conhecendo o caderno do estudante
os temas
A abertura de cada Tema é visualmente 
identificada no Caderno. Você pode perceber 
que, além do título e da cor da Unidade, o 
número de caixas pintadas no alto da página 
indica em qual Tema você está. Esse recurso 
permite localizar cada Tema de cada Unidade 
até mesmo com o Caderno fechado, facili-
tando o manuseio do material.
Na sequência da abertura, você encontra 
um pequeno texto de apresentação do Tema.
As seções e os boxes
Os Temas estão organizados em diversas seções que visam facilitar sua aprendi-
zagem. Cada uma delas tem um objetivo, e é importante que você o conheça antes 
de dar início aos estudos. Assim, saberá de antemão a intenção presente em cada 
seção e o que se espera que você realize.
Algumas seções estão presentes em todos os Temas!
Essa seção sempre aparece no início de cada Tema. Ela tem o objetivo 
de ajudá-lo a reconhecer o que você já sabe sobre o conteúdo a ser estu-
dado, seja por estudos anteriores, seja por sua vivência pessoal. 
Em nossa vida cotidiana, estamos 
o tempo todo utilizando os conheci-
mentos e as experiências que já temos 
para construir novas aprendizagens. Ao 
estudar, acontece o mesmo, pois lem-
bramos daquilo que já sabemos para 
aprofundar o que já conhecíamos. Esse é 
sempre um processo de descoberta. 
Essa seção pode ser composta por 
algumas perguntas ou um pequeno texto 
que o ajudarão a buscar na memória o 
que você já sabe a respeito do conteúdo 
tratado no Tema.
o que você jÁ sabe?
textos
Os textos apresentam os conteúdos e 
conceitos a serem aprendidos em cada 
Tema. Eles foram produzidos, emgeral, 
procurando dialogar com você, a partir 
de uma linguagem clara e acessível.
Imagens também foram utilizadas 
para ilustrar, explicar ou ampliar a 
compreensão do conteúdo abordado. 
Para ampliar o estudo do assunto tra-
tado, boxes diversos ainda podem apa-
recer articulados a esses textos.
As atividades antecipam, reto-
mam e ampliam os conteúdos abor-
dados nos textos, para que possa 
perceber o quanto já aprendeu. 
Nelas, você terá a oportunidade de 
ler e analisar textos de outros auto-
res, mapas, gráficos e imagens, de 
modo a ampliar sua compreensão 
a respeito do que foi apresentado 
nos textos. Lembre-se de ler atenta-
mente as orientações antes de rea-
lizar os exercícios propostos e de 
sempre anotar suas dúvidas.
Para facilitar seus estudos, assim 
como os encontros com o professor 
do CEEJA, muitas dessas atividades 
podem ser realizadas no próprio 
Caderno do Estudante.
atIvIdade
Essa seção apresenta respostas e explicações 
para todas as atividades propostas no Tema. 
Para que você a localize com facilidade no 
material, ela tem um fundo amarelo que pode 
ser identificado na margem lateral externa do 
Caderno. É nela que você vai conferir o resul-
tado do que fez e tirar suas dúvidas, além de 
ser também uma nova oportunidade de estudo. 
É fundamental que você leia as explicações 
após a realização das atividades e que as com-
pare com as suas respostas. Analise se as infor-
mações são semelhantes e se esclarecem suas 
dúvidas, ou se ainda é necessário completar 
alguns de seus registros. 
Mas, atenção! Lembre-se de que não há ape-
nas um jeito de organizar uma resposta correta. 
Por isso, você precisa observar seu trabalho 
com cuidado, perceber seus acertos, aprender 
com as correções necessárias e refletir sobre 
o que fez, antes de tomar sua resposta como 
certa ou errada.
É importante que você apresente o que fez 
ao professor do CEEJA, pois ele o orientará em 
seus estudos.
Essa seção é proposta ao final de cada Tema. Depois de 
você ter estudado os textos, realizado as atividades e con-
sultado as orientações da Hora da checagem, é importante 
que você registre as dúvidas que teve durante o estudo.
Registrar o que se está estudando é uma forma de 
aprender cada vez mais. Ao registrar o que aprendeu, 
você relembra os conteúdos – construindo, assim, novas 
aprendizagens – e reflete sobre os novos conhecimentos 
e sobre as dúvidas que eventualmente teve em determi-
nado assunto. 
Sistematizar o que aprendeu e as dúvidas que encon-
trou é uma ferramenta importante para você e o profes-
sor, pois você organizará melhor o que vai perguntar a 
ele, e o professor, por sua vez, poderá acompanhar com 
detalhes o que você estudou, e como estudou. Assim, 
ele poderá orientá-lo de forma a dar prosseguimento aos 
estudos da disciplina.
Por isso, é essencial que você sempre utilize o espaço 
reservado dessa seção ao concluir o estudo de cada 
Tema. Assim, não correrá o risco de esquecer seus 
comentários e suas dúvidas até o dia de voltar ao CEEJA.
hora da checagem
regIstro de 
dÚvIdas e 
comentÁrIos
Essa seção apresenta questões 
que caíram em concursos públicos 
ou em provas oficiais (como Saresp, 
Enem, entre outras) e que enfocam o 
conteúdo abordado no Tema. Assim, 
você terá a oportunidade de conhe-
cer como são construídas as provas 
em diferentes locais e a importân-
cia do que vem sendo aprendido 
no material . As respostas tam-
bém estão disponíveis na Hora da 
checagem.
Essa seção é proposta sempre que houver 
a oportunidade de problematizar algum con-
teúdo desenvolvido, por meio de questões 
que fomentem sua reflexão a respeito dos 
aspectos abordados no Tema.
desaFIo
pense sobre...
Essa seção enfoca diferentes proce-
dimentos de estudo, importantes para 
a leitura e a compreensão dos textos 
e a realização das atividades, como gri-
far, anotar, listar, fichar, esquematizar 
e resumir, entre outros. Você também 
poderá conhecer e aprender mais sobre 
esses procedimentos assistindo aos dois 
vídeos de Orientação de estudo.
Algumas seções não estão presentes em todas as Unidades, 
mas complementam os assuntos abordados! 
orIentação de estudo
Essa seção apresenta textos e 
atividades que têm como objeti-
vo complementar o assunto estu-
dado e que podem ampliar e/ou 
aprofundar alguns dos aspectos 
apresentados ao longo do Tema.
Essa seção aborda assuntos que têm 
relação com o que você estará estudando 
e que também dialogam com interesses 
da sociedade em geral. Ela informa sobre 
leis, direitos humanos, fatos históricos 
etc. que o ajudarão a aprofundar seus co-
nhecimentos sobre a noção de cidadania.
gLossÁrIo
A palavra glossário significa “dicionário”. 
Assim, nesse boxe você encontrará verbe-
tes com explicações sobre o significado de 
palavras e/ou expressões que aparecem 
nos textos que estará estudando. Eles têm 
o objetivo de facilitar sua compreensão.
momento cIdadanIa
para saber maIs
Os boxes são caixas de texto que você vai encontrar em todo o material. 
Cada tipo de boxe tem uma cor diferente, que o destaca do texto 
e facilita sua identificação!
você sabIa?
Esse boxe apresenta curiosidades relacio-
nadas ao assunto que você está estudando. 
Ele traz informações que complementam 
seus conhecimentos.
FIca a dIca!
Nesse boxe você encontrará sugestões 
diversas para saber mais sobre o conteúdo 
trabalhado no Tema: assistir a um filme ou 
documentário, ouvir uma música, ler um 
livro, apreciar uma obra de arte etc. Esses 
outros materiais o ajudarão a ampliar seus 
conhecimentos. Por isso, siga as dicas 
sempre que possível.
assIsta!
Esse boxe indica os vídeos do Programa, 
que você pode assistir para complementar 
os conteúdos apresentados no Caderno. São 
indicados tanto os vídeos que compõem os 
DVDs – que você recebeu com os Cadernos – 
quanto outros, disponíveis no site do Programa. 
Para facilitar sua identificação, há dois ícones 
usados nessa seção.
bIograFIa
Esse boxe aborda aspectos 
da vida e da obra de autores ou 
artistas trabalhados no material, 
para ampliar sua compreensão a 
respeito do texto ou da imagem 
que está estudando.
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
Unidade 1 ‒ Conjuntos numéricos .................................................................................17
Tema 1 – Números naturais e inteiros...................................................................................................17
Tema 2 – Números racionais, irracionais e reais ............................................................................40 
Unidade 2 ‒ Introdução às funções: ideias e aplicações ............................................56
Tema 1 – Fórmulas e a relação entre grandezas ............................................................................56
Tema 2 – Tabelas....................................................................................................................................................63
Tema 3 – Da fórmula para a tabela e da tabela para a fórmula .......................................................67
Tema 4 – Análise e interpretação de gráficos ..................................................................................70
Tema 5 – Funções ......................................................................................................................................75
Unidade 3 ‒ Funções afim e linear .......................................................................................92
Tema 1 – Introdução às funções de 1o grau .........................................................................................92
Tema 2 – Gráfico da função de 1o grau .......................................................................................................99
Tema 3 – Estudo da reta ........................................................................................................................106
Unidade 4 ‒ Equação de 2o grau e função quadrática ..............................................115
Tema 1 – Equação de 2o grau ...............................................................................................................115Tema 2 – Função quadrática ...............................................................................................................................127
Unidade 5 ‒ Relações geométricas: congruência, semelhança 
e teorema de Pitágoras ..................................................................................................141
Tema 1 – Congruência e semelhança de triângulos ..........................................................................142
Tema 2 – Relações em triângulos: teorema de Pitágoras .............................................................163
Caro(a) estudante, 
Bem-vindo ao Volume 1 de Matemática – Ensino Médio – do CEEJA. Nesta nova 
etapa de seus estudos, o Ensino Médio, você perceberá que a Matemática conversa, 
quase o tempo todo, com as outras ciências, isto é, a partir de agora, os conceitos 
científicos serão mais trabalhados. É necessário saber empregar corretamente a 
linguagem matemática, pois é por meio dela que outras disciplinas de Ciências 
Exatas e Biológicas expressam suas leis.
