PROBABILIDADE 5 OUTROS TEOREMAS

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Teorema de acontecimentos elementares 
A soma das probabilidades de todos acontecimentos elementares de uma experiência é igual a 
1. 
Exemplo 45: 
No lançamento de um dado, a probabilidade de cada um dos acontecimentos elementares é 
6
1
. Sendo 6 o número de acontecimentos elementares, a soma das probabilidades é 
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
 . 
 
Teorema de acontecimentos contrários 
A soma das probabilidades de acontecimentos contrários ou opostos é igual a 1. 
           ApApApApApAp  111 , isto é: 
   ApAp 1 e    ApAp 1 
 
Exemplo 46: 
A probabilidade de que um estudante escolhido ao acaso aprove no exame é de   7,0Ap . 
Qual é a probabilidade de que o estudante não aprove no exame? 
 
Resolução: 
Os acontecimentos “aprovar no exame” e “não aprovar no exame” são contrários ou opostos, 
por isso: 
        3,07,0111  ApApApAp 
 
Exemplo 47: 
De um total de 30 estudantes, 12 têm maquina de calcular. Calcule a probabilidade de um 
estudante escolhido ao acaso não ter máquina de calcular. 
Seja T, o acontecimento “o estudante escolhido ao acaso tem maquina de calcular” 
Então o seu contrário T é “o estudante escolhido ao acaso não tem maquina de calcular” 
 
Resolução: 
Aplicando a definição clássica   6,0
30
18
30
1230



n
m
Tp e 
Aplicando o teorema da adição de probabilidades de acontecimentos contrários 
    6,0
30
18
30
12
30
30
30
12
111 
n
m
TpTp 
 
Este teorema pode ser aplicado nas resoluções dos exercícios enunciados atrás. 
 
Exemplo 48: 
De um total de 60 engenheiros ambientais, 40 têm conhecimentos de informática, 30 têm 
conhecimentos de inglês e 25 têm conhecimentos de informática e de inglês. 
Calcule a probabilidade de que um engenheiros ambientais escolhido ao acaso não ter 
conhecimento de informática 
 
 
 
 
 
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Resolução: 
Seja F o acontecimento “ ser escolhido um engenheiro ambiental com conhecimento de 
informática” 
Aplicando o teorema da adição de probabilidades de acontecimentos contrários 
    33,0
60
20
60
40
60
60
60
40
111 
n
m
FpFp 
 
Exemplo 49: 
Dos edifícios de uma cidade 50% têm grades nas portas, 70% tem grades nas janelas e 30% 
têm grades nas portas e janelas. Escolhe-se ao acaso um edifício. Calcule a probabilidade de 
ele não ter grades nas portas 
 
Resolução: 
Seja P o acontecimento “ ser escolhido um edifício com grades nas portas” 
Pode-se resolver o exercício com os valores em percentagem ou não. 
  5,0%50%50%100)(%100  PpPp Ou   5,05,01)(1  PpPp 
 
Exemplo 50: 
Calcule a probabilidade de um estudante de uma universidade escolhido ao acaso não realizar 
as suas tarefas na biblioteca, sabendo que a probabilidade de um estudante da universidade 
escolhido ao acaso realizar as suas tarefas na biblioteca é de 0,79. 
 
Resolução: 
Seja B o acontecimento “ ser escolhido um estudante da universidade que realiza as suas 
tarefas na biblioteca”. É dado 79,0)( Bp . 
    1 BpBp     21,079,011  BpBp 
 
Exemplo 51: 
Uma pesquisa revelou que numa cidade, a probabilidade de um estabelecimento comercial 
escolhido ao acaso não possuir licença para exercer a actividade é de 0,37. 
Qual é a probabilidade de um estabelecimento comercial escolhido ao acaso possuir licença 
para exercer a actividade. 
 
