Derivada direcional - Exercício resolvido

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• Encontre a derivada direcional da função em P = (5, D f x, yu ( ) f x, y = 2xy - 3y( ) 2
5), na direção do vetor = + 3 .V 4 i j
 Solução:
 
f x, y = 2xy - 3y ; p = 5, 5 ; = 4 + 3( ) 2 ( ) V i j
A derivada direcional é dada por:
 
D f x, y = ⋅ u + ⋅ uu ( )
𝜕f
𝜕x
1
𝜕f
𝜕y
2
 e são as componentes do vetor , unitário de , para achar u fazemos:u1 u2 u V
 
 
= ⋅ + ⋅u
4
4 + 3( )2 ( )2
i
3
4 + 3( )2 ( )2
j
= +u
4
25
i
3
25
j
 
= +u
4
5
i
3
5
j
Agora, fazemos as derivadas parciais em relação a x e y e substituimos os pontos;
 
= 2y 5, 5 = 2 ⋅ 5 = 10 
𝜕f
𝜕x
→
𝜕f
𝜕x
( )
 
 
= 2x - 6y 5, 5 = 2 ⋅ 5- 6 ⋅ 5 = 10 - 30 = - 20
𝜕f
𝜕y
→
𝜕f
𝜕x
( )
O vetor gradiente fica:
 
D f 5, 5 = 10 ⋅ + -20 ⋅u ( )
4
5
( )
3
5
D f 5, 5 = 8- 12u ( )
 
D f 5, 5 = - 4u ( )
 
 
(Resposta)