Ao longo deste Caderno, vários conceitos já vistos serão retomados, agora de 
maneira mais aprofundada, a fim de ajudá-lo a se apropriar de novos conheci-
mentos. Aproveite!
Na Unidade 1, retoma-se e amplia-se o que você já viu sobre os conjuntos 
numéricos e também são abordadas as semelhanças e as diferenças das operações 
matemáticas em cada um deles.
Na Unidade 2, inicia-se o estudo das funções; esse conceito matemático percor-
rerá todo o Ensino Médio não somente na disciplina de Matemática, mas também 
nas disciplinas de Física, Química e Biologia. Serão introduzidas as noções básicas 
das funções, mobilizando a leitura algébrica, bem como as leituras por meio de 
gráficos e de tabelas.
Logo depois de conhecer o conceito de função, você iniciará, na Unidade 3, o 
estudo de algumas funções específicas, tratadas com frequência nas Ciências Exa-
tas, como, por exemplo, as funções lineares, importantes para entender alguns 
conceitos científicos, principalmente em Física.
Na Unidade 4, serão apresentadas as funções quadráticas, começando com um 
estudo sobre as diferentes formas de se apresentar as equações de 2o grau, para, 
então, serem analisadas as funções quadráticas, também conhecidas por fun-
ções do 2o grau.
Na Unidade 5, serão abordados alguns conceitos geométricos, como, por 
exemplo, as figuras geométricas, suas relações de semelhanças e as relações 
entre seus lados, e ainda como elas se desenvolveram, com base em problemas 
práticos e em desafios.
Bons estudos!
Un
Id
Ad
E 
 1 COnjUnTOS nUMéRICOS
M
AT
EM
ÁT
IC
A
TEMAS
1. números naturais e inteiros 
2. números racionais, irracionais e reais 
Introdução
Nesta Unidade, você vai estudar as principais características dos números agru-
pados em conjuntos numéricos (In, ZZ, , e IR ) e ampliar seu conhecimento sobre 
eles de maneira a poder utilizá-los em situações práticas e aprender novos conteú-
dos matemáticos.
T E M A 1números naturais e inteiros
Neste tema, você vai se aprofundar no estudo dos números naturais e dos intei-
ros e realizar operações com vários tipos de número.
 
Para comprar pães e frios em uma padaria, você utiliza números? Quais deles 
você utiliza? Pense em outras situações nas quais você também usa números. 
Agora, tente imaginar como seria sua vida se eles não existissem.
Matemática – Volume 1
Conjuntos numéricos no dia a dia
Mediante situações do cotidiano, esse vídeo apresenta os conjuntos dos números, sua evolu-
ção, propriedades e diferentes usos em todos os momentos de nossa vida. 
Os números na sociedade atual
Os números governam o mundo, já diziam os matemáticos da Grécia Antiga. 
Pode-se dizer que, nos tempos atuais, essa frase é ainda mais verdadeira, dado o 
amplo uso da Matemática em atividades profissionais e científicas, nos meios de 
comunicação e em situações do dia a dia.
18 UnIdAdE 1
Só mesmo na imaginação e na fantasia seria possível conceber um mundo sem 
números, uma vez que eles são empregados para contar, medir, expressar datas, 
idades e endereços; estão presentes em documentos, no valor das coisas que são 
consumidas, em informações de embalagens, nos canais de TV, nas faixas de 
rádio, nas medidas de roupas...
Há vários significados para os números. Na escola, eles são estudados em situações 
de contagem, medição, cálculo, localização e codificação.
Toda essa importância justifica a atenção que os matemáticos sempre deram 
ao estudo dos números, desde as primeiras contagens, há mais de 10 mil anos. 
Mas, se antes bastava conhecer os números como 1, 2, 3, 100, 200 etc. para contar 
quantidades de objetos, hoje o desenvolvimento científico – com computadores e 
satélites de última geração – exige o uso de números que expressam, por exemplo, 
a ideia de quantidades negativas e fracionárias.
Por causa de sua variedade, os números foram organizados em conjuntos 
numéricos com base em suas características e propriedades.
ASSISTA!
Matemática – Ensino Fundamental Anos Finais – Volume 1
Números para contar 
Nesse vídeo são apresentadas inúmeras situações em que o ser humano utiliza os números e 
suas diferentes funções: contagem, ordenação, medição, entre outras.
Números, não para contar!
Esse vídeo apresenta os números que não são usados para fazer contas, pois têm a função 
de código: CEP, números de residências nas ruas, senhas, placas de veículos, linhas de 
ônibus etc.
Os números em nosso cotidiano 
Esse vídeo apresenta duas diferentes formas de cálculo: mental e feito com calculadora, além 
das diferentes estratégias utilizadas para obter o resultado correto.
Ilu
st
ra
çõ
es
: 
©
 d
an
ie
l B
en
ev
en
ti
números usados em códigos.
números usados para localização em GPS.
19UnIdAdE 1
ATIvIdAdE 1 Os números na sociedade atual
 1 Assinale as situações em que são utilizados “números com vírgula”. 
a) Para contar as cadeiras de uma sala.
b) Para expressar a altura de uma pessoa.
c) Para expressar o número do documento de identidade (RG).
d) Para expressar o preço de um produto.
e) Para indicar a localização de um apartamento.
 2 No dia a dia, usam-se números como códigos. É o caso do CEP de um ende-
reço ou do número de um telefone. Um número que representa um código é uti-
lizado de maneira diferente em relação aos números empregados para contar e 
medir. Por exemplo, não faz sentido comparar ou fazer contas com os números 
que expressam CEPs ou telefones.
Descreva as principais características dos CEPs e dos números de telefones 
indicando:
a) o número de dígitos.
b) a existência e o significado de um prefixo ou de um sufixo.
c) a existência ou não de vírgula.
 3 Considere que dois números de telefone têm o mesmo prefixo. O que isso pode 
significar?
20 UnIdAdE 1
 4 Em geral, como são representados os números que expressam medidas e 
preços? 
 5 É possível comparar duas medidas dizendo que uma é maior, menor ou igual à 
outra? Explique sua resposta.
 6 Quais representações numéricas aparecem em um extrato de conta bancária?
Os números naturais na sociedade e na escola
Os primeiros números que você aprendeu estavam associados a situações 
de contagem. São os números utilizados naturalmente para contar a quantidade de 
objetos de uma coleção ou de um grupo de pessoas: 1, 2, 3, 4, 5, … 
A esse conjunto numérico, os matemáticos acrescentaram o 0 (zero) e o denominaram 
conjunto dos números naturais, identificado por In, cuja representação pode ser 
feita pela enumeração de seus elementos – In = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …} – ou na 
reta numérica:
0 1 2 3 4 5 8 9 106 7
É usual representar um conjunto numérico empregando marcadores de aber-
tura e de fechamento conhecidos como chaves { }. 
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21UnIdAdE 1
Por exemplo, para expressar os números naturais maiores que 10 e menores 
que 15, nomeia-se o conjunto usando um símbolo, como a letra “A” (maiúscula),e 
colocam-se seus elementos entre chaves:
A = {11, 12, 13, 14}
Se o conjunto for infinito, é impossível expressar 
todos os seus elementos. Nesse caso, usa-se o código 
“...” (reticências), para indicar que o conjunto não acaba ali e que existem outros ele-
mentos. Considere, por exemplo, o conjunto I dos números ímpares:
I = {1, 3, 5, 7, ...}
Emprega-se, portanto, a linguagem matemática para expressar conjuntos 
numéricos. Veja alguns exemplos.
•	Conjunto dos números pares maiores que 10 e menores que 20:
A = {12, 14, 16, 18}
•	Conjunto dos números da tabuada do 3, maiores que 10 e menores que 20:
C = {12, 15, 18}
Observação: diz-se que os números 12, 15 e 18 são múltiplos de 3.
•	Conjunto dos divisores de 12:
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Atenção! Um número é divisor de outro se a divisão é exata, ou seja, se não tem 
resto. Nessa situação, diz-se que o resto é igual a zero. Por exemplo:
dividendo → 12 4 ← divisor
 resto → 0 3 ← quociente
Características do conjunto In
O conjunto dos números naturais tem muitas características. Leia as proposi-
ções a seguir, interprete-as e, se possível, exemplifique o que entendeu, criando 
outros exemplos além daqueles já fornecidos nas explicações.
1) Todo número natural tem um sucessor; a consequência disso é a de que o con-
junto dos números naturais é infinito.
IMPORTAnTE! 
Geralmente, os conjuntos 
são nomeados por uma 
letra maiúscula do alfabeto.
22 UnIdAdE 1
Se n é um número natural, então n + 1 também é natural.
Exemplo: 47 é natural; seu sucessor, 48, também o é.
Não existe um número natural que seja o maior de todos. Mesmo que se escolha 
um número natural muito grande, é sempre possível somar 1 a esse número e 
encontrar outro ainda maior.
2) Há apenas um único número natural que não tem antecessor: é o 0 (zero).