Resolução: 
Seja L o acontecimento “ ser escolhido um estabelecimento comercial que possui licença para 
exercer a actividade”. L é o acontecimento “ ser escolhido um estabelecimento comercial 
que não possui licença para exercer a actividade”, cuja probabilidade é dada ,   37,0Lp . 
    1 LpLp   63,037,011)(  LpLp 
 
Exemplo 52: 
Uma sondagem feita a 800 funcionários de uma grande empresa revelou os dados da tabela 
seguinte: 
 
Tipo de formação 
Salário 
Total Bom Muito bom 
Profissional 144 336 480 
Geral 168 152 320 
Total 312 488 800 
Calcule a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso não ter bom salário 
 
 35 
Resolução: 
Seja B o acontecimento “um funcionário escolhido ao acaso não tem bom salário” que é o 
acontecimento contrário de “um funcionário escolhido ao acaso tem bom salário” 
 Bp pode ser resolvido assim     61,0
800
488
800
312
800
800
800
312
111 
n
m
BpBp 
 
Exemplo 53: 
Dois acontecimentos A e B são contrários e sabe-se que )(5)( BpAp  . 
Calcule: a) )(Ap b) )(Bp c) )().(. BpAp 
 
Resolução: 
a) Resolução 1: 
Como A e B são contrários, significa que a soma das suas probabilidades é igual a 1, ou seja 
1)()(  BpAp . Pelos dados )(5)( BpAp  . Isolando )(Bp temos que 
5
)(
)(
Ap
Bp  . 
Substituindo )(Bp por 
5
)(Ap
 em 1)()(  BpAp temos que 1
5
)(
)( 
Ap
Ap . Resolvendo 
esta equação 
   51)5(
1
5
)(
)( 
Ap
Ap
 5)()(5  ApAp 5)(6 Ap )3(8,0
6
5
)( Ap 
Ou 
 
a) Resolução 2: 
Como A e B são contrários, significa que a soma das suas probabilidades é igual a 1 ou seja 
1)()(  BpAp . Pelos dados )(5)( BpAp  . Substituindo )(Ap por )(5 Bp na igualdade 
1)()(  BpAp temos 1)()(5  BpBp . Resolvendo esta equação 1)(6 Bp 
6
1
)( Bp . Como 1)()(  BpAp substituímos o valor de )(Bp encontrado para obter o 
valor de )(Ap . 1
6
1
)( Ap 
)1()6(
)3(8,0
6
5
6
1
6
6
6
1
1)( Ap
 
b) Resolução 1: 
Como A e B são contrários, significa que a soma das suas probabilidades é igual a 1, ou seja 
1)()(  BpAp . Pelos dados )(5)( BpAp  . Isolando )(Bp temos que 
5
)(
)(
Ap
Bp  . 
Substituindo )(Bp por 
5
)(Ap
 em 1)()(  BpAp temos que 1
5
)(
)( 
Ap
Ap . Resolvendo 
esta equação 
   51)5(
1
5
)(
)( 
Ap
Ap
 5)()(5  ApAp 5)(6 Ap )3(8,0
6
5
)( Ap . 
Como, 
5
)(
)(
Ap
Bp  )6(1,0
6
1
5
1
6
5
5
6
5
)( Bp 
 
 
 
 
 36 
b) Resolução 2: 
Como A e B são contrários, significa que a soma das suas probabilidades é igual a 1, ou seja 
1)()(  BpAp . Pelos dados )(5)( BpAp  . Isolando )(Bp temos que 
5
)(
)(
Ap
Bp  . 
Substituindo )(Bp por 
5
)(Ap
 em 1)()(  BpAp temos que 1
5
)(
)( 
Ap
Ap . Resolvendo 
esta equação 
   51)5(
1
5
)(
)( 
Ap
Ap
 5)()(5  ApAp 5)(6 Ap )3(8,0
6
5
)( Ap . 
Como 1)()(  BpAp substituímos o valor de )(Ap encontrado nessa igualdade obtemos 
)6(1,0
6
1
6
56
6
5
1)(1)( 