3) Entre dois números naturais consecutivos não existe outro número natural.
Exemplo: entre 47 e 48 não existe outro número natural.
4) Adicionando ou multiplicando dois números naturais quaisquer, obtém-se outro 
número natural.
Em linguagem simbólica, diz-se que: “Se n e m são números naturais, então n + m 
e n ∙ m também são números naturais”.
Exemplo: 13 e 47 são números naturais; 13 + 47 e 13 ∙ 47 também são números naturais.
Embora essas proposições pareçam óbvias, elas são fundamentais para com-
preender outros conjuntos numéricos e servem para caracterizar o conjunto dos 
números naturais; são as propriedades desse conjunto. 
Algumas dessas propriedades, contudo, também valem para outros conjuntos 
numéricos.
De acordo com a proposição 1, se o número a é um número natural, então a + 1 
também é um número natural. Em linguagem simbólica, expressa-se:
Se a ∈ In, então (a + 1) ∈ In.
Isso significa que, partindo do zero e 
somando unidades uma a uma, é possível 
“percorrer” todo o conjunto In.
Subconjuntos de In
Como você viu anteriormente, o conjunto dos números naturais é infinito e 
podem-se formar, com seus elementos, diversos subconjuntos de acordo com 
determinadas características.
Um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todos os elementos de 
A também forem elementos de B.
a ∈ In → lê-se “a pertence a In” 
ou “a pertence ao conjunto dos 
números naturais”.
23UnIdAdE 1
Um exemplo simples é o conjunto das letras do alfabeto latino, que é formado 
por vogais e consoantes. Se L é o conjunto das letras, V, o das vogais e C, o das 
consoantes: 
Em linguagem matemática, usa-se o símbolo ⊂ para dizer que um conjunto está 
contido em outro: 
V ⊂ L → lê-se “V está contido em L”, o que significa que toda vogal é uma letra 
ou ainda que o conjunto das vogais é um subconjunto do conjunto das letras.
C ⊂ L → lê-se “C está contido em L”, o que significa que toda consoante é 
uma letra ou ainda que o conjunto das consoantes é um subconjunto do con-
junto das letras.
Mas observe que nenhuma vogal é uma consoante e vice-versa. Diz-se que o 
conjunto das vogais e o das consoantes não apresentam elemento comum, ou seja, 
o conjunto intersecção das vogais e das consoantes é vazio. 
Simbolicamente, expressa-se assim: V ∩ C = ∅. 
Lê-se: a intersecção do conjunto das vogais com o conjunto das consoantes não 
tem elementos; é um conjunto vazio.
Entre os subconjuntos dos números naturais, há o conjunto dos números pares 
e o conjunto dos números ímpares. 
Se P = {0, 2, 4, 6, 8, ...} e I = {1, 3, 5, 7, 9, ...}, diz-se que P ⊂ In e que I ⊂ In.
Letras do alfabeto
Consoantes
Letras do alfabeto
Vogais
V L C L
L
C
L
V
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∅ → símbolo utilizado pelos matemáticos para expressar o 
conjunto vazio, ou seja, um conjunto que não tem elementos.
24 UnIdAdE 1
Observe ainda que não pode existir um número 
que seja ao mesmo tempo par e ímpar, ou seja, se 
um número é natural, ou ele é um número par ou 
é um número ímpar.
Pode-se dizer que P ∩ I = ∅ (não existe ele-
mento na intersecção entre os conjuntos dos 
números pares e ímpares).
ATIvIdAdE 2 Conjuntos e subconjuntos 
 1 Considere as seguintes afirmações sobre algumas figuras geométricas e, com 
base nelas, determine quais entre as proposições a seguir são verdadeiras (V) ou 
falsas (F).
•	Um quadrilátero é qualquer polígono que tenha 4 lados.
•	Um retângulo é qualquer quadrilátero que tenha todos os ângulos retos.
•	Um losango é um quadrilátero que tem todos os lados de mesma medida.
•	Um paralelogramo é um quadrilátero que tem os lados paralelos dois a dois.
 
a) O conjunto dos retângulos é um subconjunto do conjunto dos quadriláteros.
b) O conjunto dos losangos é um subconjunto do conjunto dos quadrados. 
c) O conjunto dos quadrados é um subconjunto do conjunto dos retângulos. 
d) O conjunto dos paralelogramos é um subconjunto do conjunto dos retân gulos. 
e) O conjunto dos retângulos é um subconjunto do conjunto dos paralelo gramos. 
 2 Quais dos conjuntos a seguir têm apenas quatro elementos? Escreva-os e 
depois assinale as alternativas corretas:
a) Naturais maiores que 40 e menores que 45. 
b) Pares maiores que 0 e menores que 10. 
O conjunto dos números 
pares (vale também para 
os ímpares) está contido no 
conjunto dos números na-
turais, ou seja, qualquer 
nú mero par (ou ímpar) 
também é um número 
natural.
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ou
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25UnIdAdE 1
c) Ímpares menores que 10. 
d) Múltiplos de 5 maiores que 20 e menores que 50. 
 3 Cada item a seguir refere-se a subconjuntos do conjunto In (dos números natu-
rais). Indique seus elementos usando a linguagem de conjuntos:
a) x é par e 63 < x < 74. 
b) y é ímpar e 22 < y < 33. 
 4 Associe cada subconjunto de In a pelo menos uma característica.
a) Primos. 
b) Múltiplos de 3. 
c) Divisores de 12. 
d) Quadrados perfeitos maiores que 0. 
e) Múltiplos de 12. 
 £ A: Infinito.
 £ B: Finito.
 £ C: Todos pares.
 £ D: 2 é o menor elemento.
 £ E: 1 é o menor elemento.
números inteiros relativos: representação e propriedades
Os números inteiros, que serão chamados simplesmente de “inteiros”, são os 
elementos do conjunto:
{…, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Usam-se esses números em contextos e problemas sobre saldos (positivos ou 
negativos), operações de débito e crédito, no cálculo de dívidas ou para indicar 
uma posição em relação ao zero, como nos casos de temperaturas e altitudes.
– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 3 4 51 2
O símbolo utilizado para identificar o conjunto dos números inteiros é o ZZ, originado da palavra 
em alemão Zahlen, que em português significa “números”.
Escreve-se, então: ZZ = {…, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
dICA!
Um número é chamado de quadrado perfeito quando é resultado da multiplicação de um 
número por ele mesmo. Exemplos: 9 é um quadrado perfeito porque 9 = 3 ∙ 3; 16 é um quadrado 
perfeito porque 16 = 4 ∙ 4.
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26 UnIdAdE 1
Características do conjunto ZZ
Uma das características que distingue o conjunto ZZ (dos inteiros) do conjunto In 
(dos números naturais) é a diferençaentre dois números inteiros quaisquer ser 
sempre um número inteiro, o que não acontece com os números naturais. Veja os 
seguintes exemplos. 
Os números 5 e 2 são números naturais, isto é, 5 ∈ In e 2 ∈ In; 5 – 2 = 3, que também 
é um número natural. Mas não existe número natural que seja o resultado da sub-
tração 2 – 5. 
Por outro lado, 5 e 2 são números inteiros, isto é, 5 ∈ ZZ e 2 ∈ ZZ; e as diferenças 
5 – 2 = 3 e 2 – 5 = – 3 são números inteiros também. 
De acordo com o esquema, todo número natural também é um 
número inteiro, ou seja, o conjunto dos números naturais está contido 
no conjunto dos números inteiros (In ⊂ ZZ); ou ainda: o conjunto dos 
números inteiros contém o conjunto dos números naturais.
ASSISTA!
Matemática – Ensino Fundamental Anos Finais – Volume 3
Números inteiros 
Esse vídeo destaca, em situações práticas do cotidiano, os números negativos. Eles surgiram da 
necessidade de o ser humano registrar a ideia de “falta” em atividades comerciais. Atualmente 
são muito comuns, sendo encontrados em índices de inflação, saldos bancários e balanços 
financeiros.
Operações com números inteiros
Esse vídeo mostra como fazer contas que envolvem números positivos e negativos e apresenta 
exemplos e dicas, como a utilização da reta numérica, para não se confundir os sinais.
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27UnIdAdE 1
Veja a seguir mais propriedades do conjunto dos números inteiros (ZZ). 
1) Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor; consequentemente, 
diz-se que o conjunto dos números inteiros é infinito à direita e à esquerda. Isso 
signifi ca que, ao se escolher um número inteiro qualquer, é sempre possível somar 
ou subtrair 1 a esse número e o resultado será também um número inteiro.
2) Entre dois números inteiros consecutivos não existe outro número inteiro.
3) Adicionando ou subtraindo dois números inteiros quaisquer, obtém-se um 
número inteiro.
4) Multiplicando dois números inteiros quaisquer, obtém-se um número inteiro.
(– 5) ÷ 2 e 4 ÷ (– 3) não têm significado em ZZ.
POTEnCIAçãO EM ZZ
A potenciação no conjunto dos números inteiros é uma operação que envolve a multiplicação de 
fatores iguais. Por exemplo: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32, que também pode ser escrito como 25 = 32, em que 
o expoente 5 é um número inteiro positivo que indica a quantidade de vezes que a base 2 será 
multiplicada por ela mesma para obter a potência 32.
Veja outros exemplos:
•	43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 • 107 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10.000.000
Relembre algumas regras de potenciação:
Em uma potenciação, se a base é positiva e seu expoente for inteiro positivo, seu resultado será 
positivo. Por exemplo:
•	32 = 3 · 3 = 9 • 33 = 3 · 3 · 3 = 27
Se a base da potência é negativa e o seu expoente inteiro positivo for par, então seu resultado 
será positivo; se o expoente inteiro positivo for ímpar, então seu resultado será negativo. Por 
exemplo:
•	(– 2)4 = (– 2) · (– 2) · (– 2) · (– 2) = 16 • (– 3)2 = (– 3) · (– 3) = 9
•	(– 2)5 = (– 2) · (– 2) · (– 2) · (– 2) · (– 2) = – 32 • (– 3)3 = (– 3) · (– 3) · (– 3) = – 27
ATEnçãO!
Essa propriedade não vale para a divisão. 
28 UnIdAdE 1
ATIvIdAdE 3 Subconjuntos de ZZ
 1 Analise cada uma das alternativas, indicando se ela é verdadeira (V) ou falsa (F).
a) O conjunto dos números pares positivos é um subconjunto dos números 
inteiros. 
b) Todos os subconjuntos de In também são subconjuntos de ZZ. 
c) Qualquer subconjunto de ZZ também é um subconjunto de In. 
d) Todos os subconjuntos de ZZ têm infinitos elementos. 
 2 Leia a frase a seguir e decida se ela é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Existe um elemento em ZZ que é menor que qualquer outro número inteiro. 
RAdICIAçãO EM ZZ
A existência da radiciação em ZZ depende da potenciação, isto é, pode-se escrever que:
4 = 2, porque 2
2 = 4 8
3
 = 2, porque 23 = 8
9 = 3, porque 3
2 = 9 
3
27 = 3, porque 33 = 27
16 = 4, porque 4
2 = 16 ‒83 = – 2, porque (– 2)3 = – 8
E assim por diante.
Observe que, por não existir potenciação de expoente par que resulte em número negativo, tam-
bém não existe radiciação de número negativo quando o índice é par.
ASSISTA!
Matemática – Ensino Fundamental Anos Finais – Volume 3 
Potenciação
Esse vídeo aborda fatoração, além de mostrar como a potenciação facilita vários tipos de cálculo 
no mundo do trabalho.
29UnIdAdE 1
 3 Observe os exemplos a seguir antes de responder às questões.
•	O conjunto A = {– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3} é um subconjunto finito de ZZ e seus elemen-
tos podem ser escritos como uma sequência de números consecutivos.
•	Os conjuntos B = {– 37} e C = {41} são subconjuntos de ZZ, que têm apenas um 
elemento.
•	O conjunto D = {– 3, 0, 3, 6, 9, ...} é um subconjunto infinito de ZZ, formado por 
múltiplos de 3 e com apenas um número negativo: – 3, que é o menor elemento 
do conjunto.
•	O conjunto E = {..., – 8, – 6, – 4, – 2, 0} é um subconjunto de ZZ, formado pelos infini-
tos números pares negativos e pelo zero, que nesse conjunto é o maior elemento.
Agora é com você. Dê um subconjunto de ZZ que tenha:
a) exatamente 11 elementos que sejam números consecutivos. Para cada número 
negativo, deve haver um número positivo.
b) apenas um número negativo.
c) todos os números inteiros ímpares, que satisfaçam a condição – 8 < x < 7.
 4 Descreva um subconjunto infinito de ZZ: 
a) em que 0 (zero) seja o menor elemento.
b) em que 0 (zero) seja o maior elemento.
 5 O extrato bancário de João indica que seu saldo é de R$ 123,50 negativos. 
Quanto João tem que depositar na conta para:
a) zerar o saldo negativo?
b) ficar com um saldo positivo de R$ 100,00? 
30 UnIdAdE 1
Elemento oposto
Outra característica que diferencia o conjunto In do conjunto ZZ é a de que todo 
elemento do conjunto dos inteiros tem um elemento oposto, isto é, para cada a ∈ ZZ 
existe um elemento – a ∈ ZZ. O elemento oposto também é chamado de simétrico do 
número. E a soma de um número com seu simétrico resulta sempre em zero, ou seja, 
a + (– a) = 0. 
O oposto de 3 é – 3; o oposto de – 3 é 3.
Observe na reta numérica que a distância de – 3 ao zero (origem) e de 3 ao zero 
é a mesma: 3 unidades.
Operações em ZZ
Os números inteiros são amplamente utilizados no dia a dia e nas várias ciências 
para representar saldos bancários, temperaturas, altitudes e outras quantidades. E, 
tal como no conjunto dos números naturais, é possível fazer cálculos com inteiros: 
adições, subtrações, multiplicações e divisões.
Podem-se somar ou subtrair dois números inteiros imaginando-os sobre uma 
reta numérica ou imaginando o saldo de uma conta bancária.
No contexto de saldo bancário, o sinal associado ao número indica o estado da 
conta: se o sinal agregado ao número é “+”, significa que a conta tem saldo positivo 
e, se o sinal é “–”, significa que a conta tem saldo negativo; os sinais após os parên-
teses indicam se o saldo aumentou (+) ou diminuiu (–). 
Considere as operações a seguir, seus significados e como se pode obter o 
resultado.
Operação Significado como operação bancária Resultado ou saldo
(+3) + (+5) Tinha 3 e depositei mais 5; fiquei com saldo positivo de 8. Tenho 8. (+3) + (+5) = +8
(+3) + (– 5) Tinha 3 e gastei 5; fiquei com saldo negativo de 2. Devo 2. (+3) + (– 5) = – 2
(– 3) + (+5) Devia 3 e depositei 5; fiquei com saldo positivo de 2. Tenho 2. (– 3) + (+5) = +2
(– 3) + (– 5)
Devia 3 e gastei mais 5; fiquei com saldo ainda 
mais negativo: agora estou devendo 8.
(– 3) + (– 5) = – 8
0 1 2 3
3 3
4 5– 5 – 4 – 3 – 2 – 1
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31UnIdAdE 1
Soma algébrica
Imagine um ônibus que partiu do ponto com 15 passageiros e fez um trajeto 
passando por 5 paradas. Na primeira, desceram 5 passageiros e subiram 4; na 
segunda, subiram 3 passageiros; na terceira, desceram 5 passageiros; na quarta, 
subiram 4 passageiros e desceram outros 4 passageiros; na quinta e última parada, 
desceram 7 passageiros. Quantos passageiros permaneceramno ônibus após a 
última parada?
Esse sobe e desce pode ser representado por meio de uma expressão numérica 
do tipo 15 – 5 + 4 + 3 – 5 + 4 – 4 – 7, que se chama soma algébrica. Não é difícil 
concluir que 5 passageiros permaneceram no ônibus.
Há várias estratégias para se chegar a esse resultado. A primeira é partir do 
número inicial e calcular cada subida e descida ao fim de cada parada.
Outra estratégia é operar diretamente sobre a expressão:
15 – 5 + 4 + 3 – 5 + 4 – 4 – 7
Somar todos os números que têm sinal positivo e, em seguida, somar todos os 
que têm sinal negativo; por fim, subtrair as duas operações.
Expressão original: 15 – 5 + 4 + 3 – 5 + 4 – 4 – 7
Rearranjando as parcelas, obtém-se: 15 + 4 + 3 + 4 – 5 – 5 – 4 – 7
Agrupamento: (15 + 4 + 3 + 4) – (5 + 5 + 4 + 7)
Cálculo final: 26 – 21 = 5
Regra dos sinais
Levou cerca de mil anos para que os matemáticos aceitassem a existência dos 
números negativos e formulassem algumas regras de cálculo para eles. Uma delas 
tem como objetivo ajudar a definir o sinal que aparecerá no resultado da operação. 
Considere dois números inteiros, a e b.
A adição a + (– b) é equivalente à subtração a – b.
32 UnIdAdE 1
Na multiplicação (e na divisão) de números inteiros, utiliza-se a seguinte regra:
Veja alguns exemplos resolvidos.
Multiplicação Divisão
(+2) ∙ (+2) = + 4 (+6) ÷ (+3) = +2
(+2) ∙ (– 2) = – 4 (+ 4) ÷ (– 2) = – 2
(– 2) ∙ (+2) = – 4 (– 15) ÷ (– 5) = +3
(– 2) ∙ (– 2) = + 4 (– 4) ÷ (– 2) = +2
(+5) ∙ (+2) = (+2) ∙ (+ 5) = +10 (– 15) ÷ (+3) = – 5
(+2) ∙ (– 5) = (– 5) ∙ (+ 2) = – 10 (+15) ÷ (– 5) = – 3
(– 5) ∙ (– 2) = (– 2) ∙ (– 5) = +10 (– 5) ÷ (– 1) = +5
(– 2) ∙ (+ 5) = (+ 5) ∙ (– 2) = – 10 (– 5) ÷ (+5) = – 1
Solução de equações em In e em ZZ
A resolução de determinada equação como x + 2 = 4 pode ter ou não solução, 
dependendo do conjunto com o qual se está trabalhando.
Essa equação tem solução em In, pois (2) + 2 = 4, e 2 é um número natural, e 
ainda tem solução em ZZ, pois 2 também é um número inteiro. Afinal, ZZ inclui 
todos os elementos de In. 
No entanto, não ocorre o mesmo com a equação x + 2 = 1.
Essa equação tem solução em ZZ: x = – 1, que é um número inteiro, mas não é 
um número natural, pois não existe x ∈ In que, somado com 2, dê 1. 