 ApBp 
 
b) Resolução 3: 
Como A e B são contrários, significa que a soma das suas probabilidades é igual a 1 ou seja 
1)()(  BpAp . Pelos dados )(5)( BpAp  . Substituindo )(Ap por )(5 Bp na igualdade 
1)()(  BpAp temos 1)()(5  BpBp . Resolvendo esta equação 1)(6 Bp 
6
1
)( Bp 
 
c) A partir das alíneas anteriores 
6
5
6
1
.
6
5
)().(.  BpAp 
 
Exemplo 54: 
Considere que para dois acontecimentos A e B, 2,0)( Ap , 9,0)( Bp 
5,0)()(  BApBAp . Calcule )( BAp  
 
Resolução: 
Pelos dados 5,0)()(  BApBAp . 
Isolando )( BAp  temos )(5,0)( BApBAp  ou seja 5,0)()(  BApBAp 
Por outro lado 
)()()()( BApBpApBAp  . 
Substituindo 5,0)()(  BApBAp em )()()()( BApBpApBAp  temos 
 5,0)()()()(  BApBpApBAp . Resolvendo a equação 
 5,0)()()()(  BApBpApBAp 5,0)()()()(  BpApBApBAp 
Calculando e substituindo os valores temos 
5,0)()()(2  BpApBAp 5,09,02,0)(2 BAp 
6,1)(2 BAp 8,0
2
6,1
)(  BAp 
 
Existem outras resoluções. 
 
 
 
 
 
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Ficha de exercícios 
1. Numa pesquisa feita à 800 especialistas revelou que 600 são da área de contabilidade, 400 
da área de gestão e 300 de ambas áreas. 
Calcule a probabilidade de um especialista escolhido ao acaso: 
a) Não ser da área de gestão b) Não ser da área de contabilidade 
 
2. Numa pesquisafeita aos 3000 projectos implantados revelou que 2000 foram submetidos à 
um estudo de impacto ambiental, 1500 à um estudo de impacto social e 1000 à ambos 
estudos. Calcule a probabilidade de um projecto escolhido ao acaso: 
a) Não ter sido submetido ao estudo de impacto ambiental 
b) Não ter sido submetido ao estudo de impacto social 
 
3. Uma pesquisa feita à 1200 empresas de consultoria revelou que 700 seguem as normas 
estabelecidas para o funcionamento. Calcule a probabilidade de uma empresa escolhida ao 
acaso não seguir as normas estabelecidas para o funcionamento 
 
 4. Uma pesquisa feita as universidades revelou que 40% das universidades leccionam o curso 
de gestão, 50% leccionam o curso de contabilidade e 10% leccionam o curso de gestão e de 
contabilidade. Calcule a probabilidade de uma universidade escolhida ao acaso não leccionar 
o curso de contabilidade 
 
5. Fez-se uma pesquisa sobre a local de habitação dos estudantes de uma turma. A 
probabilidade de um estudante escolhido ao acaso habitar no bairro Central é 0,65. Calcule a 
probabilidade de um estudante escolhido ao acaso não habitar no bairro Central 
 
 6. A probabilidade de uma empresa escolhida ao acaso não ser privada num País é de 0,87. 
Calcule a probabilidade de uma empresa escolhida ao acaso ser privada nesse País. 
 
7. Fez-se um estudo sobre o grau académico e o sexo dos docentes de uma universidade. Os 
resultados são os seguintes: 
 
 
Grau académico dos docentes 
Sexo dos docentes 
Feminino Masculino 
Licenciado 30 40 
Mestrado 40 30 
 
Calcule a probabilidade de um docente escolhido ao acaso: 
a) Não ser do sexo masculino b) Não ter grau académico de mestrado 
 
8. Considere que  ApAp  3)( . Calcule: a) )(Ap b)  Ap c)  Ap d)  ApAp )( 
 
9. Considere que para dois acontecimentos A e B, 9,1)(2 BAp , 7,0)()(  BApBp . 
Calcule )(Ap 
 
 
 
 
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