Números naturais
0 + 2 = 2
1 + 2 = 3
2 + 2 = 4
3 + 2 = 5
e assim por diante
positivo ∙ positivo = positivo
positivo ∙ negativo = negativo
negativo ∙ positivo = negativo
negativo ∙ negativo = positivo
33UnIdAdE 1
ATIvIdAdE 4 Propriedades e operações
 1 Qual é o oposto de:
a) 17 b) – 6 c) 0 
 2 Dê a distância até o zero dos pontos representados por:
a) – 2 d) +99 
b) +12 e) +777 
c) 0 f) – 123 
 3 Qual é o número maior?
a) – 3 ou – 4? d) 0 ou – 100? 
b) – 3 ou – 2? e) +3 ou – 6? 
c) – 2 ou 0? 
 4 Dê a distância, na reta numérica, entre os pontos correspondentes aos números 
apresentados nos itens a seguir. Antes, porém, veja alguns exemplos.
A distância entre 2 e 6 é 4 → 6 – 2 = 4.
A distância entre – 3 e 2 é 5 → 2 – (– 3) = 2 + 3 = 5. 
Lembre-se de que o oposto de – 3 é 3, ou seja – (– 3) = 3.
A distância entre – 5 e – 2 é 3 → (– 2) – (– 5) = – 2 + 5 = 3.
Lembre-se de que o oposto de – 5 é 5, ou seja, – (– 5) = 5.
0 2– 3
0 2 6
0– 2– 5
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34 UnIdAdE 1
Agora, calcule as distâncias entre os pontos:
a) 8 e 17 
b) – 5 e +8 
c) – 2 e – 9 
d) – 3 e – 10? 
 5 Calcule as adições:
a) (+2) + (+6) = e) (– 1) + (– 3) = 
b) (– 5) + (– 4) = f) (– 5) + (+5) = 
c) (– 5) + (+3) = g) (– 5) + (– 5) = 
d) (– 7) + (+2) = h) (– 7) + (+5) = 
 6 Calcule as diferenças:
a) (+8) – (+2) = e) (– 1) – (– 7) = 
b) (– 5) – (– 4) = f) (– 5) – (+5) = 
c) (– 5) – (+3) = g) (– 4) – (– 4) = 
d) (– 7) – (+2) = h) (– 7) – (+5) = 
Nos exercícios 7 e 8, utilize a regra de sinais.
 7 Calcule as multiplicações:
a) (– 3) ∙ (+ 4) = d) (+3) ∙ (+ 4) = 
b) (– 3) ∙ (– 4) = e) (+ 4) ∙ (– 3) = 
c) (+3) ∙ (– 4) = f) (+ 4) ∙ (+3) = 
 8 Faça as divisões:
a) (+12) ÷ (– 3) = d) (– 12) ÷ (+ 4) = 
b) (+12) ÷ (– 2) = e) (– 12) ÷ (+3) =
c) (+12) ÷ (– 4) = f) (– 12) ÷ (– 6) = 
35UnIdAdE 1
HORA dA CHECAGEM
 9 Quais das equações a seguir têm solução, considerando x ∈ In?
a) 2x – 4 = 0 
b) 3x – 1 = 4
c) 2x + 1 = 5
 10 Entre as equações do exercício 9, quais têm solução, se x ∈ ZZ?
Atividade 1 – Os números na sociedade atual
 1 Alternativas corretas: b e d. Para realizar contagens, utilizam-se os números inteiros. Em geral, 
os números com vírgula são usados para expressar áreas, volumes, medidas lineares (como com-
primento, largura, altura e espessura) e também valores como preços, descontos etc. 
 2 
a) Os CEPs são formados por 8 dígitos, 5 + 3 (os 3 últimos formam seu sufixo). Quanto aos telefones, 
até há algum tempo, o número de um celular começava por 9, 8 ou 7; hoje, a maioria dos celulares 
tem 9 dígitos e os telefones fixos, 8 dígitos. 
d) 2x – 1 = 1
e) x + 5 = 4
f) 2x + 1 = 0
36 UnIdAdE 1
b) Tanto a parte inicial que compõe o CEP como seu sufixo são compostos de números inteiros e a 
posição de cada um deles traz uma informação. Os CEPs do Estado de São Paulo começam por 0 ou 1: 
por 0, se o endereço for na capital ou Grande São Paulo; por 1, se a localidade for no interior do Estado. 
O sufixo do CEP destina-se à identificação individual de localidades, logradouros, códigos especiais e 
unidades dos correios. Já o prefixo dos telefones representa o código para discagem direta a distância 
(DDD), que é constituído por dois dígitos e identifica cidades ou conjunto de cidades do país. 
c) Não se usam vírgulas em CEPs nem em números de telefone.
 3 O fato de dois números de telefone apresentarem o mesmo prefixo significa que eles são da 
mesma região. No Estado de São Paulo, por exemplo, um telefone com prefixo 12 pode ser do Vale 
do Paraíba ou do Litoral Norte.
 4 Uma medida pode ser expressa por meio de um número inteiro ou decimal. Dessa forma, um 
muro pode ter 2 m de altura e uma porta, 1,90 m; a altura de uma pessoa pode ser 1,68 m ou 
168 cm. Quanto aos preços, é comum expressá-los usando vírgula e duas casas decimais (R$ 23,50 
ou R$ 120,00). 
 5 É possível comparar medidas, desde que elas expressem o mesmo tipo de grandeza. Exemplo: 
13 kg < 25 kg; 15 cm = 15 cm; 120 g > 100 g; 2 m = 2 m; 8,5 km > 4,3 km. 
 6 Em um extrato de conta bancária, além dos números que indicam o banco, a agência e o dígito 
(que são números inteiros), as quantias (débitos e créditos) em geral são representadas por núme-
ros com vírgula, para expressar os centavos. Se o saldo for negativo, em alguns extratos aparecem 
números negativos (com o sinal “–” diante do número).
Atividade 2 – Conjuntos e subconjuntos 
 1 
a) V Todos os retângulos possuem quatro lados.
b) F Apesar de os quatros lados dos losangos terem a mesma medida, os quatros ângulos internos 
nem sempre são retos.
c) V Os quadrados possuem os quatro ângulos internos retos.
d) F A afirmação só é válida para os paralelogramos que possuem quatro ângulos retos, ou seja, 
os próprios retângulos.
e) V Os retângulos possuem quatro lados, paralelos dois a dois. 
 2 Alternativas corretas: a e b. Os conjuntos A e B, a seguir, são os que têm apenas quatro elementos:
a) A = {41, 42, 43, 44} c) C = {1, 3, 5, 7, 9}
b) B = {2, 4, 6, 8} d) D = {25, 30, 35, 40, 45} 
 3 
a) Os valores possíveis de x são: {64, 66, 68, 70, 72}. 
b) Os valores possíveis de y são: {23, 25, 27, 29, 31}.
H
OR
A 
dA
 C
H
EC
AG
EM
37UnIdAdE 1
 4 As associações possíveis são:
a) Primos: A e D.
b) Múltiplos de 3: A.
c) Divisores de 12: B e E.
d) Quadrados perfeitos maiores que 0: A e E.
e) Múltiplos de 12: A e C.
Atividade 3 – Subconjuntos de ZZ 
 1 
a) V 
b) V 
c) F Por exemplo, o conjunto {– 1, 0, 1} não é um subconjunto de In, pois – 1 não é um número natural.
d) F Por exemplo, o conjunto {– 1, 0, 1} é um subconjunto de ZZ, mas é finito: tem apenas três elementos.
 2 A frase é falsa. O conjunto dos inteiros éinfinito à esquerda; é sempre possível encontrar um 
número negativo que seja ainda menor que outro número negativo. Por exemplo, se um indivíduo 
deve R$ 1 milhão para o banco (– 1.000.000), outro indivíduo que deve 1.000.001 está mais endivi-
dado que o primeiro, pois – 1.000.001 < – 1.000.000.
 3 
a) A = {– 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
b) Há algumas possibilidades de resposta; não é necessário que sua resposta esteja igual a ela, ape-
nas que siga a mesma lógica. B = {– 1, 0, 1} ou {– 10} ou ainda {– 2, 0, 4, 6, ...} 
c) C = {– 7, – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5}
 4 Essa questão apresenta várias respostas, dependendo de sua escolha. As respostas a seguir são 
apenas algumas possíveis: 
a) A = {0, 2, 4, 6, 8, ...} Trata-se de um conjunto de pares positivos.
b) B = {..., – 8, – 6, – 4, – 2, 0} 
 5 
a) Para zerar o saldo, João tem de depositar a mesma quantia que está devendo, ou seja, R$ 123,50. 
Adiante, você verá que – 123,50 + 123,50 = 0.
b) Para ficar com um saldo positivo de R$ 100,00, João terá que zerar a conta e ainda acrescentar 
R$ 100,00, portanto tem que depositar R$ 123,50 + R$ 100,00 = R$ 223,50. Mais adiante, você verá 
que – 123,50 + 223,50 = 100,00.
H
OR
A 
dA
 C
H
EC
AG
EM
38 UnIdAdE 1
H
OR
A 
dA
 C
H
EC
AG
EM
Atividade 4 – Propriedades e operações
 1 
a) – 17 b) 6 c) 0
 2 
a) 2 c) 0 e) 777
b) 12 d) 99 f) 123
 3 
a) – 3 c) 0 e) +3
b) –2 d) 0 
 4 
a) A distância entre 8 e 17 é 9 → 17 – 8 = 9
b) A distância entre – 5 e +8 é 13 → 8 – (– 5) = 13
c) A distância entre – 2 e – 9 é 7 → – 2 – (– 9) = 7
d) A distância entre – 3 e – 10 é 7 → – 3 – (– 10) = 7
 5 
a) 2 + 6 = 8 d) – 7 + 2 = – 5 g) – 5 – 5 = – 10
b) – 5 – 4 = – 9 e) – 1 – 3 = – 4 h) – 7 + 5 = – 2
c) – 5 + 3 = – 2 f) – 5 + 5 = 0
 6 
a) 8 – 2 = 6 d) – 7 – 2 = – 9 g) – 4 + 4 = 0
b) – 5 + 4 = – 1 e) – 1 + 7 = 6 h) – 7 – 5 = – 12
c) – 5 – 3 = – 8 f) – 5 – 5 = – 10 
 7 
a) – 12 c) – 12 e) – 12
b) +12 d) +12 f) +12
 8 
a) – 4 c) – 3 e) – 4
b) – 6 d) – 3 f) +2
39UnIdAdE 1
 9 
a) Tem solução: 2x = 4 ⇒ x = 2 ∈ In
b) Não tem solução: 3x = 5 ⇒ x = 5
3
 ∉ In
c) Tem solução: 2x = 4 ⇒ x = 2 ∈ In
d) Tem solução: 2x = 2 ⇒ x = 1 ∈ In
e) Não tem solução: x = – 1 ∉ In
f) Não tem solução: 2x = – 1 ⇒ x = – 1
2
 ∉ In
 10 As equações dos itens a, c, d e e do exercício 9 têm solução se x ∈ ZZ.
a) x = 2 ∈ ZZ
b) x = 5
3
 ∉ ZZ
c) x = 2 ∈ ZZ
d) x = 1 ∈ ZZ
e) x = – 1 ∈ ZZ
f ) x = – 1
2
 ∉ ZZ H
OR
A 
dA
 C
H
EC
AG
EM
Registro de dúvidas e comentários
40
Neste tema, além de resolver problemas simples no universo dos números, 
você conhecerá as características do conjunto dos números racionais, do conjunto 
dos números irracionais e do conjunto dos números reais.
Você acha que, em um dia comum, utiliza o sistema de numeração decimal 
muitas vezes?
Toda vez que realiza uma contagem, ou um agrupamento, é esse sistema que 
você usa. E, então, ele faz parte da sua vida ou não faz? 
números racionais: representação e características 
Com a invenção dos números e o desenvolvimento de vários sistemas de contagem 
e de numeração, surgiram problemas envolvendo medidas que não podiam ser 
resolvidos com os números inteiros positivos, os únicos conhecidos há milhares 
de anos. 
Por exemplo: como medir barras usando uma unidade de medida determinada, 
como o comprimento de um palmo? Se o comprimento da barra for exatamente 
2 palmos (barra AB), não há problema, mas e se o comprimento da barra estiver 
entre 2 e 3 palmos (barra CD)? Como expressar essa medida?
Pela visualização da imagem anterior, é possível afirmar que a barra mede mais 
que 2 palmos e menos que 3 palmos. Mas quanto, exatamente?
Problemas desse tipo levaram à invenção das frações e depois à ideia de 
número racional, que gerou o conjunto dos números racionais, representado pelo 
símbolo .
T E M A 2 números racionais, irracionais e reais
A
2p x
B C D
©
 d
an
ie
l B
en
ev
en
ti
41UnIdAdE 1
Com base nessa definição, pode-se concluir que o conjunto dos racionais 
inclui todos os números inteiros, já que podem ser expressos pela razão entre 
dois números inteiros. A razão mais simples é a de denominador 1, e há também 
representações equivalentes:
3 = 3
1
 = 6
2
 = 9
3
 = ... 7 = 7
1
 = 14
2
 = ... 1.000 = 1.000
1
 = 5.000
5
 = ...
Uma importante propriedade do conjunto dos racionais é a de que todo número 
racional diferente de zero tem um inverso.
Dois números racionais são in versos 
quando o produto entre eles é igual a 1. 
Veja o exemplo:
O inverso de 2
3
 é 3
2
.
2
3
 . 3
2
 = 2 
. 3
3 . 2
 = 6
6
 = 1
Como a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores não altera o pro-
duto, pode-se concluir que o inverso de 3
2
 é 2
3
.
Em linguagem matemática: se a
b
 é um número racional, seu inverso é b
a
, porque 
a
b
 . b
a
 = 1; para que isso seja possível, a e b devem ser diferentes de zero.
Essa propriedade será muito útil na resolução de equações.
LEMBRE!
A regra da multiplicação de frações é simples: 
multiplicam-se os numeradores e os denomi-
nadores entre si. Exemplos: 
 
3
5
 . 
4
7
 = 
3 . 4
5 . 7
 = 
12
35
 
2
5
 . 
3
4
 = 
2 . 3
5 . 4
 = 
6
20
 = 
3
10
ASSISTA!
Matemática – Ensino Fundamental Anos Finais – Volume 2 
Números quebrados: as frações 
Por meio de situações cotidianas, esse vídeo apresenta a necessidade das frações e como elas 
são utilizadas. A comparação e o conceito de frações equivalentes também são abordados. 
Um número racional é um número que pode ser expresso como razão entre 
dois números inteiros, por exemplo, a
b
, em que a e b são inteiros e b ≠ 0.
Razão
Numerador e denominador
são números inteiros
 = { a
b
, tal que a, b ∈ ZZ e b ≠ 0}
Denominador não
pode ser zero
42 UnIdAdE 1
Equações solúveis em 
Para os matemáticos, a existência dos números racionais possibilita a resolução 
de determinadas equações que não têm solução em In nem em ZZ. 
Seja, por exemplo, a equação 2x – 1 = 0. Usando o que se sabe sobre a resolução, 
tem-se:
2x – 1 = 0 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 1
2
Mas veja que 1
2
 não é um número natural nem um número inteiro. A solução 
da equação 2x – 1 = 0 é um número racional, pois �2 . 1
2
 � – 1 = 0 e 1
2
 ∈ .
ATIvIdAdE 1 Exercitando a resolução de equações
 1 Encontre o valor de x nas equações a seguir.
A solução de uma equação do tipo ax – b = 0 (com a ∈ ZZ, 
b ∈ ZZ e a ≠ 0) é o número racional b
a
 . 
a) 5x = 10
b) 10x = – 20
c) 2x + 4 = 0
d) 3x – 12 = 0
e) 4x = 2
f) 2x = 5
g) x + 1 = 0
h) 4x – 10 = 0
43UnIdAdE 1
 2 Verifique qual dos números racionais a seguir é solução da equação 3x + 5 = 0.
a) x = 5
3
 c) x = – 3
5
b) x = 3
5
 d) x = – 5
3
Representação dos números racionais
Os números racionais podem ser representados na forma fracionária ou decimal 
ou ainda como pontos da reta numérica.
Veja o caso do “meio”:
Forma fracionária Forma decimal Ponto sobre a reta
1
2
0,5 0 11
2
Calculadoras e computadores estão programados para passar um número 
racio nal da forma fracionária para a forma decimal, mas nem sempre é possível 
mostrar todas as casas decimais, uma vez que a tela do visor é limitada.
Sempre se pode passar um número da forma fracionária para a forma decimal. 
Para isso, basta efetuar a divisão correspondente:
2
5
 = 2 ÷ 5 = 0,4
– 3
2
 = – 3 ÷ 2 = – 1,5 26
65
 = 26 ÷ 65 = 0,4 16
40
 = 16 ÷ 40 = 0,4
5
4
 = 5 ÷ 4 = 1,25 7
10
 = 7 ÷ 10 = 0,7 2
10
 = 2 ÷ 10 = 0,2
ATEnçãO!
Em muitas calculadoras, a separação entre 
a parte inteira e a decimal é representada 
pela vírgula, como ocorre no Brasil. Em 
outras, essa separação é feita pelo ponto 
decimal, forma adotada em países de 
língua inglesa. Exemplo: 0,5 (Brasil) e 0.5 
(países de língua inglesa).
©
 d
an
ie
l B
en
ev
en
ti
©
 S
id
ne
i M
ou
ra
44 UnIdAdE 1
Representação dos números racionais na reta
É possível localizar racionais na retanumérica, tendo como referência números 
inteiros.
Nos casos anteriores, a representação decimal dos racionais tem um 
número finito de casas depois da vírgula. Esses números são conhecidos como 
decimais finitos. 
Mas há racionais cuja representação decimal tem infinitas casas depois da vírgula. 
Um exemplo é 1
3
.
Quando há repetição periódica de um dígito ou de uma sequência de dígitos, 
o número é chamado de dízima periódica.
1
3
 = 0,3333333333333... 
ASSISTA!
Matemática – Ensino Fundamental Anos Finais – Volume 2
Números quebrados: os decimais
Esse vídeo apresenta, em situações do cotidiano, a utilização de números decimais, sua relação 
com as frações e, ainda, as regras de arredondamento.
Fazendo contas com decimais
Esse vídeo mostra como são feitas operações matemáticas – adição, subtração, multiplicação 
e divisão – com números decimais.
©
 d
an
ie
l B
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ev
en
ti
0 1 2 3 4 5– 5 – 4 – 3 – 2 – 1
2,5
0 1 2 3 4– 2 – 1
0,5– 0,5 2,5
1
2
1
2
1
3
2
3
3
2
3–
2
3–
2
©
 S
id
ne
i M
ou
ra
45UnIdAdE 1
A reta numérica ajuda a comparar e a ordenar números racionais. Não há 
dificuldades para comparar dois números naturais ou mesmo dois números intei-
ros. Em In, a comparação de números é simples:
0 < 1 < 2 < 3 < … < 99 < 100 < 101 < ... < 999 < 1.000 < 1.001 < … 
mas em ZZ as aparências podem enganar. Veja os exemplos:
– 34 < 43 34 > – 43 37 < 73 – 37 > – 73
Por sua vez, para comparar números em , é preciso mais do que percepção 
numérica. Nem sempre se consegue decidir, só de olhar, qual entre dois números 
racionais é o maior. Para fazer essa comparação, porém, pode-se usar uma técnica. 
Considere, por exemplo, dois números racionais: a
b
 e c
d
.
Como são números com denominadores diferentes, podem-se escrever frações 
equivalentes a cada racional, com o mesmo denominador.
a
b
 = ad
bd
; c
d
 = bc
bd
 
Portanto, a
b
 ≥ c
d
 se, e somente se, ad ≥ bc.
Isso é válido para quaisquer a, b, c e d naturais diferentes de zero. Assim:
4
7
 > 5
9
, pois 4 ∙ 9 > 7 ∙ 5
Observe que até aqui todos os conjuntos numéricos estudados são conjuntos 
ordenados. Isso quer dizer que, dados dois elementos quaisquer, é possível colo-
cá-los em uma relação de ordem, decidindo se são iguais, maiores ou menores um 
em relação ao outro.
ATIvIdAdE 2 Representação e características dos números racionais
 1 Escreva os números racionais a seguir na forma decimal (finita ou infinita).
a) 7
5
 = d) 40
25
 = 
b) 6
4
 = e) 15
12
 =
c) 12
15
 = f) 2
3
 =
dICA! 
A comparação de números racionais pode ser feita em uma calculadora 
usando a operação divisão: 
4
7
 = 0,57... e 
5
9
 = 0,55... Portanto, 
5
9
 < 
4
7
 .
46 UnIdAdE 1
 2 Dê a forma fracionária dos racionais a seguir:
a) 0,6 = d) 3,25 = 
b) 1,4 = e) 20,128 =
c) 41,3 = f) 7,2 =
 3 Descubra que número multiplicado por 4
7
 resulta em 1.
 4 Dê os inversos dos seguintes racionais:
a) 5 d) 8
3
 
b) 1
4
 e) 7
5
 
c) 3
8
 
 5 Que número multiplicado por 0,8 resulta em 1? 
 6 Escreva números que sejam maiores que os racionais dados e menores do que 1.
a) 2
3
 d) 0,125
b) 0,5 e) 1
2
c) 3
4
 f) 0,001
47UnIdAdE 1
 7 Compare os números inteiros usando > ou <.
a) – 12 e 13 d) – 4 e 4 
b) 0 e – 7 e) – 31 e – 17 
c) – 3 e 0 f) – 235 e – 325 
 8 Compare os números racionais. Use os sinais > ou <.
a) 1
2
 e 2
3
 c) 8
9
 e 7
8
 
b) 3
4
 e 4
5
 d) 5
100
 e 4
99
 
 9 Coloque os números racionais de cada conjunto em ordem crescente.
a) A = 1
2
 ; 3
4
 ; 0,3 ; 2
5
 ; 1
3
 ; 2
3
 ; 5
6
 ; 3
5
 ; 1
6
 ; 7
8
 
b) B = 9
8
 ; 8
9
 ; 7
8
 ; 9
10
 ; 7
9
 ; 8
10
 ; 10
8
 ; 1; 7
10
 ; 10
9
 
números irracionais
Existem números cuja representação é decimal, infinita e não periódica. 
O primeiro desses números foi descoberto pelos matemáticos gregos há mais de 
2.500 anos. No século VI a.C., os matemáticos só conheciam e 
admitiam números inteiros – positivos, pois ainda não conheciam 
os negativos – e as frações que eram tratadas como razões entre 
inteiros.
No entanto, eles se depararam com um problema: não sabiam qual 
número poderia expressar a medida da diagonal de um quadrado 
de lado 1. Isso pôde ser resolvido com uma das mais poderosas 
ferramentas matemáticas da época: o teorema de Pitágoras.
©
 O
ffs
cr
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12
3R
F
48 UnIdAdE 1
d2 = 12 + 12
d2 = 1 + 1
d2 = 2
d = 2
1
1d
Pitágoras provou que, se um triângulo é retângulo (isto é, tem um ângulo reto), 
a soma dos quadrados das medidas dos lados menores é igual ao quadrado da 
medida do lado maior.
Aplicando o teorema de Pitágoras para calcular a medida da diagonal do 
quadrado de lado 1, tem-se:
A diagonal do quadrado de lado 1 mede 2 , um número que não pode ser expresso 
como a razão entre dois números inteiros e, portanto, não é um número racional.
Esse fato gerou uma crise entre os sábios gregos, pois, apesar de a diagonal 
estar lá e poder ser medida, não havia uma unidade de medida que coubesse um 
número exato de vezes no lado do quadrado e na diagonal.
O triângulo ABC é retângulo. 
O ângulo  = 90°
Os lados menores, a e b, são os catetos.
O lado maior, c, é a hipotenusa.
a2 + b2 = c2 c
ba
C
B
A
©
 S
id
ne
i M
ou
ra
©
 S
id
ne
i M
ou
ra
3
3
4
4
5
c
b
a
5
a² + b² = c²
25
9
16
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 P
et
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 H
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 F
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Al
am
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Gl
ow
 Im
ag
es
49UnIdAdE 1
Hoje, sabe-se que 2 é um exemplo de número cuja representação decimal é 
infinita e não periódica. Como esse número não pode ser representado por uma 
razão de números inteiros e não é um número racional, diz-se que ele é irracional. 
2 é um número irracional e pertence ao conjunto dos números irracionais, repre-
sentado simbolicamente por .
Dos pitagóricos até os dias atuais, muitas questões sobre números irracionais 
foram levantadas. Hoje sabe-se que:
•	um número irracional tem uma expansão decimal infinita e não periódica, o que 
torna impossível representá-lo por escrito. Só é possível fazer aproximações racio-
nais, como no caso de 2 , que pode ser tomado como aproximadamente 1,414;
•	existem infinitos números irracionais;
•	é possível fazer uma correspondência entre os pontos de uma reta e os números 
irracionais;
•	a raiz quadrada de qualquer número primo é um número irracional. São irracio-
nais, por exemplo, os números: 2 , 3 , 5 , 7 , 11, 13, ...
ATIvIdAdE 3 Representação e aproximação de números irracionais
 1 Use a tecla da calculadora para obter aproximações racionais, dos núme-
ros, com até duas casas decimais de:
a) 3 d) 11 
b) 5 e) 13 
c) 7 f) 47 
ASSISTA!
Matemática – Ensino Fundamental Anos Finais – Volume 3 
Radiciação e seus usos
Esse vídeo aborda o uso das raízes quadradas e cúbicas na resolução de situações do tipo: 
Como saber se o sofá cabe na área de uma sala? 
Ilu
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çõ
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en
ti
50 UnIdAdE 1
 2 Encontre, para x, valores racionais que satisfaçam as condições a seguir. No caso 
de frações, para encontrar um número que esteja dentro do intervalo proposto, 
pode-se transformá-las em suas representações decimais com a ajuda da calculadora.
a) 2
3
 < x < 3
4
b) 23
35
 < x < 44
51
 
c) 1,23 < x < 1,24
Reunião dos números racionais com os irracionais – números reais
Reunindo todos os números racionais e irracionais, obtém-se o conjunto dos 
números reais, indicado por IR.
Uma característica muito importante dos números reais é a de que todos eles 
podem ter um correspondente na reta numérica e vice-versa. 
Observe:
O conjunto IR possui subconjuntos e é possível estabelecer uma relação de 
inclusão entre alguns deles. Veja:
 ∪ = IR
2 1 0 1 2 32,4 2,50,52
3
2
3
2 2
Linguagem matemática Lê-se: 
In ⊂ ZZ ⊂ ⊂ IR 
O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos 
números inteiros, que está contido no conjunto dos números 
racionais, queestá contido no conjunto dos números reais.
 ⊂ IR O conjunto dos números irracionais está contido no conjunto 
dos números reais.
 ∩ = ∅
A intersecção do conjunto dos números racionais com os irracionais 
é vazia, ou seja, não existe número que seja ao mesmo tempo 
racional e irracional.
©
 d
an
ie
l B
en
ev
en
ti
©
 d
an
ie
l B
en
ev
en
ti
51UnIdAdE 1
Características dos números reais
Daqui em diante, IR será considerado o conjunto referência nos estudos desta 
disciplina, salvo menção contrária.
Conheça algumas das principais características do conjunto dos números reais.
1) Dados dois números reais quaisquer, o resultado da adição, da subtração e da 
multiplicação desses números é um número real. Além disso, é sempre possível 
dividir um número real por outro número real diferente de 0 (zero).
Por exemplo: sejam dois números reais, 7 e – 3
5
. Então, também são reais os 
números:
2) Dados dois números reais a e b quaisquer, com a < b, é sempre possível achar 
um número real x entre a e b, ou seja: a < x < b.
Por exemplo:
•	Entre 4 e 5 existem infinitos números reais, como o número 4,5: 
4 < 4,5 < 5
•	Entre – 1 e 0 existem infinitos números, entre eles os números – 0,5 e – 
2
10
.
•	Entre 
1
3
 e 1
2
 também existem infinitos números reais, como o número racional 5
12
.
1
3
 < 5
12
 < 1
2
•	Entre 2 e 3 existem infinitos números reais, como o número 
3
2
 = 1,5.
 2 < 1,5 < 3 → observe que 2 ≅ 1,41 e 3 ≅ 1,73
3) Em IR, valem as propriedades comutativa e associativa para a adição e a multipli-
cação, além da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. 
O número 0 (zero) é o elemento neutro da adição, enquanto o 1 é o elemento neutro 
da multiplicação.
4) Com exceção do 0 (zero), todo número real tem um inverso. O inverso de um 
número a ≠ 0 é outro número que, multiplicado por a, resulta em 1.
Por exemplo, o inverso de 3 é 1
3
, porque 3 . 1
3
 = 1. 
•	 7 + �– 3
5
 � •	– 3
5
 7 •	 7 ÷ �– 3
5
 �
•	�– 3
5
 � – 7 •	 7 – �– 3
5
 � •	�– 3
5
 � ÷ 7 
52 UnIdAdE 1
Por outro lado, o inverso de 1
5
 é o número 5, pois 1
5
 . 5 = 1.
O inverso de um número racional a
b
, com a, b ≠ 0, é o racional b
a
, pois a
b
 . b
a
 = 1.
ATIvIdAdE 4 Explorações com números reais
 1 Encontre um número real entre – 3 e – 5
2
.
 2 Encontre um número real x que satisfaça a seguinte desigualdade: 2
3
 < x < 1.
 3 Encontre um número real y que satisfaça a seguinte desigualdade: 2 < y < 2.
Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as desigualdades 2x + 3 ≤ x + 7 ≤ 3x + 1:
a) 4 d) 2
b) 1 e) 5
c) 3
Pontifícia Universidade Católica do Rio de janeiro (PUC-Rj), 2006. 
disponível em: <http://www.puc-rio.br/vestibular/repositorio/provas/2006/matematica_obj-g2.html>. Acesso em: 5 set. 2014.
Você já observou que há vários tipos de número? Será que todos eles podem ser 
encontrados facilmente no cotidiano? 
No decorrer desta Unidade, você teve contato com cinco conjuntos numéricos 
utilizados em Matemática. Perceba que alguns casos de operações matemáticas 
podem ser aplicados com facilidade em certo tipo de conjunto numérico, mas não 
em outro. Você conseguiu notar essa diferença? Foi possível entender as diversas 
aplicações dos números em nossa vida?
Se necessário, anote suas dúvidas para solucioná-las com o professor quando 
for ao CEEJA.
53UnIdAdE 1
Atividade 1 – Exercitando a resolução de equações
 1 
a) 5x = 10 ⇒ 5x ÷ 5 = 10 ÷ 5 ⇒ x = 2 ∈ In
b) 10x = – 20 ⇒ 10x ÷ 10 = – 20 ÷ 10 ⇒ x = – 2 ∈ ZZ
c) 2x + 4 = 0 ⇒ 2x + 4 – 4 = 0 – 4 ⇒ 2x + 0 = – 4 ⇒ 2x = – 4 ⇒ 2x ÷ 2 = – 4 ÷ 2 ⇒ x = – 2 ∈ ZZ
d) 3x – 12 = 0 ⇒ 3x – 12 + 12 = 0 + 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ 3x ÷ 3 = 12 ÷ 3 ⇒ x = 4 ∈ In
e) 4x = 2 ⇒ 4x ÷ 4 = 2 ÷ 4 ⇒ x = 1
2
 ∈ 
f) 2x = 5 ⇒ 2x ÷ 2 = 5 ÷ 2 ⇒ x = 5
2
 ∈ 
g) x + 1 = 0 ⇒ x + 1 – 1 = 0 – 1 ⇒ x = – 1 ∈ ZZ
h) 4x – 10 = 0 ⇒ 4x ÷ 4 = 10 ÷ 4 ⇒ x = 10
4
 = 
5
2
 ∈ 
 2 Alternativa correta: d. O número racional – 5
3
 é solução da equação.
3x + 5 = 0 ⇒ 3x = – 5 ⇒ x = – 
5
3
 
Verifique substituindo x por – 5
3
:
3 . �– 
5
3
� + 5 = 
3 . (– 5)
3
 + 5 = – 
15
3
 + 5 = – 5 + 5 = 0
Atividade 2 – Representação e características dos números racionais
 1 Para obter a representação decimal, divide-se o numerador pelo denominador da fração. 
A calculadora pode ajudar.
a) 7 ÷ 5 = 1,4 d) 40 ÷ 25 = 1,6
b) 6 ÷ 4 = 1,5 e) 15 ÷ 12 = 1,25
c) 12 ÷ 15 = 0,8 f) 2 ÷ 3 = 0,666…
 2 Nesse caso, é preciso escrever a fração decimal correspondente e depois simplificá-la sempre 
que possível. 
a) 6
10
 = 
3
5
 d) 325
100
 = 
13
4
b) 14
10
 = 
7
5
 e) 20.128
1.000
 = 
2. 516
125
c) 413
10
 f) 72
10
 = 
36
5
HORA dA CHECAGEM
In ZZ IR
54 UnIdAdE 1
 3 Para a multiplicação resultar em 1, basta multiplicar o número pelo seu inverso. Então o 
número procurado é 
7
4
.
 4 
a) 1
5
 c) 8
3
 e) 5
7
b) 4 d) 3
8
 5 Primeiro escreve-se 0,8 na forma de fração decimal: 8
10
. Sabendo que para o resultado da 
multiplicação de duas frações ser 1 é preciso multiplicar o primeiro fator fracionário pelo seu 
inverso, então o número procurado é 
10
8
 = 
5
4
 = 1,25.
 6 A resposta não é única. O que está expresso aqui são exemplos de números que satisfazem 
os itens:
a) 0,67; 3
4
. c) 0,8; 38
50
. e) 0,6; 51
100
.
b) 0,7; 5
9
. d) 0,13; 1
7
. f) 0,0012; 1
999
.
 7 
a) – 12 < 13 c) – 3 < 0 e) – 31 < – 17
b) 0 > – 7 d) – 4 < 4 f) – 235 > – 325
 8 Conforme foi explicado no texto Representação dos números racionais na reta, a
b
 ≥ 
c
d
 se, e somente 
se, ad ≥ bc.
a) 1 ∙ 3 < 2 ∙ 2, então 1
2
 < 
2
3
. c) 8 ∙ 8 > 9 ∙ 7 , então 8
9
 > 
7
8
.
b) 3 ∙ 5 < 4 ∙ 4, então 3
4
 < 
4
5
. d) 5 ∙ 99 > 100 ∙ 4, então 5
100
 > 
4
99
.
 9 No caso de frações, pode-se dividir o numerador pelo denominador e, assim, encontrar a 
representação decimal. Essa é uma maneira de comparar os números e ordená-los. 
a) 1
6
; 0,3; 
1
3
; 
2
5
; 
1
2
; 
3
5
; 
2
3
; 
3
4
; 
5
6
; 
7
8
. 
b) 7
10
; 
7
9
; 
8
10
; 
7
8
; 
8
9
; 
9
10
; 1; 
10
9
; 
9
8
 ; 
10
8
.
Atividade 3 – Representação e aproximação de números irracionais
 1 
a) 1,73
b) 2,23
c) 2,64
d) 3,31
e) 3,60
f) 6,85H
OR
A 
dA
 C
H
EC
AG
EM
55UnIdAdE 1
 2 
a) 2
3
 ≅ 0,66 e 3
4
 ≅ 0,75, portanto, x pode ser qualquer número entre 0,66 e 0,75, por exemplo, 0,7 ou 0,68. 
b) 23
35
 ≅ 0,65 e 44
51
 ≅ 0,86, portanto, x pode ser 0,67; 0,76; 0,80, ou qualquer outro número que 
esteja nesse intervalo.
c) Existem infinitos números entre 1,23 e 1,24, como 1,231, 1,237 ou 1,2391.
Atividade 4 – Explorações com números reais
Para os exercícios de 1 a 3, há infinitas soluções, algumas das quais você encontra a seguir.
 1 Nesse caso, usando a representação decimal, encontra-se o valor de – 5
2
 = – 2,5; então, x pode 
ser qualquer número que esteja no intervalo entre – 3 e – 2,5, como – 2,8 ou – 2,6.
 2 Nesse caso, encontra-se o valor decimal de 2
3
 ≅ 0,66; então, x pode ser qualquer número entre 
0,66 e 1, como 0,7 ou 0,9. 
 3 Como 2 ≅ 1,4, o valor de y está entre 1,4 e 2, podendo ser 1,5, 1,9 ou qualquer outro que você 
deseje nesse intervalo.
Desafio
Alternativa correta: d. A dica aqui é desmembrar a inequação em duas partes:
2x + 3 ≤ x + 7 ⇒ 2x – x ≤ 7 – 3 ⇒ x ≤ 4
x + 7 ≤ 3x + 1 ⇒ 7 – 1 ≤ 3x – x ⇒ 6 ≤ 2x ⇒ 3 ≤ x
Assim, x pode ser 4 ou 3, ou seja, dois números inteiros.
Registro de dúvidas e comentários
H
OR
A 
dA
 C
H
EC
AG
EM
Un
id
ad
e 
 2 introdUção às fUnções: 
ideias e aplicações
M
at
eM
Át
ic
a
teMas
1. fórmulas e a relação entre 
grandezas
2. tabelas
3. da fórmula para a tabela e da 
tabela para a fórmula
4. análise e interpretação de gráficos
5. funções
introdução
Nesta Unidade, após revisar fórmulas matemáticas, você vai estudar a relação 
entre fórmulas, tabelas e gráficos.
t e M a 1 fórmulas e a relação entre grandezas
Neste